福田次郎
福田次郎
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福田のわかった数学〜高校１年生041〜18°系の三角比
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 18°系の三角比
(1)1辺1の正五角形の対角線の長さを求めよ。
(2)$\sin18°、\cos36°$を求めよ。
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数学$\textrm{I}$ 18°系の三角比
(1)1辺1の正五角形の対角線の長さを求めよ。
(2)$\sin18°、\cos36°$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年薬学部第１問(1)〜ド･モアブルの定理
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
$(1)\ (1+i)^{10}$を展開して得られる複素数は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。ただし、iは虚数単位とする。
2021慶應義塾大学薬学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$
$(1)\ (1+i)^{10}$を展開して得られる複素数は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。ただし、iは虚数単位とする。
2021慶應義塾大学薬学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系052〜極限(52)連続と微分可能(3)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 連続と微分可能(3)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right.$ の$x=0$に
おける連続性、微分可能性を調べよ。
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数学$\textrm{III}$ 連続と微分可能(3)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
x\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right.$ の$x=0$に
おける連続性、微分可能性を調べよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第６問〜期待値から経営戦略を立てる
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{6}}$A社はB氏を報酬wで雇っている(wは正の実数)。A社の売り上げはB氏の努力水準に
依存しており、B氏の努力水準が低いとA社の売り上げは200だが、B氏の努力水準が
高い場合、A社の売り上げは70％の確率で500となり、30％の確率で200のままとなる。
そして、このことはB氏も知っている。ただし、B氏は努力水準を高める際に17.5の
苦痛を感じる。そのため、報酬wの下で努力水準を高めると、B氏の実質的な報酬は
w-17.5となってしまう。B氏は完全にテレワークをしており、B氏の努力水準を
A社が直接知ることはできないし、B氏が努力水準を高めるように強制することも
できない。すると$w \gt w-17.5$であることから、B氏は努力水準を高めないことが
合理的な行動となる。
以下では、不確実性下の意思決定を扱っているが(1),(2),(3)のいずれにおいても、
A社、B氏共に期待値の大小のみに関心があるものと仮定して解答すること。
(1)いま、A社は売上が500になったあときにはB氏の報酬を$w_1$に引き上げ、200のとき
には$w_0$に据え置くアイデアを思いついた。B氏が努力水準を高めるには、
$w_1 \geqq w_0+\boxed{\ \ アイウ\ \ }.\boxed{\ \ エオ\ \ }$である必要がある。
次に、B氏は、A社をやめても他の会社に報酬100で雇われることが可能であるとする。
(2)A社の利潤を売上からB氏への報酬を引いた残りだと単純化すると、$w_1$と$w_0$を適切に
定めることにより、B氏にA社をやめさせず、かつ努力水準を高めさせるためには、
A社の利潤の期待値を$\boxed{\ \ カキク\ \ }.\boxed{\ \ ケコ\ \ }$以下とする必要がある。
また、A社の利潤の期待値が最大化された時、$w_1:w_0=5:4$を満たす$w_0$の値は
$\boxed{\ \ サシス\ \ }.\boxed{\ \ セソ\ \ }$
以下では、B氏の$w_0$の値をこの$w_0$の値をこの$\boxed{\ \ サシス\ \ }.\boxed{\ \ セソ\ \ }$とする。
(3)実は、B氏の関心は報酬wそのものではなく、そこから得られる満足と解釈される
$10\sqrt w$であることが分かった。そのため、努力水準を高める際の苦痛17.5もこの値
から差し引かれ、努力水準を高めたときのB氏の満足は$10\sqrt w-17.5$となる。
B氏は(実質的な)報酬を最大化する人ではなく、満足を最大化する人だとしたとき、
B氏にA社をやめさせず、かつ努力水準を高めさせえるためには、$w_1 \geqq \boxed{\ \ タチツ\ \ }.\boxed{\ \ テト\ \ }$
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
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${\Large\boxed{6}}$A社はB氏を報酬wで雇っている(wは正の実数)。A社の売り上げはB氏の努力水準に
依存しており、B氏の努力水準が低いとA社の売り上げは200だが、B氏の努力水準が
高い場合、A社の売り上げは70％の確率で500となり、30％の確率で200のままとなる。
そして、このことはB氏も知っている。ただし、B氏は努力水準を高める際に17.5の
苦痛を感じる。そのため、報酬wの下で努力水準を高めると、B氏の実質的な報酬は
w-17.5となってしまう。B氏は完全にテレワークをしており、B氏の努力水準を
A社が直接知ることはできないし、B氏が努力水準を高めるように強制することも
できない。すると$w \gt w-17.5$であることから、B氏は努力水準を高めないことが
合理的な行動となる。
以下では、不確実性下の意思決定を扱っているが(1),(2),(3)のいずれにおいても、
A社、B氏共に期待値の大小のみに関心があるものと仮定して解答すること。
(1)いま、A社は売上が500になったあときにはB氏の報酬を$w_1$に引き上げ、200のとき
には$w_0$に据え置くアイデアを思いついた。B氏が努力水準を高めるには、
$w_1 \geqq w_0+\boxed{\ \ アイウ\ \ }.\boxed{\ \ エオ\ \ }$である必要がある。
次に、B氏は、A社をやめても他の会社に報酬100で雇われることが可能であるとする。
(2)A社の利潤を売上からB氏への報酬を引いた残りだと単純化すると、$w_1$と$w_0$を適切に
定めることにより、B氏にA社をやめさせず、かつ努力水準を高めさせるためには、
A社の利潤の期待値を$\boxed{\ \ カキク\ \ }.\boxed{\ \ ケコ\ \ }$以下とする必要がある。
また、A社の利潤の期待値が最大化された時、$w_1:w_0=5:4$を満たす$w_0$の値は
$\boxed{\ \ サシス\ \ }.\boxed{\ \ セソ\ \ }$
以下では、B氏の$w_0$の値をこの$w_0$の値をこの$\boxed{\ \ サシス\ \ }.\boxed{\ \ セソ\ \ }$とする。
(3)実は、B氏の関心は報酬wそのものではなく、そこから得られる満足と解釈される
$10\sqrt w$であることが分かった。そのため、努力水準を高める際の苦痛17.5もこの値
から差し引かれ、努力水準を高めたときのB氏の満足は$10\sqrt w-17.5$となる。
B氏は(実質的な)報酬を最大化する人ではなく、満足を最大化する人だとしたとき、
B氏にA社をやめさせず、かつ努力水準を高めさせえるためには、$w_1 \geqq \boxed{\ \ タチツ\ \ }.\boxed{\ \ テト\ \ }$
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生040〜軌跡(7)円周角
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 軌跡(7) 円周角
2点$A(1,0),\ B(0,1)$に対し$\angle APB=45°$を満たす点Pの軌跡を図示せよ。
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数学$\textrm{II}$ 軌跡(7) 円周角
2点$A(1,0),\ B(0,1)$に対し$\angle APB=45°$を満たす点Pの軌跡を図示せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第５問〜人形を並べる方法と漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$(1)同じ人形$n$体(nは正の整数)を、1体または2体ずつ前方を向かせて列に並べる。
例えば$n=10$のとき、下図(※動画参照)のような並べ方がある。
ここで、$n$体の人形の並べ方の総数を$a_n$とすると
$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ldots,\ a_{12}=\boxed{\ \ アイウ\ \ },\ a_{13}=\boxed{\ \ エオカ\ \ },\ a_{14}=\boxed{\ \ キクケ\ \ }$
となる。ただし、列の先頭の人形の前には門があり、その門の方向を前方とする。
(2)同じ人形n体(nは2以上の整数)を、2体または3体ずつ前方を向かせて列に並べる。
その並べ方の総数を$b_n$とすると
$b_2=1,\ b_3=1,\ b_4=1,\ldots,\ b_{12}=\boxed{\ \ コサシ\ \ },\ b_{13}=\boxed{\ \ スセソ\ \ },\ b_{14}=\boxed{\ \ タチツ\ \ }$
となる。ただし、列の先頭の人形の前には門があり、その門の方向を前方とする。
2021慶應義塾大学整合政策学部過去問
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${\Large\boxed{5}}$(1)同じ人形$n$体(nは正の整数)を、1体または2体ずつ前方を向かせて列に並べる。
例えば$n=10$のとき、下図(※動画参照)のような並べ方がある。
ここで、$n$体の人形の並べ方の総数を$a_n$とすると
$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ldots,\ a_{12}=\boxed{\ \ アイウ\ \ },\ a_{13}=\boxed{\ \ エオカ\ \ },\ a_{14}=\boxed{\ \ キクケ\ \ }$
となる。ただし、列の先頭の人形の前には門があり、その門の方向を前方とする。
(2)同じ人形n体(nは2以上の整数)を、2体または3体ずつ前方を向かせて列に並べる。
その並べ方の総数を$b_n$とすると
$b_2=1,\ b_3=1,\ b_4=1,\ldots,\ b_{12}=\boxed{\ \ コサシ\ \ },\ b_{13}=\boxed{\ \ スセソ\ \ },\ b_{14}=\boxed{\ \ タチツ\ \ }$
となる。ただし、列の先頭の人形の前には門があり、その門の方向を前方とする。
2021慶應義塾大学整合政策学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系051〜極限(51)連続と微分可能(2)
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$連続と微分可能(2)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)
\end{array}\right.$
の$x=0$に
おける連続性、微分可能性を調べよ。
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数学$\textrm{III}$連続と微分可能(2)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\sin\displaystyle\frac{1}{x} (x≠0)\\
0 (x=0)
\end{array}\right.$
の$x=0$に
おける連続性、微分可能性を調べよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第４問〜円と放物線が接するときの囲まれた面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$a
aを正の実数、bを1より大きい実数としたとき、放物線$y=-ax^2+b$が、
下図(※動画参照)のように原点を中心とした半径1の円$x^2+y^2=1$と2箇所で
接している。(すなわち共有点において共通の接線を持つ)
(1)一般に、$b=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }a^2+\boxed{\ \ ウエ\ \ }a+\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }a+\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$である。
(2)特に、$a=\frac{\sqrt2}{2}$とすると、放物線と円の接点は
$(±\frac{\sqrt{\boxed{\ \ サシ\ \ }}}{\boxed{\ \ スセ\ \ }},\ \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}}{\boxed{\ \ チツ\ \ }})$
であり、円と放物線に囲まれた上図の斜線部の面積は
$\frac{\boxed{\ \ テト\ \ }+\boxed{\ \ ナニ\ \ }\pi}{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}$となる。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
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${\Large\boxed{4}}$a
aを正の実数、bを1より大きい実数としたとき、放物線$y=-ax^2+b$が、
下図(※動画参照)のように原点を中心とした半径1の円$x^2+y^2=1$と2箇所で
接している。(すなわち共有点において共通の接線を持つ)
(1)一般に、$b=\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }a^2+\boxed{\ \ ウエ\ \ }a+\boxed{\ \ オカ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }a+\boxed{\ \ ケコ\ \ }}$である。
(2)特に、$a=\frac{\sqrt2}{2}$とすると、放物線と円の接点は
$(±\frac{\sqrt{\boxed{\ \ サシ\ \ }}}{\boxed{\ \ スセ\ \ }},\ \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ソタ\ \ }}}{\boxed{\ \ チツ\ \ }})$
であり、円と放物線に囲まれた上図の斜線部の面積は
$\frac{\boxed{\ \ テト\ \ }+\boxed{\ \ ナニ\ \ }\pi}{\boxed{\ \ ヌネ\ \ }}$となる。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生040〜22.5°の三角比
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$
22.5°の三角比
$\sin22.5°,\ \cos22.5°,\ \tan22.5°$を求めよ。
ただし、分母は有利化すること。
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数学$\textrm{I}$
22.5°の三角比
$\sin22.5°,\ \cos22.5°,\ \tan22.5°$を求めよ。
ただし、分母は有利化すること。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第３問〜円と円の位置関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$
図のように(※動画参照)円Aの中に、5つの円Bと4つの円Cが含まれている。
中心の円Bは他の4つの円Bに接し、他の4つの円Bのそれぞれは中心の円Bと円A
と2つの円Cに接している。4つの円Cのそれぞれは円Aと2つの円Bに接している。
いま、円Bの半径を1とすると、円Cの半径は
$\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }+\boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$
である。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
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${\Large\boxed{3}}$
図のように(※動画参照)円Aの中に、5つの円Bと4つの円Cが含まれている。
中心の円Bは他の4つの円Bに接し、他の4つの円Bのそれぞれは中心の円Bと円A
と2つの円Cに接している。4つの円Cのそれぞれは円Aと2つの円Bに接している。
いま、円Bの半径を1とすると、円Cの半径は
$\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }+\boxed{\ \ ウエ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ オカ\ \ }}}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$
である。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系050〜極限(50)連続と微分可能(1)
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$
連続と微分可能(1)
$f(x)$が$x=a$で微分可能 $\Rightarrow f(x)$は$x=a$で連続
を示せ。また、逆が成り立たないことを示せ。
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数学$\textrm{III}$
連続と微分可能(1)
$f(x)$が$x=a$で微分可能 $\Rightarrow f(x)$は$x=a$で連続
を示せ。また、逆が成り立たないことを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第２問〜見込む角の最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$
サッカー選手Pは下図(※動画参照)のようにペナルティーエリアの左端の線を延長した線
のゴール寄り右3mをドリブルで敵陣にまっすぐ向かっている。Pがゴールに向かって
シュートするとき、Pから見てゴールの見える範囲が大きい方が得策である。すなわち、
下図(※動画参照)のような配置でh=3mのとき、選手Pが蹴り込める角度範囲である$\theta$
が最も大きくなるPのゴールラインからの距離xを求めたい。ただし、ゴールは下図のように
ペナルティーエリアの左右の中央で、ゴールラインの外側に設置されているものとする。
一般に図(※動画参照)のようにペナルティーエリアの左端からゴールの左端までの距離をa、
ペナルティーエリアの左端からゴールの右端までの距離をb、Pのドリブルのラインと
ペナルティーエリアの左端までの距離をh(ただし、$h \lt a$とする)、Pからゴールライン
をx、Pの正面から右のゴールポストまでの角度を$\alpha$、Pの正面から左のゴールポスト
までの角を$\beta$としたとき、次頁の解放の文章を完成させなさい。
(解法)$\tan\theta$を最も大きくするxを求める問題と考えることができる。
$\tan\theta=\tan\boxed{\ \ ア\ \ }=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }×x}{x^2+\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
$\tan\theta$の逆数を考えると、相加相乗平均の定理より
$\frac{1}{\tan\theta}=\frac{x}{\boxed{\ \ エ\ \ }}+\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{x×\boxed{\ \ カ\ \ }} \geqq \frac{2}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
であり、$\frac{1}{\tan\theta}$が最小、すなわち$\tan\theta$が最大となるのは$x=\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$のときである。
(解法終わり)
ペナルティエリアの横幅を40m、ゴールの横幅を8mとすると、今回のサッカー選手Pの場合、
$x=\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}m$のときに、$\theta$が最も大きくなることが分かる。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
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${\Large\boxed{2}}$
サッカー選手Pは下図(※動画参照)のようにペナルティーエリアの左端の線を延長した線
のゴール寄り右3mをドリブルで敵陣にまっすぐ向かっている。Pがゴールに向かって
シュートするとき、Pから見てゴールの見える範囲が大きい方が得策である。すなわち、
下図(※動画参照)のような配置でh=3mのとき、選手Pが蹴り込める角度範囲である$\theta$
が最も大きくなるPのゴールラインからの距離xを求めたい。ただし、ゴールは下図のように
ペナルティーエリアの左右の中央で、ゴールラインの外側に設置されているものとする。
一般に図(※動画参照)のようにペナルティーエリアの左端からゴールの左端までの距離をa、
ペナルティーエリアの左端からゴールの右端までの距離をb、Pのドリブルのラインと
ペナルティーエリアの左端までの距離をh(ただし、$h \lt a$とする)、Pからゴールライン
をx、Pの正面から右のゴールポストまでの角度を$\alpha$、Pの正面から左のゴールポスト
までの角を$\beta$としたとき、次頁の解放の文章を完成させなさい。
(解法)$\tan\theta$を最も大きくするxを求める問題と考えることができる。
$\tan\theta=\tan\boxed{\ \ ア\ \ }=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }×x}{x^2+\boxed{\ \ ウ\ \ }}$
$\tan\theta$の逆数を考えると、相加相乗平均の定理より
$\frac{1}{\tan\theta}=\frac{x}{\boxed{\ \ エ\ \ }}+\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{x×\boxed{\ \ カ\ \ }} \geqq \frac{2}{\boxed{\ \ キ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ク\ \ }}$
であり、$\frac{1}{\tan\theta}$が最小、すなわち$\tan\theta$が最大となるのは$x=\sqrt{\boxed{\ \ ケ\ \ }}$のときである。
(解法終わり)
ペナルティエリアの横幅を40m、ゴールの横幅を8mとすると、今回のサッカー選手Pの場合、
$x=\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }}m$のときに、$\theta$が最も大きくなることが分かる。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生039〜軌跡(6)2直線の交点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$軌跡(6) 2直線の交点の軌跡
2直線
$x-my+1=0, mx+y=0$
の交点の軌跡を求めよ。
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数学$\textrm{II}$軌跡(6) 2直線の交点の軌跡
2直線
$x-my+1=0, mx+y=0$
の交点の軌跡を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年総合政策学部第１問〜ソーシャルディスタンスを保つ座り方の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ (1)ある公園に、図のように(※動画参照)10個の丸い椅子が、
東側に5個横一列に、西側に5個一列に、それぞれ1m間隔で置かれている。また東側の
椅子と西側の椅子は2つずつ背中合わせに置かれていて、その間隔は1mとなっている。
Aさんはいつも東側の椅子のいずれかに、Bさんは西側の椅子のいずれかに、
同じ確率で座る。このとき、AさんとBさんの座る日値がソーシャルディスタンスの
2m以上である確率は$\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}$である。
なお、AさんもBさんも椅子の中心に座り、ソーシャルディスタンスは座っている
椅子の中心間の距離で測るものとする。
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${\Large\boxed{1}}$ (1)ある公園に、図のように(※動画参照)10個の丸い椅子が、
東側に5個横一列に、西側に5個一列に、それぞれ1m間隔で置かれている。また東側の
椅子と西側の椅子は2つずつ背中合わせに置かれていて、その間隔は1mとなっている。
Aさんはいつも東側の椅子のいずれかに、Bさんは西側の椅子のいずれかに、
同じ確率で座る。このとき、AさんとBさんの座る日値がソーシャルディスタンスの
2m以上である確率は$\frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}$である。
なお、AさんもBさんも椅子の中心に座り、ソーシャルディスタンスは座っている
椅子の中心間の距離で測るものとする。
福田のわかった数学〜高校３年生理系049〜極限(49)中間値の定理(3)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 中間値の定理(3)
Aさんは300km離れた地点まで車でちょうど5時間かけて移動した。
このときこの300kmの中のどこか60kmの区間を
ちょうど1時間で通過したことを示せ。
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数学$\textrm{III}$ 中間値の定理(3)
Aさんは300km離れた地点まで車でちょうど5時間かけて移動した。
このときこの300kmの中のどこか60kmの区間を
ちょうど1時間で通過したことを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第４問〜数列の文章題
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点と呼ぶ。それぞれ
の正の整数nについて、4つの格子点$A_n(n,n),\ B_n(-n,n),\ C_n(-n,-n),\ D_n(n,-n)$
が作る正方形をJ_nとする。また、$(n-1,n)$にある格子点を$P_n$とする。
$\left\{a_k\right\}$を初項$a_1$が$-56$で、交差が$\frac{1}{4}$の等差数列とし、数列$\left\{a_k\right\}$の各項を以下の
ようにして格子点上順番に割り当てていく。
1.初項$a_1$は格子点$P_1$に割り当てる。
2.$a_l$が正方形$J_m$の周上にある格子点で$A_m$以外の点に割り当てられているときには、
$J_m$の周上でその点から半時計回り(右図(※動画参照)での矢印が示す方向)に一つ移動
した格子点に$a_{l+1}$を割り当てる。
3$.a_l$が格子点$A_m$に割り当てられているときには、$a_{l+1}$を格子点$P_{m+1}$に割り当てる。
全体としては、図に示されているようにして、格子点をたどっていくことになる。
(1)格子点$P_n$に割り当てられる数列$\left\{a_k\right\}$の項を$p_n$とし、格子点$C_n$に割り当て
られる数列$\left\{a_k\right\}$の項を$c_n$とする。
このとき、$p_4=-\boxed{\ \ アイ\ \ }, c_4=-\frac{\boxed{\ \ ウエオ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(2)上で定めた$p_n$を用いて、$q_n$を数列$\left\{p_n\right\}$の初項$p_1$から第n項$p_n$までの和とする。
$q_n$をnを使って表すと、$q_n=\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}n^3-\frac{\boxed{\ \ ケコサ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}n$である。
(3)上で定めた$q_n$が最小値を取るのは、$n=\boxed{\ \ ス\ \ }$または$n=\boxed{\ \ セ\ \ }$のときであり、
その値は#$-\boxed{\ \ ソタチ\ \ }$である。
2021慶應義塾大学商学部過去問
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${\Large\boxed{4}}$座標平面上でx座標とy座標がいずれも整数である点を格子点と呼ぶ。それぞれ
の正の整数nについて、4つの格子点$A_n(n,n),\ B_n(-n,n),\ C_n(-n,-n),\ D_n(n,-n)$
が作る正方形をJ_nとする。また、$(n-1,n)$にある格子点を$P_n$とする。
$\left\{a_k\right\}$を初項$a_1$が$-56$で、交差が$\frac{1}{4}$の等差数列とし、数列$\left\{a_k\right\}$の各項を以下の
ようにして格子点上順番に割り当てていく。
1.初項$a_1$は格子点$P_1$に割り当てる。
2.$a_l$が正方形$J_m$の周上にある格子点で$A_m$以外の点に割り当てられているときには、
$J_m$の周上でその点から半時計回り(右図(※動画参照)での矢印が示す方向)に一つ移動
した格子点に$a_{l+1}$を割り当てる。
3$.a_l$が格子点$A_m$に割り当てられているときには、$a_{l+1}$を格子点$P_{m+1}$に割り当てる。
全体としては、図に示されているようにして、格子点をたどっていくことになる。
(1)格子点$P_n$に割り当てられる数列$\left\{a_k\right\}$の項を$p_n$とし、格子点$C_n$に割り当て
られる数列$\left\{a_k\right\}$の項を$c_n$とする。
このとき、$p_4=-\boxed{\ \ アイ\ \ }, c_4=-\frac{\boxed{\ \ ウエオ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$である。
(2)上で定めた$p_n$を用いて、$q_n$を数列$\left\{p_n\right\}$の初項$p_1$から第n項$p_n$までの和とする。
$q_n$をnを使って表すと、$q_n=\frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{\boxed{\ \ ク\ \ }}n^3-\frac{\boxed{\ \ ケコサ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}n$である。
(3)上で定めた$q_n$が最小値を取るのは、$n=\boxed{\ \ ス\ \ }$または$n=\boxed{\ \ セ\ \ }$のときであり、
その値は#$-\boxed{\ \ ソタチ\ \ }$である。
2021慶應義塾大学商学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生039〜15°の三角比
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$
15°の三角比
$\sin15°,\cos15°,\tan15°$を求めよ。
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数学$\textrm{I}$
15°の三角比
$\sin15°,\cos15°,\tan15°$を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第３問〜平面ベクトルと三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{3}}$
点Oを原点とする座標平面上の点$P,Q,R$を、ベクトル$\overrightarrow{ a }=(2,1),\overrightarrow{ b }=(1,2)$を用い、
位置ベクトル$\overrightarrow{ OP }=f(t)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OQ }=f(t+2)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OR }=g(t)\overrightarrow{ b }$で定める。
ここで、$f(t),g(t)$は、実数tを用いて、
$f(t)=9t^2+1, g(t)=\frac{1}{8}(t^2-6t+9)$で表される。
(1)$\overrightarrow{ a }$と$\overrightarrow{ b }$のなす角を$\theta$とする。ただし、$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする。このとき、
$\sin\theta=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
(2)$t=-\boxed{\ \ ウ\ \ }$のとき、点Pと点Qが一致する。それ以外のとき、点P,Q,Rは
異なる3点となり、$t=\boxed{\ \ エ\ \ }$のときその3点が一直線上に並ぶ。
(3)$-\frac{4}{3} \leqq t \leqq 4$の範囲において、上記(2)以外のとき、$\triangle PQR$の面積は
$t=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$で最大値$\boxed{\ \ キク\ \ }$をとる。
2021慶應義塾大学商学部過去問
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${\Large\boxed{3}}$
点Oを原点とする座標平面上の点$P,Q,R$を、ベクトル$\overrightarrow{ a }=(2,1),\overrightarrow{ b }=(1,2)$を用い、
位置ベクトル$\overrightarrow{ OP }=f(t)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OQ }=f(t+2)\overrightarrow{ a }, \overrightarrow{ OR }=g(t)\overrightarrow{ b }$で定める。
ここで、$f(t),g(t)$は、実数tを用いて、
$f(t)=9t^2+1, g(t)=\frac{1}{8}(t^2-6t+9)$で表される。
(1)$\overrightarrow{ a }$と$\overrightarrow{ b }$のなす角を$\theta$とする。ただし、$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする。このとき、
$\sin\theta=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$である。
(2)$t=-\boxed{\ \ ウ\ \ }$のとき、点Pと点Qが一致する。それ以外のとき、点P,Q,Rは
異なる3点となり、$t=\boxed{\ \ エ\ \ }$のときその3点が一直線上に並ぶ。
(3)$-\frac{4}{3} \leqq t \leqq 4$の範囲において、上記(2)以外のとき、$\triangle PQR$の面積は
$t=\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$で最大値$\boxed{\ \ キク\ \ }$をとる。
2021慶應義塾大学商学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系048〜極限(48)中間値の定理(2)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 中間値の定理(2)
関数$f(x),g(x)$は区間[a,b]で連続でf(x)の最大値はg(x)の最大値よりも大きく、
f(x)の最小値はg(x)の最小値よりも小さい。このとき、方程式$f(x)=g(x)$は$a \leqq x \leqq b$
に実数解をもつことを示せ。
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数学$\textrm{III}$ 中間値の定理(2)
関数$f(x),g(x)$は区間[a,b]で連続でf(x)の最大値はg(x)の最大値よりも大きく、
f(x)の最小値はg(x)の最小値よりも小さい。このとき、方程式$f(x)=g(x)$は$a \leqq x \leqq b$
に実数解をもつことを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第２問〜確率の計算
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$
$a,k,n$は正の整数で、$a \lt k$とする。袋の中にk個の玉が入っている。そのうち
a個は赤玉で、残りの$k-a$個は青玉である。
「袋から1個の玉を取り出し、色を調べてから袋に戻すとともに、その玉と同色
の玉をn個袋に追加する」という操作を繰り返す。
$(\textrm{i})$1回目に赤玉が出たとき、2回目に赤玉が出る確率は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
$(\textrm{ii})$2回目に赤玉が出る確率は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
$(\textrm{iii})$2回目に青玉が出たとき、1回目に赤玉が出ていた確率は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
$(\textrm{iv})$この操作を3回繰り返す。1回ごとに赤玉が出たら1点、青玉が出たら2点
を得るとき、得点の合計が4点となる確率は$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
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${\Large\boxed{2}}$
$a,k,n$は正の整数で、$a \lt k$とする。袋の中にk個の玉が入っている。そのうち
a個は赤玉で、残りの$k-a$個は青玉である。
「袋から1個の玉を取り出し、色を調べてから袋に戻すとともに、その玉と同色
の玉をn個袋に追加する」という操作を繰り返す。
$(\textrm{i})$1回目に赤玉が出たとき、2回目に赤玉が出る確率は$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
$(\textrm{ii})$2回目に赤玉が出る確率は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
$(\textrm{iii})$2回目に青玉が出たとき、1回目に赤玉が出ていた確率は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
$(\textrm{iv})$この操作を3回繰り返す。1回ごとに赤玉が出たら1点、青玉が出たら2点
を得るとき、得点の合計が4点となる確率は$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
2021慶應義塾大学総合政策学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生037〜部屋割り論法(2)の訂正版
単元：
#数Ⅰ#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$ 部屋割り論法(2)
座標平面上に異なる5個の格子点がある。これら5個の格子点の中に、
結んだ線分の中点がまた格子点となるような2点が存在することを示せ。
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数学$\textrm{I}$ 部屋割り論法(2)
座標平面上に異なる5個の格子点がある。これら5個の格子点の中に、
結んだ線分の中点がまた格子点となるような2点が存在することを示せ。
福田のわかった数学〜高校２年生038〜軌跡(5)反転の話その3
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$ 軌跡(5) 反転の話(3)まとめ
動点Pが原点Oを通る原点以外の円上を動く。半直線OP上で$OP・OQ=a^2$
$(a \gt 0)$を満たす点Qの軌跡は原点を通らない直線となることを示せ。
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数学$\textrm{II}$ 軌跡(5) 反転の話(3)まとめ
動点Pが原点Oを通る原点以外の円上を動く。半直線OP上で$OP・OQ=a^2$
$(a \gt 0)$を満たす点Qの軌跡は原点を通らない直線となることを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第１問(2)〜共通接線と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
(2)点Aを、放物線$C_1:y=x^2$上にある点で、第1象限($x \gt 0$かつ$y \gt 0$の範囲)
に属するものとする。そのうえで、次の条件を満たす放物線
$C_2:y=-3(x-p)^2+q$ を考える。
1.点Aは、放物線$C_2$上の点である。
2.放物線$C_2$の点Aにおける接線をlとするとき、lは放物線$C_1$の点Aにおける
接線と同一である。
点Aの座標を$A(a,a^2)$とするとき、
$p=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}a, q=\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}a^2$
と表せる。また、直線$l$、放物線$C_2$、および直線$x=p$で囲まれた部分の
面積は$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カキ\ \ }}a^3$ である。
2021慶應義塾大学商学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$
(2)点Aを、放物線$C_1:y=x^2$上にある点で、第1象限($x \gt 0$かつ$y \gt 0$の範囲)
に属するものとする。そのうえで、次の条件を満たす放物線
$C_2:y=-3(x-p)^2+q$ を考える。
1.点Aは、放物線$C_2$上の点である。
2.放物線$C_2$の点Aにおける接線をlとするとき、lは放物線$C_1$の点Aにおける
接線と同一である。
点Aの座標を$A(a,a^2)$とするとき、
$p=\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}a, q=\frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}a^2$
と表せる。また、直線$l$、放物線$C_2$、および直線$x=p$で囲まれた部分の
面積は$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カキ\ \ }}a^3$ である。
2021慶應義塾大学商学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系047〜極限(47)中間値の定理(1)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 中間値の定理(1)
方程式$\sqrt x-2\log_3x=0$は、
$1 \lt x \lt 3$に実数解をもつことを示せ。
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数学$\textrm{III}$ 中間値の定理(1)
方程式$\sqrt x-2\log_3x=0$は、
$1 \lt x \lt 3$に実数解をもつことを示せ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年商学部第１問(1)〜対数の基本性質
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$
(1)正の実数$x,\ y$について、xとyの相加平均を5とする。また、4を底とする。
$x,\ y$の対数をそれぞれ$X,\ Y$としたとき、XとYの相加平均は1であるとする。
このとき、$x \lt y$とすると、$x=\boxed{\ \ ア\ \ }, y=\boxed{\ \ イ\ \ }$ である。
2021慶應義塾大学商学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$
(1)正の実数$x,\ y$について、xとyの相加平均を5とする。また、4を底とする。
$x,\ y$の対数をそれぞれ$X,\ Y$としたとき、XとYの相加平均は1であるとする。
このとき、$x \lt y$とすると、$x=\boxed{\ \ ア\ \ }, y=\boxed{\ \ イ\ \ }$ である。
2021慶應義塾大学商学部過去問
福田のわかった数学〜高校１年生038〜三角比、簡単な測量
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{I}$三角比、簡単な測量
山の高さを測るために図の2地点A,B(※動画参照)から
仰角を測るとそれぞれ$\alpha,\beta$であった。
$AB=x$とすると、山の高さはいくらか。
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数学$\textrm{I}$三角比、簡単な測量
山の高さを測るために図の2地点A,B(※動画参照)から
仰角を測るとそれぞれ$\alpha,\beta$であった。
$AB=x$とすると、山の高さはいくらか。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第６問〜3次関数の接線と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{6}}$
F(x)は実数を係数とするxの3次式で、x^3の項の係数は1であり、$y=F(x)$で
定まる曲線をCとする。$\alpha \lt \beta$を満たす実数$\alpha,\ \beta$に対して、C上の点A$(\alpha,F(\alpha))$
におけるCの接線を$L_{\alpha}$とするとき、Cと$L_{\alpha}$とのA以外の共有点が$B(\beta,F(\beta))$
であるとする。さらに、BにおけるCの接線を$L_{\beta}$とのB以外の共有点を$(\gamma,F(\gamma))$
とする。
(1)接線$L_{\alpha}$の方程式を$y=l_{\alpha}(x)$とし、$G(x)=F(x)-l_{\alpha}(x)$とおく。さらに、
曲線$y=G(x)$上の点$(\beta,G(\beta))$における接線の方程式を$y=m(x)$とする。$G(x)$
および$m(x)$を、それぞれ$\alpha,\beta$を用いて因数分解された形に表せ。必要ならば
xの整式で表される関数$p(x),q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
$\left\{p(x)q(x)\right\}'=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)$
を用いてもよい。
(2)接線$L_{\beta}$の方程式は(1)で定めた$l_{\alpha}(x),\ m(x)$を用いて、$y=l_{\alpha}(x)+ m(x)$で
与えられることを示せ。さらに、$\gamma$を$\alpha,\beta$を用いて表せ。
(3)曲線Cおよび$L_{\beta}$で囲まれた図形の面積を$S$とする。$S$を$\alpha,\beta$を用いて表せ。
さらに$\alpha,\beta$が$-1 \lt \alpha \lt 0$かつ$1 \lt \beta \lt 2$を満たすとき、$S$の取り得る値の
範囲を求めよ。必要ならば$r \lt s$を満たす実数$r,s$に対して成り立つ公式
$\int_r^s(x-r)(x-s)^2dx=\frac{1}{12}(s-r)^4$
を用いてもよい。
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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${\Large\boxed{6}}$
F(x)は実数を係数とするxの3次式で、x^3の項の係数は1であり、$y=F(x)$で
定まる曲線をCとする。$\alpha \lt \beta$を満たす実数$\alpha,\ \beta$に対して、C上の点A$(\alpha,F(\alpha))$
におけるCの接線を$L_{\alpha}$とするとき、Cと$L_{\alpha}$とのA以外の共有点が$B(\beta,F(\beta))$
であるとする。さらに、BにおけるCの接線を$L_{\beta}$とのB以外の共有点を$(\gamma,F(\gamma))$
とする。
(1)接線$L_{\alpha}$の方程式を$y=l_{\alpha}(x)$とし、$G(x)=F(x)-l_{\alpha}(x)$とおく。さらに、
曲線$y=G(x)$上の点$(\beta,G(\beta))$における接線の方程式を$y=m(x)$とする。$G(x)$
および$m(x)$を、それぞれ$\alpha,\beta$を用いて因数分解された形に表せ。必要ならば
xの整式で表される関数$p(x),q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
$\left\{p(x)q(x)\right\}'=p'(x)q(x)+p(x)q'(x)$
を用いてもよい。
(2)接線$L_{\beta}$の方程式は(1)で定めた$l_{\alpha}(x),\ m(x)$を用いて、$y=l_{\alpha}(x)+ m(x)$で
与えられることを示せ。さらに、$\gamma$を$\alpha,\beta$を用いて表せ。
(3)曲線Cおよび$L_{\beta}$で囲まれた図形の面積を$S$とする。$S$を$\alpha,\beta$を用いて表せ。
さらに$\alpha,\beta$が$-1 \lt \alpha \lt 0$かつ$1 \lt \beta \lt 2$を満たすとき、$S$の取り得る値の
範囲を求めよ。必要ならば$r \lt s$を満たす実数$r,s$に対して成り立つ公式
$\int_r^s(x-r)(x-s)^2dx=\frac{1}{12}(s-r)^4$
を用いてもよい。
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系046〜極限(46)関数の連続性(3)
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 関数の連続性(3)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\frac{x^2}{|x|} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right.$
は、$x=0$で連続か、調べよ。
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数学$\textrm{III}$ 関数の連続性(3)
$f(x)=\left\{\begin{array}{1}
\displaystyle\frac{x^2}{|x|} (x≠0)\\
0 (x=0)\\
\end{array}\right.$
は、$x=0$で連続か、調べよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年経済学部第５問〜ベクトルの空間図形への応用
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$
空間の2点OとAは$|\overrightarrow{ OA }|=2$を満たすとし、点Aを通り$\overrightarrow{ OA }$に直交する平面をHとする。
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し
$|\overrightarrow{ AB }|=2a, |\overrightarrow{ AC }|=3a, \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2$
を満たすとする。ただし、$\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }$はベクトル$\overrightarrow{ u }$と$\overrightarrow{ v }$の内積を表す。
(1)$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }$の値を求めよ。
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。
(2)ベクトル$\overrightarrow{ OP }$を、実数$\alpha,\beta,\gamma$を用いて
$\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }$と表すとき、
$\alpha,\beta,\gamma$の値をそれぞれ求めよ。
(3)空間の点Qは$2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }$を満たすとする。直線PQが、
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、$|\overrightarrow{ AP }|$の値および$a$の値を求めよ。
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、
$\triangle APR$の面積を求めよ。
2021慶應義塾大学経済学部過去問
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${\Large\boxed{5}}$
空間の2点OとAは$|\overrightarrow{ OA }|=2$を満たすとし、点Aを通り$\overrightarrow{ OA }$に直交する平面をHとする。
平面H上の三角形ABCは、正の実数aに対し
$|\overrightarrow{ AB }|=2a, |\overrightarrow{ AC }|=3a, \overrightarrow{ AB }・\overrightarrow{ AC }=2a^2$
を満たすとする。ただし、$\overrightarrow{ u }・\overrightarrow{ v }$はベクトル$\overrightarrow{ u }$と$\overrightarrow{ v }$の内積を表す。
(1)$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }$の値を求めよ。
さらに、線分ABの平面H上にある垂直二等分線をl、線分ACを2:1に内分する点を
通り、線分ACに直交するH上の直線をmとする。また、lとmの交点をPとする。
(2)ベクトル$\overrightarrow{ OP }$を、実数$\alpha,\beta,\gamma$を用いて
$\overrightarrow{ OP }=\alpha\overrightarrow{ OA }+\beta\overrightarrow{ OB }+\gamma\overrightarrow{ OC }$と表すとき、
$\alpha,\beta,\gamma$の値をそれぞれ求めよ。
(3)空間の点Qは$2\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OQ }=\overrightarrow{ 0 }$を満たすとする。直線PQが、
点Oを中心とする半径2の球Sに接しているとき、$|\overrightarrow{ AP }|$の値および$a$の値を求めよ。
さらに、直線l上の点Rを、直線QRがSに接し、Pとは異なる点とする。このとき、
$\triangle APR$の面積を求めよ。
2021慶應義塾大学経済学部過去問
福田のわかった数学〜高校２年生037〜軌跡(4)反転の話その2
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{II}$
軌跡(4) 反転の話(2)
動点Pが直線$l:x+y=1$上を動く。
原点Oを端点とする半直線OP上で
$OP・OQ=1$
を満たす点Qの軌跡を求めよ。
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数学$\textrm{II}$
軌跡(4) 反転の話(2)
動点Pが直線$l:x+y=1$上を動く。
原点Oを端点とする半直線OP上で
$OP・OQ=1$
を満たす点Qの軌跡を求めよ。