数学(高校生)
数学(高校生)
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第１問〜2つの円に同時に外接する円の条件
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 座標平面上の原点を中心とする半径2の円をC_1、中心の座標が(7,0)、半径3\\
の円をC_2とする。さらにrを正の実数とするとき、C_1とC_2に同時に外接する円で、\\
その中心の座標が(a,b)、半径がrであるものをC_3とする。ただし、2つの円が\\
外接するとは、それらが1点を共有し、中心が互いの外部にあるときをいう。\\
\\
(1)rの最小値は\boxed{\ \ ア\ \ }であり、aの最大値は\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
\\
(2)aとbは関係式b^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }(a+\boxed{\ \ オカ\ \ })(a-4)を満たす。\\
\\
(3)C_3が直線x=-3に接するとき、a=\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}, |b|=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である。\\
\\
(4)点(a,b)と原点を通る直線と、点(a,b)と点(7,0)を通る直線が直交するとき、\\
|b|=\frac{\boxed{\ \ セソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 座標平面上の原点を中心とする半径2の円をC_1、中心の座標が(7,0)、半径3\\
の円をC_2とする。さらにrを正の実数とするとき、C_1とC_2に同時に外接する円で、\\
その中心の座標が(a,b)、半径がrであるものをC_3とする。ただし、2つの円が\\
外接するとは、それらが1点を共有し、中心が互いの外部にあるときをいう。\\
\\
(1)rの最小値は\boxed{\ \ ア\ \ }であり、aの最大値は\boxed{\ \ イ\ \ }となる。\\
\\
(2)aとbは関係式b^2=\boxed{\ \ ウエ\ \ }(a+\boxed{\ \ オカ\ \ })(a-4)を満たす。\\
\\
(3)C_3が直線x=-3に接するとき、a=\frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }}, |b|=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ コサシ\ \ }}}{\boxed{\ \ ス\ \ }}である。\\
\\
(4)点(a,b)と原点を通る直線と、点(a,b)と点(7,0)を通る直線が直交するとき、\\
|b|=\frac{\boxed{\ \ セソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }}となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生036〜軌跡(3)反転の話その１
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(3) 反転の話(1)\\
座標平面上で、点P(4,3)に対して\\
OP・OQ=1\\
となる点Qを半直線OP上にとる。\\
点Qの座標を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(3) 反転の話(1)\\
座標平面上で、点P(4,3)に対して\\
OP・OQ=1\\
となる点Qを半直線OP上にとる。\\
点Qの座標を求めよ。
\end{eqnarray}
どっちがでかい？あれを証明します。
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
どちらが大きいか?
$51^{100}$ VS $100!$
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どちらが大きいか?
$51^{100}$ VS $100!$
【裏技】なんの2乗か一瞬で出せる方法～学校では教えてくれない～
単元：
#算数(中学受験)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#その他#その他#その他#その他#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1849は43²
2乗の数をすぐに出せる裏技紹介！
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1849は43²
2乗の数をすぐに出せる裏技紹介！
場合分けたくさん！
【中学数学】平方根・ルートの計算演習～乗法公式１～ 2-9【中３数学】
単元：
#数学(中学生)#中３数学#平方根#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
1⃣
$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-2)$
2⃣
$(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-1)$
3⃣
$(3\sqrt{5}-3)(6+3\sqrt{5})$
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1⃣
$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-2)$
2⃣
$(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-1)$
3⃣
$(3\sqrt{5}-3)(6+3\sqrt{5})$
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第６問〜領域における最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}} ある国の有識者会議が、経済活性化に資する公共サービスの供給量xと、医療・\\
公衆衛生に関する公共サービスの供給量yの組み合わせの検討を行っている。供給量\\
(x,y)は、予算やマンパワー、既存の法律など、さまざまな要因により、その実現可能性\\
に制約を受け、次の不等式を満たすものとする。\\
\left\{\begin{array}{1}
2x+5y \leqq 405 \ldots(1)\\
x^2+75y \leqq 6075 \ldots(2)\\
x \geqq 0 \ldots(3)\\
y \geqq 0 \ldots(4)\\
\end{array}\right.\\
\\
供給量(x,y)をx軸とy軸の2次元座標で表すと、実現可能な供給量の組合せ\\
(x,y)の値域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ アイ\ \ }の範囲で(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\\
\boxed{\ \ アイ\ \ } \leqq x \leqq \sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の2つ\\
からなることがわかる。\\
いま、有識者会議の目標がxyの最大化であるとすると、供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ キク\ \ },\boxed{\ \ ケコ\ \ })とする結論を得る。\\
次に、情勢の変化に伴って、上記の(1),(2),(3),(4)に新たな不等式\\
x+y \leqq 93 \ldots(5)\\
が加わったとすると、実現可能な(x,y)の領域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ サシ\ \ }の範囲で\\
(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ サシ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ スセ\ \ }の範囲で\\
(5)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ スセ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で\\
(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の3つに分けることができる。\\
また、政府の方針にそって、有識者会議の目標がx^2yの最大化に変更されたとすると、\\
供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ ソタ\ \ },\boxed{\ \ チツ\ \ })\\
とする結論を導くことになる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}} ある国の有識者会議が、経済活性化に資する公共サービスの供給量xと、医療・\\
公衆衛生に関する公共サービスの供給量yの組み合わせの検討を行っている。供給量\\
(x,y)は、予算やマンパワー、既存の法律など、さまざまな要因により、その実現可能性\\
に制約を受け、次の不等式を満たすものとする。\\
\left\{\begin{array}{1}
2x+5y \leqq 405 \ldots(1)\\
x^2+75y \leqq 6075 \ldots(2)\\
x \geqq 0 \ldots(3)\\
y \geqq 0 \ldots(4)\\
\end{array}\right.\\
\\
供給量(x,y)をx軸とy軸の2次元座標で表すと、実現可能な供給量の組合せ\\
(x,y)の値域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ アイ\ \ }の範囲で(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\\
\boxed{\ \ アイ\ \ } \leqq x \leqq \sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の2つ\\
からなることがわかる。\\
いま、有識者会議の目標がxyの最大化であるとすると、供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ キク\ \ },\boxed{\ \ ケコ\ \ })とする結論を得る。\\
次に、情勢の変化に伴って、上記の(1),(2),(3),(4)に新たな不等式\\
x+y \leqq 93 \ldots(5)\\
が加わったとすると、実現可能な(x,y)の領域は、0 \leqq x \leqq \boxed{\ \ サシ\ \ }の範囲で\\
(1)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ サシ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ スセ\ \ }の範囲で\\
(5)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域と、\boxed{\ \ スセ\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}の範囲で\\
(2)と(4)を満たす(x,y)の部分の領域の3つに分けることができる。\\
また、政府の方針にそって、有識者会議の目標がx^2yの最大化に変更されたとすると、\\
供給量の組合せを\\
(x,y)=(\boxed{\ \ ソタ\ \ },\boxed{\ \ チツ\ \ })\\
とする結論を導くことになる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系043〜極限(43)有名な極限の証明(3)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 有名な極限を証明(3)\\
\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0を既知として\\
\lim_{x \to +0}x\log x を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 有名な極限を証明(3)\\
\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0を既知として\\
\lim_{x \to +0}x\log x を求めよ。
\end{eqnarray}
対数の基本
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$a\gt 0,b\gt 0$
$a^2+b^2=1$
$\log_a b^2=\log_b ab$
実数$(a,b)$を求めよ.
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$a\gt 0,b\gt 0$
$a^2+b^2=1$
$\log_a b^2=\log_b ab$
実数$(a,b)$を求めよ.
【中学数学】平方根・ルートの近似値の問題演習～解き方伝授～ 2-8【中３数学】
単元：
#数学(中学生)#中３数学#平方根#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{2}=1.41,\sqrt{5}=2.23$として次の値を求めよ
(1)$\sqrt{200}$
(2)$\sqrt{0.02}$
(3)$\sqrt{0.2}$
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$\sqrt{2}=1.41,\sqrt{5}=2.23$として次の値を求めよ
(1)$\sqrt{200}$
(2)$\sqrt{0.02}$
(3)$\sqrt{0.2}$
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第５問〜空間の領域に位置する直方体の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} xyz空間において、直方体ABCD-EFGHがz \geqq x^2+y^2\\
(0 \leqq z \leqq 1)を満たす立体の周辺および内部に存在する。この\\
直方体の面ABCD,EFGHはxy平面に平行であり、頂点A,B,C,D\\
は平面z=1上に、頂点E,F,G,Hは曲面z=x^2+y^2上に存在する。\\
\\
(1)直方体ABCD-EFGHの面ABCDおよびEFGHが1辺の長さa\\
の正方形のとき、正の実数であるaの取り得る値の範囲は\\
0 \lt a \lt \sqrt{\boxed{\ \ アイ\ \ }}であり、この直方体の体積は\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}a^4+\boxed{\ \ キク\ \ }a^2\\
である。\\
\\
(2)直方体ABCD-EFGHの面ABFEおよびDCGHが1辺の長さb\\
の正方形のとき、正の実数であるbの取り得る値の範囲は\\
0 \lt b \lt \boxed{\ \ ケコ\ \ }+\boxed{\ \ サシ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ スセ\ \ }}であり、この直方体の体積は\\
b^2\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }b^2+\boxed{\ \ チツ\ \ }b+\boxed{\ \ テト\ \ }}である。\\
\\
(3)直方体ABCD-EFGHの全ての面が1辺の長さcの正方形のとき、すなわち\\
直方体ABCD-EFGHが立方体のとき、正の実数であるcの値は\\
\boxed{\ \ ナニ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}であり、立方体ABCD-EFGHの体積は\\
\boxed{\ \ ノハヒ\ \ }+\boxed{\ \ フヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホマ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{5}} xyz空間において、直方体ABCD-EFGHがz \geqq x^2+y^2\\
(0 \leqq z \leqq 1)を満たす立体の周辺および内部に存在する。この\\
直方体の面ABCD,EFGHはxy平面に平行であり、頂点A,B,C,D\\
は平面z=1上に、頂点E,F,G,Hは曲面z=x^2+y^2上に存在する。\\
\\
(1)直方体ABCD-EFGHの面ABCDおよびEFGHが1辺の長さa\\
の正方形のとき、正の実数であるaの取り得る値の範囲は\\
0 \lt a \lt \sqrt{\boxed{\ \ アイ\ \ }}であり、この直方体の体積は\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}a^4+\boxed{\ \ キク\ \ }a^2\\
である。\\
\\
(2)直方体ABCD-EFGHの面ABFEおよびDCGHが1辺の長さb\\
の正方形のとき、正の実数であるbの取り得る値の範囲は\\
0 \lt b \lt \boxed{\ \ ケコ\ \ }+\boxed{\ \ サシ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ スセ\ \ }}であり、この直方体の体積は\\
b^2\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }b^2+\boxed{\ \ チツ\ \ }b+\boxed{\ \ テト\ \ }}である。\\
\\
(3)直方体ABCD-EFGHの全ての面が1辺の長さcの正方形のとき、すなわち\\
直方体ABCD-EFGHが立方体のとき、正の実数であるcの値は\\
\boxed{\ \ ナニ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}であり、立方体ABCD-EFGHの体積は\\
\boxed{\ \ ノハヒ\ \ }+\boxed{\ \ フヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホマ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校１年生036〜部屋割り論法
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(1)\\
100個の自然数がある。この中にその差が99で割り切れるような\\
2個の自然数が存在することを示せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{I} 部屋割り論法(1)\\
100個の自然数がある。この中にその差が99で割り切れるような\\
2個の自然数が存在することを示せ。
\end{eqnarray}
騙していません！
座標平面上の円 気づけば一瞬
平方根の計算 工夫せよ 久留米大附設
単元：
#数学(中学生)#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$(\sqrt {33} + \sqrt {21})(\sqrt {77} - 7)=$
久留米大附設高等学校
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$(\sqrt {33} + \sqrt {21})(\sqrt {77} - 7)=$
久留米大附設高等学校
数学「大学入試良問集」【18−4 微分と不等式の証明】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{1}{\theta}(\sin\theta+\tan\theta) \gt 2$
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$0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{1}{\theta}(\sin\theta+\tan\theta) \gt 2$
計算が速くなるテクニック～5を使いこなせ～
単元：
#算数(中学受験)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#その他#その他#その他#その他#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
73×5
184×25
120×125
3秒で解ける計算テクニックを紹介！
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73×5
184×25
120×125
3秒で解ける計算テクニックを紹介！
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第４問〜条件を満たす部分集合の個数
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} A_n=\left\{1,2,\ldots,n\right\}を、1からnまでの自然数の集合とする。SをA_nの部分集合\\
(空集合およびA_n自身も含む)としたとき、S'をSの要素それぞれに1を加えてできた\\
集合とする。またS''をS'の要素それぞれにさらに1を加えてできた集合とする。\\
たとえば、A_3=\left\{1,2,3\right\}の部分集合S=\left\{1,3\right\}の場合、S'=\left\{2,4\right\},S''=\left\{3,5\right\}\\
\\
(1)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合S=\left\{1,2,3\right\}はS \cup S'=A_4となる。このように\\
A_4の部分集合でS \cup S'=A_4となるものは\left\{1,2,3\right\}と\left\{1,\boxed{\ \ ア\ \ }\right\}の2つである。\\
\\
(2)A_nの部分集合SでS \cup S'=A_nとなるようなSの個数をa_nとすると、(1)から\\
分かるようにa_4=2であり\\
a_5=\boxed{\ \ イウ\ \ },a_6=\boxed{\ \ エオ\ \ },a_7=\boxed{\ \ カキ\ \ },a_8=\boxed{\ \ クケ\ \ },\ldots,a_{16}=\boxed{\ \ コサシ\ \ }\\
となる。\\
\\
(3)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合SでS \cup S''=A_4となるものはS=\left\{1,\boxed{\ \ ス\ \ }\right\}だけ\\
である。\\
\\
(4)A_nの部分集合SでS \cup S''=A_nとなるようなSの個数をb_nとすると、(3)から\\
分かうようにb_4=1であり\\
b_5=\boxed{\ \ セソ\ \ },b_6=\boxed{\ \ タチ\ \ },b_7=\boxed{\ \ ツテ\ \ },b_8=\boxed{\ \ トナ\ \ },\ldots,b_{16}=\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }\\
となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} A_n=\left\{1,2,\ldots,n\right\}を、1からnまでの自然数の集合とする。SをA_nの部分集合\\
(空集合およびA_n自身も含む)としたとき、S'をSの要素それぞれに1を加えてできた\\
集合とする。またS''をS'の要素それぞれにさらに1を加えてできた集合とする。\\
たとえば、A_3=\left\{1,2,3\right\}の部分集合S=\left\{1,3\right\}の場合、S'=\left\{2,4\right\},S''=\left\{3,5\right\}\\
\\
(1)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合S=\left\{1,2,3\right\}はS \cup S'=A_4となる。このように\\
A_4の部分集合でS \cup S'=A_4となるものは\left\{1,2,3\right\}と\left\{1,\boxed{\ \ ア\ \ }\right\}の2つである。\\
\\
(2)A_nの部分集合SでS \cup S'=A_nとなるようなSの個数をa_nとすると、(1)から\\
分かるようにa_4=2であり\\
a_5=\boxed{\ \ イウ\ \ },a_6=\boxed{\ \ エオ\ \ },a_7=\boxed{\ \ カキ\ \ },a_8=\boxed{\ \ クケ\ \ },\ldots,a_{16}=\boxed{\ \ コサシ\ \ }\\
となる。\\
\\
(3)A_4=\left\{1,2,3,4\right\}の部分集合SでS \cup S''=A_4となるものはS=\left\{1,\boxed{\ \ ス\ \ }\right\}だけ\\
である。\\
\\
(4)A_nの部分集合SでS \cup S''=A_nとなるようなSの個数をb_nとすると、(3)から\\
分かうようにb_4=1であり\\
b_5=\boxed{\ \ セソ\ \ },b_6=\boxed{\ \ タチ\ \ },b_7=\boxed{\ \ ツテ\ \ },b_8=\boxed{\ \ トナ\ \ },\ldots,b_{16}=\boxed{\ \ ニヌネ\ \ }\\
となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系042〜極限(42)有名な極限の証明(2)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 有名な極限を証明(2)\\
\lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0を既知として\\
\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 有名な極限を証明(2)\\
\lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0を既知として\\
\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x} を求めよ。
\end{eqnarray}
高校1・2年生必見 指数法則
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#指数関数#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
これを解け.
$\left(\dfrac{3^{\sqrt5}}{9}\right)^{\sqrt{9+4\sqrt5}}$
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これを解け.
$\left(\dfrac{3^{\sqrt5}}{9}\right)^{\sqrt{9+4\sqrt5}}$
数学「大学入試良問集」【18−3 n次導関数と漸化式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x \gt 0$に対し、$f(x)=\displaystyle \frac{log\ x}{x}$とする。
（1）
$n=1,2,・・・$に対し、$f(x)$の第$n$次導関数は、数列$\{a_n\},\{b_n\}$を用いて$f^{(n)}(x)=\displaystyle \frac{a_n+b_n log\ x}{x^{n+1}}$と表されることを示し、$a_n,b_n$に関する漸化式を求めよ。
（2）
$h_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{1}{k}$とおく。
$h_n$を用いて$a_n,b_n$の一般項を求めよ。
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$x \gt 0$に対し、$f(x)=\displaystyle \frac{log\ x}{x}$とする。
（1）
$n=1,2,・・・$に対し、$f(x)$の第$n$次導関数は、数列$\{a_n\},\{b_n\}$を用いて$f^{(n)}(x)=\displaystyle \frac{a_n+b_n log\ x}{x^{n+1}}$と表されることを示し、$a_n,b_n$に関する漸化式を求めよ。
（2）
$h_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\displaystyle \frac{1}{k}$とおく。
$h_n$を用いて$a_n,b_n$の一般項を求めよ。
【高校数学】三角関数の公式～暗記不要なので証明しよう～ 4-4【数学Ⅱ】
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第３問〜多面体の面の色の変化と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} (1)各面が白色あるいは黒色で塗られた正四面体について、いずれか1つの面を等確率\\
\frac{1}{4}で選択し、選択した面を除いた3つの面の色を白色であれば黒色に、黒色であれば\\
白色に塗りなおす試行を繰り返す。正四面体の全てが白色の状態から開始するとき\\
(\textrm{a})2つの面が白色、2つの面が黒色になる最小の試行回数は\ \boxed{\ \ アイ\ \ }\ であり、\\
この試行回数で同状態が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}である。\\
(\textrm{b})すべての面が黒色になる最小の試行回数は\boxed{\ \ キク\ \ }であり、この試行回数で\\
同状態が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}である。\\
\\
(2)各面が白色あるいは黒色で塗られた立方体について、いずれか1つの面を等確率\frac{1}{6}で\\
選択し、選択した面を除いた5つの面の色を白色であれば黒色に、黒色であれば\\
白色に塗り直す試行をくり返す。立方体のすべての面が白色の状態から開始するとき\\
(\textrm{a})3つの面が白色、3つの面が黒色になる最小の試行回数は\boxed{\ \ スセ\ \ }であり、この\\
試行回数で同状態が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツ\ \ }}である。\\
(\textrm{b})すべての面が黒色になる最小の試行回数は\boxed{\ \ テト\ \ }であり、この試行回数で同状態\\
が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ナニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネノハ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} (1)各面が白色あるいは黒色で塗られた正四面体について、いずれか1つの面を等確率\\
\frac{1}{4}で選択し、選択した面を除いた3つの面の色を白色であれば黒色に、黒色であれば\\
白色に塗りなおす試行を繰り返す。正四面体の全てが白色の状態から開始するとき\\
(\textrm{a})2つの面が白色、2つの面が黒色になる最小の試行回数は\ \boxed{\ \ アイ\ \ }\ であり、\\
この試行回数で同状態が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}{\boxed{\ \ オカ\ \ }}である。\\
(\textrm{b})すべての面が黒色になる最小の試行回数は\boxed{\ \ キク\ \ }であり、この試行回数で\\
同状態が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ケコ\ \ }}{\boxed{\ \ サシ\ \ }}である。\\
\\
(2)各面が白色あるいは黒色で塗られた立方体について、いずれか1つの面を等確率\frac{1}{6}で\\
選択し、選択した面を除いた5つの面の色を白色であれば黒色に、黒色であれば\\
白色に塗り直す試行をくり返す。立方体のすべての面が白色の状態から開始するとき\\
(\textrm{a})3つの面が白色、3つの面が黒色になる最小の試行回数は\boxed{\ \ スセ\ \ }であり、この\\
試行回数で同状態が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}{\boxed{\ \ チツ\ \ }}である。\\
(\textrm{b})すべての面が黒色になる最小の試行回数は\boxed{\ \ テト\ \ }であり、この試行回数で同状態\\
が実現する確率は\frac{\boxed{\ \ ナニヌ\ \ }}{\boxed{\ \ ネノハ\ \ }}である。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生035〜軌跡(2)動点に連動して動く点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(2) 2つの動点を考える\\
定点O(0,0),\ A(1,1)と\\
円C:x^2+y^2=2\\
上を動く動点P(x,y)がある。\\
\triangle OAPの重心Gの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(2) 2つの動点を考える\\
定点O(0,0),\ A(1,1)と\\
円C:x^2+y^2=2\\
上を動く動点P(x,y)がある。\\
\triangle OAPの重心Gの軌跡を求めよ。
\end{eqnarray}
対数の基本性質
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
これを簡単にせよ.$a,b,c$を正とし,$a,b,c \neq 1$である.
$\dfrac{1}{1+\log_a bc}+\dfrac{1}{1+\log_b ca}+\dfrac{1}{1+\log_c ab}$
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これを簡単にせよ.$a,b,c$を正とし,$a,b,c \neq 1$である.
$\dfrac{1}{1+\log_a bc}+\dfrac{1}{1+\log_b ca}+\dfrac{1}{1+\log_c ab}$
自然数の和 日大習志野
単元：
#数学(中学生)#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
1からnまでの自然数の和=210
n=?（n:自然数）
日本大学習志野高等学校
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1からnまでの自然数の和=210
n=?（n:自然数）
日本大学習志野高等学校
【裏技】平方根・ルートの近似値の出し方～面白テクニック～
単元：
#数学(中学生)#中３数学#平方根#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
平方根・ルートの近似値の出し方紹介動画です
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平方根・ルートの近似値の出し方紹介動画です
福田の数学〜慶應義塾大学2021年環境情報学部第２問〜ポーカーの役が揃う場合の数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} ジョーカーを除いた52枚のトランプでポーカーを行う。トランプには♠♧♦♡の4つの\\
スートのそれぞれに1から13までの数が書かれた13枚のカードがある。(1,11,12,13の\\
代わりに、A,J,Q,Kの記号を用いることが多い)\\
「10,J,Q,K,A」の組合せはストレートやストレートフラッシュとして認めるが、\\
Aを超えて「J,Q,K,A,2」のように2まで含めるものは認めない。\\
52枚のカードから5枚を抜き出す組合せの数は{}_{52}\textrm{C}_5=2598960通りあるが、それが\\
ストレートフラッシュとなる組合せの数を求めてみよう。ストレートフラッシュの\\
5枚のカードの最小の数は1,2,\ldots,\boxed{\ \ アイ\ \ }のどれかであるから、それぞれのスート\\
ごとに\boxed{\ \ アイ\ \ }通り考えられる。よって、4×\boxed{\ \ アイ\ \ }=\boxed{\ \ ウエ\ \ }通りのストレート\\
フラッシュの組合せがある。また、ストレートについては、数は順番に並んでいるが、\\
スートがそろっていない組合せの数なので\boxed{\ \ オカキクケ\ \ }通りある。\\
次に、フルハウスとなる組合せの数を求めてみよう。同じ数のカードが3枚と2枚の\\
ふたつの組があり、3枚の組を選ぶ組合せ\boxed{\ \ コサ\ \ }×{}_4\textrm{C}_3、残り2枚のカードを選ぶ組合せ\\
は\boxed{\ \ シス\ \ }×{}_4\textrm{C}_2であるから、フルハウスとなる組合せの数は\\
\boxed{\ \ コサ\ \ }×{}_4\textrm{C}_3×\boxed{\ \ シス\ \ }×{}_4\textrm{C}_2=\boxed{\ \ セソタチ\ \ } 通りである。\\
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} ジョーカーを除いた52枚のトランプでポーカーを行う。トランプには♠♧♦♡の4つの\\
スートのそれぞれに1から13までの数が書かれた13枚のカードがある。(1,11,12,13の\\
代わりに、A,J,Q,Kの記号を用いることが多い)\\
「10,J,Q,K,A」の組合せはストレートやストレートフラッシュとして認めるが、\\
Aを超えて「J,Q,K,A,2」のように2まで含めるものは認めない。\\
52枚のカードから5枚を抜き出す組合せの数は{}_{52}\textrm{C}_5=2598960通りあるが、それが\\
ストレートフラッシュとなる組合せの数を求めてみよう。ストレートフラッシュの\\
5枚のカードの最小の数は1,2,\ldots,\boxed{\ \ アイ\ \ }のどれかであるから、それぞれのスート\\
ごとに\boxed{\ \ アイ\ \ }通り考えられる。よって、4×\boxed{\ \ アイ\ \ }=\boxed{\ \ ウエ\ \ }通りのストレート\\
フラッシュの組合せがある。また、ストレートについては、数は順番に並んでいるが、\\
スートがそろっていない組合せの数なので\boxed{\ \ オカキクケ\ \ }通りある。\\
次に、フルハウスとなる組合せの数を求めてみよう。同じ数のカードが3枚と2枚の\\
ふたつの組があり、3枚の組を選ぶ組合せ\boxed{\ \ コサ\ \ }×{}_4\textrm{C}_3、残り2枚のカードを選ぶ組合せ\\
は\boxed{\ \ シス\ \ }×{}_4\textrm{C}_2であるから、フルハウスとなる組合せの数は\\
\boxed{\ \ コサ\ \ }×{}_4\textrm{C}_3×\boxed{\ \ シス\ \ }×{}_4\textrm{C}_2=\boxed{\ \ セソタチ\ \ } 通りである。\\
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学環境情報学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系041〜極限(41)有名な極限の証明(1)
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 有名な極限を証明(1)\\
(1)x \gt 0でe^x \gt 1+x+\frac{x^2}{2} を示せ。\\
\\
(2)\lim_{x \to \infty}xe^{-x} を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 有名な極限を証明(1)\\
(1)x \gt 0でe^x \gt 1+x+\frac{x^2}{2} を示せ。\\
\\
(2)\lim_{x \to \infty}xe^{-x} を求めよ。
\end{eqnarray}
６乗根 一橋の類題
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\alpha=\sqrt[6]{99+70\sqrt2}$
$\beta=\sqrt[6]{99-70\sqrt2}$
$Am=\alpha^{2n-1}-\beta^{2n-1}$
$n$が自然数のとき,$An$は整数であることを示せ.
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$\alpha=\sqrt[6]{99+70\sqrt2}$
$\beta=\sqrt[6]{99-70\sqrt2}$
$Am=\alpha^{2n-1}-\beta^{2n-1}$
$n$が自然数のとき,$An$は整数であることを示せ.