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福田のおもしろ数学510〜(n+1/n)のn乗がeより小であることの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$n$を正の整数とするとき
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \lt e$
を証明して下さい。
$e$は自然対数の底とする。
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$n$を正の整数とするとき
$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \lt e$
を証明して下さい。
$e$は自然対数の底とする。
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(1)〜指数不等式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$2^{1-3x} \geqq \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^x$を満たす
実数$x$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$2^{1-3x} \geqq \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^x$を満たす
実数$x$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学509〜幾何の証明
単元：
#数Ⅰ#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
鋭角三角形$ABC$は
$AB \lt AC \lt BC$を満たしている。
辺$BC$の中点を$M$とし、
線分$AM$上に点$P$があり、
$AB = CP$かつ$\angle BAM=\angle PCM$が
成り立っている。
$\angle BPC=90°$であることを示せ。
図は動画内参照
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鋭角三角形$ABC$は
$AB \lt AC \lt BC$を満たしている。
辺$BC$の中点を$M$とし、
線分$AM$上に点$P$があり、
$AB = CP$かつ$\angle BAM=\angle PCM$が
成り立っている。
$\angle BPC=90°$であることを示せ。
図は動画内参照
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第6問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学508〜1分チャレンジ！連立方程式
単元：
#連立方程式
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問題文全文(内容文)：
$2024(x-y)+2025(y-z)+2026(z-x)=0$
$2024^2(x-y)+2025^2(y-z)+2026^2(z-x)=2025$
のとき、
$z-y$の値を求めて下さい。
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$2024(x-y)+2025(y-z)+2026(z-x)=0$
$2024^2(x-y)+2025^2(y-z)+2026^2(z-x)=2025$
のとき、
$z-y$の値を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第5問〜空間における平面と平面の交線
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学507〜三角形の面がm個ありどの頂点にも4本の辺が集まる多面体
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
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ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第4問〜指数不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学506〜相加平均と相乗平均の商の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
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自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第3問〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学505〜フィボナッチ数列の性質
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
フィボナッチ数列$\{f_n\}$
$f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$
に対し、
$f_m･f_n=mn$
を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めて下さい。
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フィボナッチ数列$\{f_n\}$
$f_1=f_2=1,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$
に対し、
$f_m･f_n=mn$
を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第2問〜数列の和から一般項を求める
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
数列$\{a_n\}$に対して
$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(k+2)!}{(k-1)!}a_k (n=1,2,3,\cdots)$
とおくとき、
$T_n=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2 (n=1,2,3,\cdots)$
が成り立つとする。ただし、$0!=1$である。
(1)$a_1=\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}},a_2=\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$である。
(2)$n\geqq 2$に対して$T_n-T_{n-1}=\boxed{カ}n-\boxed{キ}$が
成り立つから、
$a_n=r^n\dfrac{n-\boxed{ク}}{(n+s)(n+t)(n+u)} (n=2,3,4,\cdots)$
である。ただし、ここに$r=\boxed{ケ}$であり、
$s\lt t \lt u$として$s=\boxed{コ},t=\boxed{サ},u=\boxed{シ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{2}$
数列$\{a_n\}$に対して
$T_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(k+2)!}{(k-1)!}a_k (n=1,2,3,\cdots)$
とおくとき、
$T_n=\left(n-\dfrac{1}{2}\right)^2 (n=1,2,3,\cdots)$
が成り立つとする。ただし、$0!=1$である。
(1)$a_1=\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}},a_2=\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$である。
(2)$n\geqq 2$に対して$T_n-T_{n-1}=\boxed{カ}n-\boxed{キ}$が
成り立つから、
$a_n=r^n\dfrac{n-\boxed{ク}}{(n+s)(n+t)(n+u)} (n=2,3,4,\cdots)$
である。ただし、ここに$r=\boxed{ケ}$であり、
$s\lt t \lt u$として$s=\boxed{コ},t=\boxed{サ},u=\boxed{シ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学504〜三角関数の最大値
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$x$がすべての実数を動くとき
$\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$の最大値を求めよ。
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$x$がすべての実数を動くとき
$\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$の最大値を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(2)〜2変数の不等式と領域
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学503〜複雑な三角方程式が実数解をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)$
$+\cos\dfrac{3\pi x}{2a}\cos \left(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3}\right)+2=0$
が実数解をもつような
自然数$a$の最小値を求めよ。
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$\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)$
$+\cos\dfrac{3\pi x}{2a}\cos \left(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3}\right)+2=0$
が実数解をもつような
自然数$a$の最小値を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(1)〜三角形の面積と線分の長さ
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学502〜(n/10)^(n/10)の最小となるnを求める
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
$\left(\dfrac{n}{10}\right)^{\frac{n}{10}}$を最小にする
自然数$n$を求めて下さい。
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$\left(\dfrac{n}{10}\right)^{\frac{n}{10}}$を最小にする
自然数$n$を求めて下さい。
福田の数学〜名古屋大学2025文系第1問〜放物線が囲む部分の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
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問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学501〜√5+√6+…+√13の整数部分が26であることの証明
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\sqrt5+\sqrt6+\cdots +\sqrt{13}$
の整数部分が$26$であることを示せ。
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$\sqrt5+\sqrt6+\cdots +\sqrt{13}$
の整数部分が$26$であることを示せ。
福田の数学〜名古屋大学2025理系第4問〜コインを裏返す操作の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
コイン$①,\cdots,⑥$が下図のようにマス目の中に
置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び、
選んだコインはそのままにし、
そのコインのあるマス目と
辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す
操作を考える。
例えば、①を選べば、②,④を裏返し、
②を選べば、①,③,⑤を繰り返す。
最初はすべてのコインが
表向きに置かれていたとする。
正の整数$n$に対し、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きである確率$p_n$とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)$p_2$を求めよ。
(2)コイン$①,\cdots,⑥$をグループ$A,B$に
分けることによって、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きであるための必要十分条件を
次の形に表すことができる。
図は動画内参照
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
コイン$①,\cdots,⑥$が下図のようにマス目の中に
置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び、
選んだコインはそのままにし、
そのコインのあるマス目と
辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す
操作を考える。
例えば、①を選べば、②,④を裏返し、
②を選べば、①,③,⑤を繰り返す。
最初はすべてのコインが
表向きに置かれていたとする。
正の整数$n$に対し、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きである確率$p_n$とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)$p_2$を求めよ。
(2)コイン$①,\cdots,⑥$をグループ$A,B$に
分けることによって、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きであるための必要十分条件を
次の形に表すことができる。
図は動画内参照
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田のおもしろ数学500〜循環形式の連立方程式を解こう
単元：
#連立方程式#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x-1)(y^2+6)=y(x^2+1) \\
(y-1)(x^2+6)=x(y^2+1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$x,y$をすべて求めて下さい。
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
(x-1)(y^2+6)=y(x^2+1) \\
(y-1)(x^2+6)=x(y^2+1)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$x,y$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜名古屋大学2025理系第3問〜球の通過範囲の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田のおもしろ数学499〜1分チャレンジ！数値計算
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdots}{(5\times 8 +2)(7\times 10 +2)(9\times 12 +2)\cdots }$
$\dfrac{\cdots (100\times 103+2)}{\cdots (99\times 102+2)}$
を計算して下さい。
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$\dfrac{(4\times 7+2)(6\times 9+2)(8\times 11+2)\cdots}{(5\times 8 +2)(7\times 10 +2)(9\times 12 +2)\cdots }$
$\dfrac{\cdots (100\times 103+2)}{\cdots (99\times 102+2)}$
を計算して下さい。
福田の数学〜名古屋大学2025理系第2問〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
整数$a,b,c$に対し次の条件を考える。
(＊)$ a\geqq b \geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$
以下の問いに答えよ。
(1)$c=24,25,26$それぞれの場合に
条件(＊)をみたす
整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
(2)$p$は$3$以上の素数、$n$は正の整数、
$c=4p^{2n}$とする。
このとき、条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$を
すべて求めよ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
整数$a,b,c$に対し次の条件を考える。
(＊)$ a\geqq b \geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$
以下の問いに答えよ。
(1)$c=24,25,26$それぞれの場合に
条件(＊)をみたす
整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
(2)$p$は$3$以上の素数、$n$は正の整数、
$c=4p^{2n}$とする。
このとき、条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$を
すべて求めよ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田のおもしろ数学498〜定積分で定義された関数の極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
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$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
福田の数学〜名古屋大学2025理系第1問〜関数の増減と最大
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田のおもしろ数学497〜gcdとlcmを使った方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
正の整数$a,b$が次の式を満たしている。
$ab=gcd(a,b)+Icm(a,b)$
このような$(a,b)$の組をすべて求めて下さい。
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数、
$Icm(a,b)$は$a,b$の最小公倍数とする。
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正の整数$a,b$が次の式を満たしている。
$ab=gcd(a,b)+Icm(a,b)$
このような$(a,b)$の組をすべて求めて下さい。
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数、
$Icm(a,b)$は$a,b$の最小公倍数とする。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第5問〜分数関数のグラフと解の存在範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田のおもしろ数学496〜少なくとも1つは−1より大きくないことの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
実数$a,b,c,d$が次の式を満たしている。
$a+b+c+d=-2$
$ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$
このとき、$a,b,c,d$の少なくとも$1$つは
$-1$より大きくないことを証明して下さい。
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実数$a,b,c,d$が次の式を満たしている。
$a+b+c+d=-2$
$ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$
このとき、$a,b,c,d$の少なくとも$1$つは
$-1$より大きくないことを証明して下さい。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第4問〜フィボナッチ数列と無限級数の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
JiroFukuda Math Channel
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
数列$\{a_n\}$を
$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$
により定め、数列$\{b_n\}$を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める。
ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。
(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。
(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、
$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{4}$
数列$\{a_n\}$を
$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$
により定め、数列$\{b_n\}$を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める。
ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。
(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。
(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、
$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題