問題文全文(内容文)：
座標空間において、3点 $A(2,-1,-5)$、$B(1,0,-4)$、$C(-1,3,1)$ の定める平面を $\alpha$ とする。点 $P(a,a,a)$ が平面 $\alpha$ 上にあるとき、$a$ の値は $a=\dfrac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}$ である。点 $Q(b,c,-7)$ があり、直線 $AQ$ が平面 $\alpha$ に直交するとき、$b$ と $c$ の値はそれぞれ
$b=\boxed{\text{チ}}$、$c=\boxed{\text{ツ}}$ である。

問題文全文(内容文)：
I　複数の玉が入った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、$n$ を自然数として、以下の問いに答えよ。

(1)

袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $p_n$ とすると、次式が成り立つ。

$p_2=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\qquad
p_3=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$

(2)

袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の玉を袋に戻す試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $P_n$ とすると、次式が成り立つ。

$P_2=\dfrac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}},\qquad
P_3=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$

$n$ 回目の試行開始時点で袋に入っている玉の個数 $M_n$ は
$M_n=n+\boxed{\text{ス}}$
であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数を $R_n$ は
$R_n=M_n\times P_n$
と表される。

$n$ 回目の試行において黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が試行前と比べて
$\boxed{\text{セ}}$
個増えるため、$n+1$ 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は

$R_{n+1}=R_n+(1-P_n)\times \boxed{\text{セ}}$

となる。したがって、

$P_{n+1}
=\dfrac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}P_n
+\dfrac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}$

が成り立つ。このことから、

$(n+3)(n+\boxed{\text{ツ}})
\left(
P_n-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}
\right)$

が $n$ に依らず一定となることがわかり、

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P_n
=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$

と求められる。

問題文全文(内容文)：
2. 実数 $x,y$ がそれぞれ$\frac{1}{\log_3 x}-\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{3}, \frac{1}{2^{3y-1}}+\frac{1}{8^{2y-1}}=1$を満たすとき、
$x=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サ}}}$$\log_2 y=\dfrac{\boxed{\text{シス}}}{\boxed{\text{セ}}}$である。

問題文全文(内容文)：
$x+\displaystyle \frac{1}{x}=\displaystyle \frac{y}{8}+\displaystyle \frac{8}{y}=\displaystyle \frac{x}{y}+\displaystyle \frac{y}{x}$をみたす実数$x,y$の組をすべて求めよ

出典：2013年佐賀大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin\ x}(\sin2x-2\cos\ x)dx$

出典：2014年千葉大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
上岡先生が2024年共通テスト数学1Aを講評します。

復習の際の参考にしましょう！

問題文全文(内容文)：
勉強法

問題文全文(内容文)：
2024年共通テスト数学2B講評です。
予想平均点、傾向と対策についての解説です。
※問題文、図は動画内参照

問題文全文(内容文)：
2024共通テスト数学ⅠA第3問解説です

箱の中にカ ー ドが 2 枚以上入っており、それぞれのカ ードにはアルファベットが一文字だけ書かれている。この箱の中からカ ー ドを一枚取り出し、書かれているアルファベットを確認してからもとに戻すという試行をり返し行う。
(1)箱の中にA,Bのカードが 1 枚ずつ全部で 2 枚入っている場合を考える。以下では、2 以上の自然数nに対しn回の試行で A. Bがそろっているとは、n回の試行でA,Bのそれぞれが少なくとも1回は取り出されることを意味する。
(i)２回の試行でA,Bがそろっている確率は$\dfrac{ア}{イ}$である。
(ii)３回の試行でA,Bがそろっている確率を求める。
　例えば、３回の試行のうちAを１回、Bを２回取り出す取り出し方は３通りあり、それらを全て挙げると次のようになる。※表は動画内参照
このように考えることにより、3 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はウ通りあることがわかる。よって、3 回の試行で A. B がそろっている確率は$\dfrac{ウ}{2^3}$である。
(iii) 4 回の試行で A. B がそろっている取り出し方はエオ通りある。 よって、4 回の試行でA,B がそろっている確率は$\dfrac{カ}{キ}$である。
(2)箱の中にA,B,Cのカ ー ドが一枚ずつ全で 3 枚入っている場合を考える。
以下では、3 以上の自然数nに対しn回目の試行で初めて A. B. C がそろうとn回の試行で A,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出されかつA,B.Cのうちいずれか1枚がn回目の試行で初めて取り出されることを意味する。
(i)3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう取り出し方はク通りある。よって、3 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ク}{3^3}$である。
(ii) 4 回目の試行で初めて A.B,C がそろう確率を求める。4 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方は.(1)の(ii)を振り返ることにより、3×ウ通りあることがわかる。よって、4 回目の試行で初めて A. B, C がそろう確率は$\dfrac{ケ}{コ}$である。
(iii)5 回目の試行で初めて A. B. C がそろう取り出し方はサシ通りある。よってを 5 回目の試行で初めてA,B,Cがそろう確率は$\dfrac{サシ}{3^3}$である。
太郎さんと花子さんは. 6 回目の試行で初めて A. B, C, D がそろう確率について考えている。
太郎:例えば. 5 回目までにA,B,Cのそれぞれが少なくとも1回は取り出され.かっ 6 回目に初めてDが取り出される場合を考えたら計算できそうだね。
花子:それなら初めて A. B. C だけがそろうのが, 3 回目のとき. 4 回目のとき. 5 回目のときで分けて考えてみてはどうかな。
6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろう取り出し方がク通りであることに注意すると「 6 回の試行のうち 3 回目の試行で初めて A. B. C だけがそろい、かつ6 回目の試行で初めてDが取り出される取り出し方はスセ通りあることがわかる。同じように考えると６回の試行のうち 4 回目の試行で初めて A, B, C だけがそろい、かっ 6 回目の試行で初めてDが取り出される」取り出し方はソタ通りあることもわかる。以上のように考えることにより, 6 回目の試行で初めて A. B. C, D がそろう確率は$\dfrac{チツ}{テトナ}$であることがわかる。

2024共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\beta=\sqrt[ 3 ]{ 7+5\sqrt{ 2 } }$であるとき、
$\beta^4-12\beta$の値を求めよ。

出典：2023年自治医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
10000人登録目指しています。
何卒チャンネル登録お願いします！！！

※冒頭7分55秒まで音声が乱れております。申し訳ございません。


◆解答のまとめ◆
https://note.com/kobetsu_teacher/n/nf15e55b4c121

◆出演者◆
・TAKAHASHI名人
https://www.youtube.com/playlist?list=PLdLgDY469Qr7UEbDX8OecmSefwQulR35t
・ゆう☆たろう
https://www.youtube.com/playlist?list=PLdLgDY469Qr5zKa9ZgI9StW_-cNtbBDsn
・烈's study
https://www.youtube.com/playlist?list=PLdLgDY469Qr7QbP6MrNjpltLkbkyaggpv
・理数大明神
https://www.youtube.com/playlist?list=PLdLgDY469Qr6TpcFul6_A9hu5xZ1bQjNU

◆スタッフ◆
しまだじろう
https://www.youtube.com/playlist?list=PLdLgDY469Qr5kqaeicgkr6YhPZdkMEB3k

◆ドーナツ差し入れありがとう!!◆
岡ちゃん先生
https://www.youtube.com/playlist?list=PLdLgDY469Qr4OulJQO0KGCDMdykOS6pnX

◎対数の領域の問題で間違えた方はこちらを是非見てください！
（インタビューで烈's study!先生が言っていた動画です）
https://youtu.be/ZAXcZQC_sjw

◎ベクトルで間違えた方はこちらを是非見てください！
（インタビューでゆう☆たろう先生が言っていた動画です）
https://youtu.be/CYcQZEYqXj8

produced by 質問解決DB
https://kaiketsu-db.net/

produced by 理数個別チャンネル
https://www.youtube.com/@UCdQ0y9lyNRKcbH8dv2janrw

問題文全文(内容文)：
自然数lを3進数と4進数で表したら下3桁が共に012になった
最小のlを求めよ

問題文全文(内容文)：
10の10乗を2020で割ったあまりをも求めよ

問題文全文(内容文)：
次の等式が$1\leqq x\leqq 2$で成り立つような関数f(x)と定数A,Bを求めよ.
$\int_{\frac{1}{x}}^{\frac{2}{x}}|logy|f(xy)dy=3x(logx-1)+A+\frac{B}{x}$
ただし,f(x)は$1\leqq x\leqq 2$に対して定義される連続関数とする.(東京工業大学 2019)

問題文全文(内容文)：
整数lを3進数と4進数で表したら、ともに下ケタが012になった
最小のlを求めよ

2024共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} x\ \sin\displaystyle \frac{x}{3} dx$

出典：2013年東京理科大学

問題文全文(内容文)：
(2)$p$が5以上の素数であるとき、$p^2-1$は6の倍数であることを示せ

問題文全文(内容文)：
1 つの問題には 4 つの選択肢があり、この選択肢の中から正しいものを 1 つ解答する。問題が全部で
5 題あり、それぞれの問題に対して 1 つの選択肢を無作為に選んで解答するとき、4 題以上正解する確率は

$\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$

であり、少なくとも 2 題正解する確率は

$\dfrac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カキク}}}$

である。

問題文全文(内容文)：
1. 次の問い（問1、2）の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

問13次方程式$ax^3+(-4a+1)x^2+(a+1)x+6a=0$が3つの異なる実数解をもち、そのうちの2つは絶対値が等しいとき、
$a=\dfrac{\boxed{1} \boxed{2}}{\boxed{3}}$であり、解は $\pm\boxed{4}$ と $\boxed{5}$ である。

$f(x)=3x^2+2x-\int_{0}^{3}g(t)\,dt$

$g(x)=x^2-6x+\int_{1}^{2}f(t)\,dt$

を満たすなら、

$\int_{1}^{2}f(x)\,dx=\boxed{6}$

$\int_{0}^{3}g(x)\,dx=\boxed{7}$

である。

問題文全文(内容文)：
2022年度北里大学医学部

【1】 次の各文の $\boxed{\phantom{\text{ア}}}$ にあてはまる答を求めよ。

(1) $i$ を虚数単位とし、$\alpha=-2+2i$、$\beta=3+i$ とする。このとき、$\frac{\alpha^5}{\beta^5}$ の値は $\boxed{\text{ア}}$ である。
$z$ は等差数列$2|z-a|=|z-b|$を満たす複素数全体を動くとする。
このとき、複素数平面上の点 $P(z)$ が描く図形は円であり、その中心を表す複素数は$\boxed{\text{イ}}$である。また、$|z|$ の最大値は$\boxed{\text{ウ}}$である。

問題文全文(内容文)：
2022年度北里大学医学部

(2) $f(x)=\log\frac{x}{1-x}$ とする。関数 $f(x)$ の逆関数は $f^{-1}(x)=\boxed{\text{エ}}$ である。

方程式 $f^{-1}(x)-a=0$ が実数解をもつとき、定数 $a$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{オ}}$ である。

方程式 $\{f^{-1}(x)\}^2-bf^{-1}(x)-3b=0$ が実数解をもつとき、定数 $b$ のとり得る値の範囲は $\boxed{\text{カ}}$ である。

問題文全文(内容文)：
1. 次の問いに答えなさい。

(1)
(i) 実数 $x,y$ が $x^2+y^2=1$ を満たすとき、$x+2y$ の最大値は $\sqrt{\boxed{\text{ア}}}$ であり、このときの $x,y$ の値は

$x=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}},\quad
y=\dfrac{\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{イ}}}}{\boxed{\text{ウ}}}$

である。

(ii) $a$ を実数の定数とする。実数 $x,y$ が $x^2+2y^2=4$ かつ、$y\geqq 0$ を満たすとき

$(x+y)^2-2a(x+y-1)$

の最小値が $-4$ となるような定数 $a$ の値をすべて求めると

$a=\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}},
\quad
\boxed{\text{キ}}+\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$

である。

(2)
1 個のさいころを 3 回投げる試行を考える。

ちょうど 3 種類の目が出る確率は

$\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}$

である。

出た目の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

$m\leqq 2$ かつ、ちょうど 2 種類の目が出る確率は

$\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}$

である。

また、$m\leqq 2$ かつ、$4\leqq M$ であるとき、出た目がちょうど 2 種類である条件付き確率は

$\dfrac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}$

である。

問題文全文(内容文)：
1 袋の中に赤玉3個と白玉3闇が入っており、袋の外に白玉がたくさんある。この袋の中から1個の玉を取り出して色を確認し、赤玉ならその玉の代わりに袋の外の白玉を1つ袋に入れ、白玉ならその玉を袋に戻す。
この操作を繰り返し、袋の中の玉がすべて白玉になるか、または白玉を取り出した回数の合計が2回になったところで操作を終了する。
(1) 2個目の玉を取り出したところで操作が終了となる確率は??である。
3個目の玉を取り出したところで操作が終了となる確率は??である。
(2) 4個目の玉を取り出し、かつその玉が3個目の赤玉である確率は??である。
(3) 4個目の玉を取り出し操作が終了となったとき、白玉が袋から連続して取り出されている条件付き確率は??である。

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{4} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ 2x+1 }} dx$

出典：2014年東京理科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ x }+1} dx$

出典：2013年東京理科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} x^6(1-x^2)^{\frac{5}{2}}dx$

出典：2012年獨協医科大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
$C_1:x^2+\displaystyle \frac{y^2}{a^2}=1,C_2:y=2ax-3a$

点Pが$C_1$,点Qが$C_2$上を動く。
線分 PQ の長さの最小値をαを用いて表せ。

大阪大学過去問

問題文全文(内容文)：
整式$P(x)$を
$x-1$で割ると1余り、
$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余る。
このとき、$P(x)$を$(x-1)(x+1)^2$で割ったときの余りを求めよ

出典：2022年早稲田大学社会学部　入試問題

問題文全文(内容文)：
直前期の今、使える「授業動画」まとめ