ベクトルと平面図形、ベクトル方程式

【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式1 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

の重心を

G

、辺

B C

の中点を

M

とし、

\vec{G A} = \vec{a}, \vec{G B} = \vec{b}

とする。
(1)

\vec{A M}

、

\vec{G C}

を

\vec{a}, \vec{b}

を用いて表せ。
(2)点

M

を通り、辺

C A

に平行な直線上の点を

P

とし、

\vec{G P} = \vec{p}

とする。この直線のベクトル方程式を、

\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}

を用いて求めよ。

問題2
２直線

l : (x, y) = (0, 3) + s (1, 2), m : (x, y) = (6, 1) + t (- 2, 3)

について、次の問いに答えよ。ただし、

s, t

は媒介変数とする。
(1)

l

と

m

の交点の座標を求めよ。
(2)点

P (4, 1)

から

l

に垂線

P Q

を下ろす。このとき、点

Q

の座標を求めよ。

問題3

△ O A B

に対して、点

P

が次の条件を満たしながら動くとき、点

P

の存在範囲を図示せよ。
(1)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, s + t = 4, s ≧ 0, t ≧ 0

(2)

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}, 0 ≦ s + t ≦ 4, s ≧ 0, t ≧ 0

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形3 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

において、

A B = 3, A C = 2, ∠ A = 60^{\circ}

，外心を

O

とする。

\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}

とするとき、

\vec{AO}

を

\vec{b}, \vec{c}

を用いて表せ。

問題2
平行四辺形

A B C D

において、次の等式が成り立つことを証明せよ。

2 (A B^{2} + B C^{2}) ＝ A C^{2} ＋ B D^{2}

問題3

△ A B C

の辺

B C

を1:2に内分する点を

D

とする。このとき、等式

2 A B^{2} + A C^{2} = 3 (A D^{2} + 2 B D^{2})

が成り立つことを証明せよ。

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【数C】【平面上のベクトル】位置ベクトル ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

の重心を

G

とするとき、この平面上の任意の点

P

に対して、等式

\vec{A P} + \vec{B P} - 2 \vec{C P} = 3 \vec{G C}

が成り立つことを証明せよ。

問題2

△ A B C

と点

P

に対して、次の等式が成り立つとき、点

P

の位置をいえ。
(1)

\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{A B}

(2)

\vec{A P} + \vec{B P} + \vec{C P} = \vec{0}

(3)

\vec{P A} + \vec{P C} = \vec{A C}

問題3

△ A B C

と点

P

に対して、等式

5 \vec{A P} + 4 \vec{B P} + 3 \vec{C P} = \vec{0}

が成り立っている。
(1)点

P

の位置をいえ。
(2)

△ P B C : △ P C A : △ P A B

を求めよ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形2 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題1

△ O A B

において、辺

O B

の中点を

M

辺

A B

を

1 : 2

に内分する点を

C

、辺

O A

を

2 : 3

に内分する点を

D

、線分

C M

と線分

B D

の交点を

P

とする。また、

\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b}

とする。
(1)

\vec{O P}

を

\vec{a}, \vec{b}

を用いて表せ。
(2)直線

O P

と辺

A B

の交点を

Q

とするとき、

A Q : Q B

を求めよ。

問題2

O A = 3, O C = 2

である長方形

O A B C

がある。辺

O A

を

1 : 2

に内分する点を

D

、辺

A B

を

3 : 1

に内分する点を

E

とするとき、

C D ⊥ O E

であることを証明せよ。

問題3
鋭角三角形

A B C

の外心を

O

、辺

B C

の中点を

M

とする。頂点

A

から辺

B C

に垂線

A N

を下ろし、線分

A N

上に点

H

を

A H = 2 O M

となるようにとると、

H

は

△ A B C

の垂心であることを証明せよ。

問題4

O A = 6, O B = 4, ∠ A O B = 60 °

である

△ O A B

において、頂点

A

から辺

O B

に垂線

A C

，頂点

B

から辺

O A

に垂線

B D

を下ろす。線分

A C

と線分

B D

の交点を

H

とするとき、

\vec{O H}

を

\vec{O A}, \vec{O B}

を用いて表せ。

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形1 ※問題文は概要欄

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題1

△ A B C

の辺

A B

，

B C

，

C A

を2:1に内分する点を、それぞれ

A_{1}

，

B 1_{1}

，

C_{1}

とする。更に、

△ A_{1} B_{1} C_{1}

の辺

A_{1} B_{1}

，

B_{1} C_{1}

を2:1に内分する点を、それぞれ

A_{2}

，

B_{2}

とする。このとき、

A_{2} B_{2} / / A B

であることを示せ。

問題2
△ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP，辺ABを1:2に内分する点をQ、辺CAの中点をRとする。
(1)3点P，Q，Rは一直線上にあることを証明せよ。
(2)QR:QPを求めよ。

問題3
平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。
(1)3点P，Q，Cは一直線上にあることを証明せよ。
(2)PQ:QCを求めよ。

問題4
△ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、辺ACを3:1に内分する点をEとし、線分CD、BEの交点をPとする。

\vec{A B} = \vec{b}

，

\vec{A C} = \vec{c}

とするとき、

\vec{A P}

を

\vec{b}

，

\vec{c}

を用いて表せ。

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福田の数学〜北海道大学2024年理系第4問〜三角形の内心の位置ベクトル

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

三角形OABが、|

\vec{O A}

|=3, |

\vec{A B}

|=5,

\vec{O A} ・ \vec{O B}

=10 を満たしているとする。
三角形OABの内接円の中心をIとし、この内接円と辺OAの接点をHとする。
(1)辺OBの長さを求めよ。
(2)

\vec{O I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)

\vec{H I}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年看護医療学部第2問(1)〜正六角形の位置ベクトル

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(1)一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、辺CDの中点をMとし、直線BEと直線AMの交点をPとする。このとき、

\vec{B C}

,

\vec{A M}

,

\vec{B P}

をそれぞれ

\vec{A B}

,

\vec{A F}

を用いて表すと

\vec{B C}

=

ク

,

\vec{A M}

=

ケ

,

\vec{B P}

=

コ

である。また、

\vec{A M}

と

\vec{B P}

の内積

\vec{A M} ・ \vec{B P}

の値は

サ

である。

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福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき

\vec{O R} = \frac{1}{k} \vec{O P} + k \vec{O Q}

を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および

lim_{k \to + 0} S (k), lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

2018東京大学理系過去問

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福田の数学〜2点が動くときはどちらか一方を固定する〜東京大学2018年文系第4問〜平面ベクトルと点の動ける領域

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
4 放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

をみたす部分を C とする。座標平面上の原点Oと点A(１，0)を考える。
( 1 )点 P が C 上を動くとき、

\vec{O Q} = 2 \vec{O P}

　をみたす点 Q の軌跡を求めよ。
( 2 )点 P が C 上を動き、点 R が線分 OA 上を動くとき

\vec{O S} = \vec{2 O P} ＋ \vec{O R}

をみたす点 S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

2018東京大学文過去問

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福田の数学〜3次方程式の解の存在範囲に関する問題〜東京大学2018年文系第3問〜関数の増減と方程式の解

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a>0とし、f(x)=

x^{3} - 3 a^{2} x

とおく。
( 1 )x

≧ 1

でf(x)が単調に増加するための aについての条件を求めよ。
( 2 )次の 2 条件を満たす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件 1 :方程式f(x)=bは相異なる 3 実数解をもつ。
条件 2 :さらに方程式f(x)=bの解を

α < β < γ

とすると、

β ＞ 1

である。

2018東京大学文過去問

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共通テストでめちゃ使えるベクトルの裏技（s, t問題）（公式）

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数C

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
共通テストで使えるベクトルの裏技説明動画です（s, t問題）

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杏林大学2023医学部第2問訂正動画

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-I, 0 , ー 2 ), B(-2, ー 2 , ー 3 ), C(1, 2 , ー 2 )がある。
(a)ベクトル

\vec{A B} と \vec{A C} の 内 積 は \vec{A B} ・ \vec{A C} = アイ

であり、

∠ A B C の 外 接 円 の 半 径 は \sqrt{ウエ}

である。

∠ A B C

の外接円の中心を点 P とすると、

\vec{A P} = オ \vec{A B} + \frac{カ}{キ} \vec{A C}

が成り立つ。
(b)

∠ A B C

の重心を点 G とすると、

\vec{O G} = \frac{ク}{ケ} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C})

であり、線分OBを 2 : 1 に内分する点を Q とすると、

\vec{A Q} = (\frac{コサ}{シ}, \frac{スセ}{ソ}, タ)

となる。
(c)線分 OC を 2 : I に内分する点を R とし、 3 点 A, Q, R を通る平面を

α

と直線OG との交点を S とする。点 S は平面にあることから、

\vec{O S} = t \vec{O A} + u \vec{O B} + v \vec{O C}

(ただし、

t, u, v は t + \frac{チ}{ツ} u + \frac{テ}{ト} v = 1

を満たす実数)
と書けるので、

\vec{O S} = \frac{ナ}{ニ} \vec{O G}

となることがわかる。
平面

α

上において、点Sは三角形AQRの

ヌ

に存在し、四面体 O-AQR の体積は四面体のO-ABCの体積の

f r a c ネ ノ

倍である。

2023杏林大学過去問

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福田の数学〜空間における三角形の外心はどうやって求める〜杏林大学2023年医学部第2問前編〜空間ベクトルと三角形の外心

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#杏林大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
点 O を原点とする座標空間に 3 点 A(-1,0,-2), B(-2,-2, -3 ), C(1, 2,- 2 )がある。
(a)ベクトル

\vec{A B} と \vec{A C} の 内 積 は \vec{A B} ・ \vec{A C} = アイ

であり、

∠ A B C の 外 接 円 の 半 径 は \sqrt{ウエ}

である。

∠ A B C

の外接円の中心を点 P とすると、

\vec{A P} = オ \vec{A B} + \frac{カ}{キ} \vec{A C}

が成り立つ。

2023杏林大学過去問

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福田の数学〜回転の概念を使って考えるよ〜北里大学2023年医学部第3問〜ベクトルの漸化式と点列

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#数列#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に 3 点

A_{0} (0, 0), B_{0} (2, 0), C_{0} (1, \sqrt{3})

があり、線分

A_{0} B_{0}, B_{0} C_{0}, C_{0} A_{0}

をそれぞれ 2 : 1 に内分する点

A_{1}, B_{1}, C_{1}

をとる。以下同様にして、正の整数nに対し、線分

A_{n} B_{n}, B_{n} C_{n}, C_{n} A_{n}

をそれぞれ 2 : 1 に内分する点

A_{n + 1}, B_{n + 1}, C_{n + 1}

をとる。また、

\vec{P_{n}} = \vec{B_{n - 1} B_{n}} (n = 1, 2, 3, ・ ・ ・)

とおく。
(1)

\vec{p_{1}}, \vec{p_{2}}

をそれぞれ成分表示せよ。
(2)

\vec{p_{n + 2}} を \vec{p_{n}}

を用いて表せ。
(3)

\sum_{k = 1}^{n} \vec{p_{2 k - 1}}

を

\vec{p - 1}

を用いて表せ。
(4)点B_{2n}の座標を求めよ。

2023北里大学医過去問

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【わかりやすく】内分点の位置ベクトルの頻出問題（数学Ｂ･位置ベクトル）

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：【ゼロから理解できる】高校数学・物理

問題文全文(内容文)：
三角形

A B C

において、辺

A B

の中点を

D

、辺

A C

を

3 : 2

に内分する点を

E

とし、線分

C D, B E

の交点を

P

とする。

\vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c}

とするとき、

\vec{A P}

を

\vec{b}, \vec{c}

を用いて表せ。

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【FULL】定期テスト直前対策！ベクトル解説動画フルパック流し【数B(新課程数C)】

単元： #平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
ベクトルのまとめ動画です。
ベクトルの基本から球面・平面の方程式まで
見たい内容のシーンをチャプターから選んで下さい！！

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福田の数学〜相反方程式の扱い方を知っていますか〜明治大学2023年理工学部第1問(2)〜相反方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)(a)

t

を実数とする。

x

についての方程式

x

+

\frac{1}{x}

=

t

　が実数解をもつための必要十分条件は

t

≦

- カ

または

t

≧

キ

　である。
(b)

k

を実数と定数とし、

f (x)

=

7 x^{4}

+

2 x^{3}

+

k x^{2}

+

2 x

+7　とする。

x

=

a

が

f (x)

=0　の解であるとき、

t

=

a

+

\frac{1}{a}

　とおくと

ク t^{2}

+

ケ t

+

(k - コ サ)

=0
が成り立つ。方程式

f (x)

=0　の異なる実数解の個数が3個となるような

k

の値は

k

=

- シ ス

　である。

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

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問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年理工学部第2問〜空間ベクトルと2直線から等距離にある点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

k

を正の実数とし、空間内に点O(0,0,0), A(4

k

,

- 4 k

,

- 4 \sqrt{2} k

), B(7, 5,

- \sqrt{2}

)をとる。点CはO, A, Bを含む平面上の点であり、OA=4BCで、四角形OACBはOAを底辺とする台形であるとする。
(1)

\cos ∠

AOB=

ア

である。台形OACBの面積を

k

を用いて表すと

イ

となる。
また、線分ACの長さを

k

を用いて表すと

ウ

となる。
(2)台形OACBが円に内接するとき、

k

=

エ

である。
(3)

k

=

エ

であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものとなる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものを

α

とする。点Oから平面

α

に下ろした垂線の長さは

オ

である。

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福田の数学〜千葉大学2023年第5問〜垂線の足の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　点Oを原点とする座標平面において、点Aと点Bが

\vec{O A}

・

\vec{O A}

=5,　

\vec{O B}

・

\vec{O B}

=2,　

\vec{O A}

・

\vec{O B}

=3を満たすとする。
(1)

\vec{O B}

=

k \vec{O A}

　となるような実数

k

は存在しないことを示せ。
(2)点Bから直線OAに下ろした垂線とOAとの交点をHとする。

\vec{H B}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。
(3)実数

t

に対し、直線OA上の点Pを

\vec{O P}

=

t \vec{O A}

となるようにとる。同様に直線OB上の点Qを

\vec{O Q}

=(1-

t

)

\vec{O B}

となるようにとる。点Pを通り直線OAと直交する直線を

l_{1}

とし、点Qを通り直線OBと直交する直線を

l_{2}

とする。

l_{1}

と

l_{2}

の交点をRとするとき、

\vec{O R}

を

\vec{O A}

,

\vec{O B}

,

t

を用いて表せ。
(4)3点O,A,Bを通る円の中心をCとするとき、

\vec{O C}

を

\vec{O A}

と

\vec{O B}

を用いて表せ。

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【数C】中高一貫校問題集4 464：平面上のベクトル：ベクトル方程式：ベクトル方程式の復習②

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #TK数学#TK数学問題集4#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
△ABC（それぞれの位置ベクトルをa、b、cとする）について、以下の問いに答えよ。
(２)頂点Aと辺BCの中点を通る直線のベクトル方程式を求めよ

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【数学】中高一貫校用問題集：平面上のベクトル：ベクトル方程式：ベクトル方程式の復習②

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【問題】

△ A B C

（それぞれの位置ベクトルを

a 、 b 、 c

とする）について、以下の問いに答えよ。
(２)頂点

A

と辺

B C

の中点を通る直線のベクトル方程式
※（１）は①の動画で解説しています。

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【数C】中高一貫校問題集4 464：平面上のベクトル：ベクトル方程式：ベクトル方程式の復習①

単元： #平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

教材： #TK数学#TK数学問題集4#中高教材

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
△ABC（それぞれの位置ベクトルをa、b、cとする）。
この時、次の問いに答えよ。
（１）点Aから辺BCに下した垂線のベクトル方程式を求めよ。

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【数学】中高一貫校用問題集：平面上のベクトル：ベクトル方程式：ベクトル方程式の復習①

単元： #平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

△ A B C

（それぞれの位置ベクトルを

a 、 b 、 c

とする）。
この時、次の問いに答えよ。
（１）点

A

から辺

B C

に下した垂線のベクトル方程式を求めよ。
※（２）は②の動画で説明

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福田の数学〜九州大学2023年理系第3問〜ベクトルと論証PART1

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#平面上のベクトル#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点Oを原点とする座標平面上の

\vec{0}

でない2つのベクトル

\vec{m}

=(

a

,

c

),

\vec{n}

=(

b

,

d

)
に対して、D=ad-bc とおく。座標平面上のベクトル

\vec{q}

に対して、次の条件を考える。
条件Ⅰ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす実数r, sが存在する。
条件Ⅱ　

r \vec{m}

+

s \vec{n}

=

\vec{q}

を満たす整数r, sが存在する。
以下の問いに答えよ。
(1)条件Ⅰがすべての

\vec{q}

に対して成り立つとする。D

\neq

0であることを示せ。
以下、D

\neq

0であるとする。
(2)座標平面上のベクトル

\vec{v}

,

\vec{w}

で

\vec{m} ・ \vec{v}

=

\vec{n} ・ \vec{w}

=1,　

\vec{m} ・ \vec{w}

=

\vec{n} ・ \vec{v}

=0
を満たすものを求めよ。
(3)さらにa, b, c, dが整数であるとし、x成分とy成分がともに整数であるすべてのベクトル

\vec{q}

に対して条件Ⅱが成り立つとする。Dのとりうる値をすべて求めよ。

2023九州大学理系過去問

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福田の数学〜一橋大学2023年文系第３問〜ベクトルと四面体の体積の最大

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

原点をOとする座標空間内に3点A(-3, 2, 0), B(1, 5, 0), C(4, 5, 1)がある。
Pは|

\vec{P A}

+3

\vec{P B}

+2

\vec{P C}

|≦36 を満たす点である。
4点O, A, B, Pが同一平面上にないとき、四面体OABPの体積の最大値を求めよ。

2023一橋大学文系過去問

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福田の数学〜東北大学2023年理系第５問〜空間ベクトルと内積

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

四面体OABCにおいて、

\vec{a}

=

\vec{O A}

,

\vec{b}

=

\vec{O B}

,

\vec{c}

=

\vec{O C}

とおき、次が成り立つとする。

∠

AOB=60°, |

\vec{a}

|=2, |

\vec{b}

|=3, |

\vec{c}

|=

\sqrt{6}

,

\vec{b}

・

\vec{c}

=3
ただし、

\vec{b}

・

\vec{c}

は、2つのベクトル

\vec{b}

と

\vec{c}

の内積を表す。さらに、線分OCと線分ABは垂直であるとする。点Cから3点O, A, Bを含む平面に下ろした垂線をCHとし、点Oから3点A, B, Cを含む平面に下ろした垂線をOKとする。
(1)

\vec{a}

・

\vec{b}

と

\vec{c}

・

\vec{a}

を求めよ。
(2)ベクトル

\vec{O H}

を

\vec{a}

と

\vec{b}

を用いて表せ。
(3)ベクトル

\vec{c}

とベクトル

\vec{H K}

は平行であることを示せ。

2023東北大学理系過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第１問(1)〜交点の位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)平行四辺形ABCDにおいて、辺CDの中点をMとし、直線ACと直線BMの交点をPとする。このとき、

\vec{A M}

,

\vec{A P}

をそれぞれ

\vec{A B}

,

\vec{A D}

を用いて表すと

\vec{A M}

=

ア

,

\vec{A P}

=

イ

2023慶應義塾大学看護医療学部過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第１問(1)〜図形の証明

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#平面上のベクトル#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#図形と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#点と直線#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)三角形ABCにおいて辺BCを4：3に内分する点をDとするとき、等式

あ

A B^{2}

+

い

A C^{2}

=

A D^{2}

+

う

B D^{2}

が成り立つ。

203慶應義塾大学医学部過去問

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福田の数学〜慶應義塾大学2023年薬学部第１問(4)〜球面上の3点が作る三角形

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#図形と方程式#円と方程式#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(4)座標空間に球面S：

(x - 3)^{2}

+

(y + 2)^{2}

+

(z - 1)^{2}

=36 がある。球面Sが平面y=2　と交わってできる円をCとおく。
(i)円Cの中心の座標は

ク

であり、半径は

ケ

である。
(ii)円Cと平面x=3の交点をA,Bとし、AとB以外の球面S上の任意の点をPとする。三角形PABにおいて、辺PBを4:3に内分する点をD、線分ADを5:3に内分する点をMとし、直線PMと辺ABとの交点をEとする。このとき、AEの長さは

コ

である。ただし、Bのz座標はAのz座標よりも大きいとする。

2023慶應義塾大学薬学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> ベクトルと平面図形、ベクトル方程式

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【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形3 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】位置ベクトル ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形2 ※問題文は概要欄

【数C】【平面上のベクトル】ベクトルと図形1 ※問題文は概要欄

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