数Ⅲ
数Ⅲ
福田のわかった数学〜高校３年生理系085〜グラフを描こう(7)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(7)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right. (-2 \leqq t \leqq 1)\\
\\
のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(7)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right. (-2 \leqq t \leqq 1)\\
\\
のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
自然数無限に足すとマイナスになるみたい...
福田のわかった数学〜高校３年生理系081〜グラフを描こう(3)対数関数のグラフ
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(3)\hspace{80pt}\\
\\
y=x(\log x-1)^2\hspace{30pt}\\
\\
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(3)\hspace{80pt}\\
\\
y=x(\log x-1)^2\hspace{30pt}\\
\\
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
【困難は分割せよ！】関数：ラ・サール高等学校～全国入試問題解法
単元：
#数学(中学生)#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#高校入試過去問(数学)
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
入試問題 ラ・サール高等学校
$-1 \leqq x \leqq 2, 3 \leqq y \leqq 4$
のとき、
$x^2y-y$
の最大値と最小値を求めよ。
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入試問題 ラ・サール高等学校
$-1 \leqq x \leqq 2, 3 \leqq y \leqq 4$
のとき、
$x^2y-y$
の最大値と最小値を求めよ。
x^πを微分せよ
福田の数学〜明治大学2021年理工学部第３問〜単位ベクトルと関数の増減
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} Oを原点とする座標平面上の曲線\ y=\log xをCとする。正の実数\ tに対し、\hspace{30pt}\\
曲線C上の点P(t,\log t)におけるCの法線Lの傾きは\boxed{\ \ か\ \ }である。Lに平行な\\
単位ベクトル\ \overrightarrow{ n }\ で、その\ x\ 成分が正であるものは\overrightarrow{ n }=(\boxed{\ \ き\ \ },\ \boxed{\ \ く\ \ })である。\\
さらに、rを正の定数とし、点Qを\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ OP }+r\ \overrightarrow{ n }により定めると、\\
Qの座標は(\boxed{\ \ け\ \ },\ \boxed{\ \ こ\ \ })となる。ここで点Qのx座標とy座標をtの関数と見て、\\
それぞれX(t),\ Y(t)とおくとX(t),\ Y(t)の導関数を成分とするベクトル(X'(t),\ Y'(t))\\
はrによらないベクトル(1,\ \boxed{\ \ さ\ \ })と平行であるか、零ベクトルである。\\
定数rの取り方によって関数X(t)の増減の様子は変わる。X(t)が区間\ t \gt 0で\\
常に増加するようなrの値の範囲は\boxed{\ \ し\ \ }である。また、r=2\sqrt2のとき、X(t)は\\
区間\ \boxed{\ \ す\ \ } \leqq t \leqq \boxed{\ \ せ\ \ }で減少し、区間\ 0 \lt t \leqq \boxed{\ \ す\ \ }と区間\ t \geqq \boxed{\ \ せ\ \ }で増加する。
\end{eqnarray}
2021明治大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} Oを原点とする座標平面上の曲線\ y=\log xをCとする。正の実数\ tに対し、\hspace{30pt}\\
曲線C上の点P(t,\log t)におけるCの法線Lの傾きは\boxed{\ \ か\ \ }である。Lに平行な\\
単位ベクトル\ \overrightarrow{ n }\ で、その\ x\ 成分が正であるものは\overrightarrow{ n }=(\boxed{\ \ き\ \ },\ \boxed{\ \ く\ \ })である。\\
さらに、rを正の定数とし、点Qを\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ OP }+r\ \overrightarrow{ n }により定めると、\\
Qの座標は(\boxed{\ \ け\ \ },\ \boxed{\ \ こ\ \ })となる。ここで点Qのx座標とy座標をtの関数と見て、\\
それぞれX(t),\ Y(t)とおくとX(t),\ Y(t)の導関数を成分とするベクトル(X'(t),\ Y'(t))\\
はrによらないベクトル(1,\ \boxed{\ \ さ\ \ })と平行であるか、零ベクトルである。\\
定数rの取り方によって関数X(t)の増減の様子は変わる。X(t)が区間\ t \gt 0で\\
常に増加するようなrの値の範囲は\boxed{\ \ し\ \ }である。また、r=2\sqrt2のとき、X(t)は\\
区間\ \boxed{\ \ す\ \ } \leqq t \leqq \boxed{\ \ せ\ \ }で減少し、区間\ 0 \lt t \leqq \boxed{\ \ す\ \ }と区間\ t \geqq \boxed{\ \ せ\ \ }で増加する。
\end{eqnarray}
2021明治大学理工学部過去問
福田の数学〜明治大学2021年理工学部第１問(4)〜定積分で表された関数と変曲点
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 連続関数f(x)は区間\ x \geqq 0で正の値をとり、区間\ x \gt 0で微分可能\\
かつf'(x)≠0であるとする。さらに、実数の定数aと関数f(x)が\\
\int_0^x3t^2f(t)dt-(x^3+3)f(x)+\log f(x)=a (x \geqq 0)\\
を満たすとする。このとき\\
a=-\boxed{\ \ ヌ\ \ }-\log\boxed{\ \ ネ\ \ }\\
である。また、曲線\ y=f(x)\ (x \gt 0)の変曲点のx座標をpとすると\\
p^3=\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハ\ \ }}\ である。ただし、\log xはxの自然対数である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 連続関数f(x)は区間\ x \geqq 0で正の値をとり、区間\ x \gt 0で微分可能\\
かつf'(x)≠0であるとする。さらに、実数の定数aと関数f(x)が\\
\int_0^x3t^2f(t)dt-(x^3+3)f(x)+\log f(x)=a (x \geqq 0)\\
を満たすとする。このとき\\
a=-\boxed{\ \ ヌ\ \ }-\log\boxed{\ \ ネ\ \ }\\
である。また、曲線\ y=f(x)\ (x \gt 0)の変曲点のx座標をpとすると\\
p^3=\frac{\boxed{\ \ ノ\ \ }}{\boxed{\ \ ハ\ \ }}\ である。ただし、\log xはxの自然対数である。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系079〜グラフを描こう(1)分数関数のグラフ
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(1)\\
\\
y=\frac{x^2}{x-1}\ のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(1)\\
\\
y=\frac{x^2}{x-1}\ のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
数学「大学入試良問集」【19−24 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#奈良教育大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$xyz$空間の$xy$平面上に曲線$C:y=x^2,z=0$ 直線$l:y=x+a,z=0(a \leqq 1)$がある。
いま$C$と$l$の交点を$P,Q$とし、線分$PQ$を底辺とする正三角形$PQR$を$xy$平面に垂直に作る。
直線$l$を$a=1$から$C$に接するまで動かすとき、この三角形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ。
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$xyz$空間の$xy$平面上に曲線$C:y=x^2,z=0$ 直線$l:y=x+a,z=0(a \leqq 1)$がある。
いま$C$と$l$の交点を$P,Q$とし、線分$PQ$を底辺とする正三角形$PQR$を$xy$平面に垂直に作る。
直線$l$を$a=1$から$C$に接するまで動かすとき、この三角形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系078〜極値(2)極値を求める
単元：
#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極値(2)\\
f(x)=x^2e^{-|x-a|} (a \gt 2)\ の極値を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極値(2)\\
f(x)=x^2e^{-|x-a|} (a \gt 2)\ の極値を求めよ。
\end{eqnarray}
数学「大学入試良問集」【19−23 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京学芸大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
図のような1辺の長さ$a$の立方体
$ABCD-EFGH$がある。
線分$AF,BG,CH,DE$上にそれぞれ動点$P,Q,R,S$があり、頂点$A,B,C,D$を同時に出発して同じ速さで頂点$F,G,H,E$まで動く。
このとき、四角形$PQRS$が通過してできる立体の体積を求めよ。
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図のような1辺の長さ$a$の立方体
$ABCD-EFGH$がある。
線分$AF,BG,CH,DE$上にそれぞれ動点$P,Q,R,S$があり、頂点$A,B,C,D$を同時に出発して同じ速さで頂点$F,G,H,E$まで動く。
このとき、四角形$PQRS$が通過してできる立体の体積を求めよ。
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第４問〜極方程式と曲線で囲まれた面積
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\ \theta)を考える。\\
k \gt 0として、極方程式\\
r(\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta})^2=k (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})\\
で表される曲線をC(k)とする。曲線C(k)上の点を直交座標(x,\ y)で表せばxの\\
とりうる値の範囲は、\boxed{\ \ ア\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
曲線C(k)とx軸、y軸で囲まれた図形の面積をS(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \\
でなる。直交座標が(\frac{k}{4},\ \frac{k}{4})である曲線\ C(k)上の点Aにおける曲線C(k)の接線l\\
の方程式は、y=\boxed{\ \ エ\ \ }となる。曲線\ C(k)と直線l、およびx軸で囲まれた\\
図形の面積をT(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ オ\ \ }\ T(k)が成り立つ。0 \lt m \lt nを\\
満たす実数m,nに対して、S(n)-S(m)がT(n)と等しくなるのは、\\
\\
\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ \ \ }}\ のときである。\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }\ 、\boxed{\ \ ウ\ \ }の解答群\\
⓪\sqrt k ①k ②k^2 ③\frac{\sqrt 2}{2} ④\frac{\sqrt 2}{3} \\
⑤\frac{k}{2} ⑥\frac{k}{3} ⑦\frac{k^2}{4} ⑧\frac{k^2}{5} ⑨\frac{k^2}{6} \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪x+\frac{k}{2} ①x+\frac{k}{4} ②-x+\frac{k}{2} ③-x+\frac{k}{4} ④2x-\frac{k}{2} \\
⑤2x-\frac{k}{4} ⑥2x-\frac{3k}{4} ⑦-2x+\frac{k}{2} ⑧-2x+\frac{k}{4} ⑨-2x+\frac{3k}{4}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\ \theta)を考える。\\
k \gt 0として、極方程式\\
r(\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta})^2=k (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})\\
で表される曲線をC(k)とする。曲線C(k)上の点を直交座標(x,\ y)で表せばxの\\
とりうる値の範囲は、\boxed{\ \ ア\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
曲線C(k)とx軸、y軸で囲まれた図形の面積をS(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \\
でなる。直交座標が(\frac{k}{4},\ \frac{k}{4})である曲線\ C(k)上の点Aにおける曲線C(k)の接線l\\
の方程式は、y=\boxed{\ \ エ\ \ }となる。曲線\ C(k)と直線l、およびx軸で囲まれた\\
図形の面積をT(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ オ\ \ }\ T(k)が成り立つ。0 \lt m \lt nを\\
満たす実数m,nに対して、S(n)-S(m)がT(n)と等しくなるのは、\\
\\
\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ \ \ }}\ のときである。\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }\ 、\boxed{\ \ ウ\ \ }の解答群\\
⓪\sqrt k ①k ②k^2 ③\frac{\sqrt 2}{2} ④\frac{\sqrt 2}{3} \\
⑤\frac{k}{2} ⑥\frac{k}{3} ⑦\frac{k^2}{4} ⑧\frac{k^2}{5} ⑨\frac{k^2}{6} \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪x+\frac{k}{2} ①x+\frac{k}{4} ②-x+\frac{k}{2} ③-x+\frac{k}{4} ④2x-\frac{k}{2} \\
⑤2x-\frac{k}{4} ⑥2x-\frac{3k}{4} ⑦-2x+\frac{k}{2} ⑧-2x+\frac{k}{4} ⑨-2x+\frac{3k}{4}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
数学「大学入試良問集」【19−22 積分と不等式・無限級数の良問】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
自然数$n$に対して$S(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}x^{2k-2},R(x)=\displaystyle \frac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}$とする。
さらに$f(x)=\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$とする。このとき、次の問いに答えよ。
（1）等式$\displaystyle \frac{0}{1}S(x)dx=\displaystyle \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\displaystyle \frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ。
（2）定積分$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx$の値を求めよ。
（3）等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ。
（4）不等式$|\displaystyle \int_{0}^{1}R(x)dx| \leqq \displaystyle \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ。
（5）無限階級$1-\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{5}-\displaystyle \frac{1}{7}+・・・$の和を求めよ。
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自然数$n$に対して$S(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}x^{2k-2},R(x)=\displaystyle \frac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}$とする。
さらに$f(x)=\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$とする。このとき、次の問いに答えよ。
（1）等式$\displaystyle \frac{0}{1}S(x)dx=\displaystyle \sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\displaystyle \frac{1}{2k-1}$が成り立つことを示せ。
（2）定積分$\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)dx$の値を求めよ。
（3）等式$S(x)=f(x)-R(x)$が成り立つことを示せ。
（4）不等式$|\displaystyle \int_{0}^{1}R(x)dx| \leqq \displaystyle \frac{1}{2n+1}$が成り立つことを示せ。
（5）無限階級$1-\displaystyle \frac{1}{3}+\displaystyle \frac{1}{5}-\displaystyle \frac{1}{7}+・・・$の和を求めよ。
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第３問(2)〜面積と回転体の体積
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#面積・体積・長さ・速度#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} (2)\ 曲線y=\log xをCとする。t \gt eとして、C上の点P(t,\ \log t)におけるCの\\
接線lとx軸との交点をQ、y軸との交点をRとおく。また、(0,\ \log t)で表される\\
点をSとおく。点Qのx座標は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ であり、点Rのy座標は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ である。\\
座標平面の原点をOとすると、a \gt 0のとき、線分ORと線分RSの長さの比が\\
a:1となるのは、t=\boxed{\ \ オ\ \ }のときである。したがって、三角形OQRの面積が\\
三角形SPRの面積の9倍となるのは、t=\boxed{\ \ カ\ \ }のときである。\\
曲線Cとx軸、および直線x=\boxed{\ \ カ\ \ }で囲まれた図形をy軸のまわりに一回転\\
させてできる回転体の体積は\boxed{\ \ キ\ \ }\ \piとなる。\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }\ 、\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪1-\log t ①1-2\log t ②\log t-1 ③2\log t-1 ④t(1-\log t)\\
⑤t(1-\log t) ⑥t(\log t-1) ⑦t(2\log t-1) ⑧2t(1-\log t) ⑨2t(\log t-1)\\
\\
\boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
⓪1-\log t ①1-2\log t ②\log t-1 ③2\log t-1 ④t(1-\log t)\\
⑤t(1-2\log t) ⑥t(\log t-1) ⑦t(2\log t-1) ⑧2t(1-\log t) ⑨2t(\log t-1)\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ 、\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
⓪\ e^4 ①\ e^8 ②\ \frac{e^4-1}{2} ③\ \frac{e^8-1}{2} ④\ \frac{5e^4-1}{2} \\
⑤\ \frac{9e^8-1}{2} ⑥\ \frac{3e^4+1}{2} ⑦\ \frac{7e^8+1}{2} ⑧4e^8-e^4+1 ⑨3e^8+1
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} (2)\ 曲線y=\log xをCとする。t \gt eとして、C上の点P(t,\ \log t)におけるCの\\
接線lとx軸との交点をQ、y軸との交点をRとおく。また、(0,\ \log t)で表される\\
点をSとおく。点Qのx座標は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ であり、点Rのy座標は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ である。\\
座標平面の原点をOとすると、a \gt 0のとき、線分ORと線分RSの長さの比が\\
a:1となるのは、t=\boxed{\ \ オ\ \ }のときである。したがって、三角形OQRの面積が\\
三角形SPRの面積の9倍となるのは、t=\boxed{\ \ カ\ \ }のときである。\\
曲線Cとx軸、および直線x=\boxed{\ \ カ\ \ }で囲まれた図形をy軸のまわりに一回転\\
させてできる回転体の体積は\boxed{\ \ キ\ \ }\ \piとなる。\\
\\
\boxed{\ \ ウ\ \ }\ 、\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪1-\log t ①1-2\log t ②\log t-1 ③2\log t-1 ④t(1-\log t)\\
⑤t(1-\log t) ⑥t(\log t-1) ⑦t(2\log t-1) ⑧2t(1-\log t) ⑨2t(\log t-1)\\
\\
\boxed{\ \ オ\ \ }\ の解答群\\
⓪1-\log t ①1-2\log t ②\log t-1 ③2\log t-1 ④t(1-\log t)\\
⑤t(1-2\log t) ⑥t(\log t-1) ⑦t(2\log t-1) ⑧2t(1-\log t) ⑨2t(\log t-1)\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }\ 、\boxed{\ \ キ\ \ }\ の解答群\\
⓪\ e^4 ①\ e^8 ②\ \frac{e^4-1}{2} ③\ \frac{e^8-1}{2} ④\ \frac{5e^4-1}{2} \\
⑤\ \frac{9e^8-1}{2} ⑥\ \frac{3e^4+1}{2} ⑦\ \frac{7e^8+1}{2} ⑧4e^8-e^4+1 ⑨3e^8+1
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第３問(1)〜定積分と極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} (1)\ k \gt 0として、次の定積分を考える。\hspace{130pt}\\
F(k)=\int_0^1\frac{e^{kx}-1}{e^{kx}+1}\ dx\\
このとき、F(2)=\log(\boxed{\ \ ア\ \ })となる。また、\lim_{k \to \infty}F(k)=\boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
⓪\ \frac{e+1}{e} ①\ \frac{e^2+1}{e} ②\ \frac{e^4+1}{e} ③\ \frac{e^6+1}{e} ④\ \frac{e^8+1}{e}\\
⑤\ \frac{e+1}{2e} ⑥\ \frac{e^2+1}{2e} ⑦\ \frac{e^4+1}{2e} ⑧\ \frac{e^6+1}{2e} ⑨\ \frac{e^8+1}{2e}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} (1)\ k \gt 0として、次の定積分を考える。\hspace{130pt}\\
F(k)=\int_0^1\frac{e^{kx}-1}{e^{kx}+1}\ dx\\
このとき、F(2)=\log(\boxed{\ \ ア\ \ })となる。また、\lim_{k \to \infty}F(k)=\boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
\\
\boxed{\ \ ア\ \ }\ の解答群\\
⓪\ \frac{e+1}{e} ①\ \frac{e^2+1}{e} ②\ \frac{e^4+1}{e} ③\ \frac{e^6+1}{e} ④\ \frac{e^8+1}{e}\\
⑤\ \frac{e+1}{2e} ⑥\ \frac{e^2+1}{2e} ⑦\ \frac{e^4+1}{2e} ⑧\ \frac{e^6+1}{2e} ⑨\ \frac{e^8+1}{2e}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系077〜極値(1)極大値をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極値(1)\\
f(x)=\frac{a-\cos x}{a+\sin x}\ が0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}の範囲で\\
極大値をもつように定数aの値の範囲を定めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 極値(1)\\
f(x)=\frac{a-\cos x}{a+\sin x}\ が0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}の範囲で\\
極大値をもつように定数aの値の範囲を定めよ。
\end{eqnarray}
数学「大学入試良問集」【19−21 定積分関数の超良問（面積）】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)$を$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt$で定める。
（1）$y=f(x)$の$x=1$における法線の方程式を求めよ。
（2）（1）で求めた法線と$x$軸および$y=f(x)$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
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関数$f(x)$を$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}\displaystyle \frac{1}{1+t^2}dt$で定める。
（1）$y=f(x)$の$x=1$における法線の方程式を求めよ。
（2）（1）で求めた法線と$x$軸および$y=f(x)$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。
【数Ⅲ】微分法：媒介変数で表された関数の2回微分
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
xの関数yが、$\theta$を媒介変数として、$x=\cos\theta-1、y=2\sin\theta+1$と表される時、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$を$\theta$の関数として表そう。
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xの関数yが、$\theta$を媒介変数として、$x=\cos\theta-1、y=2\sin\theta+1$と表される時、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$を$\theta$の関数として表そう。
【数Ⅲ】極限：関数の極限 ガウス記号を含む極限
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を調べよう。
(1)$\displaystyle \lim_{x\to 2}[x],$
(2)$\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
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次の極限を調べよう。
(1)$\displaystyle \lim_{x\to 2}[x],$
(2)$\displaystyle \lim_{x\to 1}([2x]-[x])$
数学「大学入試良問集」【19−20 媒介変数のグラフと曲線の長さ、面積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$r$を正の定数とする。
$xy$平面上を時刻$t=0$から$t=\pi$まで運動する点$P(x,y)$の座標が$x=2r(t-\sin\ t\cos\ t),y=2r\ \sin^2t$であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点$P$が描く曲線の概形を、$xy$平面上にかけ。
（2）
点$P$が時刻$t=0$から$t=\pi$までに動く道のり$S$は、
$S=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sqrt{ \left[ \dfrac{ dx }{ dt } \right]^2+\left[ \dfrac{ dy }{ dt } \right]^2 }\ dt$で与えられる。
このとき、$S$の値を求めよ。
（3）点$P$が描く曲線と$x$軸で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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$r$を正の定数とする。
$xy$平面上を時刻$t=0$から$t=\pi$まで運動する点$P(x,y)$の座標が$x=2r(t-\sin\ t\cos\ t),y=2r\ \sin^2t$であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点$P$が描く曲線の概形を、$xy$平面上にかけ。
（2）
点$P$が時刻$t=0$から$t=\pi$までに動く道のり$S$は、
$S=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sqrt{ \left[ \dfrac{ dx }{ dt } \right]^2+\left[ \dfrac{ dy }{ dt } \right]^2 }\ dt$で与えられる。
このとき、$S$の値を求めよ。
（3）点$P$が描く曲線と$x$軸で囲まれた部分を、$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
【数Ⅲ】極限：関数の極限 x=-tの置換
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+2x+3}+x)$
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次の極限を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(\sqrt{x^2+2x+3}+x)$
【数Ⅲ】極限：3乗根を含む極限、3乗根の有理化：次の極限を求めよう。lim[x→0]{∛(1+x)-∛(1-x)}／x
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
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次の極限を求めよう。
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}$
【数Ⅲ】極限：3乗根を含む極限、3乗根の有理化
数学「大学入試良問集」【19−19 定積分で示された関数の最大最小】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#中京大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}(x\ \cos\ t-\sin\ t)dt(0 \leqq x \leqq 2\pi)$について次の問いに答えよ。
（1）$f(x)$を微分せよ。
（2）$f(x)$の最大値と最小値、およびそのときの$x$の値を求めよ。
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関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}(x\ \cos\ t-\sin\ t)dt(0 \leqq x \leqq 2\pi)$について次の問いに答えよ。
（1）$f(x)$を微分せよ。
（2）$f(x)$の最大値と最小値、およびそのときの$x$の値を求めよ。
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第１問〜関数の増減と面積
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 関数f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2}) の定義域は-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}であり、\\
f(x)はx=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}のとき、最大値\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}をとる。曲線y=f(x)、\\
\\
直線y=2xおよびy軸で囲まれた図形の面積は\boxed{\ \ ケ\ \ }となる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi ①\frac{\sqrt3}{36}\pi ②\frac{\sqrt3}{72}\pi ③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi\\
⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 関数f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2}) の定義域は-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}であり、\\
f(x)はx=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}のとき、最大値\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}をとる。曲線y=f(x)、\\
\\
直線y=2xおよびy軸で囲まれた図形の面積は\boxed{\ \ ケ\ \ }となる。\\
\\
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\boxed{\ \ ケ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi ①\frac{\sqrt3}{36}\pi ②\frac{\sqrt3}{72}\pi ③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi\\
⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系076〜平均値の定理(4)数列の極限の問題
単元：
#数列#漸化式#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#接線と法線・平均値の定理#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 平均値の定理(4)\hspace{120pt}\\
微分可能な関数f(x)がf(1)=1, 0 \lt f'(x) \leqq \frac{1}{2}を満たしている。\\
a_{n+1}=f(a_n)で定義される数列\left\{a_n\right\}について、\lim_{n \to \infty}a_n=1であることを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 平均値の定理(4)\hspace{120pt}\\
微分可能な関数f(x)がf(1)=1, 0 \lt f'(x) \leqq \frac{1}{2}を満たしている。\\
a_{n+1}=f(a_n)で定義される数列\left\{a_n\right\}について、\lim_{n \to \infty}a_n=1であることを示せ。
\end{eqnarray}
数学「大学入試良問集」【19−18 円をy軸回転させた回転体の体積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高知大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
図形$C:y^2+(x-1)^2 \leqq 4$を$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
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図形$C:y^2+(x-1)^2 \leqq 4$を$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
数学「大学入試良問集」【19−17 こぼれた水の体積と定積分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
水を満たした半径2の半球体の容器がある。
これを静かに$\alpha^{ \circ }$傾けたとき、水面が$h$だけ下がり、こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が$11:5$になった。
$h$と$\alpha$を求めよ。
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水を満たした半径2の半球体の容器がある。
これを静かに$\alpha^{ \circ }$傾けたとき、水面が$h$だけ下がり、こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が$11:5$になった。
$h$と$\alpha$を求めよ。
数学「大学入試良問集」【19−16 x軸・y軸回転体の体積の求め方】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#富山県立大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
双曲線$x^2-\displaystyle \frac{y^2}{3}=1$と$2$直線$y=3,y=-3$で囲まれた部分を、$x$軸、$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を、それぞれ$V_1,V_2$とする。
$\displaystyle \frac{V_1}{V_2}$を求めよ。
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双曲線$x^2-\displaystyle \frac{y^2}{3}=1$と$2$直線$y=3,y=-3$で囲まれた部分を、$x$軸、$y$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を、それぞれ$V_1,V_2$とする。
$\displaystyle \frac{V_1}{V_2}$を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系075〜平均値の定理(3)近似値計算の問題
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 平均値の定理(3)\\
\log4=1.3863を用いて\log4.03の値を小数第4位まで求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 平均値の定理(3)\\
\log4=1.3863を用いて\log4.03の値を小数第4位まで求めよ。
\end{eqnarray}