数学的帰納法

福田のおもしろ数学383〜関数方程式

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

0

以上の整数の集合を

N

_{0}

とする。

f :

N

_{0}

→

N

_{0}

が任意の

x ≧ y \in

N

_{0}

で

f (x^{2}) - f (y^{2}) = f (x + y) f (x - y)

を満たす。

f (x)

を求めよ。

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大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1,

a_{n} \neq 0

a_{n} = 3 (\sqrt{S_{n}} - \sqrt{S_{n - 1}}), 2 \leq n

1.

a_{2}

を求めよ。
2.

\sqrt{S_{n}}

を求めよ。
3.

a_{n}

を求めよ。

出典：1999年　千葉大学

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福田のおもしろ数学142〜チェビシェフの多項式に関する証明

単元： #数Ⅱ#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

n

を正の整数とする。

\cos n θ

は

\cos θ

の

n

次式で表されることを証明してください。

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共テ数学90％取る勉強法

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#式と証明#複素数と方程式#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#2次関数とグラフ#整数の性質#場合の数#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#三角関数とグラフ#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
共通テスト数学90％取る勉強法説明動画です

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

e

を自然定数の底とする。自然数

n

に対して、

S_{n}

=

\int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

とする。
(1)

S_{1}

の値を求めよ。
(2)すべての自然数

n

に対して、

S_{n}

=

a_{n} e

+

b_{n}

,　ただし

a_{n}

,

b_{n}

はいずれも整数
と表されることを証明せよ。

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9月からでも間に合うチート級参考書＜数学編＞

単元： #数列#数学的帰納法#その他#数学(高校生)#数B#参考書紹介

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
【数学編】9月からでも間に合う参考書紹介動画です

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大阪市立大　整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#大阪市立大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
20216大阪市立大学過去問題
x,y整数　n自然数

x^{2} + y^{2}

が

3^{2 n - 1}

の倍数ならx,yともに

3^{n}

の倍数であることを示せ
①n=1のとき
②n=2のとき
③すべての自然数n

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福田の数学〜立教大学2023年理学部第4問〜数学的帰納法とはさみうちの原理

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

　正の数列

x_{1}

,

x_{2}

,

x_{3}

,...,

x_{n}

,... は以下を満たすとする。

x_{1}

=8,　

x_{n + 1}

=

\sqrt{1 + x_{n}}

　(

n

=1,2,3,...)
このとき、次の問いに答えよ。
(1)

x_{2}

,

x_{3}

,

x_{4}

をそれぞれ求めよ。
(2)すべての

n

≧1について(

x_{n + 1}

-

α

)(

x_{n + 1}

+

α

)=

x_{n}

-

α

　となる定数

α

で、
正であるものを求めよ。
(3)

α

を(2)で求めたものとする。すべての

n

≧1について

x_{n}

＞

α

であることを

n

に関する数学的帰納法で示せ。
(4)極限値

lim_{n \to \infty} x_{n}

を求めよ。

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大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」　東京帝国大学1937　#定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

：正の整数

\int_{0}^{π} \frac{\sin (2 n - 1) x}{\sin x} d x = π

を示せ

出典：1937年東京帝国大学　入試問題

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整数問題

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

n

を自然数とするとき、

2^{3 n - 2} + 3^{n}

は5の倍数であることを
数学的帰納法によって証明せよ。

会津大過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第２問(3)〜推定して数学的帰納法

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(3) 次の条件によって定められる数列

{a_{n}}

がある。

a_{1}

=1,

a_{n + 1}

=

\sqrt{a_{n}^{2} + 1}

(

n

=1,2,3,...)
(i)

a_{2}

=

シ

,

a_{3}

=

ス

であり、一般項

a_{n}

を推定すると

a_{n}

=

セ

である。
(ii)一般項

a_{n}

が

a_{n}

=

セ

であることの数学的帰納法による証明を述べよ。

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第２問〜玉を取り出す確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し、取り出した玉を袋に戻した上で、取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す。以下の問いに答えよ。
(1)初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を

P_{n} (k)

(k=0,1,...,n)とする。

P_{1} (k)

と

P_{2} (k)

を求め、さらに

P_{n} (k)

を求めよ。
(2)初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb個(r≧1, b≧1)入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率

Q_{n} (k)

(k=1,2,..., n)とする。

Q_{n} (k)

はkによらないことを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

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福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第１問〜整式の割り算の商に関する論証

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

nを自然数として、整式

(3 x + 2)^{n}

を

x^{2}

+

x

+1で割った余りを

a_{n} x

+

b_{n}

とおく。
(1)

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

を、それぞれ

a_{n}

と

b_{n}

を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、

a_{n}

と

b_{n}

は7で割り切れないことを示せ。
(3)

a_{n}

と

b_{n}

を

a_{n + 1}

と

b_{n + 1}

で表し、全てのnに対して、2つの整数

a_{n}

と

b_{n}

は互いに素であることを示せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

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大学入試問題#463「ええ問題や～～」　信州大学理・医 (2016)　#積分の応用

単元： #大学入試過去問(数学)#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{1} (1 - x^{2})^{n} d x

= \frac{4^{n} (n!)^{2}}{(2 n + 1)!}

を示せ

出典：2016年信州大学医学部　入試問題

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東大　レピュニット数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\overset{3^{n} 桁}{\overset{⏞}{1111 + \dots + 11}}

は

3^{n}

で割り切れるが

3^{n + 1}

では割り切れないことを示せ.

東大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題035〜東京大学2017年度理系第４問〜数列の帰納的定義と最大公約数

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

p = 2 + \sqrt{5}

とおき、自然数

n = 1, 2, 3, \dots

対して

a_{n} = p^{n} + {(- \frac{1}{p})}^{n}

と定める。以下の問いに答えよ。(1)は結論のみを書けばよい。
(1)

a_{1}, a_{2}

の値を求めよ。
(2)

n ≧ 2

とする。積

a_{1} a_{n}

を、

a_{n + 1}

と

a_{n - 1}

を用いて表せ。
(3)

a_{n}

は自然数であることを示せ。
(4)

a_{n + 1}

と

a_{n}

の最大公約数を求めよ。

2017東京大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題016〜京都大学2016年度理系数学第２問〜素数の性質

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
素数p,qを用いて

p^{q} + q^{p}

と表される素数を全て求めよ。

2016京都大学理系過去問

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福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(1)〜漸化式の解法

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)数列

{a_{n}}

が次の条件を満たしている。

(i) a_{1} = a_{2} = 4

(ii) a_{n + 2} = a_{n}^{\log_{2} a_{n + 1}} (n = 1, 2, 3, \dots)

このとき、

\log_{2} (\log_{2} a_{10}) = ア

である。

2022早稲田大学商学部過去問

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大学入試問題#237　岡山県立大学(2020)　#数学的帰納法

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#岡山県立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(1 + 2 + 3 + ・ ・ ・ + n)^{2} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ・ ・ ・ + n^{3}

が成り立つことを示せ。

n

：自然数

2020年岡山県立大学　入試問題

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これ説明できる？

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
一筆書きできる確率、一筆書きできない確率

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大学入試問題#97　学習院大学(2003)　整数問題　帰納法

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#学習院大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

：自然数

11^{n + 1} + 12^{2 n - 1}

は

19

で割り切れることを示せ

出典：2003年学習院大学　入試問題

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レピュニット数の問題

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\overset{3^{n} 桁}{\overset{⏞}{1111 ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ 11}}

は

3^{n}

で割り切れることを示せ.

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数学「大学入試良問集」【13−9 数学的帰納法（累積帰納法）】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列

a_{0}, a_{1}, a_{2}, ・ ・ ・ a_{n} ・ ・ ・

を次のように定義する。

a_{0} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} a_{n - k} n = 0, 1, 2, ・ ・ ・)

以下の問いに答えよ。
（1）

a_{1}, a_{2}, a_{3}

を求めよ。
（2）一般項

a_{n}

を求めよ。
（3）

b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{k! (n - k)!} a_{k} a_{n - k} (n = 0, 1, 2, ・ ・ ・)

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【13−8 数学的帰納法（不等式の証明）】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#佐賀大学#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

n

が自然数のとき、次の各問いに答えよ。
（1）不等式

n! ≧ 2^{n - 1}

が成り立つことを証明せよ。
（2）不等式

1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + ・ ・ ・ + \frac{1}{n!} < 3

が成り立つことを証明せよ。

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数学「大学入試良問集」【13−7 数学的帰納法（13の倍数の証明）】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数B

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

n

を自然数とするとき、

4^{2 n - 1} + 3^{n + 1}

は

13

の倍数であることを示せ。

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変な数学的帰納法　n個の相加相乗平均

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{n} > 0

とする.

\frac{a_{1} + a_{2} + ･ ･ ･ ･ + a_{n}}{n} ≧ \sqrt[n]{a_{1} a_{2} ･ ･ ･ ･ a_{n}}

を示せ.

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04兵庫県教員採用試験（数学：2番　数列と帰納法）

単元： #数列#漸化式#数学的帰納法#その他#数学(高校生)#数B#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = \frac{1}{2}

,

a_{n + 1} = \frac{1}{2 - a_{n}}

一般項

a_{n}

を求めよ

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【数B】数列：nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

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【数B】数列：nを自然数とするとき、4^(n+1)+9^nは5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
nを自然数とするとき、

4^{(} n + 1) + 9^{n}

は5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 数学的帰納法

福田のおもしろ数学383〜関数方程式

大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」

福田のおもしろ数学142〜チェビシェフの多項式に関する証明

共テ数学90％取る勉強法

数学どうにかしたい人へ

福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法

9月からでも間に合うチート級参考書＜数学編＞

大阪市立大 整数問題

福田の数学〜立教大学2023年理学部第4問〜数学的帰納法とはさみうちの原理

大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」 東京帝国大学1937 #定積分

整数問題

福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第２問(3)〜推定して数学的帰納法

福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第２問〜玉を取り出す確率

福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第１問〜整式の割り算の商に関する論証

大学入試問題#463「ええ問題や～～」 信州大学 理・医 (2016) #積分の応用

東大 レピュニット数

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題035〜東京大学2017年度理系第４問〜数列の帰納的定義と最大公約数

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題016〜京都大学2016年度理系数学第２問〜素数の性質

福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(1)〜漸化式の解法

大学入試問題#237 岡山県立大学(2020) #数学的帰納法

これ説明できる？

大学入試問題#97 学習院大学(2003) 整数問題 帰納法

レピュニット数の問題

数学「大学入試良問集」【13−9 数学的帰納法（累積帰納法）】を宇宙一わかりやすく

数学「大学入試良問集」【13−8 数学的帰納法（不等式の証明）】を宇宙一わかりやすく

数学「大学入試良問集」【13−7 数学的帰納法（13の倍数の証明）】を宇宙一わかりやすく

変な数学的帰納法 n個の相加相乗平均

04兵庫県教員採用試験（数学：2番 数列と帰納法）

【数B】数列：nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1-1/(n+1)!

【数B】数列：nを自然数とするとき、4^(n+1)+9^nは5の倍数であることを、数学的帰納法を用いて証明せよ。

大阪市立大　整数問題

大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」　東京帝国大学1937　#定積分

大学入試問題#463「ええ問題や～～」　信州大学理・医 (2016)　#積分の応用

東大　レピュニット数

大学入試問題#237　岡山県立大学(2020)　#数学的帰納法

大学入試問題#97　学習院大学(2003)　整数問題　帰納法

変な数学的帰納法　n個の相加相乗平均

04兵庫県教員採用試験（数学：2番　数列と帰納法）