福田次郎
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福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(11)円群と共通弦、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 2つの円$x^2+y^2=4$ $\cdots$①と$x^2+y^2+4x-2y+4=0$ $\cdots$②について、
(1)2つの円は、異なる2点で交わることを示せ。
(2)2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。
(3)2つの円の交点と原点を通る円の方程式を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 中心$(a,b),$半径2の円と円$x^2+y^2=9$ $\cdots$①との2つの共有点を通る直線
の方程式が$6x-2y-15=0$となるような点$(a,b)$を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 2つの円$x^2+y^2=4$ $\cdots$①と$x^2+y^2+4x-2y+4=0$ $\cdots$②について、
(1)2つの円は、異なる2点で交わることを示せ。
(2)2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。
(3)2つの円の交点と原点を通る円の方程式を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 中心$(a,b),$半径2の円と円$x^2+y^2=9$ $\cdots$①との2つの共有点を通る直線
の方程式が$6x-2y-15=0$となるような点$(a,b)$を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(10)2円の位置関係、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 2つの円$x^2+y^2=10$ $\cdots$①, $x^2+y^2-2ax-6ay+40a-50=0$ $\cdots$②
が接するように、定数aの値を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 2つの円$x^2+y^2=10$ $\cdots$①, $x^2+y^2-2ax-6ay+40a-50=0$ $\cdots$②
が接するように、定数aの値を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(9)外から引いた接線（中心が原点以外の場合）、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#解と判別式・解と係数の関係#点と直線#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 円$(x+2)^2+(y-2)^2=10$ の接線で、点(2,4)を通るものを求めよ。
また、接点の座標を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 円$(x+2)^2+(y-2)^2=10$ の接線で、点(2,4)を通るものを求めよ。
また、接点の座標を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(8)外から引いた接線（原点中心の円の場合）、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#解と判別式・解と係数の関係#点と直線#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2=5$ の接線で、点(3,1)を通るものを求めよ。
また、接点の座標を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2=5$ の接線で、点(3,1)を通るものを求めよ。
また、接点の座標を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(7)接線の公式と極線の公式、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ (1)円$x^2+y^2=25$ 上の点$(-4,3)$における接線の方程式を求めよ。
(2)円$x^2+y^2-2x+6y=0$ 上の点$(2,-6)$における接線の方程式を求めよ。
(3)円$x^2+y^2=25$ $\cdots$①の外部の点$A(3,8)$から円①に2本の接線を引き、
その2つの接点を$P,Q$とする。直線$PQ$の方程式を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ (1)円$x^2+y^2=25$ 上の点$(-4,3)$における接線の方程式を求めよ。
(2)円$x^2+y^2-2x+6y=0$ 上の点$(2,-6)$における接線の方程式を求めよ。
(3)円$x^2+y^2=25$ $\cdots$①の外部の点$A(3,8)$から円①に2本の接線を引き、
その2つの接点を$P,Q$とする。直線$PQ$の方程式を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(6)切り取られる弦の長さと中点（応用２）、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#解と判別式・解と係数の関係#円と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2=4$ $\cdots$①, 直線$y=m(x-4)$ $\cdots$②がある。次の問いに答えよ。
(1)①②が異なる2点で交わるように定数$m$の値の範囲を求めよ。
(2)(1)のとき、②が①によって切り取られる弦の中点の座標を$m$を用いて表せ。
(3)(1)で求めた範囲を$m$が動くとき、(2)の中点はどんな図形を描くか。
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${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2=4$ $\cdots$①, 直線$y=m(x-4)$ $\cdots$②がある。次の問いに答えよ。
(1)①②が異なる2点で交わるように定数$m$の値の範囲を求めよ。
(2)(1)のとき、②が①によって切り取られる弦の中点の座標を$m$を用いて表せ。
(3)(1)で求めた範囲を$m$が動くとき、(2)の中点はどんな図形を描くか。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(5)切り取られる弦の長さと中点（応用１）、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#解と判別式・解と係数の関係#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2-4x+2y-4=0$ $\cdots$①が直線$x+2y+k=0$ $\cdots$②
から切り取る弦の長さが4であるとき、定数$k$の値を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 直線$\ell:y=2x+a$ が放物線$C:y=x^2$ によって切り取られる弦
の長さが10となるように定数$a$の値を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2-4x+2y-4=0$ $\cdots$①が直線$x+2y+k=0$ $\cdots$②
から切り取る弦の長さが4であるとき、定数$k$の値を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 直線$\ell:y=2x+a$ が放物線$C:y=x^2$ によって切り取られる弦
の長さが10となるように定数$a$の値を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(4)切り取られる弦の長さと中点（基本）、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#図形と方程式#解と判別式・解と係数の関係#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2+4x-2y-1=0$ $\cdots$①と直線$4x+3y-5=0$ $\cdots$②
の交点を$A,B$とする。線分$AB$の長さと、中点の座標を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 円$x^2+y^2+4x-2y-1=0$ $\cdots$①と直線$4x+3y-5=0$ $\cdots$②
の交点を$A,B$とする。線分$AB$の長さと、中点の座標を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(3)直線と円の位置関係、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#円#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 直線$mx-y-(3m-1)=0$ と円$x^2+y^2=2$ の位置関係を調べよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 直線$mx-y-(3m-1)=0$ と円$x^2+y^2=2$ の位置関係を調べよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(2)三角形の外心、高校2年生
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 3点$A(-2,6),B(1,-3),C(5,-1)$を頂点とする$\triangle ABC$の外心の座標を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 3点$A(-2,6),B(1,-3),C(5,-1)$を頂点とする$\triangle ABC$の外心の座標を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜円の方程式(1)基本、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 次の条件を満たす円の方程式を求めよ。
(1)2点$A(-3,-4),B(5,8)$を直径の両端とする円。
(2)$x$軸、$y$軸の両方に接し、点$A(-4,2)$を通る円。
(3)点$A(1,1)$を通り、$y$軸に接し、中心が直線$\ell:y=2x$
上にある円。
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${\Large\boxed{1}}$ 次の条件を満たす円の方程式を求めよ。
(1)2点$A(-3,-4),B(5,8)$を直径の両端とする円。
(2)$x$軸、$y$軸の両方に接し、点$A(-4,2)$を通る円。
(3)点$A(1,1)$を通り、$y$軸に接し、中心が直線$\ell:y=2x$
上にある円。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(9)点と直線の距離の公式と三角形の内心、高校2年生
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 3直線$\ell:3x+4y-36=0,$ $m:4x-3y+27=0,$ $n:3x-4y-20=0$で
囲まれた三角形の内心の座標を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 3直線$\ell:3x+4y-36=0,$ $m:4x-3y+27=0,$ $n:3x-4y-20=0$で
囲まれた三角形の内心の座標を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(8)点と直線の距離の公式と角の二等分線、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 2直線$\ell:5x+12y+2=0,$ $m:12x+5y-19=0$
の間の角を二等分する直線の方程式を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 2直線$\ell:5x+12y+2=0,$ $m:12x+5y-19=0$
の間の角を二等分する直線の方程式を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(7)点と直線の距離の公式と面積公式、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 放物線$y=x^2$上の点$P$と、直線$x-2y-4=0$上の点との距離の最小値を
求めよ。また、そのときの点$P$の座標を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $O(0,0),A(a,b),B(c,d)$とする。
(1)$\triangle OAB$の面積を$S$とする。$S=\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることを証明せよ。
(2)(1)を利用して、$A(3,5),B(5,2),C(1,1)$に対し、$\triangle ABC$の面積を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 放物線$y=x^2$上の点$P$と、直線$x-2y-4=0$上の点との距離の最小値を
求めよ。また、そのときの点$P$の座標を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $O(0,0),A(a,b),B(c,d)$とする。
(1)$\triangle OAB$の面積を$S$とする。$S=\displaystyle \frac{1}{2}|ad-bc|$であることを証明せよ。
(2)(1)を利用して、$A(3,5),B(5,2),C(1,1)$に対し、$\triangle ABC$の面積を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(6)点と直線の距離の公式・基本、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 点(1,5)と直線$4x-3y+1=0$ の距離を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 平行な2直線$2x-y+1=$, $2x-y-3=0$ の距離を求めよ。
${\Large\boxed{3}}$ 原点中心、半径2の円と直線$mx-y-3m+2=0$
が異なる2点で交わるように$m$の値の範囲を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 点(1,5)と直線$4x-3y+1=0$ の距離を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ 平行な2直線$2x-y+1=$, $2x-y-3=0$ の距離を求めよ。
${\Large\boxed{3}}$ 原点中心、半径2の円と直線$mx-y-3m+2=0$
が異なる2点で交わるように$m$の値の範囲を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(5)直線群と軌跡、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 2直線$x+5y-7=0$ $\cdots$①, $2x-y-4=0$ $\cdots$②の交点を通り、
直線$x+4y-6=0$ に垂直な直線の方程式を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $m$が実数全体を動くとき、次の2直線の交点$P$はどんな図形を描くか。
$mx-y=0$ $\cdots$① $x+my-m-2=0$ $\cdots$②
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${\Large\boxed{1}}$ 2直線$x+5y-7=0$ $\cdots$①, $2x-y-4=0$ $\cdots$②の交点を通り、
直線$x+4y-6=0$ に垂直な直線の方程式を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $m$が実数全体を動くとき、次の2直線の交点$P$はどんな図形を描くか。
$mx-y=0$ $\cdots$① $x+my-m-2=0$ $\cdots$②
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(4)直線群と２次方程式の解、高校2年生
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 2直線4x+3y+2=0 \cdots①, 5x-2y-3=0 \cdots②の交点を通り、\\
点A(-1,2)を通る直線の方程式を求めよ。\\
\\
{\Large\boxed{2}} 2次方程式x^2-ax-2a-1=0 について次の条件を満たすaの範囲を定めよ。\\
(1)-1 \lt x \lt 2 の範囲に異なる2つの実数解をもつ。\\
(2)少なくとも1つ-1 \lt x \lt 2 の範囲に実数解をもつ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 2直線4x+3y+2=0 \cdots①, 5x-2y-3=0 \cdots②の交点を通り、\\
点A(-1,2)を通る直線の方程式を求めよ。\\
\\
{\Large\boxed{2}} 2次方程式x^2-ax-2a-1=0 について次の条件を満たすaの範囲を定めよ。\\
(1)-1 \lt x \lt 2 の範囲に異なる2つの実数解をもつ。\\
(2)少なくとも1つ-1 \lt x \lt 2 の範囲に実数解をもつ。
\end{eqnarray}
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(3)直線群の基本、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $(3+2k)x+(4-k)y+5-3k=0$ は定数$k$の値にかかわら定点を通る。
この定点の座標を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $2$直線$\ 2x-3y+5=0$ $\cdots$① $x+2y-6=0$ $\cdots$②の交点を通る直線
のうち次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。
(1)点(-1,2)を通る
(2)直線$\ x+3y+7=0$ $\cdots$③と平行
(3)直線$\ 2x-y+7=0$ $\cdots$④と垂直
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${\Large\boxed{1}}$ $(3+2k)x+(4-k)y+5-3k=0$ は定数$k$の値にかかわら定点を通る。
この定点の座標を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $2$直線$\ 2x-3y+5=0$ $\cdots$① $x+2y-6=0$ $\cdots$②の交点を通る直線
のうち次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。
(1)点(-1,2)を通る
(2)直線$\ x+3y+7=0$ $\cdots$③と平行
(3)直線$\ 2x-y+7=0$ $\cdots$④と垂直
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(2)線対称と折れ線の最小、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 直線$\ell:x+2y-9=0,$ 2点$A(2,1),B(6,-1)$がある。次を求めよ。
(1)直線$\ell$に関して、点$A$と対称な点$C$の座標。
(2)直線$\ell$に関して、直線$m:x-y-1=0$と対称な直線$n$の方程式。
(3)直線$\ell$上の点$P$で$AP+BP$を最小にする点$P$の座標。
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${\Large\boxed{1}}$ 直線$\ell:x+2y-9=0,$ 2点$A(2,1),B(6,-1)$がある。次を求めよ。
(1)直線$\ell$に関して、点$A$と対称な点$C$の座標。
(2)直線$\ell$に関して、直線$m:x-y-1=0$と対称な直線$n$の方程式。
(3)直線$\ell$上の点$P$で$AP+BP$を最小にする点$P$の座標。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜直線の方程式(1)平行・垂直条件、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 点$(2,-3)$を通り、直線$3x-4y+1=0$ に平行な直線と垂直な直線の
方程式を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $2$直線$ax-y-a+1=0$ $\cdots$① $(a+2)x-ay+2a=0$ $\cdots$②
が次の条件を満たすとき、定数$a$の値を求めよ。
(1)平行である (2)垂直である
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${\Large\boxed{1}}$ 点$(2,-3)$を通り、直線$3x-4y+1=0$ に平行な直線と垂直な直線の
方程式を求めよ。
${\Large\boxed{2}}$ $2$直線$ax-y-a+1=0$ $\cdots$① $(a+2)x-ay+2a=0$ $\cdots$②
が次の条件を満たすとき、定数$a$の値を求めよ。
(1)平行である (2)垂直である
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜内分・外分公式、高校2年生
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 3点$A(-1,1),B(1,-2),C(5,0)$がある。次の点の座標を求めよ。
(1)線分ABを2:1に内分する点。
(2)線分CAを2:1に外分する点。
(3)線分BCの中点。
(4)$\triangle$ ABCの重心。
(5)4点A,B,C,Dが平行四辺形の4つの頂点になるような点D。
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${\Large\boxed{1}}$ 3点$A(-1,1),B(1,-2),C(5,0)$がある。次の点の座標を求めよ。
(1)線分ABを2:1に内分する点。
(2)線分CAを2:1に外分する点。
(3)線分BCの中点。
(4)$\triangle$ ABCの重心。
(5)4点A,B,C,Dが平行四辺形の4つの頂点になるような点D。
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜２点間の距離の公式(2)高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $\triangle ABC$において、辺$BC$の中点を$M$とする。次を証明せよ。
$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$
${\Large\boxed{2}}$ $\triangle ABC$の重心をGとするとき、次を証明せよ。
$AB^2+AC^2=BG^2+CG^2+4AG^2$
(注意)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$のとき$\triangle ABC$の重心の座標は
$\left(\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\displaystyle \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
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${\Large\boxed{1}}$ $\triangle ABC$において、辺$BC$の中点を$M$とする。次を証明せよ。
$AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$
${\Large\boxed{2}}$ $\triangle ABC$の重心をGとするとき、次を証明せよ。
$AB^2+AC^2=BG^2+CG^2+4AG^2$
(注意)$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$のとき$\triangle ABC$の重心の座標は
$\left(\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\displaystyle \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜２点間の距離の公式(1)高校2年生
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}\ $平面上に2点$A(3,5),B(-1,3)$がある。次の問いに答えよ。
(1)$AB$の距離を求めよ。
(2)2点$A,B$から等距離にある$x$軸上の点$P$の座標を求めよ。
(3)三角形$ABC$が正三角形となるように点$C$の座標を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}\ $平面上に2点$A(3,5),B(-1,3)$がある。次の問いに答えよ。
(1)$AB$の距離を求めよ。
(2)2点$A,B$から等距離にある$x$軸上の点$P$の座標を求めよ。
(3)三角形$ABC$が正三角形となるように点$C$の座標を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明の考察５（受験編）
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#接線と増減表・最大値・最小値#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#微分とその応用#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$個の正の数$a_1,a_2,\cdots,a_n$に対して
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\\$
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$n$個の正の数$a_1,a_2,\cdots,a_n$に対して
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\\$
福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明の考察４（受験編）
単元：
#中１数学#方程式#数Ⅱ#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#恒等式・等式・不等式の証明#文字と式
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}\ n$個の変数の相加・相乗平均の関係を証明せよ。
つまり、$n$個の正の数$\ a_1,a_2,\cdots,a_n$に対して
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
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${\Large\boxed{1}}\ n$個の変数の相加・相乗平均の関係を証明せよ。
つまり、$n$個の正の数$\ a_1,a_2,\cdots,a_n$に対して
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明の考察３（受験編）
単元：
#中１数学#中２数学#中３数学#方程式#式の計算（単項式・多項式・式の四則計算）#式の計算（展開、因数分解）#平方根#数と式#式と証明#式の計算（整式・展開・因数分解）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#恒等式・等式・不等式の証明#文字と式
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$ を既知として、$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$ を証明せよ。
ただし、a,b,c,dは全て正の数であるとする。
${\Large\boxed{2}}\ \boxed{1}$を利用して、n個の変数の相加・相乗平均の関係を証明せよ。
つまり、n個の正の数\ a_1,a_2,\cdot,a_nに対して
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
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${\Large\boxed{1}}$ $\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$ を既知として、$\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$ を証明せよ。
ただし、a,b,c,dは全て正の数であるとする。
${\Large\boxed{2}}\ \boxed{1}$を利用して、n個の変数の相加・相乗平均の関係を証明せよ。
つまり、n個の正の数\ a_1,a_2,\cdot,a_nに対して
$\displaystyle \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$
福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明の考察２（受験編）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#微分法と積分法#恒等式・等式・不等式の証明#接線と増減表・最大値・最小値#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 次の不等式を証明せよ。また、等号が成立する条件を求めよ。
ただし、a,b,c,dは全て正の数であるとする。
(1) $\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$
(2) $\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$
(3) $\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$
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${\Large\boxed{1}}$ 次の不等式を証明せよ。また、等号が成立する条件を求めよ。
ただし、a,b,c,dは全て正の数であるとする。
(1) $\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$
(2) $\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$
(3) $\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$
福田の一夜漬け数学〜相加平均・相乗平均の関係〜その証明方法の考察１（受験編）
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 次の不等式を証明せよ。また、等号が成立する条件を求めよ。
ただし、a,b,c,dは全て正の数であるとする。
(1) $\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$
(2) $\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$
(3) $\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$
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${\Large\boxed{1}}$ 次の不等式を証明せよ。また、等号が成立する条件を求めよ。
ただし、a,b,c,dは全て正の数であるとする。
(1) $\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$
(2) $\displaystyle \frac{a+b+c+d}{4} \geqq \sqrt[4]{abcd}$
(3) $\displaystyle \frac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$
福田の一夜漬け数学〜積分・面積と体積〜切ってから回転その３（受験編）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ $xyz$空間内の平面$z=0$上に正方形$\ R=\left\{(x,y,z)|1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2 \right\}$
がある。この正方形を$x$軸のまわりに回転してできる立体を$K$とする。
この立体$K$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体$L$の体積を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ $xyz$空間内の平面$z=0$上に正方形$\ R=\left\{(x,y,z)|1 \leqq x \leqq 2,\ 1 \leqq y \leqq 2 \right\}$
がある。この正方形を$x$軸のまわりに回転してできる立体を$K$とする。
この立体$K$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体$L$の体積を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜積分・面積と体積〜切ってから回転その２（受験編）
単元：
#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 空間内に3点$P\left(1,\displaystyle \frac{1}{2},0\right),Q\left(1,-\displaystyle \frac{1}{2},0\right),R\left(\displaystyle \frac{1}{4},0,\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}\right)$を頂点とする
正三角形の板Sがある。Sをz軸のまわりに1回転させたとき、Sが
通過する点全体の作る立体の面積を求めよ。
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${\Large\boxed{1}}$ 空間内に3点$P\left(1,\displaystyle \frac{1}{2},0\right),Q\left(1,-\displaystyle \frac{1}{2},0\right),R\left(\displaystyle \frac{1}{4},0,\displaystyle \frac{\sqrt3}{4}\right)$を頂点とする
正三角形の板Sがある。Sをz軸のまわりに1回転させたとき、Sが
通過する点全体の作る立体の面積を求めよ。