明治大学

#明治大学2023#定積分_24#元高校教員

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin^{2} 2 x d x

出典：2023年明治大学

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福田の数学〜よくある図形問題ですが微分で困ったことに〜明治大学2023年理工学部第3問〜三角比と最大

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
[ 3 ]長さ 2 の線分 AB を直径とする円 O の周上に、点 P を

c o s ∠ P B A = \frac{\sqrt{3}}{3}

となるようにとる。このとき、 BP =

か

である。線分 AB 上に A, B とは異なる点 Q をとり、

x = A Q (0 く x く 2)

とする。 PQ をxの式で表すと PQ =

き

となる。また、三角形 BPQ の面積 s をxの式で表すと s =

く

である。直線 PQ と円 O の交点のうち、 P でないものを R とする。三角形 AQR の面積Tをxの式で表すとT=

け

である。また、

0 く x く 2

の範囲でxを動かすとき、Tが最大になるのは

x = こ

のときだけである。

2023明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜曲線の長さの計算は大丈夫？〜明治大学2023年理工学部第2問〜曲線の長さと極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = \frac{1}{8} x^{2} - l o g x (x > 0)

とし、座標平面上の曲線y=f(x)をCとする。ただし、logxは自然対数を表す。関数f(x)は

x = あ

で最小値をとる。曲線C上の点A(1,f(1))における曲線Cの接線をlとすると、lの方程式は

y = い

である。
曲線Cと接線lおよび直線x=2で囲まれた図形の面積は

う

である。また、点

(t, f (t)) (t < 1)

をPとし、点Aから点Pまでの曲線Cの長さをL(t)とすると

L (2) = え

である。また、

lim_{t \to 1 + 0} \frac{L (t)}{t - 1} = お

である。

2023明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜空間の位置ベクトルの考え方〜明治大学2023年理工学部第1問(4)〜平面と直線の交点の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)四面体OABCにおいて、辺OAを1：3に内分する点をD、辺ABを1：2に内分する点をE、辺OCを1：2に内分する点をFとすると、

\vec{D E}

=

\frac{ノ}{ハ ヒ} \vec{O A}

+

\frac{フ}{ヘ} \vec{O B}

,　

\vec{D F}

=

- \frac{ホ}{マ} \vec{O A}

+

\frac{ミ}{ム} \vec{O C}

である。さらに、3点D,E,Fを通る平面と辺BCの交点をGとすると、

\vec{D F}

=

\frac{メ}{モ} \vec{D E}

+

\frac{ヤ}{ユ} \vec{D F}

である。したがって、

\vec{B G}

=

\frac{ヨ}{ラ} \vec{B C}

　となる。

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福田の数学〜くじ引きは神様が決めた順列〜明治大学2023年理工学部第1問(3)〜くじ引きの確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)当たりくじ4本とはずれくじ6本からなる10本のくじがある。この中からAが2本のくじを同時に引き、その後Bが2本のくじを同時に引く。ただし、Aが引いたくじは元には戻さないものとする。
(a)Aの引いたくじが2本とも当たりである確率は

\frac{セ}{ソ タ}

である。
(b)AとBが引いたくじの中に1本も当たりがない確率は

\frac{チ}{ツ テ}

である。
(c)Aが引いたくじのうち1本だけが当たりで、かつBが引いたくじのうち1本だけが当たりである確率は

\frac{ト}{ナ}

である。
(d)Bの引いたくじが２本とも当たりである確率は

\frac{ニ}{ヌ ネ}

である。

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福田の数学〜相反方程式の扱い方を知っていますか〜明治大学2023年理工学部第1問(2)〜相反方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)(a)

t

を実数とする。

x

についての方程式

x

+

\frac{1}{x}

=

t

　が実数解をもつための必要十分条件は

t

≦

- カ

または

t

≧

キ

　である。
(b)

k

を実数と定数とし、

f (x)

=

7 x^{4}

+

2 x^{3}

+

k x^{2}

+

2 x

+7　とする。

x

=

a

が

f (x)

=0　の解であるとき、

t

=

a

+

\frac{1}{a}

　とおくと

ク t^{2}

+

ケ t

+

(k - コ サ)

=0
が成り立つ。方程式

f (x)

=0　の異なる実数解の個数が3個となるような

k

の値は

k

=

- シ ス

　である。

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福田の数学〜微分可能である条件とは何か〜明治大学2023年理工学部第1問(1)〜微分可能であるための条件

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)

a

,

b

,

c

を実数の定数とし、関数

f (x)

を

f (x)

=

{\begin{matrix} \frac{1 + 3 x - a \cos 2 x}{4 x} (x > 0) \\ b x + c (x ≦ 0) \end{matrix}

で定める。

f (x)

が

x

=0で微分可能であるとき

a

=

ア

,　

b

=

\frac{イ}{ウ}

,　

c

=

\frac{エ}{オ}

である。

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福田の数学〜陰関数を考える貴重な問題〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第4問〜陰関数のグラフの増減とグラフ

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

座標空間において、2点(-2,0),(2,0)からの距離の積が4であるような点Pの軌跡を考える。点Pの座標を(

x

,

y

)とすると、

x

,

y

は次の方程式を満たす。

y^{4}

+

ア y^{2}

+

(イ)^{2}

=16　...(1)
方程式(1)が表す曲線を

C

とする。

C

の概形を描くことにしよう。まず、曲線

C

と

x

軸との共有点の

x

座標は

ウ

と

\pm エ \sqrt{オ}

である。次に、(1)を

y^{2}

に関する2次方程式とみて解けば、

y^{2}

≧0　であるので、

y^{2}

=

カ

+

4 \sqrt{キ}

　...(2)
となり、また

x

のとりうる値の範囲は

- ク \sqrt{ケ}

≦

x

≦

ク \sqrt{ケ}

となる。

x

≧0,

y

≧0とすれば、方程式(2)は0≦

x

≦

ク \sqrt{ケ}

を定義域とする

x

の関数

y

を定める。このとき、0<

x

サ

のとき共有点はなく、0≦

a

≦

サ

のとき共有点がある。
共有点の個数は、

a

=0のとき

シ

個、0<

a

<

サ

のとき

ス

個、

a

=

サ

のとき

セ

個となる。

ア

、

イ

、

カ

、

キ

の解答群
⓪

x^{2} + 1

　①

- (x^{2} + 1)

　②

x^{2} - 1

　③

- (x^{2} - 1)

　④

x^{2} + 4

　

⑤

2 (x^{2} + 4)

　⑥

x^{2} - 4

　⑦

2 (x^{2} - 4)

　⑧

- (x^{2} + 4)

　⑨

- 2 (x^{2} - 4)

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福田の数学〜双曲線と直線の位置関係を考えよう〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第3問〜双曲線と直線

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

座標平面上の双曲線

x^{2}

-

4 y^{2}

=5を

C

とおき、点(1,0)を通り傾き

m

が正となる直線を

l

とおく。

C

の漸近線は

y

=

\frac{ア}{イ} x

と

y

=

- \frac{ア}{イ} x

である。また、

l

と

C

の共有点がただ1つとなるのは、

m

が

\frac{\sqrt{ウ}}{エ}

または

\frac{オ}{カ}

　のときである。

m

=

\frac{\sqrt{ウ}}{エ}

ならば

l

は

C

の接線となる。ここで

a

=

\frac{オ}{カ}

　とおく。

m

<

a

であるときに、

l

と

C

の共有点の

y

座標のうち最大のものを

y_{m}

とすれば、

y_{m}

=

\frac{m}{キ - ク m^{2}} (- ケ + \sqrt{コ - サ シ m^{2}})

となる。このとき、

lim_{m \to a - 0} y_{m}

=

ス

　が成り立つ。

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福田の数学〜部分積分と極限のコンボ〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第2問〜部分積分と極限

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

t

>0 に対して、次の2つの定積分を考える。

I

=

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- t x} \sin x d x

,　

J

=

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- t x} \cos x d x

部分積分を用いれば

I

=

ア

－

t J

,　

J

=

イ

+

t I

　が成り立つことが分かるので、

I

=

\frac{ウ}{エ}

,　

J

=

\frac{オ}{エ}

を得る。したがって、

lim_{t \to \infty} \frac{\log エ}{t}

=0　を用いれば、

lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \log (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- t x} \cos x d x - \frac{t}{エ})

=

カ

となる。

ア

、

イ

、

ウ

の解答群
⓪-1　①1　②2-

π

　③

π

　④1-

t

　⑤1+

t

　
⑥1-

t^{2}

　⑦1+

t^{2}

　⑧

- e^{- \frac{π}{2} t}

　⑨

e^{- \frac{π}{2} t}

ウ

、

オ

の解答群
⓪

t

　①1　②-1

- t e^{- \frac{π}{2} t}

　③-1

+ t e^{- \frac{π}{2} t}

　④1

- t e^{- \frac{π}{2} t}

　
⑤1

+ t e^{- \frac{π}{2} t}

　⑥-

t

-

e^{- \frac{π}{2} t}

　⑦-

t

+

e^{- \frac{π}{2} t}

　⑧

t

-

e^{- \frac{π}{2} t}

　⑨

t

+

e^{- \frac{π}{2} t}

カ

の解答群
⓪0　①

- \frac{π}{2}

　②

- \frac{π}{3}

　③

- \frac{π}{4}

　④

- \frac{π}{6}

　⑤

- \frac{π}{12}

　⑥

\frac{π}{6}

　
⑦

\frac{π}{4}

　⑧

\frac{π}{3}

　⑨

\frac{π}{2}

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福田の数学〜zを正負で場合分けできないときどうする〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第1問(2)〜複素数に関する2次方程式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)複素数

z

の方程式

z^{2}

-3|

z

|+2=0
を考える。この方程式は

イ

個の解を持ち、このうち実数でないかの個数は

ウ

個である。

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福田の数学〜無限級数の和は部分和の極限〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第1問(1)〜無限級数の和

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
無限級数

\sum_{n = 1}^{\infty} \log \frac{(n + 1) (n + 2)}{n (n + 3)}

の和を求めよ。

2023明治大学過去問

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福田の数学〜共通テスト対策にもってこい〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第3問〜四面体の体積

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#センター試験・共通テスト関連#学校別大学入試過去問解説(数学)#共通テスト#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

一辺の長さが6の正四面体ABCDにおいて、点Aから3点B,C,Dを含む平面に垂線AHを下ろす。また、辺ABを1：2に内分する点をP、辺ACを2：1に内分する点をQ、辺ADを

t

：1-

t

に内分する点をRとする。ただし、
0<

t

<1　とする。
(1)AHの長さは

ア \sqrt{イ}

　であり、正四面体ABCDの体積は

ウ エ \sqrt{オ}

　である。
(2)AHと三角形PQRの交点をXとすると、

\vec{A X}

=

カ \vec{A H}

　である。
(3)三角形PQRの面積は

\sqrt{キ ク t^{2} - ケ コ t + サ シ}

　である。
(4)

t

=

\frac{1}{2}

　のとき、四面体APQRの体積は

ス \sqrt{セ}

で、点Aから3点P,Q,Rを通る平面に垂線AYを下ろすと、AYの長さは

\frac{ソ \sqrt{タ}}{チ}

　である。

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福田の数学〜微分積分の基本問題〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第2問〜関数の増減と3次方程式の解

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

k

を正の実数とし、

x

の関数

f (x)

を

f (x)

=

x^{3}

- 3 k x^{2}

+ 9 (k^{2} + 2 k - 3)

により定める。関数

f (x)

は

x

=

ア

で極大値

イ k^{2}

+

ウ エ k

-

オ カ

をとり、

x

=

キ

で極小値

- ク k^{3}

+

イ k^{2}

+

ウ エ k

-

オ カ

　をとる。
以下、

f (x)

の極小値が0になる

k

の値を

a

,

b

(ただし、

a

<

b

)、

f (x)

の極大値が0となる

k

の値を

c

とする。このとき、

a

=

\frac{ケ (\sqrt{コ サ} - シ)}{ス}

,　

b

=

セ

,　

c

=

ソ

である。座標平面において、

k

=

セ

のとき、

x

軸の

x

≧0の部分と

y

軸の

y

≧0　の部分と

y

=

f (x)

のグラフとで囲まれた図形の面積は

タ チ ツ

である。
方程式

f (x)

=0　が異なる3つの実数解を持つための必要十分条件は

テ

である。

ア

,　

キ

の解答群
⓪0　①

\frac{k}{2}

　②

\frac{2 k}{3}

　③

k

　④

\frac{4 k}{3}

　
⑤

2 k

　⑥

- \frac{k}{2}

　⑦

- \frac{2 k}{3}

　⑧

- k

　⑨

- 2 k

テ

の解答群
⓪

k

<

a

,

b

<

k

<

c

　①

k

<

a

,

c

<

k

<

b

　②

k

<

c

,

a

<

k

<

b

　
③

a

<

k

<

b

,

c

<

k

　④

a

<

k

<

c

,

b

<

k

　⑤

c

<

k

<

a

,

b

<

k

　
⑥

a

<

k

<

c

　⑦

c

<

k

<

a

　⑧

b

<

k

<

c

　⑨

c

<

k

<

b

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福田の数学〜中学生でも解ける大学入試問題〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(5)〜共通弦の長さ

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(5)原点をOとする座標平面上に点Aと点Bがある。点Aの座標は(40,0)であり、
点BはOB=37, AB=13　を満たす。この座標平面上でOBを直径とする円を

C_{1}

とし、ABを直径とする円を

C_{2}

とする。このとき、

C_{1}

と

C_{2}

の交点を結ぶ線分の長さは

タ チ

である。

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福田の数学〜絞り込めればなんとかなる！〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(4)〜不等式を満たす自然数解

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
自然数

m, n

があり、

1 < m < n

とする。

(m + \frac{1}{n}) (n + \frac{1}{m}) ≦ 12

を満たす

(m, n)

を求めよ。

2023明治大学過去問

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福田の数学〜消去法の活用〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(3)〜データの分析中央値と平均

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)データAの大きさは15であり、データAの値は1,2,3,4,5のいずれかであるとする。
1,2,3,4,5のそれぞれを階級値であると考えたとき、その度数はどれも1以上であるとする。階級値1の度数が2、データAの中央値が2、データAの平均値がちょうど3であるとき、階級値5の度数は

サ

である。

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福田の数学〜虚数係数の2次方程式の解き方〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(2)〜

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)

k

を実数とする。

x

についての方程式

x^{2}

-(4-3

i

)

x

+(4-

k i

)=0
を満たす実数

x

があるとき、

k

=

キ

である。このとき、上の等式を満たす

x

の値は2つあり、

ク

と

ケ

-

コ

i

　である。ただし、

i

を虚数単位とする。

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福田の数学〜誘導付き3項間の漸化式を解く〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(1)〜３項間漸化式の解法

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a_{n + 2} = 4 (a_{n + 1} - a_{n})

(n = 1, 2, 3, . . .)

a_{1} = 2, a_{2} = 16

(1)

b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}

(n = 1, 2, 3, . . .)

と置いて

b_{n}

を求めよ。
(2)

a_{n}

を求めよ。

2023明治大学全統過去問

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基本問題　明治大

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
明治大学過去問題

a b_{(6)} = 123_{(a)}

a,bの値を求めよ

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整数問題　明治大

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
明治大学過去問

nを自然数とする.

9 n^{5} + 15 n^{4} + 10 n^{3} - 4 n

が30の倍数であること示せ

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明治大　三次不等式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

x^{3} - 2 a x^{2} - x < 0

これを解け.

明治大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題095〜明治大学2020年度理工学部第１問(3)〜円順列と確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)A, B, C, D, Eの5人が、無作為に並び、手をつないでひとつの輪を作るという試行を考える。
(a)この試行を1回行うとき、AがBとCの2人と手をつなぐ確率は

\frac{コ}{サ}

である。
(b)この試行を3回行うとき、Aと3回手をつなぐ人が2人いる確率は

\frac{シ}{ス セ}

である。
(c)この試行を3回行うとき、Aと3回手をつなぐ人が1人だけいる確率は

\frac{ソ}{タ}

である。

2020明治大学理工学部過去問

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大学入試問題#312　明治大学2021　#定積分　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{k \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{e^{k x} - 1}{e^{k x} + 1}

出典：2021年明治大学　入試問題

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大学入試問題#309　明治大学改 (2013)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{5} x d x

出典：2013年明治大学　入試問題

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福田の数学〜明治大学2022年理工学部第３問〜平行六面体の対角線を軸とした回転体の体積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#微分法と積分法#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#面積、体積#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
右の図(※動画参照)のような平行六面体OABC-DEFGにおいて、
すべての辺の長さは1であり、

\vec{O A}, \vec{O C}, \vec{O D}

のどの
2つのなす角も

\frac{π}{3}

であるとする。
(1)

\vec{O F}

を

\vec{O A}, \vec{O C}, \vec{O D}

を用いて表すと、

\vec{O F} = き

である。
(2)

| \vec{O F} |, \cos ∠ A O F

を求めると

| \vec{O F} | = く,

\cos ∠ A O F = け

である。
(3)三角形ACDを底面とする三角錐OACDを、直線OFの周りに1回転して
できる円錐の体積は

こ

である。
(4)対角線OF上に点Pをとり、

| \vec{O P} | = t

とおく。点Pを通り、

\vec{O F}

に垂直な平面
をHとする。平行六面体

O A B C - D E F G

を平面Hで切った時の断面が六角形
となるようなtの範囲は

さ

である。このとき、平面Hと辺AEの交点をQ
として、

| \vec{A Q} |

をtの式で表すと

| \vec{A Q} | = し

である。
また、

| \vec{P Q} |^{2}

を

t

の式で表すと

| \vec{P Q} |^{2} = | \vec{O Q} |^{2} - | \vec{O P} |^{2} = す

である。
(5)平行六面体

O A B C - D E F G

を、直線OFの周りに1回転してできる回転体
の体積は

こ

である。

2022明治大学理工学部過去問

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大学入試問題#305　明治大学(2013)　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{h \to \infty} \frac{l o g (1 + 5 h + 6 h^{2})}{h}

出典：2013年明治大学　入試問題

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福田の数学〜明治大学2022年理工学部第２問〜平面図形の計量

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#英語(高校生)#平面図形#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#明治大学#数学(高校生)#明治大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
平面上の長さ3の線分AB上に、

A P = t (0 < t < 3)

を満たす点Pをとる。
中心を

O

とする半径1の円Oが、線分ABと点Pで接しているとする。

α = ∠ O A B, β = ∠ O B A

とおく。

\tan α, \tan β, \tan (α + β)

を

t

で表すと、

\tan α = あ, \tan β = い,

\tan (α + β) = う

である。

0 < α + β < \frac{π}{2}

であるようなtの範囲は

え

である。
tは

え

の範囲にあるとする。点

A, B

から円Oに引いた接線の接点のうち、
Pでないものをそれぞれ

Q, R

とすると、

∠ Q A B + ∠ R B A < π

である。
したがって、線分AQのQの方への延長と線分BRのRの方への延長は交わり、
その交点をCとすると、円Oは三角形ABCの内接円である。
このとき、線分CQの長さをtで表すと

お

である。
また、

t

が

え

の範囲を動くとき、三角形ABCの面積Sの取り得る値の範囲は

か

である。

2022明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2022年理工学部第１問(3)〜接線の本数と接点の個数

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(3)

f (x) = (\log x)^{2} + 2 \log x + 3

として、座標平面上の曲線

y = f (x)

を

C

とする。
ただし、

\log x

は

x

の自然対数を表し、

e

を自然対数の底とする。

(a)

関数

f (x)

は

x = \frac{ソ}{e}

のとき最小値

タ

をとる。

(b)

曲線Cの変曲点の座標は

(チ, ツ)

である。

(c)

直線

y = ツ

と曲線Cで囲まれた図形の面積は

\frac{テ}{e^{2}}

である。

(d) a

を実数とする。曲線

C

の接線で、点

(0, a)

を通るものがちょうど1本あるとき、
aの値は

ト

である。

(e) b

を実数とする。曲線Cの2本の接線が点

(0, b)

で垂直に交わるとき、
bの値は

\frac{ナ}{ニ}

である。

2022明治大学理工学部過去問

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福田の数学〜明治大学2022年理工学部第１問(2)〜2次方程式の解の存在範囲

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#複素数と方程式#2次方程式と2次不等式#解と判別式・解と係数の関係#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
(2)座標平面上の曲線

x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 5

を

C

とする。

(a)

直線

2 x + y = t

が曲線

C

と共有点をもつとき、実数

t

の取り得る値の範囲は

コ ≦ t ≦ サ

である。

(b)

直線

2 x + y = 1

が曲線

C

と

x ≧ 0

の範囲で共有点を少なくとも1個もつとき、
実数

t

の取り得る値の範囲は

- \frac{1}{2} \sqrt{シ ス} ≦ t ≦ セ

である。

2022明治大学理工学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 明治大学

#明治大学2023#定積分_24#元高校教員

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福田の数学〜相反方程式の扱い方を知っていますか〜明治大学2023年理工学部第1問(2)〜相反方程式

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福田の数学〜絞り込めればなんとかなる！〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(4)〜不等式を満たす自然数解

福田の数学〜消去法の活用〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(3)〜データの分析中央値と平均

福田の数学〜虚数係数の2次方程式の解き方〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(2)〜

福田の数学〜誘導付き3項間の漸化式を解く〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(1)〜３項間漸化式の解法

基本問題 明治大

整数問題 明治大

明治大 三次不等式

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題095〜明治大学2020年度理工学部第１問(3)〜円順列と確率

大学入試問題#312 明治大学2021 #定積分 #極限

大学入試問題#309 明治大学 改 (2013) #定積分

福田の数学〜明治大学2022年理工学部第３問〜平行六面体の対角線を軸とした回転体の体積

大学入試問題#305 明治大学(2013) #極限

福田の数学〜明治大学2022年理工学部第２問〜平面図形の計量

福田の数学〜明治大学2022年理工学部第１問(3)〜接線の本数と接点の個数

福田の数学〜明治大学2022年理工学部第１問(2)〜2次方程式の解の存在範囲

基本問題　明治大

整数問題　明治大

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