数Ⅲ
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大学入試問題#624「手抜きです。すみません」 横浜市立医学部(2004)
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ#横浜市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} log\displaystyle \frac{x+2}{x+1}dx$
出典：2004年横浜市立大学医学部 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} log\displaystyle \frac{x+2}{x+1}dx$
出典：2004年横浜市立大学医学部 入試問題
大学入試問題#623「えぐいの見た目だけ」 岩手大学(2021) #極限 僚太さんの紹介
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } (\displaystyle \frac{x\ \tan\ x}{\sqrt{ \cos2x }-\cos\ x}+\displaystyle \frac{x}{\tan2x})$
出典：2021年岩手大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } (\displaystyle \frac{x\ \tan\ x}{\sqrt{ \cos2x }-\cos\ x}+\displaystyle \frac{x}{\tan2x})$
出典：2021年岩手大学 入試問題
大学入試問題#622「公式にしたがって」 九州歯科大学(2016) #級数 僚太さんの紹介
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#九州歯科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x^2+8x+c=0$の異なる2つの実数解を$\alpha,\beta$とする
$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (\alpha-\beta)^{2k}=3$のとき$c$の値を求めよ。
出典：2010年九州歯科大学 入試問題
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$x^2+8x+c=0$の異なる2つの実数解を$\alpha,\beta$とする
$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty (\alpha-\beta)^{2k}=3$のとき$c$の値を求めよ。
出典：2010年九州歯科大学 入試問題
大学入試問題#621「これは、ぜひ挑戦してほしい」 防衛医科大学(2016) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#防衛医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \{\displaystyle \frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle \frac{2}{(2x-1)^2}\}^{3x}$
出典：2016年防衛医科大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \{\displaystyle \frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle \frac{2}{(2x-1)^2}\}^{3x}$
出典：2016年防衛医科大学 入試問題
大学入試問題#620「ほぼ一択」 横浜国立大学(2023) #定積分 僚太さんの紹介
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{log\frac{\pi}{4}}^{log\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{e^{2x}}{\{\sin(e^x)\}^2} dx$
出典：2023年横浜国立大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{log\frac{\pi}{4}}^{log\frac{\pi}{2}} \displaystyle \frac{e^{2x}}{\{\sin(e^x)\}^2} dx$
出典：2023年横浜国立大学 入試問題
これどゆこと？
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#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
五条悟の無下限呪術がアキレスと亀らしんですが，どういうことですか？
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五条悟の無下限呪術がアキレスと亀らしんですが，どういうことですか？
【三角関数の微分】三角関数の微分の導出について解説しました！【数学III】
大学入試問題#619「正面突破」 福岡女子大学(2021) #定積分 僚太さんの紹介
単元：
#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle \frac{1}{x^2}log\sqrt{ 9-x^2 }\ dx$
出典：2021年福岡女子大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{1}^{2} \displaystyle \frac{1}{x^2}log\sqrt{ 9-x^2 }\ dx$
出典：2021年福岡女子大学 入試問題
大学入試問題#618「とりあえず置換積分かな」 福岡大学医学部(2016) #定積分 僚太さんの紹介
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#福岡大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{\frac{5}{2}} (x-1)\sqrt{ -x^2+4x-3 }\ dx$
出典：2016年福岡大学医学部 入試問題
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$\displaystyle \int_{1}^{\frac{5}{2}} (x-1)\sqrt{ -x^2+4x-3 }\ dx$
出典：2016年福岡大学医学部 入試問題
福田の数学〜東京理科大学2023年創域理工学部第2問〜直線の交点と関数の最大
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 座標平面上に点A(2,0)と点B(0,1)がある。正の実数$t$に対して、$x$軸上の点P(2+$t$, 0)と$y$軸上の点Q(0, 1+$\displaystyle\frac{1}{t}$)を考える。
(1)直線AQの方程式を、$t$を用いて表せ。
(2)直線BPの方程式を、$t$を用いて表せ。
直線AQと直線BPの交点をR($u$,$v$)とする。
(3)$u$と$v$を、$t$を用いて表せ。
(4)$t$＞0の範囲で、$u$+$v$の値を最大にする$t$の値を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ 座標平面上に点A(2,0)と点B(0,1)がある。正の実数$t$に対して、$x$軸上の点P(2+$t$, 0)と$y$軸上の点Q(0, 1+$\displaystyle\frac{1}{t}$)を考える。
(1)直線AQの方程式を、$t$を用いて表せ。
(2)直線BPの方程式を、$t$を用いて表せ。
直線AQと直線BPの交点をR($u$,$v$)とする。
(3)$u$と$v$を、$t$を用いて表せ。
(4)$t$＞0の範囲で、$u$+$v$の値を最大にする$t$の値を求めよ。
大学入試問題#617「極限2本」 関西大学(2021) #極限
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#関西大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
（1）$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{1}{x}(\displaystyle \frac{1}{3-\sin2x}-\displaystyle \frac{1}{3+\sin2x})$
（2）$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{1}{x^2}(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 3-\sin^22x }}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 3+\sin^22x }})$
出典：2021年関西大学 入試問題
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（1）$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{1}{x}(\displaystyle \frac{1}{3-\sin2x}-\displaystyle \frac{1}{3+\sin2x})$
（2）$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{1}{x^2}(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 3-\sin^22x }}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 3+\sin^22x }})$
出典：2021年関西大学 入試問題
工夫が必要な回転体の体積 By にっし～Diaryさん
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#数Ⅱ#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#不定積分・定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$C_1:y=x^2$と$C_2:y=a\ log\ x$は$x=k$で接する
（1）$a$の値を求めよ
（2）$C_1,C_2,x$軸で囲まれた部分を、直線$x=k$を中心に回転させてできる体積を求めよ
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$C_1:y=x^2$と$C_2:y=a\ log\ x$は$x=k$で接する
（1）$a$の値を求めよ
（2）$C_1,C_2,x$軸で囲まれた部分を、直線$x=k$を中心に回転させてできる体積を求めよ
工夫が必要な極限問題 By 英語orドイツ語シはBかHか さん #極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{k}{(n+k-1)(n+k)}$
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{k}{(n+k-1)(n+k)}$
福田の数学〜中央大学2023年理工学部第4問〜関数方程式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京理科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 以下の問いに答えよ。
(1)整式$f(x)$=$a_nx^n$+$a_{n-1}x^{n-1}$+...+$a_1x$+$a_0$ ($a_0$≠0)に対し、
$f(x+1)$－$f(x)$=$b_nx^n$+$b_{n-1}x^{n-1}$+...+$b_1x$+$b_0$ ($a_0$≠0)
と表すとき、$b_n$と$b_{n-1}$を求めよ。
(2)整式$g(x)$が恒等式$g(x+1)$－$g(x)$=$(x-1)x(x+1)$および$g(0)$=0を満たすとき、$g(x)$を求めよ。
(3)整式$h(x)$が恒等式$h(2x+1)$－$h(2x)$=$h(x)$－$x^2$を満たすとき、$h(x)$を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 以下の問いに答えよ。
(1)整式$f(x)$=$a_nx^n$+$a_{n-1}x^{n-1}$+...+$a_1x$+$a_0$ ($a_0$≠0)に対し、
$f(x+1)$－$f(x)$=$b_nx^n$+$b_{n-1}x^{n-1}$+...+$b_1x$+$b_0$ ($a_0$≠0)
と表すとき、$b_n$と$b_{n-1}$を求めよ。
(2)整式$g(x)$が恒等式$g(x+1)$－$g(x)$=$(x-1)x(x+1)$および$g(0)$=0を満たすとき、$g(x)$を求めよ。
(3)整式$h(x)$が恒等式$h(2x+1)$－$h(2x)$=$h(x)$－$x^2$を満たすとき、$h(x)$を求めよ。
【割り算の微分】商の微分の導出について解説しました！【数学III】
福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$, ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。
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$\Large\boxed{3}$ $e$を自然定数の底とする。自然数$n$に対して、
$S_n$=$\displaystyle\int_1^e(\log x)^n dx$
とする。
(1)$S_1$の値を求めよ。
(2)すべての自然数$n$に対して、
$S_n$=$a_n e$+$b_n$, ただし$a_n$, $b_n$はいずれも整数
と表されることを証明せよ。
福田の数学〜上智大学2023年理工学部第2問〜逆関数の微分積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ 関数$f(x)$=$\sin x$ $\left(0≦x≦\frac{\pi}{2}\right)$の逆関数を$g(x)$とする。
(1)関数$g(x)$の定義域は$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(2)$y$=$g(x)$の$x$=$\frac{4}{5}$における接線の傾きは$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(3)$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}g(x)dx$=$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ク\ \ }$+$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(4)$y$=$g(x)$のグラフと$x$=1および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は$\displaystyle\frac{\pi^a}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ス\ \ }\pi$ ただし$a$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
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$\Large{\boxed{2}}$ 関数$f(x)$=$\sin x$ $\left(0≦x≦\frac{\pi}{2}\right)$の逆関数を$g(x)$とする。
(1)関数$g(x)$の定義域は$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(2)$y$=$g(x)$の$x$=$\frac{4}{5}$における接線の傾きは$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(3)$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}g(x)dx$=$\displaystyle\frac{\pi}{\boxed{\ \ キ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ク\ \ }$+$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{\boxed{\ \ コ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ サ\ \ }}$である。
(4)$y$=$g(x)$のグラフと$x$=1および$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は$\displaystyle\frac{\pi^a}{\boxed{\ \ シ\ \ }}$+$\boxed{\ \ ス\ \ }\pi$ ただし$a$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
【積の微分】積の微分の導出について解説しました！【数学III】
福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第4問Part2〜不等式の証明と近似値計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ $e$を自然対数の底とする。$e$=2.718...である。
(1)0≦$x$≦1において不等式1+$x$≦$e^x$≦1+2$x$が成り立つことを示せ。
(2)$n$を自然数とするとき、0≦$x$≦1において不等式
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$≦$e^x$≦$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}$
が成り立つことを示せ。
(3)0≦$x$≦1を定義域とする関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
1 (x=0)\\
\displaystyle\frac{e^x-1}{x} (0＜x≦1)
\end{array}\right.$
と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$ の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が$10^{-3}$以下である理由を説明せよ。
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$\Large{\boxed{4}}$ $e$を自然対数の底とする。$e$=2.718...である。
(1)0≦$x$≦1において不等式1+$x$≦$e^x$≦1+2$x$が成り立つことを示せ。
(2)$n$を自然数とするとき、0≦$x$≦1において不等式
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$≦$e^x$≦$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}$
が成り立つことを示せ。
(3)0≦$x$≦1を定義域とする関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
1 (x=0)\\
\displaystyle\frac{e^x-1}{x} (0＜x≦1)
\end{array}\right.$
と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$ の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が$10^{-3}$以下である理由を説明せよ。
福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第4問Part1〜不等式の証明と近似値計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{4}}$ $e$を自然対数の底とする。$e$=2.718...である。
(1)0≦$x$≦1において不等式1+$x$≦$e^x$≦1+2$x$が成り立つことを示せ。
(2)$n$を自然数とするとき、0≦$x$≦1において不等式
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$≦$e^x$≦$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}$
が成り立つことを示せ。
(3)0≦$x$≦1を定義域とする関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
1 (x=0)\\
\displaystyle\frac{e^x-1}{x} (0＜x≦1)
\end{array}\right.$
と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$ の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が$10^{-3}$以下である理由を説明せよ。
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$\Large{\boxed{4}}$ $e$を自然対数の底とする。$e$=2.718...である。
(1)0≦$x$≦1において不等式1+$x$≦$e^x$≦1+2$x$が成り立つことを示せ。
(2)$n$を自然数とするとき、0≦$x$≦1において不等式
$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$≦$e^x$≦$\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}$
が成り立つことを示せ。
(3)0≦$x$≦1を定義域とする関数$f(x)$を
$f(x)$=$\left\{\begin{array}{1}
1 (x=0)\\
\displaystyle\frac{e^x-1}{x} (0＜x≦1)
\end{array}\right.$
と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$ の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が$10^{-3}$以下である理由を説明せよ。
福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第3問Part2〜容器に水を入れる
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ $\pi$を円周率とする。$f(x)$=$x^2(x^2-1)$とし、$f(x)$の最小値を$m$とする。
(1)$m$=$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$ である。
(2)$y$=$f(x)$で表される曲線を$y$軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、$y$軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が$y$=$a$(ただし$m$≦$a$≦0)になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(ii)水面が$y$=0になったときの水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}\pi$ である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が$y$=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$ 乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が$y$=2になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ テ\ \ }\pi$であり、水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}\pi$ である。
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$\Large{\boxed{3}}$ $\pi$を円周率とする。$f(x)$=$x^2(x^2-1)$とし、$f(x)$の最小値を$m$とする。
(1)$m$=$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$ である。
(2)$y$=$f(x)$で表される曲線を$y$軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、$y$軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が$y$=$a$(ただし$m$≦$a$≦0)になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(ii)水面が$y$=0になったときの水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}\pi$ である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が$y$=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$ 乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が$y$=2になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ テ\ \ }\pi$であり、水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}\pi$ である。
福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第3問Part1〜容器に水を入れる
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ $\pi$を円周率とする。$f(x)$=$x^2(x^2-1)$とし、$f(x)$の最小値を$m$とする。
(1)$m$=$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$ である。
(2)$y$=$f(x)$で表される曲線を$y$軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、$y$軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が$y$=$a$(ただし$m$≦$a$≦0)になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(ii)水面が$y$=0になったときの水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}\pi$ である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が$y$=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$ 乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が$y$=2になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ テ\ \ }\pi$であり、水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}\pi$ である。
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$\Large{\boxed{3}}$ $\pi$を円周率とする。$f(x)$=$x^2(x^2-1)$とし、$f(x)$の最小値を$m$とする。
(1)$m$=$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ シ\ \ }}{\boxed{\ \ ス\ \ }}$ である。
(2)$y$=$f(x)$で表される曲線を$y$軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、$y$軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が$y$=$a$(ただし$m$≦$a$≦0)になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(ii)水面が$y$=0になったときの水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}\pi$ である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が$y$=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$ 乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が$y$=2になったときの水面の面積は$\boxed{\ \ テ\ \ }\pi$であり、水の体積は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ ト\ \ }}{\boxed{\ \ ナ\ \ }}\pi$ である。
福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第1問(3)〜連立漸化式と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ (3)$a_1$=0, $b_1$=6とし、
$a_{n+1}$=$\displaystyle\frac{a_n+b_n}{2}$, $b_{n+1}$=$a_n$ ($n$≧1)
で定まる$a_n$, $b_n$を用いて、平面上の点$P_n$($a_n$, $b_n$)($n$=1,2,3,...)を定める。
(i)点$P_n$は常に直線$y$=$\boxed{\ \ ウ\ \ }x$+$\boxed{\ \ エ\ \ }$上にある。
(ii)$n$を限りなく大きくするとき、点$P_n$は点$\left(\boxed{\ \ オ\ \ }, \boxed{\ \ カ\ \ }\right)$に限りなく近づく。
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$\Large{\boxed{1}}$ (3)$a_1$=0, $b_1$=6とし、
$a_{n+1}$=$\displaystyle\frac{a_n+b_n}{2}$, $b_{n+1}$=$a_n$ ($n$≧1)
で定まる$a_n$, $b_n$を用いて、平面上の点$P_n$($a_n$, $b_n$)($n$=1,2,3,...)を定める。
(i)点$P_n$は常に直線$y$=$\boxed{\ \ ウ\ \ }x$+$\boxed{\ \ エ\ \ }$上にある。
(ii)$n$を限りなく大きくするとき、点$P_n$は点$\left(\boxed{\ \ オ\ \ }, \boxed{\ \ カ\ \ }\right)$に限りなく近づく。
極限の基本問題 愛知県立大
単元：
#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2019愛知県立大学過去問題
$e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } (1+h)^\frac{1}{h} $
aは正の実数
$e=\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x^{x}}(x-a)^{x}$
の値
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2019愛知県立大学過去問題
$e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } (1+h)^\frac{1}{h} $
aは正の実数
$e=\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x^{x}}(x-a)^{x}$
の値
福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第5問〜定積分で定義された数列と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ $a_n$=$\displaystyle\frac{1}{n!}\int_1^e(\log x)^ndx$ ($n$=1,2,3,...)とおく。
(1)$a_1$を求めよ。
(2)不等式0≦$a_n$≦$\frac{e-1}{n!}$ が成り立つことを示せ。
(3)$n$≧2のとき、$a_n$=$\displaystyle\frac{e}{n!}$-$a_{n-1}$ であることを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ を求めよ。
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$\Large\boxed{5}$ $a_n$=$\displaystyle\frac{1}{n!}\int_1^e(\log x)^ndx$ ($n$=1,2,3,...)とおく。
(1)$a_1$を求めよ。
(2)不等式0≦$a_n$≦$\frac{e-1}{n!}$ が成り立つことを示せ。
(3)$n$≧2のとき、$a_n$=$\displaystyle\frac{e}{n!}$-$a_{n-1}$ であることを示せ。
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}$ を求めよ。
福田の数学〜青山学院大学2023年理工学部第4問〜関数の増減と実数解をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ (1)関数
$y$=$\displaystyle-\frac{\cos3x}{\sin^3x}$ (0＜$x$＜$\pi$)
の増減と極値を調べ、そのグラフの概形を描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(2)$a$を実数の定数とする。$x$についての方程式
$-\cos3x$=$a\sin^3x$
が$\displaystyle\frac{\pi}{6}$＜$x$＜$\displaystyle\frac{2\pi}{3}$の範囲に実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ (1)関数
$y$=$\displaystyle-\frac{\cos3x}{\sin^3x}$ (0＜$x$＜$\pi$)
の増減と極値を調べ、そのグラフの概形を描け。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(2)$a$を実数の定数とする。$x$についての方程式
$-\cos3x$=$a\sin^3x$
が$\displaystyle\frac{\pi}{6}$＜$x$＜$\displaystyle\frac{2\pi}{3}$の範囲に実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ。
三重大学(2016) #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#三重大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} xe^{-\frac{1}{2}x^2} dx$
出典：2016年三重大学
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$\displaystyle \int_{0}^{1} xe^{-\frac{1}{2}x^2} dx$
出典：2016年三重大学
林俊介 語りかける東大数学
単元：
#対数関数#関数と極限
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
(1)$n\in Z+$
$g(x):=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{\cos(\pi x)+1}{2} (\vert x \vert \leq 1) \\
0 (\vert x \vert \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$f(x):$連続であり,$p,q \in R$
$\vert x\vert \leq \dfrac{1}{n}$でつねに$p\leq f(x)\leq q$
$p\leq n\dfrac{\displaystyle \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx\leq q}{I}$を示せ.
(2)$ｈ(x)=:\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-\dfrac{\pi}{2}\sin(\pi x) (\vert x\vert \leq 1) \\
0 (\vert x\vert \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
次の極限を求めよ.
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\displaystyle \int_{-1}^{1} h(nx)\log(1+e^{x+1})dx $
(1)$g(x)=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{\cos(\pi x)+1}{2} (\vert x\vert \leq 1) \\
0 (\vert x\vert \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$p\leq n \displaystyle \int_{-1}^{1} g(nx) f(x)dx \leq q$
2015東大過去問
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(1)$n\in Z+$
$g(x):=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{\cos(\pi x)+1}{2} (\vert x \vert \leq 1) \\
0 (\vert x \vert \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$f(x):$連続であり,$p,q \in R$
$\vert x\vert \leq \dfrac{1}{n}$でつねに$p\leq f(x)\leq q$
$p\leq n\dfrac{\displaystyle \int_{-1}^{1} g(nx) f(x) dx\leq q}{I}$を示せ.
(2)$ｈ(x)=:\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
-\dfrac{\pi}{2}\sin(\pi x) (\vert x\vert \leq 1) \\
0 (\vert x\vert \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
次の極限を求めよ.
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^2\displaystyle \int_{-1}^{1} h(nx)\log(1+e^{x+1})dx $
(1)$g(x)=\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{\cos(\pi x)+1}{2} (\vert x\vert \leq 1) \\
0 (\vert x\vert \gt 1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$p\leq n \displaystyle \int_{-1}^{1} g(nx) f(x)dx \leq q$
2015東大過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年理工学部第4問〜定積分と不等式Part2
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ (1)0≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
以下、$b$を$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x(\cos x)^{n-1}}{(b+1-b\cos x)^n}dx$ (n=1,2,3,...)で定義する。
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}b^na_n$=0 が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{\ \ ソ\ \ }$となる。
(5)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{1}{1・2}-\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}-...+\frac{(-1)^{n+1}}{n・2^n}\right\}$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{4}$ (1)0≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
以下、$b$を$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x(\cos x)^{n-1}}{(b+1-b\cos x)^n}dx$ (n=1,2,3,...)で定義する。
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}b^na_n$=0 が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{\ \ ソ\ \ }$となる。
(5)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{1}{1・2}-\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}-...+\frac{(-1)^{n+1}}{n・2^n}\right\}$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
福田の数学〜慶應義塾大学2023年理工学部第4問〜定積分と不等式Part1
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ (1)0≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
以下、$b$を$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x(\cos x)^{n-1}}{(b+1-b\cos x)^n}dx$ (n=1,2,3,...)で定義する。
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}b^na_n$=0 が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{\ \ ソ\ \ }$となる。
(5)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{1}{1・2}-\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}-...+\frac{(-1)^{n+1}}{n・2^n}\right\}$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{4}$ (1)0≦$x$≦$\displaystyle\frac{\pi}{2}$において常に不等式|$b$|≦|$b$+1-$b\cos x$|が成り立つような実数$b$の値の範囲は$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
以下、$b$を$\boxed{\ \ シ\ \ }$≦$b$≦$\boxed{\ \ ス\ \ }$を満たす0でない実数とし、数列$\left\{a_n\right\}$を
$a_n$=$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x(\cos x)^{n-1}}{(b+1-b\cos x)^n}dx$ (n=1,2,3,...)で定義する。
(2)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}b^na_n$=0 が成り立つことを証明しなさい。
(3)$a_1$=$\boxed{\ \ セ\ \ }$である。
(4)$a_{n+1}$を$a_n$,$n$,$b$を用いて表すと$a_{n+1}$=$\boxed{\ \ ソ\ \ }$となる。
(5)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left\{\frac{1}{1・2}-\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}-...+\frac{(-1)^{n+1}}{n・2^n}\right\}$=$\boxed{\ \ タ\ \ }$である。