数学(高校生)
数学(高校生)
福田のおもしろ数学510〜(n+1/n)のn乗がeより小であることの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$を正の整数とするとき
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \lt e$
を証明して下さい。
$e$は自然対数の底とする。
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$n$を正の整数とするとき
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \lt e$
を証明して下さい。
$e$は自然対数の底とする。
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(1)〜指数不等式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$2^{1-3x} \geqq \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^x$を満たす
実数$x$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$2^{1-3x} \geqq \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^x$を満たす
実数$x$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
【数C】【ベクトルの内積】a = (4,2), b = (3,-1), x = (p,q)とする。xとb-aは平行で、x-bとaは垂直であるとき、pとqの値を求めよ。
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\vec{a}=(4, 2), \vec{b}=(3, -1), \vec{x}=(p, q)$とする。
$\vec{x}$と$\vec{b}-\vec{a}$は平行で, $\vec{x}-\vec{b}$と$\vec{a}$は垂直であるとき,
pとqの値を求めよ。
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$\vec{a}=(4, 2), \vec{b}=(3, -1), \vec{x}=(p, q)$とする。
$\vec{x}$と$\vec{b}-\vec{a}$は平行で, $\vec{x}-\vec{b}$と$\vec{a}$は垂直であるとき,
pとqの値を求めよ。
【数C】【ベクトルの内積】a| =|b| = 2, a - b = -2のとき、 a+bとa+tbが垂直になるように、 実数tの値を定めよ。
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=2, \vec{a}\cdot\vec{b}=-2$のとき,
$\vec{a}+\vec{b}$と$\vec{a}+t\vec{b}$が垂直になるように,
実数tの値を定めよ。
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$|\vec{a}|=|\vec{b}|=2, \vec{a}\cdot\vec{b}=-2$のとき,
$\vec{a}+\vec{b}$と$\vec{a}+t\vec{b}$が垂直になるように,
実数tの値を定めよ。
【数C】【ベクトルの内積】a = √2, b = √5, a・b = -1のとき、 a+2bとa-bのなす角を求めよ。
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$|\vec{a}|=\sqrt{2}, |\vec{b}|=\sqrt{5}, \vec{a}\cdot\vec{b}=-1$のとき,
$\vec{a}+2\vec{b}$と$\vec{a}-\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。
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$|\vec{a}|=\sqrt{2}, |\vec{b}|=\sqrt{5}, \vec{a}\cdot\vec{b}=-1$のとき,
$\vec{a}+2\vec{b}$と$\vec{a}-\vec{b}$のなす角$\theta$を求めよ。
福田のおもしろ数学509〜幾何の証明
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
鋭角三角形$ABC$は
$AB \lt AC \lt BC$を満たしている。
辺$BC$の中点を$M$とし、
線分$AM$上に点$P$があり、
$AB = CP$かつ$\angle BAM=\angle PCM$が
成り立っている。
$\angle BPC=90°$であることを示せ。
図は動画内参照
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鋭角三角形$ABC$は
$AB \lt AC \lt BC$を満たしている。
辺$BC$の中点を$M$とし、
線分$AM$上に点$P$があり、
$AB = CP$かつ$\angle BAM=\angle PCM$が
成り立っている。
$\angle BPC=90°$であることを示せ。
図は動画内参照
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第6問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
【数C】【平面上の曲線】2次曲線3 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
放物線 $ C \mathrm{：} \ x^2 = 4y$ の焦点を $\mathrm{F}$、$C$ 上の点を $\mathrm{P}$ 、 $\mathrm{P}$ から準線に下した垂線を $\mathrm{PH}$ とする。 $\triangle \mathrm{PFH}$ が正三角形になるとき、 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $a$ を求めよ。また、$ a \gt 0$ のとき、辺 $\mathrm{FH}$ と $C$ の交点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $b$ と $\triangle \mathrm{PFQ}$ の面積 $S$ を求めよ。
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放物線 $ C \mathrm{：} \ x^2 = 4y$ の焦点を $\mathrm{F}$、$C$ 上の点を $\mathrm{P}$ 、 $\mathrm{P}$ から準線に下した垂線を $\mathrm{PH}$ とする。 $\triangle \mathrm{PFH}$ が正三角形になるとき、 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標 $a$ を求めよ。また、$ a \gt 0$ のとき、辺 $\mathrm{FH}$ と $C$ の交点 $\mathrm{Q}$ の $x$ 座標 $b$ と $\triangle \mathrm{PFQ}$ の面積 $S$ を求めよ。
【数C】【平面上の曲線】2次曲線2 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
(1) 直線 $x=-2$に接し、点 $(2,0)$を通る円の中心 $\mathrm{P}$
(2) 円 $ x^2 + (y+2)^2 = 1$ と直線 $y=1$の両方に接する円の中心 $\mathrm{P}$
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次の条件を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。
(1) 直線 $x=-2$に接し、点 $(2,0)$を通る円の中心 $\mathrm{P}$
(2) 円 $ x^2 + (y+2)^2 = 1$ と直線 $y=1$の両方に接する円の中心 $\mathrm{P}$
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第5問〜空間における平面と平面の交線
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式7 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上の異なる2つの定点O, Aと任意の点Pに対し,
$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$とする。
次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。
(1) $|\vec{p}+2\vec{a}|=|\vec{p}-2\vec{a}|$
(2) $2\vec{a}\cdot\vec{p}=|\vec{a}||\vec{p}|$
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平面上の異なる2つの定点O, Aと任意の点Pに対し,
$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$とする。
次のベクトル方程式はどのような図形を表すか。
(1) $|\vec{p}+2\vec{a}|=|\vec{p}-2\vec{a}|$
(2) $2\vec{a}\cdot\vec{p}=|\vec{a}||\vec{p}|$
【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式6 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上の$\triangle$ABCに対して,
条件$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|=3$
を満たす動点Pはどのような図形を描くか。
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平面上の$\triangle$ABCに対して,
条件$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|=3$
を満たす動点Pはどのような図形を描くか。
【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式5 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\triangle$ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルを, それぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$とする。
直線上の点をP($\vec{p}$)として, 次の直線のベクトル方程式を求めよ。
(1) Aから直線BCへの垂線$\qquad$
(2) Aと辺BCの中点を通る直線
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$\triangle$ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルを, それぞれ$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$とする。
直線上の点をP($\vec{p}$)として, 次の直線のベクトル方程式を求めよ。
(1) Aから直線BCへの垂線$\qquad$
(2) Aと辺BCの中点を通る直線
福田のおもしろ数学507〜三角形の面がm個ありどの頂点にも4本の辺が集まる多面体
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
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ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第4問〜指数不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
もりてつに数学を教えろ【大学受験プロジェクト】
単元：
#その他#その他#その他#数学(高校生)#その他
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
【衝撃】受験数学の難問を克服！「人に教える」特訓で学力爆上げチャレンジ！
「人に教えられるレベルまで理解すれば学力は必ず上がる」。この動画は、受験生が数学のプロ（森先生）にガチ授業をする様子を公開！
授業内容は、一見簡単そうな三角形の面積公式の「なぜ？」からスタート、そしてなぜ体積が1/3になるのかという三角錐の体積の証明。
さらに、中学生を惑わせる「球の体積(4/3)πr³」の公式を、なんと積分なしで証明！同じ高さで切り口の面積が等しければ体積も等しいという原理（カバリエリの原理応用）を使い、円柱と円錐、半球の関係性を見事に解き明かす。
他にも、指が10本ある我々の視点と「バルタン星人」（指が4本という設定）の視点を使い分け、複雑なN進法の仕組みをスッキリ解説。
極め付けは、直感が通用しない「条件付き確率」の問題。「白玉を取り出した時、もう一つが白である確率」は1/2ではなく、まさかの2/3！この納得できない答えを、思考の枠を広げることで鮮やかに証明しています。
受験生たちの奮闘を通じて、数学の面白さと「人に教える勉強法」の絶大な効果がわかる神回です
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【衝撃】受験数学の難問を克服！「人に教える」特訓で学力爆上げチャレンジ！
「人に教えられるレベルまで理解すれば学力は必ず上がる」。この動画は、受験生が数学のプロ（森先生）にガチ授業をする様子を公開！
授業内容は、一見簡単そうな三角形の面積公式の「なぜ？」からスタート、そしてなぜ体積が1/3になるのかという三角錐の体積の証明。
さらに、中学生を惑わせる「球の体積(4/3)πr³」の公式を、なんと積分なしで証明！同じ高さで切り口の面積が等しければ体積も等しいという原理（カバリエリの原理応用）を使い、円柱と円錐、半球の関係性を見事に解き明かす。
他にも、指が10本ある我々の視点と「バルタン星人」（指が4本という設定）の視点を使い分け、複雑なN進法の仕組みをスッキリ解説。
極め付けは、直感が通用しない「条件付き確率」の問題。「白玉を取り出した時、もう一つが白である確率」は1/2ではなく、まさかの2/3！この納得できない答えを、思考の枠を広げることで鮮やかに証明しています。
受験生たちの奮闘を通じて、数学の面白さと「人に教える勉強法」の絶大な効果がわかる神回です
福田のおもしろ数学506〜相加平均と相乗平均の商の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
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自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第3問〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
【図形問題？いや、文字式だ…！】文字式：名古屋国際高等学校～全国入試問題解法
単元：
#算数(中学受験)#整数の性質#平面図形#文字と式
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
3つの図形がある。図形量を用いて、与えられた式の値を求める。
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3つの図形がある。図形量を用いて、与えられた式の値を求める。
福田のおもしろ数学505〜フィボナッチ数列の性質
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
フィボナッチ数列$\{f_n\}$
$f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$
に対し、
$f_m･f_n=mn$
を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めて下さい。
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フィボナッチ数列$\{f_n\}$
$f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$
に対し、
$f_m･f_n=mn$
を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第2問〜数列の和から一般項を求める
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
数列$\{a_n\}$に対して
$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(k+2)!}{(k-1)!}a_k (n=1,2,3,\cdots)$
とおくとき、
$T_n=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2 (n=1,2,3,\cdots)$
が成り立つとする。ただし、$0!=1$である。
(1)$a_1=\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}},a_2=\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$である。
(2)$n\geqq 2$に対して$T_n-T_{n-1}=\boxed{カ}n-\boxed{キ}$が
成り立つから、
$a_n=r^n\dfrac{n-\boxed{ク}}{(n+s)(n+t)(n+u)} (n=2,3,4,\cdots)$
である。ただし、ここに$r=\boxed{ケ}$であり、
$s\lt t \lt u$として$s=\boxed{コ},t=\boxed{サ},u=\boxed{シ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{2}$
数列$\{a_n\}$に対して
$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(k+2)!}{(k-1)!}a_k (n=1,2,3,\cdots)$
とおくとき、
$T_n=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2 (n=1,2,3,\cdots)$
が成り立つとする。ただし、$0!=1$である。
(1)$a_1=\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}},a_2=\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$である。
(2)$n\geqq 2$に対して$T_n-T_{n-1}=\boxed{カ}n-\boxed{キ}$が
成り立つから、
$a_n=r^n\dfrac{n-\boxed{ク}}{(n+s)(n+t)(n+u)} (n=2,3,4,\cdots)$
である。ただし、ここに$r=\boxed{ケ}$であり、
$s\lt t \lt u$として$s=\boxed{コ},t=\boxed{サ},u=\boxed{シ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限5 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
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数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限4 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
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次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限3 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
福田のおもしろ数学504〜三角関数の最大値
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x$がすべての実数を動くとき
$\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$の最大値を求めよ。
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$x$がすべての実数を動くとき
$\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$の最大値を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(2)〜2変数の不等式と領域
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
【数C】【平面上の曲線】2次曲線1 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#式と曲線
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次のような放物線の方程式を求めよ。
(1) 軸が x軸、頂点が原点で、点 (8,4)を通る放物線
(2) 頂点が原点で、焦点がx軸上にあり、点(-3,3)を通る放物線
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次のような放物線の方程式を求めよ。
(1) 軸が x軸、頂点が原点で、点 (8,4)を通る放物線
(2) 頂点が原点で、焦点がx軸上にあり、点(-3,3)を通る放物線
【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式4 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
A(-6, 2), B(3, -5)とする。線分ABの垂直二等分線の方程式を、ベクトルを利用して求めよ。
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A(-6, 2), B(3, -5)とする。線分ABの垂直二等分線の方程式を、ベクトルを利用して求めよ。
【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式3 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
ベクトル$\left(-1,\sqrt{3}\right)$に垂直で,
原点Oからの距離が4である直線の方程式を求めよ。
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ベクトル$\left(-1,\sqrt{3}\right)$に垂直で,
原点Oからの距離が4である直線の方程式を求めよ。
【数C】【平面上のベクトル】ベクトル方程式2 ※問題文は概要欄
単元：
#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
O(0,0), A(2,0), B(1,2)に対して、
点Pが次の条件を満たしながら動くとき、
点Pの存在範囲を図示せよ。
(1) $\overrightarrow{OP}＝s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$, $0≦s≦1$, $1≦t≦3$
(2) $\overrightarrow{OP}＝s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$, $1≦s+t≦3$
(3) $\overrightarrow{OP}＝s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$, $0≦2s+3t≦6$, $s≧0$, $t≧0$
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O(0,0), A(2,0), B(1,2)に対して、
点Pが次の条件を満たしながら動くとき、
点Pの存在範囲を図示せよ。
(1) $\overrightarrow{OP}＝s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$, $0≦s≦1$, $1≦t≦3$
(2) $\overrightarrow{OP}＝s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$, $1≦s+t≦3$
(3) $\overrightarrow{OP}＝s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$, $0≦2s+3t≦6$, $s≧0$, $t≧0$