式と証明
式と証明
【丁寧に解説】テストによく出る繁分数式（分数の中に分数）を解説！
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式を簡単にせよ。
（1）
$\displaystyle \frac{x-2-\displaystyle \frac{2}{x-1}}{x+2+\displaystyle \frac{2}{x-1}}$
（2）
$1-\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle \frac{1}{1-x}}$
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次の式を簡単にせよ。
（1）
$\displaystyle \frac{x-2-\displaystyle \frac{2}{x-1}}{x+2+\displaystyle \frac{2}{x-1}}$
（2）
$1-\displaystyle \frac{1}{1-\displaystyle \frac{1}{1-x}}$
【ゼロからわかる】整式の割り算②（高校数学Ⅱ）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
$x^2-6x+3$で割ると、商が$2x-3,$余りが$3x$である整数$A$を求めよ。
（2）
$x^3+3x^2+2x+1$を$B$で割ると、商が$x+1,$余りが$x+2$になる。
整数$B$を求めよ。
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次の問いに答えよ。
（1）
$x^2-6x+3$で割ると、商が$2x-3,$余りが$3x$である整数$A$を求めよ。
（2）
$x^3+3x^2+2x+1$を$B$で割ると、商が$x+1,$余りが$x+2$になる。
整数$B$を求めよ。
整式の剰余２０２２
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x^{2022}$を$ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$で割った余りを求めよ.
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$ x^{2022}$を$ x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$で割った余りを求めよ.
いくつでしょうか？
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
この値を求めよ.
$2^{\frac{1}{4}}・4^{\frac{1}{8}}・8^{\frac{1}{16}}・16^{\frac{1}{32}}･･････\infty$
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この値を求めよ.
$2^{\frac{1}{4}}・4^{\frac{1}{8}}・8^{\frac{1}{16}}・16^{\frac{1}{32}}･･････\infty$
【ゼロからわかる】整式の割り算（高校数学Ⅱ）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の整式$A,B$について、$A$を$B$で割った商と余りを求めよ。
（1）$A=a^2+6a+5,B=a+3$
（2）$A=4x^3-3x+2,B=2x+3$
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次の整式$A,B$について、$A$を$B$で割った商と余りを求めよ。
（1）$A=a^2+6a+5,B=a+3$
（2）$A=4x^3-3x+2,B=2x+3$
雑問
単元：
#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ 25^{63}\times 63^{25}$の下3桁を求めよ.
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$ 25^{63}\times 63^{25}$の下3桁を求めよ.
福田の数学〜京都大学2022年理系第５問〜方程式の解と不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#解と判別式・解と係数の関係#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
曲線$C:y=\cos^3x$ $(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$,x軸およびy軸で囲まれる図形の面s系をS
とする。$0 \lt t \lt \frac{\pi}{2}$とし、C上の点Q$(t,\cos^3t)$と原点O,およびP$(t,o),R(0,\cos^3t)$
を頂点にもつ長方形OPQRの面積をf(t)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)Sを求めよ。
(2)$f(t)$は最大値をただ一つのtでとることを示せ。そのときのtを$\alpha$とすると、
$f(\alpha)=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}$ であることを示せ。
(3)$\frac{f(\alpha)}{S} \lt \frac{9}{16}$ を示せ。
2022京都大学理系過去問
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曲線$C:y=\cos^3x$ $(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2})$,x軸およびy軸で囲まれる図形の面s系をS
とする。$0 \lt t \lt \frac{\pi}{2}$とし、C上の点Q$(t,\cos^3t)$と原点O,およびP$(t,o),R(0,\cos^3t)$
を頂点にもつ長方形OPQRの面積をf(t)とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)Sを求めよ。
(2)$f(t)$は最大値をただ一つのtでとることを示せ。そのときのtを$\alpha$とすると、
$f(\alpha)=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}$ であることを示せ。
(3)$\frac{f(\alpha)}{S} \lt \frac{9}{16}$ を示せ。
2022京都大学理系過去問
2022藤田医科大の簡単な問題 メインはn個の相加相乗平均の証明
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ x\gt 0$において$\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x^2}$の最小値を求めよ.
2022藤田医科大過去問
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$ x\gt 0$において$\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x^2}$の最小値を求めよ.
2022藤田医科大過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2022年薬学部第２問〜二項定理と数列の部分和
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第n項までの和$S_n$、数列$\left\{b_n\right\}$の初項から第n項までの和$T_n$
はそれぞれ
$S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k, T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k$
で表される。
(1)$x \gt y \geqq 1$を満たす自然数x,yについて、
${}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j, y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,$
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、$i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },$
$p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(2)$a_2,b_4$の値をそれぞれ求めると$a_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。
(3)$S_n,a_n$をそれぞれnの式で表すと、$S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
(4)$b_n$をnの式で表すと、$b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学薬学部過去問
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数列$\left\{a_n\right\}$の初項から第n項までの和$S_n$、数列$\left\{b_n\right\}$の初項から第n項までの和$T_n$
はそれぞれ
$S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k, T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k$
で表される。
(1)$x \gt y \geqq 1$を満たす自然数x,yについて、
${}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j, y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,$
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、$i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },$
$p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(2)$a_2,b_4$の値をそれぞれ求めると$a_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }$である。
(3)$S_n,a_n$をそれぞれnの式で表すと、$S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
(4)$b_n$をnの式で表すと、$b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }$である。
2022慶應義塾大学薬学部過去問
【ゼロからわかる】二項定理を3項で利用する（高校数学Ⅱ）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
$(x+2y-z)^6$ $[x^3y^2z]$
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次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
$(x+2y-z)^6$ $[x^3y^2z]$
【わかりやすく解説】数学Ⅱ 二項定理で項の係数を求めよう！
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
（1）
$(x+3)^5$ $[x^3]$
（2）
$(2x-3y)^6$ $[x^2y^4]$
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次の式の展開式における、[ ]内の項の係数を求めよ。
（1）
$(x+3)^5$ $[x^3]$
（2）
$(2x-3y)^6$ $[x^2y^4]$
2022北海道大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-$
$k+1 $
(1)$ f(k-1)$の値を求めよ.
(2)$ \vert k \vert \lt 2$のとき,不等式 $ f(n)\geqq 0$を解け.
2022北海道大過去問
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$ f(x)=x^3-(2k-1)x^2+(k^2-k+1)x-$
$k+1 $
(1)$ f(k-1)$の値を求めよ.
(2)$ \vert k \vert \lt 2$のとき,不等式 $ f(n)\geqq 0$を解け.
2022北海道大過去問
福田の数学〜京都大学2022年理系第４問〜四面体に関する証明と線分の長さの最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
四面体OABCが
$OA=4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt3$
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、$\triangle OAP$の重心をGとする。
このとき、次の各問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{ PG } ∟ \overrightarrow{ OA }$を示せ。
(2)Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
2022京都大学理系過去問
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四面体OABCが
$OA=4, OB=AB=BC=3, OC=AC=2\sqrt3$
を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、$\triangle OAP$の重心をGとする。
このとき、次の各問いに答えよ。
(1)$\overrightarrow{ PG } ∟ \overrightarrow{ OA }$を示せ。
(2)Pが辺BC上を動くとき、PGの最小値を求めよ。
2022京都大学理系過去問
【ゼロからわかる】二項定理の基本（高校数学Ⅱ）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の式の展開式を求めよ。
（1）
$(x+3)^4$
（2）
$(2a-b)^5$
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次の式の展開式を求めよ。
（1）
$(x+3)^4$
（2）
$(2a-b)^5$
大学入試問題#129 関西学院大学(1991) 二項定理の応用
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#関西学院大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$(a+b+\displaystyle \frac{1}{a}+\displaystyle \frac{1}{b})^7$を展開した時の$ab^2$の係数を求めよ。
出典：1991年関西学院大学 入試問題
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$(a+b+\displaystyle \frac{1}{a}+\displaystyle \frac{1}{b})^7$を展開した時の$ab^2$の係数を求めよ。
出典：1991年関西学院大学 入試問題
ざ・見掛け倒しだよ
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+･･･････+\dfrac{32}{33}=\dfrac{a}{33!}$
$a$を17で割った余りを求めよ.
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$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+･･･････+\dfrac{32}{33}=\dfrac{a}{33!}$
$a$を17で割った余りを求めよ.
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第３問〜約数と倍数の性質
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数を$a_1,a_2,\ldots,a_k$と並べる。
ただし、$a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_k$とする。
以下の2つの条件$(\textrm{i}),(\textrm{ii})$を満たすmについて考える。
$(\textrm{i})m$は素数ではない。
$(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt k$を満たす全ての整数i,jについて$a_j-a_i \leqq 3$が
成り立つ。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)kは3または4であることを示し、mを$a_2$を用いて表せ。
(2)$k=3$となるとき、全ての正の整数nについて$(a_2n+1)^{a_2}-1$は
mの倍数であることを示せ。
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
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mは3以上の奇数とし、mの全ての正の約数を$a_1,a_2,\ldots,a_k$と並べる。
ただし、$a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_k$とする。
以下の2つの条件$(\textrm{i}),(\textrm{ii})$を満たすmについて考える。
$(\textrm{i})m$は素数ではない。
$(\textrm{ii})i \leqq j,1 \lt i \lt k ,1 \lt j \lt k$を満たす全ての整数i,jについて$a_j-a_i \leqq 3$が
成り立つ。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)kは3または4であることを示し、mを$a_2$を用いて表せ。
(2)$k=3$となるとき、全ての正の整数nについて$(a_2n+1)^{a_2}-1$は
mの倍数であることを示せ。
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
2022都立入試 整数問題証明(11の倍数)
単元：
#数学(中学生)#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#恒等式・等式・不等式の証明#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#高校入試過去問(数学)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2022都立入試 整数問題証明に関して解説していきます.
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2022都立入試 整数問題証明に関して解説していきます.
大学入試問題#103 東海大学医学部(2017) 二項定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東海大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
（1）
${}_{ n }C_0+{}_{ n }C_1+・・・+{}_{ n }C_n$
（2）
$\displaystyle \frac{1}{1!(2n)!}+\displaystyle \frac{1}{2(2n-1)!}+・・・+\displaystyle \frac{1}{n!(n+1)!}$
出典：2017年東海大学医学部 入試問題
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次の和を求めよ。
（1）
${}_{ n }C_0+{}_{ n }C_1+・・・+{}_{ n }C_n$
（2）
$\displaystyle \frac{1}{1!(2n)!}+\displaystyle \frac{1}{2(2n-1)!}+・・・+\displaystyle \frac{1}{n!(n+1)!}$
出典：2017年東海大学医学部 入試問題
🟨にあてはまる数は？ 連分数 渋谷教育学園幕張 2022入試問題解説14問目
単元：
#数学(中学生)#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}}}$=$\frac{8}{13}$
▢は同じ数。全て求めよ。
2022渋谷教育学園幕張
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$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}+\frac{1}{▢+\frac{1}{▢}}}}$=$\frac{8}{13}$
▢は同じ数。全て求めよ。
2022渋谷教育学園幕張
式の値
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$
$x^{12}$の値を求めよ.
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$x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$
$x^{12}$の値を求めよ.
分数式
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x\neq 0$であり,$x$は実数であるとする.
$\dfrac{x}{x^2+x+1}=a$
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$の値を$a$で表せ.
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$x\neq 0$であり,$x$は実数であるとする.
$\dfrac{x}{x^2+x+1}=a$
$\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}$の値を$a$で表せ.
分数の中に分数 慶應義塾高校
単元：
#数学(中学生)#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#高校入試過去問(数学)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} }
{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{3}{7}}$
慶應義塾高等学校
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$\frac{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} }
{\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{3}{7}}$
慶應義塾高等学校
【不等式はこれを抑えよう！】不等式の証明での注意点をすべてまとめました！〔数学 高校数学〕
福田のわかった数学〜高校３年生理系100〜不等式の証明(7)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(7)
$e^a(b-a) \lt e^b-e^a \lt e^b(b-a)$
(ただし、$a \lt b$)
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数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(7)
$e^a(b-a) \lt e^b-e^a \lt e^b(b-a)$
(ただし、$a \lt b$)
福田のわかった数学〜高校３年生理系099〜不等式の証明(6)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(6)
$0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}$のとき、
$\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}$が成り立つことを証明せよ。
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数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(6)
$0 \lt a \lt b \lt \frac{\pi}{2}$のとき、
$\frac{a}{b} \lt \frac{\sin a}{\sin b}$が成り立つことを証明せよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系098〜不等式の証明(5)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(5)
$b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)$を証明せよ。
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数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(5)
$b(\log a-\log b) \leqq a-b (a \gt 0, b \gt 0)$を証明せよ。
【数Ⅱ】相加平均・相乗平均の関係を正しく使いこなそう【よくある間違え方とは】
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
めいちゃんねる
問題文全文(内容文)：
$ (1)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}\geqq 6を示せ.
(2)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}の最小値を求めよ.
(3)x \gt 0のとき,x+\dfrac{6}{x+1}の最小値を求めよ.
(4)x \gt 0のとき,\dfrac{x^2;5x+15}{x+2}の最小値を求めよ.
(5)a \gt 0,b \gt 0のとき\left(a+\frac{1}{b} \right)\left(\frac{16}{a}+b \right)の最小値
を求めよ.$
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$ (1)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}\geqq 6を示せ.
(2)x \gt 0のとき,x+\dfrac{9}{x}の最小値を求めよ.
(3)x \gt 0のとき,x+\dfrac{6}{x+1}の最小値を求めよ.
(4)x \gt 0のとき,\dfrac{x^2;5x+15}{x+2}の最小値を求めよ.
(5)a \gt 0,b \gt 0のとき\left(a+\frac{1}{b} \right)\left(\frac{16}{a}+b \right)の最小値
を求めよ.$
福田のわかった数学〜高校３年生理系097〜不等式の証明(4)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(4)
$(x+2)\log(x+1) \geqq 2x (x \geqq 0)$を証明せよ。
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数学$\textrm{III}$ 不等式の証明(4)
$(x+2)\log(x+1) \geqq 2x (x \geqq 0)$を証明せよ。
【数Ⅱ】不等式の証明・基本パターン【書き出しに注意！】
