式と証明
式と証明
#自治医科大学2024#式変形_21#元高校教員
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#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#自治医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}$のとき
$\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}$の値を求めよ。
出典：自治医科大学 式変形問題
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$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}$のとき
$\displaystyle \frac{x+x^{-1}}{2}$の値を求めよ。
出典：自治医科大学 式変形問題
不等式の証明
福田の数学〜浜松医科大学2024医学部第1問〜等式と不等式の証明とタンジェントの加法定理
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
(1) $a$, $b$, $c$ を正の実数とする。このとき、不等式
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ。また、等号が成り立つときの$a$, $b$, $c$ の条件を求めよ。
(2) 鋭角三角形の3つの内角を$A$, $B$, $C$とおく。以下の問いに答えよ。
(a)等式
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
を証明せよ。
(b)不等式
$\displaystyle \frac{1}{\tan A}+\displaystyle \frac{1}{\tan B}+\displaystyle \frac{1}{\tan C} \geqq\sqrt{ 3 }$
を証明せよ。また、等号が成り立つときの鋭角三角形の条件を求めよ。
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以下の問いに答えよ。
(1) $a$, $b$, $c$ を正の実数とする。このとき、不等式
$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ。また、等号が成り立つときの$a$, $b$, $c$ の条件を求めよ。
(2) 鋭角三角形の3つの内角を$A$, $B$, $C$とおく。以下の問いに答えよ。
(a)等式
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$
を証明せよ。
(b)不等式
$\displaystyle \frac{1}{\tan A}+\displaystyle \frac{1}{\tan B}+\displaystyle \frac{1}{\tan C} \geqq\sqrt{ 3 }$
を証明せよ。また、等号が成り立つときの鋭角三角形の条件を求めよ。
福田のおもしろ数学222〜条件付きの不等式の証明
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a \geq b \geq c, \, x \geq y \geq z, \, x+y+z=0$ のとき、$ax+by+cz \geq 0$ を示せ。
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$a \geq b \geq c, \, x \geq y \geq z, \, x+y+z=0$ のとき、$ax+by+cz \geq 0$ を示せ。
分数式の計算
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2-x}=$？
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$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2-x}=$？
福田のおもしろ数学215〜三平方の定理が成り立つ左辺の二項のどちらか一方は4の倍数である証明
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#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の数$x,y$が$x^2+y^2=z^2$を満たすとき、$x$または$y$は$4$の倍数となることを証明してください。
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正の数$x,y$が$x^2+y^2=z^2$を満たすとき、$x$または$y$は$4$の倍数となることを証明してください。
大学入試問題#877「朝マック問題」 #自治医科大学(2006) #相加相乗平均
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#自治医科大学
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ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \frac{36x^2+102x-17}{6x-1}$の最小値を求めよ。
$(x \gt \displaystyle \frac{1}{6})$
出典：2006年自治医科大学
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$\displaystyle \frac{36x^2+102x-17}{6x-1}$の最小値を求めよ。
$(x \gt \displaystyle \frac{1}{6})$
出典：2006年自治医科大学
福田の数学〜立教大学2024年経済学部第1問(2)〜恒等式の未定係数を決定する方法
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
等式$\frac{3x^2-x+4}{(x+1)^3}=\frac{a}{(z+1)^3}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるような定数$a, b, c$は$a=\fbox{ウ}, b=\fbox{エ}, c=\fbox{オ}$である。
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等式$\frac{3x^2-x+4}{(x+1)^3}=\frac{a}{(z+1)^3}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるような定数$a, b, c$は$a=\fbox{ウ}, b=\fbox{エ}, c=\fbox{オ}$である。
これ意味わかる？
【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
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#数Ⅱ#図形の性質#式と証明#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#恒等式・等式・不等式の証明#その他#数学(高校生)#参考書紹介
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
※問題は動画内参照
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【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
※問題は動画内参照
式の値
福田のおもしろ数学176〜ルートが無限に重なる等式の証明
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#数Ⅱ#式と証明#指数関数と対数関数#恒等式・等式・不等式の証明#指数関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{...}}}$=$x$ を証明してください。ただし$x$は正の実数とする。
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$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{...}}}$=$x$ を証明してください。ただし$x$は正の実数とする。
大学入試問題#854「基礎問題」 #昭和大学医学部(2017) #式変形
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#昭和大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b=1 \\
a^2+b^2=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$のとき$a^7+b^7$の値を求めよ
出典：2017年昭和大学医学部 入試問題
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a+b=1 \\
a^2+b^2=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$のとき$a^7+b^7$の値を求めよ
出典：2017年昭和大学医学部 入試問題
福田のおもしろ数学168〜2の100!乗と2の100乗の階乗の大小
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
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福田次郎
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$2^{100!}$と$(2^{100})!$ の大小を比較してせよ。
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$2^{100!}$と$(2^{100})!$ の大小を比較してせよ。
式の値
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#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$a+\displaystyle \frac{1}{a}=45$のとき、
$\displaystyle \frac{a^2}{a^4-a^2+1}=?$
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$a+\displaystyle \frac{1}{a}=45$のとき、
$\displaystyle \frac{a^2}{a^4-a^2+1}=?$
数学を数楽に
福田のおもしろ数学142〜チェビシェフの多項式に関する証明
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#数Ⅱ#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B
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福田次郎
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$n$を正の整数とする。$\cos n\theta$は$\cos\theta$の$n$次式で表されることを証明してください。
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$n$を正の整数とする。$\cos n\theta$は$\cos\theta$の$n$次式で表されることを証明してください。
福田のおもしろ数学140〜不等式の証明とRavi変換
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#数Ⅱ#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学オリンピック#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a$, $b$, $c$が三角形の3辺の長さのとき次の不等式を証明せよ。
$a^2(b+c-a)$+$b^2(c+a-b)$+$c^2(a+b-c)$≦$3abc$
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$a$, $b$, $c$が三角形の3辺の長さのとき次の不等式を証明せよ。
$a^2(b+c-a)$+$b^2(c+a-b)$+$c^2(a+b-c)$≦$3abc$
福田のおもしろ数学111〜論証力をチェックしよう〜3変数の基本対称式の性質
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$a$,$b$,$c$が$a$+$b$+$c$＞0, $ab$+$bc$+$ca$＞0, $abc$＞0 を満たすとき、$a$＞0, $b$＞0, $c$＞0 であることを証明せよ。
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実数$a$,$b$,$c$が$a$+$b$+$c$＞0, $ab$+$bc$+$ca$＞0, $abc$＞0 を満たすとき、$a$＞0, $b$＞0, $c$＞0 であることを証明せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第1問(3)〜対数不等式
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (3)不等式$(\log_4x)^2$－$\log_8x^2$+$\frac{1}{3}$＜0 を解くと$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{1}$ (3)不等式$(\log_4x)^2$－$\log_8x^2$+$\frac{1}{3}$＜0 を解くと$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
福田のおもしろ数学093〜条件付きの式の証明
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#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a^2$+$c^2$=1, $b^2$+$d^2$=1, $ab$+$cd$=0 のとき次を示せ。
$a^2$+$b^2$=1, $c^2$+$d^2$=1, $ac$+$bd$=0
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$a^2$+$c^2$=1, $b^2$+$d^2$=1, $ab$+$cd$=0 のとき次を示せ。
$a^2$+$b^2$=1, $c^2$+$d^2$=1, $ac$+$bd$=0
福田のおもしろ数学077〜3通りの解法を考えよう〜4変数の式の最大値
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#数Ⅱ#式と証明#平面上のベクトル#図形と方程式#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a^2$+$b^2$=9, $c^2$+$d^2$=16 のとき$ab$+$cd$ の最大値を求めよ。
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$a^2$+$b^2$=9, $c^2$+$d^2$=16 のとき$ab$+$cd$ の最大値を求めよ。
福田のおもしろ数学074〜大小比較をしよう
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
1より小さい$n$個の正の数$a_1$,$a_2$,...,$a_n$ に対して
1－$a_1$$a_2$...$a_n$と(1-$a_1$)(1-$a_2$)...(1-$a_n$)
のどちらが大きいか。$n$≧2 とする。
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1より小さい$n$個の正の数$a_1$,$a_2$,...,$a_n$ に対して
1－$a_1$$a_2$...$a_n$と(1-$a_1$)(1-$a_2$)...(1-$a_n$)
のどちらが大きいか。$n$≧2 とする。
福田のおもしろ数学073〜割り切れることを証明しよう
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#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の自然数$n$に対して、$11^n$－$8^n$－$3^n$ が24で割り切れることを証明せよ。
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任意の自然数$n$に対して、$11^n$－$8^n$－$3^n$ が24で割り切れることを証明せよ。
福田のおもしろ数学054〜不等式の再利用のコツ〜2つの不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
前段の不等式をいかに利用するか？
$a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca$
$a^4+b^4+c^4 \geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ！
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前段の不等式をいかに利用するか？
$a^2+b^2+c^2 \geqq ab+bc+ca$
$a^4+b^4+c^4 \geqq abc(a+b+c)$
を証明せよ！
福田のおもしろ数学037〜相加相乗平均の罠〜2変数関数の最小値
単元：
#数Ⅰ#２次関数#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x>1,y>1$のとき、
$x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}$の最小値を求めよ
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$x>1,y>1$のとき、
$x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}$の最小値を求めよ
2024年共通テスト徹底解説〜数学ⅡB第1問(2)整式の除法〜福田の入試問題解説
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#共通テスト
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
共通テスト2024の数学ⅡB第1問(2)整数の除法を徹底解説します
2024共通テスト過去問
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共通テスト2024の数学ⅡB第1問(2)整数の除法を徹底解説します
2024共通テスト過去問
福田のおもしろ数学018〜1分以内に証明できたら天才〜不等式が常に成り立つ証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
どんなxに対しても次の方程式が成り立つことを証明せよ。
$x^{16}-x+1\gt 0$
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どんなxに対しても次の方程式が成り立つことを証明せよ。
$x^{16}-x+1\gt 0$
大学入試問題#691「至高の連立方程式」 関西医科大学(2003) 連立方程式
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#関西医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=18 \\
x^3+y^3=50
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$\ (x \gt y)$の実数解を求めよ。
出典：2003年関西医科大学 入試問題
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連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2=18 \\
x^3+y^3=50
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$$\ (x \gt y)$の実数解を求めよ。
出典：2003年関西医科大学 入試問題
整式の剰余
単元：
#数Ⅱ#式と証明#複素数と方程式#整式の除法・分数式・二項定理#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x^{2024}+ax^6+bx^4+cx+2\ $が
$x^4+x^2+1$で割り切れるような整数a,b,cを求めよ
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$x^{2024}+ax^6+bx^4+cx+2\ $が
$x^4+x^2+1$で割り切れるような整数a,b,cを求めよ