式と証明
式と証明
福田の数学〜慶應義塾大学2022年薬学部第２問〜二項定理と数列の部分和
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}の初項から第n項までの和S_n、数列\left\{b_n\right\}の初項から第n項までの和T_n\\
はそれぞれ\\
S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k, T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k\\
で表される。\\
(1)x \gt y \geqq 1を満たす自然数x,yについて、\\
{}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j, y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,\\
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },\\
p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
(2)a_2,b_4の値をそれぞれ求めるとa_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
(3)S_n,a_nをそれぞれnの式で表すと、S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }である。\\
(4)b_nをnの式で表すと、b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2022慶應義塾大学薬学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}の初項から第n項までの和S_n、数列\left\{b_n\right\}の初項から第n項までの和T_n\\
はそれぞれ\\
S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k, T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k\\
で表される。\\
(1)x \gt y \geqq 1を満たす自然数x,yについて、\\
{}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j, y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,\\
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },\\
p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
(2)a_2,b_4の値をそれぞれ求めるとa_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
(3)S_n,a_nをそれぞれnの式で表すと、S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }である。\\
(4)b_nをnの式で表すと、b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2022慶應義塾大学薬学部過去問
【ゼロからわかる】二項定理を3項で利用する（高校数学Ⅱ）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
$(x+2y-z)^6$ $[x^3y^2z]$
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次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
$(x+2y-z)^6$ $[x^3y^2z]$
【わかりやすく解説】数学Ⅱ 二項定理で項の係数を求めよう！
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
（1）
$(x+3)^5$ $[x^3]$
（2）
$(2x-3y)^6$ $[x^2y^4]$
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次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
（1）
$(x+3)^5$ $[x^3]$
（2）
$(2x-3y)^6$ $[x^2y^4]$
2022北海道大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-$
$k+1 $
(1)$ f(k-1)$の値を求めよ.
(2)$ \vert k \vert \lt 2$のとき,不等式 $ f(n)\geqq 0$を解け.
2022北海道大過去問
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$ f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-$
$k+1 $
(1)$ f(k-1)$の値を求めよ.
(2)$ \vert k \vert \lt 2$のとき,不等式 $ f(n)\geqq 0$を解け.
2022北海道大過去問
福田の数学〜京都大学2022年理系第４問〜四面体に関する証明と線分の長さの最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 四面体OABCが\\
OA=4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt3\\
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、\triangle OAPの重心をGとする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)\overrightarrow{ PG } ∟ \overrightarrow{ OA }を示せ。\\
(2)Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 四面体OABCが\\
OA=4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt3\\
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、\triangle OAPの重心をGとする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)\overrightarrow{ PG } ∟ \overrightarrow{ OA }を示せ。\\
(2)Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学理系過去問
【ゼロからわかる】二項定理の基本（高校数学Ⅱ）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式を求めよ。
（1）
$(x+3)^4$
（2）
$(2a-b)^5$
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次の式の展開式を求めよ。
（1）
$(x+3)^4$
（2）
$(2a-b)^5$
ざ・見掛け倒しだよ
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+･･･････+\dfrac{32}{33}=\dfrac{a}{33!}$
$a$を17で割った余りを求めよ.
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$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+･･･････+\dfrac{32}{33}=\dfrac{a}{33!}$
$a$を17で割った余りを求めよ.
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第３問〜約数と倍数の性質
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数をa_1,a_2,\ldots,a_kと並べる。\\
ただし、a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_kとする。\\
以下の2つの条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を満たすmについて考える。\\
(\textrm{i})mは素数ではない。\\
(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt kを満たす全ての整数i,jについてa_j-a_i \leqq 3が\\
成り立つ。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)kは3または4であることを示し、mをa_2を用いて表せ。\\
(2)k=3となるとき、全ての正の整数nについて(a_2n+1)^{a_2}-1は\\
mの倍数であることを示せ。
\end{eqnarray}
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}}\ mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数をa_1,a_2,\ldots,a_kと並べる。\\
ただし、a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_kとする。\\
以下の2つの条件(\textrm{i}),(\textrm{ii})を満たすmについて考える。\\
(\textrm{i})mは素数ではない。\\
(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt kを満たす全ての整数i,jについてa_j-a_i \leqq 3が\\
成り立つ。\\
このとき、次の問いに答えよ。\\
(1)kは3または4であることを示し、mをa_2を用いて表せ。\\
(2)k=3となるとき、全ての正の整数nについて(a_2n+1)^{a_2}-1は\\
mの倍数であることを示せ。
\end{eqnarray}
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
2022都立入試 整数問題証明(11の倍数)
単元：
#数学(中学生)#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#恒等式・等式・不等式の証明#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#高校入試過去問(数学)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2022都立入試 整数問題証明に関して解説していきます.
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2022都立入試 整数問題証明に関して解説していきます.
🟨にあてはまる数は？ 連分数 渋谷教育学園幕張 2022入試問題解説14問目
単元：
#数学(中学生)#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}}}$=$\frac{8}{13}$
▢は同じ数。全て求めよ。
2022渋谷教育学園幕張
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$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}}}$=$\frac{8}{13}$
▢は同じ数。全て求めよ。
2022渋谷教育学園幕張
式の値
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$
$x^{12}$の値を求めよ.
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$x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$
$x^{12}$の値を求めよ.
分数式
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x\neq 0$であり,$x$は実数であるとする.
$\dfrac{x}{x^2+x+1}=a$
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$の値を$a$で表せ.
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$x\neq 0$であり,$x$は実数であるとする.
$\dfrac{x}{x^2+x+1}=a$
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$の値を$a$で表せ.
分数の中に分数 慶應義塾高校
単元：
#数学(中学生)#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#高校入試過去問(数学)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} }
{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{3}{7}}$
慶應義塾高等学校
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$\frac{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} }
{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{3}{7}}$
慶應義塾高等学校
【不等式はこれを抑えよう！】不等式の証明での注意点をすべてまとめました！〔数学 高校数学〕
福田のわかった数学〜高校３年生理系100〜不等式の証明(7)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(7)\\
e^a(b-a) \lt e^b-e^a \lt e^b(b-a)\\
(ただし、a \lt b)
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(7)\\
e^a(b-a) \lt e^b-e^a \lt e^b(b-a)\\
(ただし、a \lt b)
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系099〜不等式の証明(6)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(6)\hspace{170pt}\\
0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}のとき、\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}が成り立つことを証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(6)\hspace{170pt}\\
0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}のとき、\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}が成り立つことを証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系098〜不等式の証明(5)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(5)\\
b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(5)\\
b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】相加平均・相乗平均の関係を正しく使いこなそう【よくある間違え方とは】
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ (1)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}\geqq 6を示せ.
(2)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}の最小値を求めよ.
(3)x \gt 0のとき,x+\dfrac{6}{x+1}の最小値を求めよ.
(4)x \gt 0のとき,\dfrac{x^2;5x+15}{x+2}の最小値を求めよ.
(5)a \gt 0,b \gt 0のとき\left(a+\frac{1}{b} \right)\left(\frac{16}{a}+b \right)の最小値
を求めよ.$
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$ (1)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}\geqq 6を示せ.
(2)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}の最小値を求めよ.
(3)x \gt 0のとき,x+\dfrac{6}{x+1}の最小値を求めよ.
(4)x \gt 0のとき,\dfrac{x^2;5x+15}{x+2}の最小値を求めよ.
(5)a \gt 0,b \gt 0のとき\left(a+\frac{1}{b} \right)\left(\frac{16}{a}+b \right)の最小値
を求めよ.$
福田のわかった数学〜高校３年生理系097〜不等式の証明(4)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(4)\\
(x+2)\log(x+1) \geqq 2x (x \geqq 0)を証明せよ。\\
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(4)\\
(x+2)\log(x+1) \geqq 2x (x \geqq 0)を証明せよ。\\
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】不等式の証明・基本パターン【書き出しに注意！】
高校範囲だけど中3生も解けるし
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{x^2-2}{x-1} + \frac{1}{x-1}$
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$\frac{x^2-2}{x-1} + \frac{1}{x-1}$
福田のわかった数学〜高校３年生理系096〜不等式の証明(3)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(3)\\
\sqrt{ab} \lt \frac{b-a}{\log b-\log a} \lt \frac{a+b}{2} (0 \lt a \lt b)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(3)\\
\sqrt{ab} \lt \frac{b-a}{\log b-\log a} \lt \frac{a+b}{2} (0 \lt a \lt b)を証明せよ。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系095〜不等式の証明(2)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(2)\\
x\log x \geqq (x-1)\log(x+1) (x \geqq 1)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(2)\\
x\log x \geqq (x-1)\log(x+1) (x \geqq 1)を証明せよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】「少なくとも1つが1」「すべてが1」を等式で証明する。【主張を言い換える】
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ a+b+c=1,ab+bc+ca=abcが成り立つとき,
a,b,cのうち少なくとも1つは1であることを示せ.$
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$ a+b+c=1,ab+bc+ca=abcが成り立つとき,
a,b,cのうち少なくとも1つは1であることを示せ.$
【数Ⅱ】式と証明：相加相乗平均の使い方その②
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
aを実数とするとき、$a^2-6a+\dfrac{1}{a^2-6a+10}$の最小値を求めよ。
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aを実数とするとき、$a^2-6a+\dfrac{1}{a^2-6a+10}$の最小値を求めよ。
【数Ⅱ】式と証明：相加相乗平均の使い方 その①
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$a\gt ０$のとき（１）$a＋\dfrac{9}{a}$（２）$a＋\dfrac{16}{a+2}$（３）$3a＋\dfrac{1}{a}$ の最小値をそれぞれ求めよ。
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$a\gt ０$のとき（１）$a＋\dfrac{9}{a}$（２）$a＋\dfrac{16}{a+2}$（３）$3a＋\dfrac{1}{a}$ の最小値をそれぞれ求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系094〜不等式の証明(1)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(1)\hspace{100pt}\\
\cos x \lt 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} (x \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 不等式の証明(1)\hspace{100pt}\\
\cos x \lt 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} (x \gt 0)を証明せよ。
\end{eqnarray}
【数Ⅱ】等式の証明・基本パターン【型を押さえてきれいな答案を書く】
【数Ⅱ】多項式の割り算【無理数の代入をかんたんに計算！】
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ (1)\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{95\phantom{0}} \\[-3pt]\end{array}
これを解け.
(2)f(x)=x^3+2x^2+3x+6とおく.
f(1+\sqrt2)を求めよ.$
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$ (1)\begin{array}{r}7\enclose{longdiv}{95\phantom{0}} \\[-3pt]\end{array}
これを解け.
(2)f(x)=x^3+2x^2+3x+6とおく.
f(1+\sqrt2)を求めよ.$
【数Ⅱ】二項定理・多項定理の導出と使い方【ストーリーがわかれば暗記不要！】
