上智大学

#上智大学(2023) #定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{2}{3} π} x \sin 2 x d x

出典：2023年上智大学

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大学入試問題#839「解法見えれば余裕！」 #上智大学(2005) #数列

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{n} = \frac{2 n ・ 3^{n}}{(2 n + 1) (2 n + 3)}

のとき、

S_{n} = \frac{3^{n + 1}}{2 (2 n + 3)} - \frac{1}{2}

であることを示せ。

出典：2005年上智大学

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#上智大学(2005) #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = x^{2} + x + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t

を満たす関数

f (x)

を求めよ

出典：2005年上智大学

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#上智大学(2014) #極限 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{u \to \infty} \int_{o}^{u} t e^{- t} d t

出典：2014年上智大学

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#上智大学(2016) #ウォリス積分 #定積分 #Shorts

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\sin^{3} x + \cos^{3} x) d x

出典：2016年上智大学

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第3問〜対数関数の積分と数学的帰納法

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

e

を自然定数の底とする。自然数

n

に対して、

S_{n}

=

\int_{1}^{e} (\log x)^{n} d x

とする。
(1)

S_{1}

の値を求めよ。
(2)すべての自然数

n

に対して、

S_{n}

=

a_{n} e

+

b_{n}

,　ただし

a_{n}

,

b_{n}

はいずれも整数
と表されることを証明せよ。

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第2問〜逆関数の微分積分

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

関数

f (x)

=

\sin x

(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

の逆関数を

g (x)

とする。
(1)関数

g (x)

の定義域は

え

である。
(2)

y

=

g (x)

の

x

=

\frac{4}{5}

における接線の傾きは

\frac{オ}{カ}

である。
(3)

\int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x

=

\frac{π}{キ}

+

ク

+

\frac{ケ}{コ} \sqrt{サ}

である。
(4)

y

=

g (x)

のグラフと

x

=1および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は

\frac{π^{a}}{シ}

+

ス π

　ただし

a

=

セ

である。

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(3)〜正四面体を切った断面

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)一辺の長さが2である正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCの中点をNとする。
(i)線分MNの長さは

あ

である。
(ii)0＜

s

＜1とし、線分MNを

s

：

(1 - s)

に内分する点をPとする。Pを通りMNに垂直な平面で四面体OABCを切った断面は

い

であり、その面積は

う

である。

あ

の選択肢
(a)1　(b)

\sqrt{2}

　(c)

\sqrt{3}

　(d)2　(e)

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

　(f)

\frac{\sqrt{6}}{2}

い

の選択肢
(a)正三角形　(b)正三角形でない二等辺三角形　(c)二等辺三角形でない三角形　(d)長方形　(e)長方形でない平行四辺形　(f)平行四辺形でない四角形

う

の選択肢
(a)

s^{2}

　(b)

(1 - s)^{2}

　(c)

s (1 - s)

　(d)

s \sqrt{1 - s^{2}}

　
(e)

2 s^{2}

　(f)

2 (1 - s)^{2}

　(g)

2 s (1 - s)

　(h)

2 s \sqrt{1 - s^{2}}

　
(i)

4 s^{2}

　(j)

4 (1 - s)^{2}

　(k)

4 s (1 - s)

　(l)

4 s \sqrt{1 - s^{2}}

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(2)〜関数の集合と条件

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)

{x | x ＞ 0}

を定義域とする関数

f (x)

の集合Aに対する以下の3つの条件を考える。
(P)関数

f (x)

と

g (x)

が共にAの要素ならば、関数

f (x) + g (x)

もAの要素である。
(Q)関数

f (x)

と

g (x)

が共にAの要素ならば、関数

f (x) g (x)

もAの要素である。
(R)

α

が0でない定数で関数

f (x)

がAの要素ならば、関数

α f (x)

もAの要素である。
Aを以下の(i)~(iv)の集合とするとき、条件(P),(Q),(R)のうち成り立つものをすべて解答欄にマークせよ。
(i)

f (1)

=0　を満たす関数

f (x)

全体の集合
(ii)

f (α)

=0　となる正の実数

α

が存在する関数

f (x)

全体の集合
(iii)全ての正の実数

x

に対して

f (x)

＞0　が成り立つ関数

f (x)

全体の集合
(iv)定義域

{x | x ＞ 0}

のどこかで連続でない関数

f (x)

全体の集合

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第1問(1)〜複素数平面と確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#複素数平面#確率#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)次の6つの複素数が1つずつ書かれた6枚のカードがある。

\frac{1}{2}

, 1, 2,

\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}

,

\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}

,

\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}

これらから無作為に3枚選び、カードに書かれた3つの複素数を掛けた値に対応する複素数平面上の点をPとする。
(i)点Pが虚軸上にある確率は

\frac{ア}{イ}

である。
(ii)点Pの原点からの距離が1である確率は

\frac{ウ}{エ}

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第4問Part2〜不等式の証明と近似値計算

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

e

を自然対数の底とする。

e

=2.718...である。
(1)0≦

x

≦1において不等式1+

x

≦

e^{x}

≦1+2

x

が成り立つことを示せ。
(2)

n

を自然数とするとき、0≦

x

≦1において不等式

\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}

≦

e^{x}

≦

\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \frac{x^{n}}{n!}

が成り立つことを示せ。
(3)0≦

x

≦1を定義域とする関数

f (x)

を

f (x)

=

{\begin{matrix} 1 (x = 0) \\ \frac{e^{x} - 1}{x} (0 ＜ x ≦ 1) \end{matrix}

と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分

\int_{0}^{1} f (x) d x

　の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が

10^{- 3}

以下である理由を説明せよ。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第4問Part1〜不等式の証明と近似値計算

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

e

を自然対数の底とする。

e

=2.718...である。
(1)0≦

x

≦1において不等式1+

x

≦

e^{x}

≦1+2

x

が成り立つことを示せ。
(2)

n

を自然数とするとき、0≦

x

≦1において不等式

\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}

≦

e^{x}

≦

\sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \frac{x^{n}}{n!}

が成り立つことを示せ。
(3)0≦

x

≦1を定義域とする関数

f (x)

を

f (x)

=

{\begin{matrix} 1 (x = 0) \\ \frac{e^{x} - 1}{x} (0 ＜ x ≦ 1) \end{matrix}

と定義する。(2)の不等式を利用して、定積分

\int_{0}^{1} f (x) d x

　の近似値を小数第3位まで求め、求めた近似値と真の値との誤差が

10^{- 3}

以下である理由を説明せよ。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第3問Part2〜容器に水を入れる

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

π

を円周率とする。

f (x)

=

x^{2} (x^{2} - 1)

とし、

f (x)

の最小値を

m

とする。
(1)

m

=

\frac{シ}{ス}

　である。
(2)

y

=

f (x)

で表される曲線を

y

軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、

y

軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が

y

=

a

(ただし

m

≦

a

≦0)になったときの水面の面積は

セ

である。
(ii)水面が

y

=0になったときの水の体積は

\frac{ソ}{タ} π

　である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が

y

=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の

\frac{チ}{ツ}

　乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が

y

=2になったときの水面の面積は

テ π

であり、水の体積は

\frac{ト}{ナ} π

　である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第3問Part1〜容器に水を入れる

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

π

を円周率とする。

f (x)

=

x^{2} (x^{2} - 1)

とし、

f (x)

の最小値を

m

とする。
(1)

m

=

\frac{シ}{ス}

　である。
(2)

y

=

f (x)

で表される曲線を

y

軸の周りに1回転させてできる曲面でできた器に、

y

軸方向から静かに水を注ぐ。
(i)水面が

y

=

a

(ただし

m

≦

a

≦0)になったときの水面の面積は

セ

である。
(ii)水面が

y

=0になったときの水の体積は

\frac{ソ}{タ} π

　である。
(iii)上方から注ぐ水が単位時間あたり一定量であるとする。水面が

y

=0に達するまでは、水面の面積は、水を注ぎ始めてからの時間の

\frac{チ}{ツ}

　乗に比例して大きくなる。
(iv)水面が

y

=2になったときの水面の面積は

テ π

であり、水の体積は

\frac{ト}{ナ} π

　である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第2問〜立方体の切断と位置ベクトル

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立体図形#立体切断#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

一辺の長さが2である立方体OADB-CFGEを考える。

\vec{O A}

=

\vec{a}

,

\vec{O B}

=

\vec{b}

,

\vec{O C}

=

\vec{c}

とおく。辺AFの中点をM、辺BDの中点をNとし、3点O,M,Nを通る平面

π

で立方体を切断する。
(1)平面

π

は辺AF,BD以外に辺

あ

とその両端以外で交わる。
(2)平面

π

と辺

あ

との交点をPとすると

\vec{O P}

=

い \vec{a}

+

う \vec{b}

+

え \vec{c}

(3)断面の面積は

\frac{キ}{ク} \sqrt{ケ}

である。
(4)切断されてできる立体のうち、頂点Aを含むものの体積は

\frac{コ}{サ}

である。
(5)平面

π

と線分CDとの交点をQとする。
(i)点Qは線分CDを

お

に内分する。
(ii)

\vec{O Q}

=

か \vec{a}

+

き \vec{b}

+

く \vec{c}

である。

い ～ え

,

か ～ く

の選択肢
(a)0　(b)1　(c)

\frac{1}{2}

　(d)

\frac{1}{3}

　(e)

\frac{2}{3}

　(f)

\frac{1}{4}

　(g)

\frac{3}{4}

　(h)

\frac{1}{5}

　
(i)

\frac{2}{5}

　(j)

\frac{3}{5}

　(k)

\frac{4}{5}

　(l)

\frac{1}{6}

　(m)

\frac{5}{6}

お

の選択肢
(a)1：1　(b)2：1　(c)1：2　(d)3：1　(e)1：3　(f)4：1　(g)3：2　
(h)2：3　(i)1：4　(j)5：1　(k)1：5　

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第1問(3)〜連立漸化式と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)

a_{1}

=0,　

b_{1}

=6とし、

a_{n + 1}

=

\frac{a_{n} + b_{n}}{2}

,　

b_{n + 1}

=

a_{n}

　(

n

≧1)
で定まる

a_{n}

,

b_{n}

を用いて、平面上の点

P_{n}

(

a_{n}

,

b_{n}

)(

n

=1,2,3,...)を定める。
(i)点

P_{n}

は常に直線

y

=

ウ x

+

エ

上にある。
(ii)

n

を限りなく大きくするとき、点

P_{n}

は点

(オ, カ)

に限りなく近づく。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第1問(2)〜桁数の評価

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)

(2 ・ 7 ・ 11 ・ 13)^{20}

の桁数は

イ

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型理系第1問(1)〜ユークリッドの互除法

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)44311と43873との最大公約数は

ア

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(3)〜線分の通過範囲の面積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#面積、体積#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

(3)

a

を定数とする。座標平面上の直線

y

=2

a x

+

\frac{1}{4}

と放物線

y

=

x^{2}

の2つの交点を

P_{1}

,

P_{2}

とする。

a

が0≦

a

≦1の範囲を動くとき、線分

P_{1} P_{2}

の通過する部分の面積は

\frac{ル}{レ}

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(2)〜割り算の余りと等差数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

(2)2つの集合
A=

{n | n は 3 で 割 る と 2 余 る 自 然 数 で あ る}

B=

{n | n は 5 で 割 る と 3 余 る 自 然 数 で あ る}

を考える。A

\cap

Bの要素を小さい順に並べて作った数列の第

k

項は

ヨ k

+

ラ

である。また、A

\cup

Bの要素を小さい順に並べて作った数列の第100項は

リ

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(1)〜命題の真偽と領域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

(1)実数

x

,

y

に対する次の2つの条件を

p

,

q

を考える。ただし、

r

は正の定数である。

p

：|

x + y

|≦3　かつ　|

x - y

|≦3

q

：

(x - 1)^{2}

+

(y - 1)^{2}

≦

r^{2}

(i)命題「

p

ならば

q

」が真となるような

r

の最小値は

\sqrt{メ}

である。
(ii)命題「

q

ならば

p

」が真となるような

r

の最大値は

\frac{モ}{ヤ} \sqrt{ユ}

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第3問〜条件付き確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

ある病原菌にはA型、B型の2つの型がある。A型とB型に同時に感染することはない。その病原菌に対して、感染しているかどうかを調べる検査Yがある。
検査結果は陽性か陰性のいずれかで、陽性であったときに病原菌の型までは判別できないものとする。検査Yで、A型の病原菌に感染しているのに陰性と判定される確率が10 %であり、B型の病原菌に感染しているのに陰性と判定される確率が20 %である。また、この病原菌に感染していないのに陽性と判定される確率が10 %である。
全体の1 %がA型に感染しており全体の4 %がB型に感染している集団から1人を選び検査Yを実施する。
(1)検査Yで陽性と判定される確率は

\frac{ネ}{ノ}

である。
(2)検査Yで陽性だった時に、A型に感染している確率は

\frac{ハ}{ヒ}

でありB型に感染している確率は

\frac{フ}{ヘ}

である。
(3)1回目の検査Yに加えて、その直後に同じ検査Yをもう一度行う。ただし、1回目と2回目の検査結果は互いに独立であるとする。2回の検査結果が共に陽性であったときに、A型に感染している確率は

\frac{ホ}{マ}

でありB型に感染している確率は

\frac{ミ}{ム}

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第2問〜空間ベクトルと正八面体

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

図のような一辺の長さが1の正八面体ABCDEFがある。
2点P,Qはそれぞれ辺AD, BC上にあり

\vec{P Q}

⊥

\vec{A D}

かつ

\vec{P Q}

⊥

\vec{B C}

を満たすとする。
(1)

\vec{A D}

と

\vec{B C}

のなす角は

\frac{ス}{セ} π

である。
(2)|

\vec{A P}

|=

\frac{ソ}{タ}

,　|

\vec{B Q}

|=

\frac{チ}{ツ}

である。
(3)|

\vec{P Q}

|=

\frac{テ}{ト} \sqrt{ナ}

である。
(4)平面EPQと直線BFの交点をRとすると|

\vec{B R}

|=

\frac{ニ}{ヌ}

である。

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第1問〜三角関数の最大最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

関数

y

=2(

\sin^{3} x

+

\cos^{3} x

)+8

\sin x \cos x

+5　(0≦

x

＜2

π

)
を考える。

\sin x

+

\cos x

=

t

　とおく。
(1)

y

を

t

の式で表すと

y

=

ア t^{3}

+

イ t^{2}

+

ウ t

+

エ

である。
(2)関数

y

は

t

=

\frac{オ}{カ}

において最小値

\frac{キ}{ク}

をとる。
(3)関数

y

は

x

=

\frac{ケ}{コ} π

において最大値

サ

+

\sqrt{コ}

をとる。

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上智大　連立漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
上智大学過去問題

a_{1} = 0, b_{1} = 6

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}

,

b_{n + 1} = a_{n}

点Pの

(a_{n}, b_{n})

はある直線上にある。その式は？

n \to \infty

のときの

P_{n}

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題072〜上智大学2019年度理工学部第３問〜ガウス記号で定義された数列

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

α = \log_{2} 3

とし、自然数nに対して

a_{n} = [n α]

,　

b_{n} = [\frac{n α}{α - 1}]

とする。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
(1)

a_{5} = ス

である。
(2)

b_{3} = k

とおくと、不等式

\frac{3^{k + c}}{2^{k}} ≦ 1 < \frac{3^{k + 1 + c}}{2^{k + 1}}

が整数

c = セ

で成り立ち、

b_{3} = ソ

であることがわかる。
(3)

a_{n} ≦

10を満たす自然数nの個数は

タ

である。
(4)

b_{n} ≦

10を満たす自然数nの個数は

チ

である。
(5)

a_{n} ≦

50を満たす自然数nの個数をsとし、

b_{n} ≦

50を満たす自然数nの個数をtとする。このとき、s+t=

ツ

である。

2019上智大学理工学部過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題041〜上智大学2019年度TEAP文系第３問〜長方形の紙を折り返す問題

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上のベクトル#図形と方程式#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

A B = 2, B C = 3

の長方形ABCDの形の紙がある。DE=aとなる辺DC上の
点Eを考える。AがEと重なるように紙を折るとき、折り目となる線と辺AD,
辺BCとの交点をそれぞれP,Qとする。

(1)aを用いて表すと、

A P = \frac{二}{ヌ} a^{2} + \frac{ネ}{ノ}

である.
(2)aを用いて表すと、

B Q = \frac{ハ}{ヒ} a^{2} + \frac{フ}{ヘ} a + \frac{ホ}{マ}

である。
(3)aを用いて表すと、

P Q = \frac{ミ}{ム} \sqrt{a^{2} + メ}

である。
(4)四角形ABQPの面積はaを用いて表すと、

\frac{モ}{ヤ} a^{2} + \frac{ユ}{ヨ} a + ラ

であり、その最小値は

\frac{リ}{ル}

である。

2019上智大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題040〜上智大学2019年度TEAP理系第２問〜複素数平面上で正三角形となる条件

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数平面において、円周

| z | = 1

上の異なる3点

z_{1}, z_{2}, z_{3}

を考える。
このとき、次の条件pとqは同値であることを示せ。

p ： z_{1}, z_{2}, z_{3}

を頂点とする三角形が正三角形である。

q ： z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0

2019上智大過去問

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第４問〜線分の中点の軌跡と直線の通過範囲

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に円C

: x^{2} + y^{2} = 4

と点

P (6, 0)

がある。円C上を点

A (2 a, 2 b)

が
動くとき、線分APの中点をMとし、線分APの垂直二等分線をlとする。
(1)点Mの軌跡の方程式を求め、その軌跡を図示せよ。
(2)直線lの方程式をa,\ bを用いて表せ。
(3)直線lが通過する領域を表す不等式を求め、その領域を図示せよ。

2022上智大理工学部過去問

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福田の数学〜上智大学2022年理工学部第３問〜複素数平面上の点列と三角形の相似

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#相似な図形#数列#漸化式#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数からなる数列

z_{n}

を、次の条件で定める。

z_{1} = 0, z_{n + 1} = (1 + i) z_{n} - i (i = 1, 2, 3, . . .)

正の整数nに対し、z_nに対応する負素数平面上の点をA_nとおく。
(1)

z_{2} = ツ + ツ i, z_{3} = ト +

ナ i, z_{4} = 二 + ヌ i

である。
(2)

r > 0, 0 ≦ θ < 2 π

を用いて、

1 + i = r (\cos θ + i \sin θ)

のように

1 + i

を極形式で
表すとき、

r = \sqrt{ネ}, θ = \frac{ノ}{ハ} π

である。
(3)すべての正の整数nに対する

△ P A_{n} A_{n + 1}

が互いに相似になる点Pに対応する
複素数は、

ヒ + フ i

である。
(4)

| z_{n} | > 1000

となる最小のnは

n = へ

である。
(5)

A_{2022 + k}

が実軸上にある最小の正の整数kは

k = ホ

である。

2022上智大学理工学部過去問

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福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(1)〜命題の真偽と領域

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