数Ⅲ
数Ⅲ
【数Ⅲ】【積分】関数1/√xの定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。ただし、nは自然数とする。2(√n+1－1)＜1＋1/√2+1/√3+・・・+1/√n≦2√n－1
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。
ただし、$n$ は自然数とする。
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1$
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関数 $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ の定積分を用いて、次の不等式を証明せよ。
ただし、$n$ は自然数とする。
$2(\sqrt{n+1}-1)<1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\leq 2\sqrt{n}-1$
【数Ⅲ】【積分】∫0→a f(x)dx=∫0→a f(a-x)dxであることを利用して、定積分∫0→π/2 cosx/cosx+sinx dxを求めよ。
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$\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} f(a-x)\,dx$
であることを利用して、定積分
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx$ を求めよ。
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$\displaystyle \int_{0}^{a} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} f(a-x)\,dx$
であることを利用して、定積分
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,dx$ を求めよ。
【数Ⅲ】【積分】(1)∫0→π xf(sinx)dx=π/2∫0→π f(sinx)dxであることを示せ。(2)(1)を利用して、定積分∫0→π xsinx/1+cos²x dxを求めよ。
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(1) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x)\,dx$ であることを示せ。
(2) (1) を利用して、定積分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$ を求めよ。
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(1) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x)\,dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin x)\,dx$ であることを示せ。
(2) (1) を利用して、定積分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\,dx$ を求めよ。
【数Ⅲ】【積分】次の不等式を証明せよ。(1) π/2＜∫dx/√1-1/2sin²x＜π/√2(2) 1/3＜∫xΛ(sinx＋cosx)²dx＜1/2
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次の不等式を証明せよ。
(1) $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}<\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
(2) $\displaystyle \frac{1}{3}<\int_{0}^{1}x^{(\sin x+\cos x)^2}\,dx<\frac{1}{2}$
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次の不等式を証明せよ。
(1) $\displaystyle \frac{\pi}{2}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2 x}}<\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
(2) $\displaystyle \frac{1}{3}<\int_{0}^{1}x^{(\sin x+\cos x)^2}\,dx<\frac{1}{2}$
【数Ⅲ】【積分】(1)lim 1/n(sinπ/2n+sin2π/2n+sin3π/2n+…＋sinnπ/2n)(2)lim 1/n{(n/n)²＋(n/n＋1)²＋(n/n＋2)²＋…＋(n/2n－
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定積分を用いて、次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{2n}+\sin\frac{2\pi}{2n}+\sin\frac{3\pi}{2n}+\cdots+\sin\frac{n\pi}{2n}\right)$
(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\{\left(\frac{n}{n}\right)^2+\left(\frac{n}{n+1}\right)^2+\left(\frac{n}{n+2}\right)^2+\cdots+\left(\frac{n}{2n-1}\right)^2\right\}$
(3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$
(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\left\{(\sqrt{1}+\sqrt{n})^2+(\sqrt{2}+\sqrt{n})^2+\cdots+(\sqrt{n}+\sqrt{n})^2\right\}$
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定積分を用いて、次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{2n}+\sin\frac{2\pi}{2n}+\sin\frac{3\pi}{2n}+\cdots+\sin\frac{n\pi}{2n}\right)$
(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\{\left(\frac{n}{n}\right)^2+\left(\frac{n}{n+1}\right)^2+\left(\frac{n}{n+2}\right)^2+\cdots+\left(\frac{n}{2n-1}\right)^2\right\}$
(3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\frac{3}{n^2+3^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$
(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\left\{(\sqrt{1}+\sqrt{n})^2+(\sqrt{2}+\sqrt{n})^2+\cdots+(\sqrt{n}+\sqrt{n})^2\right\}$
【数Ⅲ】【積分】nは正の整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。また、(2)については、等式を利用して不定積分∫tan⁴xdxを求めよ。(1)∫x^nsinxdx=-x^ncosx+n∫x^n-
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#積分とその応用#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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$n$ は正の整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。
また、(2) については、等式を利用して
不定積分 $\int \tan^n x\,dx$ を求めよ。
(1) $\displaystyle \int x^n\sin x\,dx=-x^n\cos x+n\int x^{n-1}\cos x\,dx$
(2) $\displaystyle \int \tan^n x\,dx=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2}x\,dx\quad (n\geq 2)$
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$n$ は正の整数とする。次の等式が成り立つことを証明せよ。
また、(2) については、等式を利用して
不定積分 $\int \tan^n x\,dx$ を求めよ。
(1) $\displaystyle \int x^n\sin x\,dx=-x^n\cos x+n\int x^{n-1}\cos x\,dx$
(2) $\displaystyle \int \tan^n x\,dx=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2}x\,dx\quad (n\geq 2)$
【数Ⅲ】【近似値】|x|が十分小さいとき、次の関数の2次の近似式を作れ。(1)(1+x)⁴(2)1/1-x(3)xe^x
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#微分とその応用#速度と近似式#数学(高校生)#数Ⅲ
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$|x|$ が十分小さいとき、次の関数の 2 次の近似式を作れ。
(1) $(1+x)^4$
(2) $\frac{1}{1-x}$
(3) $xe^x$
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$|x|$ が十分小さいとき、次の関数の 2 次の近似式を作れ。
(1) $(1+x)^4$
(2) $\frac{1}{1-x}$
(3) $xe^x$
【数Ⅲ】【積分】lim 1/n³{(n+1)²+(n+2)²+(n+3)²+・・+(2n)²} …(A)とおく(1) Σk²=1/6n(n+1)(2n+1)を用いて(A)の値を求めよ(2)値を計算せよ
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\{(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\cdots+(2n)^2\}$
……(A) とおく。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いて、(A) の値を求めよ。
(2) (A) を定積分で表し、その値を計算せよ。
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$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\{(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+\cdots+(2n)^2\}$
……(A) とおく。
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いて、(A) の値を求めよ。
(2) (A) を定積分で表し、その値を計算せよ。
【数Ⅲ】【積分】次の等式を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。(1) ∫(x－t)f(t)dt＝sinx－a(2) x＋∫(x－t)f(t)dt＝e^x－1
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{x}(x-t)f(t)\,dt=\sin x-a$
(2) $\displaystyle x+\int_{a}^{x}(x-t)f(t)\,dt=e^x-1$
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次の等式を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ。
(1) $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{x}(x-t)f(t)\,dt=\sin x-a$
(2) $\displaystyle x+\int_{a}^{x}(x-t)f(t)\,dt=e^x-1$
【数Ⅲ】【積分】次の不等式が成り立つことを証明せよ。(1) 1/2²+1/3²+1/4²+・・・+1/n²＜1－1/n(2) 1/2³+1/3³+1/4³+・・・+1/n³＜1/2－1/2n²
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
$n$ が $2$ 以上の整数であるとき、
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<1-\dfrac{1}{n}$
(2) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n^2}$
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$n$ が $2$ 以上の整数であるとき、
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) $\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<1-\dfrac{1}{n}$
(2) $\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots+\dfrac{1}{n^3}<\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n^2}$
【数Ⅲ】【微分】xy平面上に、媒介変数tで表された曲線C:x=e^t-e^-t, y=e^3t+e^-3tがある。曲線Cの概形をかけ。
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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$xy$ 平面上に、媒介変数 $t$ で表された曲線
$C:\;x=e^t-e^{-t},\;y=e^{3t}+e^{-3t}$
がある。曲線 $C$ の概形をかけ。
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$xy$ 平面上に、媒介変数 $t$ で表された曲線
$C:\;x=e^t-e^{-t},\;y=e^{3t}+e^{-3t}$
がある。曲線 $C$ の概形をかけ。
【数Ⅲ】【微分】次の曲線の概形をかけ。(1) y²=x²(4-x²)(2) y²=x²(x+1)
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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次の曲線の概形をかけ。
(1) $y^2=x^2(4-x^2)$
(2) $y^2=x^2(x+1)$
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次の曲線の概形をかけ。
(1) $y^2=x^2(4-x^2)$
(2) $y^2=x^2(x+1)$
【数Ⅲ】【微分】次の関数のグラフの概形をかけ。(1) y=log|logx-1|(2) y=2+sinx/cosx(0≦x≦2π)
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフの概形をかけ。
(1) $y=\log|\log x-1|$
(2) $y=\dfrac{2+\sin x}{\cos x}$（$0\le x\le 2\pi$）
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次の関数のグラフの概形をかけ。
(1) $y=\log|\log x-1|$
(2) $y=\dfrac{2+\sin x}{\cos x}$（$0\le x\le 2\pi$）
【数Ⅲ】【微分】f(x)を微分可能な関数とし、 a≠0 とする。関数y=f(x)/xが x=a において極値を取るとき、曲線y=f(x)の点(a,f(a))における接線は原点を通ることを証明せよ。
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
$f(x)$ を微分可能な関数とし、$a\ne 0$ とする。
関数 $y=\dfrac{f(x)}{x}$ が $x=a$ において極値をとるとき、
曲線 $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ における接線は原点を
通ることを証明せよ。
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$f(x)$ を微分可能な関数とし、$a\ne 0$ とする。
関数 $y=\dfrac{f(x)}{x}$ が $x=a$ において極値をとるとき、
曲線 $y=f(x)$ の点 $(a,f(a))$ における接線は原点を
通ることを証明せよ。
【数Ⅲ】【微分】関数f(x)=2x+ ax/x²+1が極大値と極小値をそれぞれ2つずつもつように、定数aの値の範囲を定めよ。
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#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#微分法の応用
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問題文全文(内容文)：
関数 $f(x)=2x+\dfrac{ax}{x^2+1}$ が極大値と極小値を
それぞれ 2 つずつもつように、
定数 $a$ の値の範囲を定めよ。
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関数 $f(x)=2x+\dfrac{ax}{x^2+1}$ が極大値と極小値を
それぞれ 2 つずつもつように、
定数 $a$ の値の範囲を定めよ。
【数Ⅲ】【積分とその応用】球の表面積が1%増加するとき、球の半径と体積はそれぞれ約何%増加するか。方程式(x+1)(x-2)=0.03の2つの実数解の近似値を求めよ。
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#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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問題文全文(内容文)：
球の表面積が1%増加するとき、球の半径と体積はそれぞれ約何%増加するか。
方程式(x+1)(x-2)=0.03の2つの実数解の近似値を求めよ。
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球の表面積が1%増加するとき、球の半径と体積はそれぞれ約何%増加するか。
方程式(x+1)(x-2)=0.03の2つの実数解の近似値を求めよ。
【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
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【数Ⅲ】【関数の極限】双曲線xy=k²(kは正の定数)上に点A(k,k)をとる。この曲線の第1象限にある部分の上にAと異なる点Pをとり、Pを通り直線PAに垂直な直線を引き、直線OAとの交点をQとする。
【数Ⅲ】【関数の極限】lim f(x)-2x³/x² =1, lim f(x)/x =-3を満たすxの多項式で表される関数f(x)を求めよ。
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=1$，
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=-3$
を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
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$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-2x^3}{x^2}=1$，
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=-3$
を満たす $x$ の多項式で表される関数 $f(x)$ を求めよ。
【数Ⅲ】【関数の極限】3次関数f(x)が次の2つの条件を満たすという。f(x)を求めよ。lim f(x)/x =3lim f(x)/x-1 =-1
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
3 次関数 $f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすという。
$f(x)$ を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=3,\qquad
\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-1$
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3 次関数 $f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすという。
$f(x)$ を求めよ。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=3,\qquad
\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=-1$
【数Ⅲ】【関数の極限】(1) lim ax²+bx /x-2 =1(2) lim a√x+1 -b /x-1 =√2(3) lim √x²+ax +b /x²-1 =1/2
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の等式が成り立つように、定数 $a,b$ の値を定めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ax^2+bx}{x-2}=1$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+ax+b}}{x^2-1}=\frac{1}{2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-1+ax+b}\right)=0$
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次の等式が成り立つように、定数 $a,b$ の値を定めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{ax^2+bx}{x-2}=1$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1}=\sqrt{2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+ax+b}}{x^2-1}=\frac{1}{2}$
(4) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-1+ax+b}\right)=0$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の式が有限の値をもつようにaの値を定め、その極限値を求めよ。(1) lim √1+3x +a /x(2) lim a√x+8 -6 /x-1
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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次の式が有限の値をもつように $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}+a}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+8}-6}{x-1}$
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次の式が有限の値をもつように $a$ の値を定め、その極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+3x}+a}{x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+8}-6}{x-1}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を求めよ。(1) lim x(x-√x²-a²) (aは定数)(2) lim {1/2log₃x+log₃(√3x+1 -√3x-1)}
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)$
（$a$ は定数）
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{1}{2}\log_3 x+\log_3\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{3x-1}\right)\right\}$
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次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to\infty} x\left(x-\sqrt{x^2-a^2}\right)$
（$a$ は定数）
(2) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{1}{2}\log_3 x+\log_3\left(\sqrt{3x+1}-\sqrt{3x-1}\right)\right\}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。(1) lim[x](2) lim(2x-[x])(3) lim([2x]-[x])
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}[x]$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x-[x])$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 2}[x]$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x-[x])$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。ただし、aは定数とする。(1) lim x-a/x²-1(2) lim x-a/x²-1(3) lim x-a/x²-1
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次の極限を調べよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 1+0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1-0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-a}{x^2-1}$
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次の極限を調べよ。ただし、$a$ は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 1+0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 1-0}\frac{x-a}{x^2-1}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{x-a}{x^2-1}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を調べよ。(1) lim x-2/x²-x(2) lim(1/2)^1/x(3) lim 1/1+2^1/x
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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理数個別チャンネル
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$
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次の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x-2}{x^2-x}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}$
【数Ⅲ】【関数の極限】次の極限を求めよ。(1) lim√x²＋3 + 2x/x+1(2) lim x-√3x-2/√x+2 - 2(3) lim ³√1+x - ³√1-x /x
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#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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(1) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2x}{x+1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
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(1) $\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}+2x}{x+1}$
(2) $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}-2}$
(3) $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
【数Ⅲ】【数列の極限】辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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正三角形ABCの内接円Ｏ₁の半径をrとする。辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。
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正三角形ABCの内接円Ｏ₁の半径をrとする。辺AB、ACと円Ｏ₁に接する円をＯ₂とし、辺AB、ACと円Ｏ₂に接する円をＯ₃とする。このように、次々に小さくなる円を作るとき、すべての円の面積の総和を求めよ。
【数Ⅲ】【数列の極限】座標平面上で、点Pが原点Ｏを出発して、x軸の正の向きに1だけ進み、次にy軸の正の向きに1/2だけ進み、次にx軸の負の向きに1/2²だけ進み、次にy軸の負の向きに1/2³だけ進む。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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座標平面上で、点 $P$ が原点 $O$ を出発して、
$x$ 軸の正の向きに $1$ だけ進み、
次に $y$ 軸の正の向きに $\frac{1}{2}$ だけ進み、
次に $x$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^2}$ だけ進み、
次に $y$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^3}$ だけ進む。
以下、このような運動を限りなく続けるとき、
点 $P$ が近づいていく点の座標を求めよ。
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座標平面上で、点 $P$ が原点 $O$ を出発して、
$x$ 軸の正の向きに $1$ だけ進み、
次に $y$ 軸の正の向きに $\frac{1}{2}$ だけ進み、
次に $x$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^2}$ だけ進み、
次に $y$ 軸の負の向きに $\frac{1}{2^3}$ だけ進む。
以下、このような運動を限りなく続けるとき、
点 $P$ が近づいていく点の座標を求めよ。
【数Ⅲ】【数列の極限】あるボールを床に落とすと、常に落ちる高さの4/5まではね返るという。このボールを2mの高さから落としたとき、床に静止するまでに、このボールが上下する総距離を求めよ。
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
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あるボールを床に落とすと、常に落ちる高さの4/5まではね返るという。この
ボールを2mの高さから落としたとき、床に静止するまでに、このボールが上下する
総距離を求めよ。
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あるボールを床に落とすと、常に落ちる高さの4/5まではね返るという。この
ボールを2mの高さから落としたとき、床に静止するまでに、このボールが上下する
総距離を求めよ。
【数Ⅲ】【微分】次の等式を満たす連続関数f(x)を求めよ。f(x)=x²+2+2∫[1→x]tf(t)dt
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#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
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#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#積分法の応用
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次の等式を満たす連続関数 $f(x)$ を求めよ。
$f(x)=x^2+2+2\int_1^x f(t)\,dt$
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次の等式を満たす連続関数 $f(x)$ を求めよ。
$f(x)=x^2+2+2\int_1^x f(t)\,dt$