積分とその応用
積分とその応用
数学「大学入試良問集」【19−9 定積分と不等式の証明】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#和歌山大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
（1）
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{2x}{\pi} \leqq \sin\ x$
（2）
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-\sin\ x}dx \leqq \pi\left[ 1-\dfrac{ 1 }{ e } \right]$
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次の各問いに答えよ。
（1）
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{2x}{\pi} \leqq \sin\ x$
（2）
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}e^{-\sin\ x}dx \leqq \pi\left[ 1-\dfrac{ 1 }{ e } \right]$
数学「大学入試良問集」【19−7 三角関数と置換積分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$t=\tan\displaystyle \frac{x}{2}$とおく。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）
$\displaystyle \frac{dt}{dx}$を$t$を用いて表せ。
（2）
$\cos\ x$を$t$を用いて表せ。
（3）
曲線$y=\displaystyle \frac{1}{\cos\ x}$と2直線$x=0,x=\displaystyle \frac{\pi}{3}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
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$t=\tan\displaystyle \frac{x}{2}$とおく。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）
$\displaystyle \frac{dt}{dx}$を$t$を用いて表せ。
（2）
$\cos\ x$を$t$を用いて表せ。
（3）
曲線$y=\displaystyle \frac{1}{\cos\ x}$と2直線$x=0,x=\displaystyle \frac{\pi}{3}$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
【数Ⅲ】積分法の応用：～授業風景シリーズ～ 回転体の体積 後編
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#チャート式#青チャートⅢ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
$y=\sin2x, y=\cos2x\left(\dfrac{\pi}{8}\leqq x\leqq\dfrac{5\pi}{8}\right)$で囲まれた部分をx軸の周りに回転して出来る立体の体積を求めよ。
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【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
$y=\sin2x, y=\cos2x\left(\dfrac{\pi}{8}\leqq x\leqq\dfrac{5\pi}{8}\right)$で囲まれた部分をx軸の周りに回転して出来る立体の体積を求めよ。
【数Ⅲ】積分法の応用：～授業風景シリーズ～ 回転体の体積 前編
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#チャート式#青チャートⅢ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
$y=x^2+1,x=1,x=2$,x軸で囲まれた部分をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。
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【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
$y=x^2+1,x=1,x=2$,x軸で囲まれた部分をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。
数学「大学入試良問集」【19−6 楕円と回転体の体積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#広島大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0 \lt a \lt 1$とする。
点$(1,0)$から楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1$に引いた接線の接点の$x$座標を$b$とする。
（1）
$b$を$a$で表せ。
（2）
楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1$の$b \leqq x \leqq a$の部分と直線$x=b$で囲まれた図形を、$x$軸のまわり1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ。
（3）
$V$の値が最大となる$a$の値と、そのときの$V$の最大値を求めよ。
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$0 \lt a \lt 1$とする。
点$(1,0)$から楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1$に引いた接線の接点の$x$座標を$b$とする。
（1）
$b$を$a$で表せ。
（2）
楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1$の$b \leqq x \leqq a$の部分と直線$x=b$で囲まれた図形を、$x$軸のまわり1回転してできる回転体の体積$V$を求めよ。
（3）
$V$の値が最大となる$a$の値と、そのときの$V$の最大値を求めよ。
【数Ⅲ】積分法：置換積分の区間の取り方
福田の数学〜中央大学2021年理工学部第４問〜定積分と不等式、極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い
答えよ.
(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.
(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.
(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.
(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.
2021中央大理工学部過去問
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$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い
答えよ.
(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.
(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.
(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.
(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.
2021中央大理工学部過去問
数学「大学入試良問集」【19−4 2曲線が接する条件】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#群馬大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
2曲線$y=\sqrt{ x },\ y=a\ log\ x$、が1点のみを共有するように正の数$a$を定め、このとき2曲線と$x$軸で囲まれる面積を求めよ。
ただし、必要なら$\displaystyle \lim_{ x \to \infty }\displaystyle \frac{log\ x}{x}=0$は用いてよい。
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2曲線$y=\sqrt{ x },\ y=a\ log\ x$、が1点のみを共有するように正の数$a$を定め、このとき2曲線と$x$軸で囲まれる面積を求めよ。
ただし、必要なら$\displaystyle \lim_{ x \to \infty }\displaystyle \frac{log\ x}{x}=0$は用いてよい。
数学「大学入試良問集」【19−3 f(sinx)と置換積分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)$が$0 \leqq x \leqq 1$で連続な関数であるとき
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}xf(\sin\ x)dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(\sin\ x)dx$
が成立することを示し、これを用いて$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\displaystyle \frac{x\ \sin\ x}{3+\sin^2x}dx$を求めよ。
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$f(x)$が$0 \leqq x \leqq 1$で連続な関数であるとき
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}xf(\sin\ x)dx=\displaystyle \frac{\pi}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi}f(\sin\ x)dx$
が成立することを示し、これを用いて$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\displaystyle \frac{x\ \sin\ x}{3+\sin^2x}dx$を求めよ。
数学「大学入試良問集」【19−2 三角関数の面積の二等分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#京都府立医科大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式が定める図形を$D$とする。
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2},0 \leqq y \leqq \sin2x$
（1）
曲線$y=a\ \sin\ x$と$y=\sin2x$が$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$で交わるような定数$a$の範囲を求めよ。
（2）
曲線$y=a\ \sin\ x$が図形$D$を面積の等しい2つの部分に分けるような定数$a$を求めよ。
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次の不等式が定める図形を$D$とする。
$0 \leqq x \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2},0 \leqq y \leqq \sin2x$
（1）
曲線$y=a\ \sin\ x$と$y=\sin2x$が$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$で交わるような定数$a$の範囲を求めよ。
（2）
曲線$y=a\ \sin\ x$が図形$D$を面積の等しい2つの部分に分けるような定数$a$を求めよ。
数学「大学入試良問集」【19−1 三角関数のグラフと面積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#神奈川大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0 \leqq x \leqq 2\pi$における2つの関数$y=\cos\ x$と$y=\sin2x$について、次の各問いに答えよ。
（1）2つの関数のグラフの交点の$x$座標をすべて求めよ。
（2）2つの関数のグラフの概形をかけ。
（3）2つの関数のグラフだけによって囲まれている部分の面積を求めよ。
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$0 \leqq x \leqq 2\pi$における2つの関数$y=\cos\ x$と$y=\sin2x$について、次の各問いに答えよ。
（1）2つの関数のグラフの交点の$x$座標をすべて求めよ。
（2）2つの関数のグラフの概形をかけ。
（3）2つの関数のグラフだけによって囲まれている部分の面積を求めよ。
数学「大学入試良問集」【18−12 絶対値を含む定積分の最大最小】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#愛媛大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|x-\sin^2\theta|\sin\theta\ d\ \theta$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を求めよ。
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関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|x-\sin^2\theta|\sin\theta\ d\ \theta$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を求めよ。
【数Ⅲ】積分法の応用：体積
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$C:y=ax^2$ と直線 $\ell:y=bx$とで囲まれた図形をDとする。(a，bを正の定数とする)
Dを $\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
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曲線$C:y=ax^2$ と直線 $\ell:y=bx$とで囲まれた図形をDとする。(a，bを正の定数とする)
Dを $\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
数学「大学入試良問集」【18−9 定積分関数と微分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#長崎大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \int_{-x}^{x+4}\displaystyle \frac{t}{t^2+1}dt$について、次の各問いに答えよ。
（1）$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ。
（2）$f'(x)=0$となる$x$の値を求めよ。
（3）$f(x)$が最小値をもつことを示し、その最小値を求めよ。
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関数$f(x)=\displaystyle \int_{-x}^{x+4}\displaystyle \frac{t}{t^2+1}dt$について、次の各問いに答えよ。
（1）$f(x)=0$となる$x$の値を求めよ。
（2）$f'(x)=0$となる$x$の値を求めよ。
（3）$f(x)$が最小値をもつことを示し、その最小値を求めよ。
国際数学オリンピック 積和
単元：
#積分とその応用#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$を示せ.
国際数学オリンピック
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$\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$を示せ.
国際数学オリンピック
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第１問(2)〜回転体の体積と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)0 \lt \alpha \lt 1,m \gt 0とする。曲線y=x^{\alpha}-mx(x \geqq 0)とx軸で囲まれた図形\\
をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。mを固定してa \to +0\\
とするときのVの極限値をmの式で表すと、\lim_{a \to +0}V=\boxed{\ \ (え)\ \ }となる。\\
また、\alphaを固定してm \to \inftyとするときm^3Vが0でない数に収束するならば\\
\alpha=\boxed{\ \ (お)\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)0 \lt \alpha \lt 1,m \gt 0とする。曲線y=x^{\alpha}-mx(x \geqq 0)とx軸で囲まれた図形\\
をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積をVとする。mを固定してa \to +0\\
とするときのVの極限値をmの式で表すと、\lim_{a \to +0}V=\boxed{\ \ (え)\ \ }となる。\\
また、\alphaを固定してm \to \inftyとするときm^3Vが0でない数に収束するならば\\
\alpha=\boxed{\ \ (お)\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
【数Ⅲ】積分法：楕円で構成された図形の面積
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#チャート式#青チャートⅢ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
2つの楕円$x^2＋3y^2=4・・・①、3x^2＋y^2=4・・・②$がある。
（１）2つの楕円の4つの交点の座標を求めよ。
（２）2つの楕円の内部の重なった部分の面積を求めよ。
（出典元）青チャート数学Ⅲより
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【高校数学 数学Ⅲ 積分法の応用】
2つの楕円$x^2＋3y^2=4・・・①、3x^2＋y^2=4・・・②$がある。
（１）2つの楕円の4つの交点の座標を求めよ。
（２）2つの楕円の内部の重なった部分の面積を求めよ。
（出典元）青チャート数学Ⅲより
福田の数学〜早稲田大学2021年教育学部第１問(2)〜ねじれの位置にある線分の回転
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ (2)座標空間に$2$点$A(0,-1,1)$と$B(-1,0,0)$をとる。線分$AB$を$z$軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面$z=0,z=1$とで囲まれた部分の体積を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ (2)座標空間に$2$点$A(0,-1,1)$と$B(-1,0,0)$をとる。線分$AB$を$z$軸の周りに
1回転してできる面と2つの平面$z=0,z=1$とで囲まれた部分の体積を求めよ。
2021早稲田大学教育学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2021年理工学部第３問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#積分とその応用#複素数平面#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$ 複素数$\alpha=2+i,$ $\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}+i$に対応する複素数平面上の点を$A(\alpha),\ B(\beta)$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点$C(\alpha^2),\ D(\beta^2)$と原点$O$の3点は一直線上にあることを示せ。
(2)点$P(z)$が直線$AB$上を動くとき、$z^2$の実部を$x$、虚部を$y$として、点$Q(z^2)$の軌跡
を$x,y$の方程式で表せ。
(3)点$P(z)$が三角形$OAB$の周および内部にあるとき、点$Q(z^2)$全体のなす図形をK
とする。$K$を複素数平面上に図示せよ。
(4)(3)の図形$K$の面積を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{3}}$ 複素数$\alpha=2+i,$ $\beta=-\displaystyle \frac{1}{2}+i$に対応する複素数平面上の点を$A(\alpha),\ B(\beta)$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点$C(\alpha^2),\ D(\beta^2)$と原点$O$の3点は一直線上にあることを示せ。
(2)点$P(z)$が直線$AB$上を動くとき、$z^2$の実部を$x$、虚部を$y$として、点$Q(z^2)$の軌跡
を$x,y$の方程式で表せ。
(3)点$P(z)$が三角形$OAB$の周および内部にあるとき、点$Q(z^2)$全体のなす図形をK
とする。$K$を複素数平面上に図示せよ。
(4)(3)の図形$K$の面積を求めよ。
2021早稲田大学理工学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2021年理工学部第４問〜はさみうちの原理と区分求積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}$
(1)$a$は$0 \lt a \leqq \displaystyle \frac{1}{2}$を満たす定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$a\left(x-\displaystyle \frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)$ が成り立つことを示しなさい。
(2)$b$を実数の定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$\log\left(1+\displaystyle \frac{1}{2}x\right) \leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\lim_{t \to +0}\int_0^{\displaystyle \frac{k}{n}}\displaystyle \frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }$である。また
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }$ である。
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${\Large\boxed{4}}\hspace{240pt}$
(1)$a$は$0 \lt a \leqq \displaystyle \frac{1}{2}$を満たす定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$a\left(x-\displaystyle \frac{x^2}{4}\right) \leqq \log(1+ax)$ が成り立つことを示しなさい。
(2)$b$を実数の定数とする。$x \geqq 0$の範囲で不等式
$\log\left(1+\displaystyle \frac{1}{2}x\right) \leqq bx$
が成り立つような$b$の最小値は$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
(3)$n$と$k$を自然数とし、$I(n,k)=\lim_{t \to +0}\int_0^{\displaystyle \frac{k}{n}}\displaystyle \frac{\log\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}tx\right)}{t(1+x)}dx$
とおく。$I(n,k)$を求めると、$I(n,k)=\boxed{\ \ チ\ \ }$である。また
$\lim_{n \to \infty}\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^nI(n,k)=\boxed{\ \ ツ\ \ }$ である。
【数Ⅲ】積分法：①逆関数を用いた積分！ 曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
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曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
【数Ⅲ】積分法：②バウムクーヘン型積分！ 曲線y=e^x,x=1,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
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曲線$y=e^x,x=1$,x軸,y軸によって囲まれた部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ
【数Ⅲ-177(最終回)】速度と道のり②(平面運動編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)
ポイント
平面上を運動する点$P$の座標$(x,y)$が、時刻$t$の関数$x=f(t)$、$y=g(t)$で表されるとき、 点$P$が時刻$t=a$から$t=b$までの間に通過する道のり$S$は
$S=$ ①
②
平面上を動く点$P$の時刻における座標$(x,y)$が$x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$で与えられている。
このとき、$t=0$から$t=\pi$までの間に点$P$の動いた道のりを求めよ。
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数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)
ポイント
平面上を運動する点$P$の座標$(x,y)$が、時刻$t$の関数$x=f(t)$、$y=g(t)$で表されるとき、 点$P$が時刻$t=a$から$t=b$までの間に通過する道のり$S$は
$S=$ ①
②
平面上を動く点$P$の時刻における座標$(x,y)$が$x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$で与えられている。
このとき、$t=0$から$t=\pi$までの間に点$P$の動いた道のりを求めよ。
【数Ⅲ-176】速度と道のり①(直線運動編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)
ポイント
数直線上を運動する点Pの速度$v$が時刻$t$の関数$v=f(t)$で表されるとき、$t=a$から$t=b$までのPの位置の変化$S$、Pの道のり$l$は
位置の変化$S=$ ①
道のり$l=$ ➁
Q
$x$軸上を運動する点の、時刻$t$における位置を$f(t)$、速度を$v(t)$とすると、$v(t)=4t-t^2$と表されるという。
$f(1)=5$のとき、次の問いに答えよ。
③時刻$t$における位置$f(t)$を求めよ。
④$t=2$から$t=5$までに点が動いた道のりを求めよ。
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数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)
ポイント
数直線上を運動する点Pの速度$v$が時刻$t$の関数$v=f(t)$で表されるとき、$t=a$から$t=b$までのPの位置の変化$S$、Pの道のり$l$は
位置の変化$S=$ ①
道のり$l=$ ➁
Q
$x$軸上を運動する点の、時刻$t$における位置を$f(t)$、速度を$v(t)$とすると、$v(t)=4t-t^2$と表されるという。
$f(1)=5$のとき、次の問いに答えよ。
③時刻$t$における位置$f(t)$を求めよ。
④$t=2$から$t=5$までに点が動いた道のりを求めよ。
【数Ⅲ-175】曲線の長さ②(媒介変数表示編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(曲線の長さ②・媒介変数表示編)
ポイント
曲線$x=f(t)$、$y=g(t) (a \leqq t \leqq b)$ の長さ$L$は $L=$①
②曲線$x=a\cos^3θ、y=a \sin^3θ (0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2})$の長さを求めよ。
ただし$a \gt 0$とする。
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数Ⅲ(曲線の長さ②・媒介変数表示編)
ポイント
曲線$x=f(t)$、$y=g(t) (a \leqq t \leqq b)$ の長さ$L$は $L=$①
②曲線$x=a\cos^3θ、y=a \sin^3θ (0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2})$の長さを求めよ。
ただし$a \gt 0$とする。
【数Ⅲ-174】曲線の長さ①(基本編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(曲線の長さ①・基本編)
ポイント
曲線$y=f(x) a \leqq x \leqq b$の長さ$L$は $L=$ ①
②$y=x \sqrt{x}(0 \leqq x \leqq \frac{4}{3})$の長さを求めよ。
③$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\log x(1 \leqq x \leqq e)$の長さを求めよ。
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数Ⅲ(曲線の長さ①・基本編)
ポイント
曲線$y=f(x) a \leqq x \leqq b$の長さ$L$は $L=$ ①
②$y=x \sqrt{x}(0 \leqq x \leqq \frac{4}{3})$の長さを求めよ。
③$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}\log x(1 \leqq x \leqq e)$の長さを求めよ。
【数Ⅲ-173】積分と体積④(媒介変数表示編)
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#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積④・媒介変数表示編)
①$0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2}$の区間において、
曲線$x=\sinθ,y＝\sin2θ$と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
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数Ⅲ(積分と体積④・媒介変数表示編)
①$0 \leqq θ \leqq \frac{\pi}{2}$の区間において、
曲線$x=\sinθ,y＝\sin2θ$と$x$軸で囲まれた図形を、$x$軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。
【数Ⅲ-172】積分と体積③(放物線と直線編)
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#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積③・放物線と直線編)
Q
次の放物線と直線とで囲まれた図形を、$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
①放物線$y=-x^2+3x$、直線$y=x$
②放物線$y=x^2-2x$、直線$y=-x+2$
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数Ⅲ(積分と体積③・放物線と直線編)
Q
次の放物線と直線とで囲まれた図形を、$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
①放物線$y=-x^2+3x$、直線$y=x$
②放物線$y=x^2-2x$、直線$y=-x+2$
18愛知県教員採用試験（数学：9番 微分と曲線の長さ）
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#微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
9⃣ $x=\sqrt 3 t^2 , y = \frac{1}{3}t^3-3t$ $(0 \leqq t \leqq 1)$
(1)$\frac{d^2y}{dx^2}$
(2)曲線の長さl
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9⃣ $x=\sqrt 3 t^2 , y = \frac{1}{3}t^3-3t$ $(0 \leqq t \leqq 1)$
(1)$\frac{d^2y}{dx^2}$
(2)曲線の長さl
14東京都教員採用試験（数学：1-6番 区分求積法）
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
1⃣(6)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k}{n^2+k^2}$
$\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n}
\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})$
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1⃣(6)$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{2k}{n^2+k^2}$
$\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{1}{n}
\displaystyle \sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n})$