学校別大学入試過去問解説(数学)
学校別大学入試過去問解説(数学)
福田の数学〜東京大学2023年理系第４問〜球面と三角形が共有点をもつ条件
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#空間ベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)$\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OC}$=1 を満たす点Pの座標を求めよ。
(2)点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。
$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)点Qを$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。
2023東京大学理系過去問
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$\Large\boxed{4}$ 座標空間内の4点O(0,0,0), A(2,0,0), B(1,1,1), C(1,2,3)を考える。
(1)$\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OP}\bot\overrightarrow{OC}$=1 を満たす点Pの座標を求めよ。
(2)点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。
$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$を用いて表せ。
(3)点Qを$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$により定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。
2023東京大学理系過去問
福田の数学〜東京工業大学2023年理系第５問(PART2)〜4直線に接する球面の決定
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
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$\Large\boxed{5}$ xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
2023早稲田（社）三乗根の計算
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}$とする.
(1)$a^3$をaの一次式で表せ.
(2)aは整数であることを示せ.
(3)$b=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}$とするとき,bを越えない最大の整数を求めよ.
2023早稲田大(社)過去問
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$a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}$とする.
(1)$a^3$をaの一次式で表せ.
(2)aは整数であることを示せ.
(3)$b=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}$とするとき,bを越えない最大の整数を求めよ.
2023早稲田大(社)過去問
福田の数学〜東京工業大学2023年理系第５問(PART1)〜4直線に接する球面の決定
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#点と直線#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
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$\Large\boxed{5}$ xyz空間の4点A(1,0,0), B(1,1,1), C(-1,1,-1), D(-1,0,0)を考える。
(1)2直線AB,BCから等距離にある点全体のなす図形を求めよ。
(2)4直線AB, BC, CD, DAに共に接する球面の中心と半径の組を全て求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
2023年京大の数学！最大値・最小値【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
次の関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
$f(x)=e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1+\dfrac{1}{e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1}$ $(-1≦x≦1)$
ただし、$e$は自然対数の底であり、その値は$e=2.71･･･$である。
2023京都大過去問
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次の関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
$f(x)=e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1+\dfrac{1}{e^{-x^{2}}+\dfrac{1}{4}x^{2}+1}$ $(-1≦x≦1)$
ただし、$e$は自然対数の底であり、その値は$e=2.71･･･$である。
2023京都大過去問
2023昭和大（医）漸化式の基本問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#昭和大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$a_1=4$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} a_k=4,a_n+8$
一般項$a_n$を求めよ.
昭和大(医)過去問
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$a_1=4$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} a_k=4,a_n+8$
一般項$a_n$を求めよ.
昭和大(医)過去問
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2023年医学部第２問〜定積分で表された関数と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式
$f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{n}\int_0^xf(t)dt$
を満たし、関数g(x)は$g(x)$=$ae^{-\frac{x}{n}}+a$とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=$e^{-\frac{x}{n}}f(x)$とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とするとき、
極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n^3}$ を求めよ。
2023東京慈恵会医科大学医学部過去問
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$\Large\boxed{2}$ nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式
$f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{n}\int_0^xf(t)dt$
を満たし、関数g(x)は$g(x)$=$ae^{-\frac{x}{n}}+a$とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=$e^{-\frac{x}{n}}f(x)$とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とするとき、
極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n^3}$ を求めよ。
2023東京慈恵会医科大学医学部過去問
大学入試問題#470「誘導なくてもどうにかできそう」 信州大学 理・医学部(2021) #微積の応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\forall\ a,b$
$f(a+b)=f(a)+f(b)+4ab$
$f'(0)=2$
（1）
$f(0)$を求めよ
（2）
$f(x)$は微分可能を示せ
$f(x)$を求めよ
（3）
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \int_{1}^{x} \displaystyle \frac{1}{f(t)}dt(x \gt 1)$
出典：2021年信州大学 入試問題
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$\forall\ a,b$
$f(a+b)=f(a)+f(b)+4ab$
$f'(0)=2$
（1）
$f(0)$を求めよ
（2）
$f(x)$は微分可能を示せ
$f(x)$を求めよ
（3）
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \displaystyle \int_{1}^{x} \displaystyle \frac{1}{f(t)}dt(x \gt 1)$
出典：2021年信州大学 入試問題
2023一橋大 確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
A,B,Cの3人が順番にサイコロを振り,最初に1を出した人が勝ち,
だれかが1を出すか、全員がn回ずつ振ったら終了
A,B,Cそれぞれが勝つ確率$P_A,P_B,P_C$を求めよ.
2023一橋大過去問
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A,B,Cの3人が順番にサイコロを振り,最初に1を出した人が勝ち,
だれかが1を出すか、全員がn回ずつ振ったら終了
A,B,Cそれぞれが勝つ確率$P_A,P_B,P_C$を求めよ.
2023一橋大過去問
福田の数学〜東京工業大学2023年理系第４問〜非回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ xyz空間においてx軸を軸とする半径2の円柱から、|y|＜1かつ|z|＜1で表される角柱の内部を取り除いたものをAとする。また、Aをx軸のまわりに45°回転してからz軸のまわりに90°回転したものをBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
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$\Large\boxed{4}$ xyz空間においてx軸を軸とする半径2の円柱から、|y|＜1かつ|z|＜1で表される角柱の内部を取り除いたものをAとする。また、Aをx軸のまわりに45°回転してからz軸のまわりに90°回転したものをBとする。AとBの共通部分の体積を求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
大学入試問題#469「なんかワクワクする積分」 千葉大学2011 #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=x\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{dt}{1+t^2}$とおく
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$を求めよ
出典：2011年千葉大学 入試問題
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$f(x)=x\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{dt}{1+t^2}$とおく
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx$を求めよ
出典：2011年千葉大学 入試問題
2023藤田医科大 １の７乗根の基本問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$Z=\cos\dfrac{2}{7}\pi+i\sin\dfrac{2}{7}\piのとき
Z^7=\Box
Z^6+Z^5+Z^4+Z^3+Z^2+Z=\Box
(1-Z)(1-Z^2)(1-Z^3)×(1-Z^4)(1-Z^5)(1-Z^6)=\Box
\Boxを答えよ.$
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$Z=\cos\dfrac{2}{7}\pi+i\sin\dfrac{2}{7}\piのとき
Z^7=\Box
Z^6+Z^5+Z^4+Z^3+Z^2+Z=\Box
(1-Z)(1-Z^2)(1-Z^3)×(1-Z^4)(1-Z^5)(1-Z^6)=\Box
\Boxを答えよ.$
福田の数学〜東京工業大学2023年理系第３問〜複素数の絶対値と偏角に関する確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#複素数平面#確率#漸化式#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 実数が書かれた3枚のカード$\boxed{0}$,$\boxed{1}$,$\boxed{\sqrt 3}$から無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数nに対して、この操作をn回繰り返して得られるn個の複素数の積を$z_n$で表す。
(1)|$z_n$|＜5となる確率$P_n$を求めよ。
(2)$z_n^2$が実数となる確率$Q_n$を求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
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$\Large\boxed{3}$ 実数が書かれた3枚のカード$\boxed{0}$,$\boxed{1}$,$\boxed{\sqrt 3}$から無作為に2枚のカードを順に選び、出た実数を順に実部と虚部にもつ複素数を得る操作を考える。正の整数nに対して、この操作をn回繰り返して得られるn個の複素数の積を$z_n$で表す。
(1)|$z_n$|＜5となる確率$P_n$を求めよ。
(2)$z_n^2$が実数となる確率$Q_n$を求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
大学入試問題#468「パズルで遊ぶ感じ」 岩手大学(2022) 微積の応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)$：微分可能
$g(x)=f(x)e^{-x}$
（1）
$f'(x)=f(x)+g'(x)e^x$を示せ
（2）
$a$：定数
$f(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} (f(t)-4te^{-t}) dt$
$f(0)=1$のとき$f(x),a$を求めよ
出典：2022年岩手大学 入試問題
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$f(x)$：微分可能
$g(x)=f(x)e^{-x}$
（1）
$f'(x)=f(x)+g'(x)e^x$を示せ
（2）
$a$：定数
$f(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} (f(t)-4te^{-t}) dt$
$f(0)=1$のとき$f(x),a$を求めよ
出典：2022年岩手大学 入試問題
福田の数学〜東京大学2023年理系第３問〜円と放物線と切り取られる弦の長さ
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ aを実数とし、座標平面上の点(0,a)を中心とする半径1の円の周をCとする。
(1)Cが不等式$y＞x^2$の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。
(2)aは(1)で求めた範囲にあるとする。Cのうちx≧0かつy＜aを満たす部分をSとする。S上の点Pに対し、点PでのCの接線が放物線$y=x^2$によって切り取られてできる線分の長さを$L_P$とする。$L_Q$=$L_R$となるS上の相異なる2点Q, Rが存在するようなaの範囲を求めよ。
2023東京大学理系過去問
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$\Large\boxed{3}$ aを実数とし、座標平面上の点(0,a)を中心とする半径1の円の周をCとする。
(1)Cが不等式$y＞x^2$の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。
(2)aは(1)で求めた範囲にあるとする。Cのうちx≧0かつy＜aを満たす部分をSとする。S上の点Pに対し、点PでのCの接線が放物線$y=x^2$によって切り取られてできる線分の長さを$L_P$とする。$L_Q$=$L_R$となるS上の相異なる2点Q, Rが存在するようなaの範囲を求めよ。
2023東京大学理系過去問
大学入試問題#467「基本すぎる極限問題」 電気通信大学(2013) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#三角関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{(1-\cos2x)\sin3x}{x^3}$
出典：2013年電気通信大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{(1-\cos2x)\sin3x}{x^3}$
出典：2013年電気通信大学 入試問題
2023東工大 整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$(x^3-x)^2(y^3-y)=86400$
整数$x,y$を求めよ.
2023東工大過去問
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$(x^3-x)^2(y^3-y)=86400$
整数$x,y$を求めよ.
2023東工大過去問
気持ちいい別解あり！これ解ける？【京都大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$a,b,c$を正の数とするとき、不等式
$2\left( -\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)≦3\left(\frac{a+b+c}{2}-\sqrt[3]{abc}\right)$
を証明せよ。
また、等号が成立するのはどんな場合か。
京都大過去問
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$a,b,c$を正の数とするとき、不等式
$2\left( -\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\right)≦3\left(\frac{a+b+c}{2}-\sqrt[3]{abc}\right)$
を証明せよ。
また、等号が成立するのはどんな場合か。
京都大過去問
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2023年医学部第１問〜整数解と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#整数の性質#確率#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 袋の中に1から5までの番号をつけた5個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてから元に戻す試行を、4回続けて行う。n回目(1≦n≦4)に取り出された玉の番号を$r_n$とするとき、
・$r_1$+$r_2$+$r_3$+$r_4$≦8 となる確率は$\boxed{\ \ (ア)\ \ }$
・$\displaystyle\frac{4}{r_1r_2}$+$\displaystyle\frac{2}{r_3r_4}$=1となる確率は$\boxed{\ \ (イ)\ \ }$
である。
2023東京慈恵会医科大学医学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ 袋の中に1から5までの番号をつけた5個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてから元に戻す試行を、4回続けて行う。n回目(1≦n≦4)に取り出された玉の番号を$r_n$とするとき、
・$r_1$+$r_2$+$r_3$+$r_4$≦8 となる確率は$\boxed{\ \ (ア)\ \ }$
・$\displaystyle\frac{4}{r_1r_2}$+$\displaystyle\frac{2}{r_3r_4}$=1となる確率は$\boxed{\ \ (イ)\ \ }$
である。
2023東京慈恵会医科大学医学部過去問
大学入試問題#466「絶対に知っておくべき解き方」 電気通信大学(2014) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#三角関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \displaystyle \frac{x^2log(x+1)-log\ 2}{x-1}$
出典：2014年電気通信大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \displaystyle \frac{x^2log(x+1)-log\ 2}{x-1}$
出典：2014年電気通信大学 入試問題
2023九州大学 ４次方程式と複素平面上の三角形
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
(1)$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$を解け.
(2)複素数平面上の$\triangle ABC$の頂点を表す複素数を$\alpha,\beta,\delta$とする.
$(\alpha-\beta)^4+(\beta-\delta)+(\delta-\alpha)^4=0$が成り立つとき,$\triangle ABC$はどのような三角形か.
2023九州大過去問
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(1)$x^4-2x^3+3x^2-2x+1=0$を解け.
(2)複素数平面上の$\triangle ABC$の頂点を表す複素数を$\alpha,\beta,\delta$とする.
$(\alpha-\beta)^4+(\beta-\delta)+(\delta-\alpha)^4=0$が成り立つとき,$\triangle ABC$はどのような三角形か.
2023九州大過去問
福田の数学〜東京大学2023年文系数学第１問〜解と係数の関係と最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#微分法と積分法#解と判別式・解と係数の関係#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ kを正の実数とし、2次方程式$x^2+x-k$=0 の2つの実数解をα,βとする。
kがk＞2の範囲を動くとき、
$\displaystyle\frac{\alpha^3}{1-\beta}$+$\displaystyle\frac{\beta^3}{1-\alpha}$
の最小値を求めよ。
2023東京大学文系過去問
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$\Large\boxed{1}$ kを正の実数とし、2次方程式$x^2+x-k$=0 の2つの実数解をα,βとする。
kがk＞2の範囲を動くとき、
$\displaystyle\frac{\alpha^3}{1-\beta}$+$\displaystyle\frac{\beta^3}{1-\alpha}$
の最小値を求めよ。
2023東京大学文系過去問
大学入試問題#465「よくある極限問題」 電気通信大学2009 #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#三角関数#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\sin2x-2\sin\ x}{x\ \sin^2\ x}$
出典：2009年電気通信大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\sin2x-2\sin\ x}{x\ \sin^2\ x}$
出典：2009年電気通信大学 入試問題
2023東大 確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
黒3,赤4,白5を一列に並べる.
(1)どの赤も隣り合わない確率を求めよ.
(2)どの赤も隣り合わないとき、どの黒も隣り合わない条件付き確率を求めよ.
2023東大過去問
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黒3,赤4,白5を一列に並べる.
(1)どの赤も隣り合わない確率を求めよ.
(2)どの赤も隣り合わないとき、どの黒も隣り合わない条件付き確率を求めよ.
2023東大過去問
福田の数学〜東京工業大学2023年理系第２問〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 方程式
$(x^3-x)^2$$(y^3-y)$=86400
を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
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$\Large\boxed{2}$ 方程式
$(x^3-x)^2$$(y^3-y)$=86400
を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ。
2023東京工業大学理系過去問
大学入試問題#464「誘導の力は偉大」 神戸大学(2000) #不定積分 #積分の応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x^3(1-x)}$
（1）
$f(x)=\displaystyle \frac{a_1}{x}+\displaystyle \frac{a_2}{x^2}+\displaystyle \frac{a_3}{x^3}+\displaystyle \frac{b}{1-x}$
とおくとき、定数$a_1,a_2,a_3,b$を求めよ
（2）
$\displaystyle \int f(x) dx$
（3）
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x^P(1-x)}(P=1,2,3,・・・)$
出典：2000年神戸大学 入試問題
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$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x^3(1-x)}$
（1）
$f(x)=\displaystyle \frac{a_1}{x}+\displaystyle \frac{a_2}{x^2}+\displaystyle \frac{a_3}{x^3}+\displaystyle \frac{b}{1-x}$
とおくとき、定数$a_1,a_2,a_3,b$を求めよ
（2）
$\displaystyle \int f(x) dx$
（3）
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{dx}{x^P(1-x)}(P=1,2,3,・・・)$
出典：2000年神戸大学 入試問題
2023京都大学 整式の剰余
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x^{2023}-1$を$x^4+x^3+x^2+x+1$で割ったあまりを求めよ.
2023京都大過去問
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$x^{2023}-1$を$x^4+x^3+x^2+x+1$で割ったあまりを求めよ.
2023京都大過去問
大学入試問題#463「ええ問題や～～」 信州大学 理・医 (2016) #積分の応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx$
$=\displaystyle \frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ
出典：2016年信州大学医学部 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} (1-x^2)^n dx$
$=\displaystyle \frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ
出典：2016年信州大学医学部 入試問題
福田の数学〜東京大学2023年理系第２問〜隣どうしにならない順列と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1)どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。
(2)どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率qを求めよ。
2023東京大学理系過去問
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$\Large\boxed{2}$ 黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。
(1)どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。
(2)どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率qを求めよ。
2023東京大学理系過去問
福田の数学〜東京大学2023年理系第１問〜定積分と不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#漸化式#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ [1]正の整数kに対し、$A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}|\sin(x^2)|dx$ とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}$≦$A_k$≦$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k\pi}}$
[2]正の整数nに対し、$B_n$=$\displaystyle\frac{1}{\sqrt n}\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}|\sin(x^2)|dx$ とおく。
極限$\displaystyle\lim_{n \to \infty}B_n$ を求めよ。
2023東京大学理系過去問
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$\Large\boxed{1}$ [1]正の整数kに対し、$A_k=\displaystyle\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}}|\sin(x^2)|dx$ とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}$≦$A_k$≦$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k\pi}}$
[2]正の整数nに対し、$B_n$=$\displaystyle\frac{1}{\sqrt n}\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}}|\sin(x^2)|dx$ とおく。
極限$\displaystyle\lim_{n \to \infty}B_n$ を求めよ。
2023東京大学理系過去問