問題文全文(内容文)：
$log_2(log_2(x-2)-log_{\frac{1}{2}}(x-4))=2$を解け。

出典：2021年学習院大学　入試問題

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$(1)$s$を正の実数として、$x,y$の連立方程式
$\left\{
\begin{array}{1}
4^x+9^y=5\\
2^x・3^y=s\\
\end{array}
\right.$
を考える。以下では$\log_{10}2=0.301,$
$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ。

$(\textrm{a})$この連立方程式の解が2組あるための必要十分条件は

$0 \lt s \lt \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$
である。

$(\textrm{b})\ s=2$のとき$x \lt y$となる解を$(x_0,\ y_0)$とする。
$y_0$を小数第3位で四捨五入した数の整数部分は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$、
小数第1位は$\boxed{\ \ エ\ \ }$、小数第2位は$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。

2021上智大学文系過去問

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}　(2)(\textrm{i})$不等式
$\frac{k-1}{k} \lt \log_{10}7 \lt \frac{k}{k+1}$
を満たす自然数$k$は$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
$(\textrm{ii})7^{35}$は$\boxed{\ \ セ\ \ }$桁の整数である。

2021上智大学理工学部過去問

問題文全文(内容文)：
$log_2(x+1)-log_{(x+1)}8-2=0$を解け

出典：東京都教員採用試験

問題文全文(内容文)：
これを解け.
$(\sqrt2)^{\log_2(x^2+x-6)^2}=-2x+4$

問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$(1)$12^{25}$は何桁の整数か.
ただし,$\log_{10}2=0.3010,\log_{10}3=0.4771$とする.

2021中央大経済学部過去問

問題文全文(内容文)：
$a_n=\log_{10}\left(1+\dfrac{3}{n}\right)$
$10^{\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k}$を$n$の式で表せ.

2021大分大過去問

問題文全文(内容文)：
実数$a,b,$は
$0 \lt a \lt b$をみたしているとき
$(b+1)^a \lt (a+1)^b$が成り立つことを表せ。

出典：岡山大学

問題文全文(内容文)：
0の0乗は何になるか

問題文全文(内容文)：
$5^{\log_{10}5x}=7^{\log_{10}7x}$
$35^{\log_{10}35}\times 35^{\log_{10}x}$の値を求めよ.

航空大学校過去問

問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
43^x=2021 \\
47^y=2021
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$

$\dfrac{5xy+x+y}{4xy-x-y}$の値を求めよ.

問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
(1)正の実数$x,\ y$について、xとyの相加平均を5とする。また、4を底とする。
$x,\ y$の対数をそれぞれ$X,\ Y$としたとき、XとYの相加平均は1であるとする。
このとき、$x \lt y$とすると、$x=\boxed{\ \ ア\ \ },　y=\boxed{\ \ イ\ \ }$　である。

2021慶應義塾大学商学部過去問

問題文全文(内容文)：
どちらが大きいか?
①$\ell_n\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ vs $\dfrac{1}{x+1}$
②$\left(1+\dfrac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}}$ vs $\left(1+\dfrac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}}$

問題文全文(内容文)：
$a\gt 0,b\gt 0$
$a^2+b^2=1$
$\log_a b^2=\log_b ab$
実数$(a,b)$を求めよ.

問題文全文(内容文)：
これを簡単にせよ.$a,b,c$を正とし,$a,b,c \neq 1$である.
$\dfrac{1}{1+\log_a bc}+\dfrac{1}{1+\log_b ca}+\dfrac{1}{1+\log_c ab}$

問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}　(1)次の連立不等式の表す領域の面積は\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ カ\ \ }}}{\boxed{\ \ キ\ \ }}　である。\\
\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\log_4y+\log_{\frac{1}{4}}(x-2)+\log_4\frac{1}{8-x} \geqq -1\\
2^{y+x^2+11} \leqq 1024^{x-1}\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray}

2021早稲田大学人間科学部過去問

問題文全文(内容文)：
$log_2\ y+2log_y\ x \leqq 3$を満たす点$(x,y)$の存在する領域を図示せよ。

問題文全文(内容文)：
$6^n$が$39$桁の自然数になるときの自然数$n$を求めよ。
その場合の$n$に対する$6^n$の最高位の数字を求めよ。
ただし、$log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771$とする。

問題文全文(内容文)：
$\log_{10}x+\log_{10}y=\log_{10}(y+2x^2+1)$
整数＄(x,y)$を全て求めよ.

2008首都大過去問

問題文全文(内容文)：
どちらが大きいか?
$\log_2 3$ VS $\log_7 18$

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1]　(1)$\log_{10}10=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。また、$\log_{10}5,\log_{10}15$をそれぞれ
$\log_{10}2と\log_{10}3$を用いて表すと
$\log_{10}5=\boxed{\ \ イ\ \ }\log_{10}2+\boxed{\ \ ウ\ \ }$
$\log_{10}15=\boxed{\ \ エ\ \ }\log_{10}2+\log_{10}3+\boxed{\ \ オ\ \ }$
(2)太郎さんと花子さんは、$15^{20}$について話している。
以下では、$\log_{10}2=0.3010、\log_{10}3=0.4771$とする。

太郎:$15^{20}$は何桁の数だろう。
花子:$15$の20乗を求めるのは大変だね。$\log_{10}15^{20}$の整数部分に
着目してみようよ。

$\log_{10}15^{20}$は
$\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}15^{20} \lt \boxed{\ \ カキ\ \ }+1$
を満たす。よって、$15^{20}は\boxed{\ \ クケ\ \ }$桁の数である。

太郎:$15^{20}$の最高位の数字も知りたいね。だけど、$\log_{10}15^{20}$の
整数部分にだけ着目してもわからないな。
花子:$N・10^{\boxed{カキ}} \lt 15^{20} \lt (N+1)・10^{\boxed{カキ}}$を満たすような
正の整数Nに着目してみたらどうかな。

$\log_{10}15^{20}$の小数部分は$\log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ }$であり
$\log_{10}\boxed{\ \ コ\ \ } \lt \log_{10}15^{20}-\boxed{\ \ カキ\ \ } \lt \log_{10}(\boxed{\ \ コ\ \ }+1)$
が成り立つので、$15^{20}$の最高位の数字は$\boxed{\ \ サ\ \ }$である。


[2]座標平面上の原点を中心とする半径1の円周上に3点$P(\cos\theta,\sin\theta),$
$Q(\cos\alpha,\sin\alpha),R(\cos\beta,\sin\beta)$がある。ただし、$0 \leqq \theta \lt \alpha \lt \beta \lt 2\pi$
とする。このとき、$s$と$t$を次のように定める。
$s=\cos\theta+\cos\alpha+\cos\beta,　t=\sin\theta+\sin\alpha+\sin\beta$

(1)$\triangle PQR$が正三角形や二等辺三角形のときの$s$と$t$の値について考察しよう。
考察$1:\triangle PQR$が正三角形である場合を考える。
この場合、$\alpha,\beta$を$\theta$で表すと
$\alpha=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{3}\pi,　\beta=\theta+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{3}\pi$
であり、加法定理により
$\cos\alpha=\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},　\sin\alpha=\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$
である。同様に、$\cos\beta$および$\sin\beta$を、$\sin\theta$と$\cos\theta$を用いて表すことができる。
これらのことから、$s=t=\boxed{\ \ タ\ \ }$である。

$\boxed{\boxed{\ \ セ\ \ }},\boxed{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
①$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
④$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
⑤$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta+\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$
②$-\displaystyle \frac{1}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$
③$-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\sin\theta-\displaystyle \frac{1}{2}\cos\theta$

考察2:$\triangle PQR$が$PQ=PR$となる二等辺三角形である場合を考える。

例えば、点$P$が直線$y=x$上にあり、点$Q,R$が直線$y=x$に関して対称
であるときを考える。このとき、$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{4}$である。また、$\alpha$は
$\alpha \lt \displaystyle \frac{5}{4}\pi,　\beta$は$\displaystyle \frac{5}{4}\pi \lt \beta$を満たし、点$Q,R$の座標について、
$\sin\beta=\cos\alpha,　\cos\beta=\sin\alpha$が成り立つ。よって
$s=t=\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ チ\ \ }}}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}+\sin\alpha+\cos\alpha$
である。
ここで、三角関数の合成により
$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{\boxed{\ \ テ\ \ }}\sin\left(\alpha+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ト\ \ }}\right)$
である。したがって

$\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ナニ\ \ }}{12}\pi,　\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}{12}\pi$

のとき、$s=t=0$である。

(2)次に、$s$と$t$の値を定めるときの$\theta,\alpha,\beta$の関係について考察しよう。
考察$3:s=t=0$の場合を考える。

この場合、$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$により、$\alpha$と$\beta$について考えると
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
である。
同様に、$\theta$と$\alpha$について考えると
$\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ノハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒ\ \ }}$
であるから、$\theta,\alpha,\beta$の範囲に注意すると
$\beta-\alpha=\alpha-\theta=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}\pi$
という関係が得られる。

(3)これまでの考察を振り返ると、次の⓪～③のうち、
正しいものは$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$であることが分かる。
$\boxed{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$の解答群
⓪$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$ならば
$\triangle PQR$は正三角形である。
①$\triangle PQR$が正三角形ならば$s=t=0$であり、$s=t=0$で
あっても$\triangle PQR$は正三角形でない場合がある。
②$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があるが
$s=t=0$ならば$\triangle PQR$は正三角形である。
③$\triangle PQR$が正三角形であっても$s=t=0$でない場合があり、
$s=t=0$であっても$\triangle PQR$が正三角形でない場合がある。

問題文全文(内容文)：
$x,y$は実数であり,$x\gt 0,y\gt 0$である.
$xy^{1+\log_2 x^2}=1$を満たすとき,$xy$のとりうる値の範囲を求めよ.

2021東京女子医大過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第1問}$
[1](1)次の問題$A$について考えよう。
$\boxed{\boxed{問題A}　関数y=\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)$の最大値を求めよ。}$

$\sin\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2},$　$\cos\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}=\displaystyle \frac{1}{2}$
であるから、三角関数の合成により

$y=\boxed{\ \ イ\ \ }\sin\left(\theta+\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ア\ \ }}\right)$

と変形できる。よって、$y$は$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ ウ\ \ }}$で最大値$\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ $をとる。

(2)$p$を定数とし、次の問題$B$について考えよう。
$\boxed{\boxed{問題B}　関数y=\sin\theta+p\cos\theta\left(0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}\right)の最大値を求めよ。}$

$(\textrm{i})$　$p=0$のとき、$y$は$\theta=\displaystyle \frac{\pi}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$で最大値$\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ $をとる。
$(\textrm{ii})$　$p \gt 0$のときは、加法定理
$\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha$
を用いると
$y=\sin\theta+p\cos\theta=\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}\cos(\theta-\alpha)$
と表すことができる。ただし、$\alpha$は
$\sin\alpha=\displaystyle \frac{\boxed{\boxed{\ \ ク\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}$、$\cos\alpha=\frac{\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}}{\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}}}$、$0 \lt \alpha \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$
を満たすものとする。このとき、$y$は$\theta=\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}$で最大値
$\sqrt{\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}}$をとる。

$(\textrm{iii})$　$p \lt 0$のとき、$y$は$\theta=\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$で最大値$\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$をとる。

$\boxed{\boxed{\ \ キ\ \ }}～\boxed{\boxed{\ \ ケ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ サ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ス\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返
し選んでもよい。)
⓪$-1$
①$1$
②$-p$
③$p$
④$1-p$
⑤$1+p$
⑥$-p^2$
⑦$p^2$
⑧$1-p^2$
⑨$1+p^2$
ⓐ$(1-p)^2$
ⓑ$(1+p)^2$


$\boxed{\boxed{\ \ コ\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ シ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$0$
①$\alpha$
②$\displaystyle \frac{\pi}{2}$


[2]二つの関数$f(x)=\displaystyle \frac{2^x+2^{-x}}{2}$、$g(x)=\displaystyle \frac{2^x-2^{-x}}{2}$ について考える。

(1)$f(0)=\boxed{\ \ セ\ \ }、g(0)=\boxed{\ \ ソ\ \ }$である。また、$f(x)$は相加平均
と相乗平均の関係から、$x=\boxed{\ \ タ\ \ }$で最小値$\ \boxed{\ \ チ\ \ }\$ をとる。
$g(x)=-2\$ となる$x$の値は$\log_2\left(\sqrt{\boxed{\ \ ツ\ \ }}-\boxed{\ \ テ\ \ }\right)$である。

(3)次の①～④は、$x$にどのような値を代入しても常に成り立つ。
$f(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}$　$\cdots$①
$g(-x)=\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$　$\cdots$②
$\left\{f(x)\right\}^2-\left\{g(x)\right\}^2=\boxed{\ \ ニ\ \ }$　$\cdots$③
$g(2x)=\boxed{\ \ ヌ\ \ }\ f(x)g(x)$　$\cdots$④

$\boxed{\boxed{\ \ ト\ \ }}、\boxed{\boxed{\ \ ナ\ \ }}$の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪$f(x)$
①$-f(x)$
②$g(x)$
③$-g(x)$


(3)花子さんと太郎さんは、$f(x)$と$g(x)$の性質について話している。

花子:①～④は三角関数の性質に似ているね。
太郎:三角関数の加法定理に類似した式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)を考えてみたけど、
常に成り立つ式はあるだろうか。
花子:成り立たない式を見つけるために、式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)の$\beta$に何か具体
的な値を代入して調べてみたらどうかな。

太郎さんが考えた式
$f(\alpha-\beta)=f(\alpha)g(\beta)+g(\alpha)f(\beta)$　$\cdots(\textrm{A})$
$f(\alpha+\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)$　$\cdots(\textrm{B})$
$g(\alpha-\beta)=f(\alpha)f(\beta)+g(\alpha)g(\beta)$　$\cdots(\textrm{C})$
$g(\alpha+\beta)=f(\alpha)g(\beta)-g(\alpha)f(\beta)$　$\cdots(\textrm{D})$


(1),(2)で示されたことのいくつかを利用すると、式($\textrm{A}$)～($\textrm{D}$)のうち、
$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$以外の三つは成り立たないことが分かる。$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$は左辺と右辺
をそれぞれ計算することによって成り立つことが確かめられる。

$\boxed{\boxed{\ \ ネ\ \ }}$の解答群
⓪$(\textrm{A})$
①$(\textrm{B})$
②$(\textrm{C})$
③$(\textrm{D})$

2021共通テスト過去問

問題文全文(内容文)：
$m,n$を自然数とし,$0\lt a \lt 1$とする.
$\log_2 6=m+\dfrac{1}{n+a}$

(1)$m,n$を求めよ.
(2)$a\gt \dfrac{2}{3}$を示せ.

2006大阪大過去問

問題文全文(内容文)：
$\sqrt x+ \sqrt y = 20$
$log_{10}x+log_{10}y$の最大値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
1⃣
$2^xlog_2x+2^{x+2}-4log_2x-16 ＜ 0$
をみたすxの値の範囲を求めよ。

問題文全文(内容文)：
連立方程式を解け.
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^y=y^x \\
\log_x y+\log_y x=\dfrac{13}{6}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$

東北大過去問

問題文全文(内容文)：
2⃣ $x,y,z \in \mathbb{R}$
$2^x=3^y=Z$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$のときZの値を求めよ。

問題文全文(内容文)：
$\alpha \gt 0$とする.
$f(x)=\log_3 \left(-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}\alpha x+9 \right)$

$f(x)$が整数となる$x$が$0\leqq x\leqq \alpha$の範囲でちょうど$6$個あるような$\alpha$の範囲を求めよ.

三重大過去問

問題文全文(内容文)：
4⃣$log_xy+2log_yx \leqq 3$
をみたす(x,y)の存在する領域を図示せよ