数Ⅲ - 質問解決D.B.（データベース）

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

k > 0

とする。曲線

y = \sin 2 x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

と

x

軸で囲まれた部分の面積を

y = k \sin x

が2等分するように定数

k

の値を定めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x

軸に平行な直線と曲線

y = \sin x (0 ≦ x ≦ 3 π)

が4点で交わるとき、この直線と曲線で囲まれた3つの部分の面積の和が最小となるような直線の方程式を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

1 ≦ a ≦ e

とする。曲線

y = e^{x} - a

と

x

軸、

y

軸および直線

x = 1

で囲まれた部分の面積を

S (a)

とする。
(1)

S (a)

を求めよ。
(2)

S (a)

の最小値とそのときの

a

の値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

\frac{\sqrt{x}}{a} + \frac{\sqrt{y}}{b} = 1

は、直線

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

と

x

軸、

y

軸で囲まれた三角形を一定の面積の比に分割することを示せ。ただし、

a > 0, b > 0

とする。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

y = a x^{2}

と

y = \log x

はただ1点を共有し、その点におけるそれぞれの接線は一致するものとする。
(1)定数

a

の値と共有点の座標を求めよ。
(2)この2つの曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

x = \cos^{4} θ, y = \sin^{4} θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

で表される曲線を

C

とし、曲線

C

の接線を

l

とする。曲線

C

と接線

l

、

x

軸で囲まれた部分の面積と、曲線

C

と接線

l

、

y

軸で囲まれた面積の和が

\frac{1}{24}

であるという。このとき、接線

l

の方程式を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積8 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

x = \cos^{3} θ, y = \sin^{3} θ

で囲まれた部分の面積を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積7 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
(1)

x = 1 - t^{4}, y = t - t^{3} (0 ≦ t ≦ 1)

(2)

x = t + \sin t, y = 1 - \cos t (0 ≦ θ ≦ 2 π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積5 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

5 x^{2} + 2 x y + y^{2} = 16

で囲まれた部分の面積

S

を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積9 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
座標平面上で、原点

O

から曲線

y = \sin x

へ引いた接線の接点を

T (α, \sin α)

とする。ただし、

π < α < \frac{3}{2} π

とする。
(1)

α

の満たす方程式を求めよ。
(2)曲線

y = \sin x

と線分

O T

で囲まれた部分の面積

S

を、

\cos α

で表せ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積6 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
2つの曲線

y = x^{2}, \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2

と

y

軸で囲まれた部分の面積

S

を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積4 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線と

x

軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

x = \cos θ

y = 2 \sin θ (0 ≦ θ ≦ π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積3 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) y²=x²(1-x)
(2) |y+1|=x|x-3|

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積2 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の楕円によって囲まれた図形の面積を求めよ。
(1) 2x²+3y²=6
(2) 3x²+4y²=1

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積1 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積を求めよ。
(1)

y = x e^{1 - x}

,

y = x e^{x - 1}

(2)

y = x^{2}

,

y = x e^{1 - x}

(3)

y = e^{x}

,

y = e^{3 x}

,

y = e^{2 - x}

(4)

y = (x - e) l o g x

,

y = 0

(5)

y = s i n x

,

y = s i n 2 x (0 ≦ x ≦ 2 π)

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【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分部分積分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
定積分

\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x

を求めよ。

定積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (a x - \sin x)^{2} d x

を最小にする実数

a

の値を求めよ。

定積分

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- 3 x} \sin x d x

を求めよ。

自然数

n

について、

I_{n} = \int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

とする。
(1)

I_{1}

を求めよ。
(2)

I_{n + 1}

を

I_{n}

を用いて表せ。
(3)

I_{4}

を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の定積分を求めよ。
(1)

\int_{- 1}^{0} (x + 2) \sqrt{3 x + 4} d x

(2)

\int_{0}^{4} \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}} d x

(3)

\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x

(4)

\int_{1}^{3} \frac{d x}{x \sqrt{x + 1}}

(5)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{e^{x} - 1}

(6)

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{3} x}{\cos^{2} x} d x

次の定積分を求めよ。ただし、

a

は正の定数とする。
(1)

\int_{0}^{1} \sqrt{2 x - x^{2}} d x

(2)

\int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}

(3)

\int_{1}^{\frac{a}{2}} \frac{d x}{(a^{2} - x^{2})^{\frac{3}{2}}}

(4)

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{2} - 2 x + 2}

(5)

\int_{3}^{5} \frac{d x}{x^{2} - 4 x + 4}

(6)

\int_{6}^{12} \frac{d x}{x^{2} - 3 x - 10}

(7)

\int_{0}^{a} \frac{d x}{(x^{2} + a^{2})^{2}}

(8)

\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2 x + 1}{x^{2} + 1} d x

次のことが成り立つことを証明せよ。
(1)

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

(2)

\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} {f (x) + f (- x)} d x

(3)

\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{a}{2}} {f (x) + f (a - x)} d x

(4)

f (a + x) = f (a - x)

のとき

\int_{a - b}^{a + b} f (x) d x = 2 \int_{a}^{a + b} f (x) d x

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【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分、部分積分 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次を求めよ
(1)

\int_{0}^{1} \sqrt{e^{1 - t}} d t

(2)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos 2 θ}{\sin θ + \cos θ} d θ

(3)

\int_{0}^{π} \sin^{4} x d x

(4)

\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}}{x} d x

次を求めよ
(1)

\int_{0}^{π} | \cos 2 θ | d θ

(2)

\int_{0}^{π} | \sin x + \cos x | d x

m, n

は正の整数とする。次の定積分を求めよ。
(1)

\int_{0}^{π} \cos m x \cos n x d x

(2)

\int_{0}^{π} \sin m x \sin n x d x

(3)

\int_{0}^{π} \sin m x \cos n x d x

定積分

\int_{0}^{π} (1 - a \sin x - b \sin 2 x)^{2} d x

を最小にする定数

a, b

の値を求めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分3 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}} + 1} d x

(2)

\int \frac{d x}{x \sqrt{x + 1}}

(3)

\int \log | x^{2} - 1 | d x

(4)

\int \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- x}} d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \tan^{4} x d x

(2)

\int \frac{d x}{\sin 2 x}

(3)

\int \frac{1}{1 - \sin x} d x

(4)

\int (\sin^{3} x - \cos^{3} x) d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int e^{x} \cos x d x

(2)

\int e^{- x} \sin x d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \sin x \log (\cos x) d x

(2)

\int x \tan^{2} x d x

(3)

\int \frac{1}{1 - e^{x}} d x

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【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分2 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 1} d x

(2)

\int \frac{x^{4}}{x^{2} - 1} d x

(1)次の等式が成り立つように、定数

a, b, c

の値を定めよ。

\frac{3 x + 2}{x (x + 1)^{2}} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x + 1} + \frac{c}{(x + 1)^{2}}

(2)不定積分

\int \frac{3 x + 2}{x (x + 1)^{2}} d x

を求めよ。

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{d x}{x (x^{2} - 1)}

(2)

\int \frac{d x}{x^{2} (x + 2)}

(3)

\int \frac{d x}{x (x^{2} + 1)}

(4)

\int \frac{x^{2} + 1}{x^{4} - 5 x^{2} + 4} d x

(5)

\int \frac{3 x + 2}{x (x + 1)^{3}} d x

(6)

\int \frac{x^{4}}{x^{3} - 3 x + 2} d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{d x}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}}

(2)

\int \frac{x}{\sqrt{3 x + 4} - 2} d x

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【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分1 ※問題文は概要欄

単元： #積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不定積分を求めよ。
(1)

\int x \sqrt[3]{1 + x} d x

(2)

\int \sin x \cos^{4} x d x

(3)

\int \frac{d x}{\cos^{4} x}

(4)

\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x + 5} d x

(5)

\int \frac{e^{2 x}}{(e^{x} + 2)^{2}} d x

(6)

\int \frac{\log x}{x (\log x - 1)^{2}} d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int \frac{x}{\cos^{2} x} d x

(2)

\int x \log (x - 2) d x

次の不定積分を求めよ。
(1)

\int x \log (x^{2} - 2) d x

(2)

\int e^{x} \log (e^{x} + 1) d x

不定積分

\int (\log x)^{3} d x

を求めよ。

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ5 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
1.4次関数

y = f (x)

のグラフの2つの変曲点の座標は

(- 1, 1), (1, 8)

であり、点

(1, 8)

における接線は直線

y = x

に平行である。関数

f (x)

を求めよ。
2.

a

は定数とする。曲線

y = (x^{2} + 2 x + a) e^{x}

の変曲点の個数を調べよ

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ4 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
1.関数

y = - x^{3} + 3 x^{2}

のグラフはただ1つの変曲点をもち、その点に関して対象であることを示せ。
2.関数

y = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 b x + c

は

x = 1

で極小となり、点

(0, 3)

はそのグラフの変曲点である。定数

a, b, c

の値を求めよ。
3.右の図は、関数

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (0 < x < 5)

のグラフで、

x = 2

で極大、

x = 4

で極小となり、点

(3, 5)

は変曲点である。定数

a, b, c, d

を求めずに、次のものを求めよ。
(1)　

y^{'} > 0

となる

x

の値の範囲
(2)　

y^{″} > 0

となる

x

の値の範囲
(3)　

y^{'}

が最小となる

x

の値

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ3 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数

f (x)

について、

f^{'} (0) = f^{″} (0) = 0

であることを示せ。また、

f (x)

は

x = 0

で極値をとるかどうかを調べよ。
(1)　

f (x) = x^{4}

(2)　

f (x) = x^{2} \sin x

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ2 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフの概形をかけ。
(1)

y = \frac{x^{3}}{x^{2} - 4}

(2)

y = x + \sqrt{1 - x^{2}}

(3)

y = x \sqrt{1 - x^{2}}

(4)

y = e^{\frac{1}{x}}

(5)

y = e^{- x} \cos x (0 ≦ x ≦ 2 π)

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ1 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の曲線の漸近線の方程式を求めよ。
(1)

y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

(2)

y = 2 x + \sqrt{x^{2} - 1}

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小11 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
一直線をなす海岸の地点Aから海岸線に垂直に9km離れた沖の船にいる人が､Aから海岸にそって15km離れた地点Bに最短時間で到着するためには､AB間のAからどれだけ離れた地点に上陸すればよいか｡ただし､地点B以外で上陸した場合､上陸した後は歩いて地点Bに向かうものとし､船の速さは4km/h､人の歩く速さは5km/hとする｡

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小10 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
半径rの球に外接する直円錐について
(1) 体積の最小値を求めよ
(2) 表面積の最小値を求めよ

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小9 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

教材： #4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
定点A(a,b)を通る傾きが負の直線と､x軸およびy軸とが作る三角形の面積Sの最小値を求めよ｡ただし､a＞0,b＞0とする｡

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【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小8 ※問題文は概要欄

単元： #微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

y = a (x - \sin 2 x)

(- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2})

の最大値が

π

であるように、定数

a

の値を定めよ。

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【数Ⅲ】【積分とその応用】面積13 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積15 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積14 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積12 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積11 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積10 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積8 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積7 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積5 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積9 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積6 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積4 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積3 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積2 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】面積1 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分部分積分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】定積分置換積分、部分積分 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分3 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分2 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【積分とその応用】不定積分置換積分、部分積分1 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ5 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ4 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ3 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ2 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数のグラフ1 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小11 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小10 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小9 ※問題文は概要欄

【数Ⅲ】【微分とその応用】関数の最大と最小8 ※問題文は概要欄

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