数学(高校生)
数学(高校生)
【数B】【数列】漸化式1 ※問題文は概要欄
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列
$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$
(2)$a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$
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次の条件によって定められる数列
$\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1}$
(2)$a_1 = \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 3}$
藤川天が東大理三に受かった塾講師役【これが新バイトだったのか】
単元：
#大学入試過去問(数学)#物理#学校別大学入試過去問解説(数学)#大学入試過去問(物理)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#東京大学#数学(高校生)#理科(高校生)#東京大学#東京大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
「東大理三の塾講師役」隠された真の目的が判明！
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「東大理三の塾講師役」隠された真の目的が判明！
福田のおもしろ数学459〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の数$a,b,c,d$が
$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$
を満たすことを証明して下さい。
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正の数$a,b,c,d$が
$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$
を満たすことを証明して下さい。
福田の数学〜東北大学2025文系第3問〜四面体を拡張した四角錐の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
四面体$OABC$において、
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。
点$D$は
$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、
四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。
(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、
$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、
線分$OD$の長さを求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
四面体$OABC$において、
$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$とする。
点$D$は
$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$を満たすとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)四面体$OABC$の体積を$V$とするとき、
四角錐$OABDC$の体積を$V$を用いて表せ。
(2)$\overrightarrow{OD}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$で表せ。
(3)線分$AD$と線分$BC$の交点を$P$とするとき、
$\overrightarrow{OP}$を$\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ。
(4)四面体$OABC$が$1$辺の長さ$1$の正四面体であるとき、
線分$OD$の長さを求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
10進法で表された数$12^{100}$を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
$log_{10}1.4=0.416$, $log_{10}1.8=0.255$, $log_{10}2.1=0.322$とするとき,
$log_{10}2$, $log_{10}3$, $log_{10}7$の値を求めよ。
また, $log_{10}63$の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
(1) $log_{2}3$が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて$log_{2}6$が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて$log_{6}4$が無理数であることを証明せよ。
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10進法で表された数$12^{100}$を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
$log_{10}1.4=0.416$, $log_{10}1.8=0.255$, $log_{10}2.1=0.322$とするとき,
$log_{10}2$, $log_{10}3$, $log_{10}7$の値を求めよ。
また, $log_{10}63$の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
(1) $log_{2}3$が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて$log_{2}6$が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて$log_{6}4$が無理数であることを証明せよ。
【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
(1) $6^{20}$は何桁の整数か。
(2) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。
年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は$10(1.05)^x$万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$,$ log_{10}7=0.8451$とする。
1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし, $log_{10}3=0.4771$とする。
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$log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
(1) $6^{20}$は何桁の整数か。
(2) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。
年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は$10(1.05)^x$万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$,$ log_{10}7=0.8451$とする。
1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし, $log_{10}3=0.4771$とする。
相加相乗平均のイメージ
福田のおもしろ数学458〜関数方程式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
整数から整数への関数$f(n)$が
$f(n)=f(n^2+n+1)$
を満たす偶関数であるとき、
$f(n)$を求めて下さい。
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整数から整数への関数$f(n)$が
$f(n)=f(n^2+n+1)$
を満たす偶関数であるとき、
$f(n)$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第6問〜2つの正五角形の重なった図形の周の長さの最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
【速報】東京大学が新学部を設立 #shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#学校別大学入試過去問解説(英語)#東京大学#数学(高校生)#東京大学
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
【東大速報】70年ぶり！2027年秋に**新学部「College of Design」**を設立！全寮制・授業は全て英語・初の外国人学部長が誕生
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【東大速報】70年ぶり！2027年秋に**新学部「College of Design」**を設立！全寮制・授業は全て英語・初の外国人学部長が誕生
福田のおもしろ数学457〜不定方程式の解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 = 2(y+z) \\
x^6 = y^6 +z^6 + 31 (y^2+z^2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす正の整数$x,y,z$を求めて下さい。
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2 = 2(y+z) \\
x^6 = y^6 +z^6 + 31 (y^2+z^2)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす正の整数$x,y,z$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第5問〜球面上の点と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。
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0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の相等 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。
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0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²
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次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²
【数Ⅱ】【微分法と積分法】3次関数と接線で囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
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曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。
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1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の最小値 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
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約分のこの技知ってた？
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
$\frac{1817}{2923}$を約分しなさい。
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$\frac{1817}{2923}$を約分しなさい。
福田のおもしろ数学456〜5変数の連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$x,y,z,w,t$に対して次の連立方程式を解け。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\hspace{ 2pt } x^5=y+y^5= \cdots ① \\
\hspace{ 2pt }y^5=z+z^5=\cdots ② \\\
\hspace{ 0.1pt }z^5=w+w^5=\cdots ③ \\\
\hspace{ 0.2pt }w^5=t+t^5=\cdots ④ \\\
\hspace{ 1pt }t^5=x+x^5= \cdots ⑤
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
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実数$x,y,z,w,t$に対して次の連立方程式を解け。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\hspace{ 2pt } x^5=y+y^5= \cdots ① \\
\hspace{ 2pt }y^5=z+z^5=\cdots ② \\\
\hspace{ 0.1pt }z^5=w+w^5=\cdots ③ \\\
\hspace{ 0.2pt }w^5=t+t^5=\cdots ④ \\\
\hspace{ 1pt }t^5=x+x^5= \cdots ⑤
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学455〜二重のシグマがかかった不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の実数$a_1,a_2,\cdots a_n$に対して
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{a_ia_j}{i+j-1}\right)\geqq 0$
を証明して下さい。
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任意の実数$a_1,a_2,\cdots a_n$に対して
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{a_ia_j}{i+j-1}\right)\geqq 0$
を証明して下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第3問〜4次関数が極大値をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積から直線を求める ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が$\frac{32}{3}$である。この直線の方程式を求めよ。
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原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が$\frac{32}{3}$である。この直線の方程式を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の2等分 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。
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放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積が一定になることを示す ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
放物線y=x²+4上の点Pにおける放物線の接線と放物線y=x²で囲まれた図形の面積は、点Pの選び方に関係なく一定であることを示せ。
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放物線y=x²+4上の点Pにおける放物線の接線と放物線y=x²で囲まれた図形の面積は、点Pの選び方に関係なく一定であることを示せ。
福田のおもしろ数学454〜積分に関するシュワルツの不等式の証明と等号成立条件
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
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$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第2問〜漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\},\{y_n\}$を
次のように定める。
$x_1=2,y_1=\dfrac{1}{2},x_{n+1}=(y_n)^5･(y_n)^2,$
$ \hspace{ 80pt } y_{n+1}=x_n･(y_n)^6$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$を実数とする。
$a_n=\log_2 x_n,b_n=\log_2 y_n$とおく。
このとき、$\{a_n+kb_n\}$が等位数列になるような
$k$の値をすべて求めよ。
(2)数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学453〜√nに最も近い奇数を並べた2025番目を求める
単元：
#計算と数の性質#数の性質その他#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数$n$に対して
$\sqrt{n}$に最も近い奇数を$a_n$とする。
最も近い奇数が$2$つあるときはその小さい方とする。
$a_{2025}$を求めて下さい。
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自然数$n$に対して
$\sqrt{n}$に最も近い奇数を$a_n$とする。
最も近い奇数が$2$つあるときはその小さい方とする。
$a_{2025}$を求めて下さい。
福田の数学〜東北大学2025理系第1問〜反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。
試行(＊)を次のように定める。
(＊)
$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める
ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき
$1$から$6$までの整数の目の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。
(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。
試行(＊)を$n$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
原点を出発点として数直線上を動く点$P$がある。
試行(＊)を次のように定める。
(＊)
$1$枚の硬貨を$1$回投げて、
・表が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める。
・裏が出た場合は$1$個のさいころを$1$回投げ、
奇数の目が出た場合は点$P$を正の向きに$1$だけ進める
偶数の目が出た場合は点$P$を負の向きに$2$だけ進める
ただし、硬貨を投げたとき裏表の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{2}$,さいころを投げたとき
$1$から$6$までの整数の目の出る確率は
それぞれ$\dfrac{1}{6}$とする。
(1)試行(＊)を$3$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(2)試行(＊)を$6$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
(3)$n$を$3$で割り切れない正の整数とする。
試行(＊)を$n$回繰り返した後に、
点$P$が原点に戻っている確率を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題