立教大学
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福田の数学〜立教大学2022年理学部第４問〜複素数平面上の点列と三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
問題文全文(内容文)：
複素数$\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}$に対して、複素数$z_n$を
$z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)$
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、
$z_n$の表す点を$P_n$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$の絶対値|$\alpha$と変革$\arg\alpha$をそれぞれ求めよ。
ただし、$0 \leqq \arg\alpha \lt 2\pi$とする。
(2)$z_2,\ z_3$の実部と虚部をそれぞれ求めよ。
(3)$z_n$の極形式をnを用いて表せ。
(4)$O,\ P_n,\ P_{n+1}$を頂点とする三角形の面積$S_n$を$n$を用いて表せ。
(5)(4)で定めた$S_n$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty}S_n$の和Sを求めよ。
2022立教大学理工学部過去問
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複素数$\alpha=\frac{\sqrt3\ i}{1+\sqrt3\ i}$に対して、複素数$z_n$を
$z_n=8\alpha^{n-1}\ \ \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ ...)$
によって定める。ただしiは虚数単位とする。複素数平面において、原点をOとし、
$z_n$の表す点を$P_n$とする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$の絶対値|$\alpha$と変革$\arg\alpha$をそれぞれ求めよ。
ただし、$0 \leqq \arg\alpha \lt 2\pi$とする。
(2)$z_2,\ z_3$の実部と虚部をそれぞれ求めよ。
(3)$z_n$の極形式をnを用いて表せ。
(4)$O,\ P_n,\ P_{n+1}$を頂点とする三角形の面積$S_n$を$n$を用いて表せ。
(5)(4)で定めた$S_n$に対して、無限級数$\sum_{n=1}^{\infty}S_n$の和Sを求めよ。
2022立教大学理工学部過去問
福田の数学〜立教大学2022年理学部第３問〜接線法線と囲まれた部分の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$t$を正の実数とする。座標平面上に放物線$C_1:y=x^2$とその上の点$P(t,\ t^2)$がある。
Pにおける$C_1$の接線を$l$とし、法線を$m$とする。$l$とx軸との交点をQとする。
Pにおいて$l$に接し、さらにx軸にも接する円で、中心のx座標がt以下であるものを$C_2$
とする。$C_2$の中心をAとし、$C_2$とx軸の接点をBとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)mの方程式を求めよ。
(3)$\angle BAP=\frac{\pi}{3}$であるとき、tの値を求めよ。
(4)(3)のとき、Aの座標を求めよ。
(5)(3)のとき、四角形ABQPの面積を求めよ。
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$t$を正の実数とする。座標平面上に放物線$C_1:y=x^2$とその上の点$P(t,\ t^2)$がある。
Pにおける$C_1$の接線を$l$とし、法線を$m$とする。$l$とx軸との交点をQとする。
Pにおいて$l$に接し、さらにx軸にも接する円で、中心のx座標がt以下であるものを$C_2$
とする。$C_2$の中心をAとし、$C_2$とx軸の接点をBとする。
(1)lの方程式を求めよ。
(2)mの方程式を求めよ。
(3)$\angle BAP=\frac{\pi}{3}$であるとき、tの値を求めよ。
(4)(3)のとき、Aの座標を求めよ。
(5)(3)のとき、四角形ABQPの面積を求めよ。
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福田の数学〜立教大学2022年理学部第２問〜接線と囲まれた部分の面積と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数xに対し、関数f(x)を
$f(x)=xe^{-x}$
により定める。座標平面上の曲線$C:y=f(x)$に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。
(1)f(x)の導関数$f'(x)$を求め、$f(x)$の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。
(2)f(x)の第2次導関数$f''(x)$を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線を$l$とする。
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし、関数$g(x)$を$g(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}$と定める。
$g(x)$の導関数$g'(x)$が$g'(x)=x^2e^{-2x}$を満たすとき、$a,\ b,\ c$の値を求めよ。
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる
回転体の体積Vを求めよ。
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実数xに対し、関数f(x)を
$f(x)=xe^{-x}$
により定める。座標平面上の曲線$C:y=f(x)$に関して、次の問(1)~(5)に答えよ。
(1)f(x)の導関数$f'(x)$を求め、$f(x)$の増減表を書け。ただし、極値も記入すること。
(2)f(x)の第2次導関数$f''(x)$を求め、Cの変曲点の座標を求めよ。
(3)Cの変曲点と、座標平面上の原点を通る直線を$l$とする。
Cとlで囲まれた領域の面積Sを求めよ。
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし、関数$g(x)$を$g(x)=(ax^2+bx+c)e^{-2x}$と定める。
$g(x)$の導関数$g'(x)$が$g'(x)=x^2e^{-2x}$を満たすとき、$a,\ b,\ c$の値を求めよ。
(5)Cと(3)で定めたlで囲まれた領域を、x軸の周りに1回転してできる
回転体の体積Vを求めよ。
2022立教大学理学部過去問
福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(5)〜最大公約数と最小公倍数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\ a \lt b$ を満たす自然数の組a$,\ b$の和が119、最小公倍数が462であるとき、
$a=\boxed{\ \ キ\ \ },\ b=\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
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$\ a \lt b$ を満たす自然数の組a$,\ b$の和が119、最小公倍数が462であるとき、
$a=\boxed{\ \ キ\ \ },\ b=\boxed{\ \ ク\ \ }$である。
2022立教大学理学部過去問
福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(4)〜解と係数の関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
2次方程式$2x^2+4x+1=0$の解を$\alpha,\ \beta(\alpha\lt \beta)$とする。実数$p,q$に対して、
2次方程式$x^2+px+q=0$の解が$\alpha^3,\ \beta^3$であるならば、
$p=\boxed{オ},\ q=\boxed{カ}$である。
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2次方程式$2x^2+4x+1=0$の解を$\alpha,\ \beta(\alpha\lt \beta)$とする。実数$p,q$に対して、
2次方程式$x^2+px+q=0$の解が$\alpha^3,\ \beta^3$であるならば、
$p=\boxed{オ},\ q=\boxed{カ}$である。
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福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(3)〜垂線の足の位置ベクトル
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上のベクトル#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
三角形ABCにおいて、$AB=5,\ AC=6$、角Aの大きさは$\frac{\pi}{3}$であるとする。
Aから辺BCに垂線AHを下ろす。このとき$BH:CH=\boxed{ウ}:\boxed{エ}$である。
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三角形ABCにおいて、$AB=5,\ AC=6$、角Aの大きさは$\frac{\pi}{3}$であるとする。
Aから辺BCに垂線AHを下ろす。このとき$BH:CH=\boxed{ウ}:\boxed{エ}$である。
2022立教大学理学部過去問
福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(2)〜余事象と確率の加法定理
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
下図のように1から9までの数字が1つずつ記入された、9枚のカードがある。
$\boxed{1}\ \ \ \boxed{2}\ \ \ \boxed{3}\ \ \ \boxed{4}\ \ \ \boxed{5}\ \ \ \boxed{6}\ \ \ \boxed{7}\ \ \ \boxed{8}\ \ \ \boxed{9}$
これら9枚のカードから同時に取り出した3枚のカードの数字の積が
10で割り切れる確率は$\boxed{イ}$である。
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下図のように1から9までの数字が1つずつ記入された、9枚のカードがある。
$\boxed{1}\ \ \ \boxed{2}\ \ \ \boxed{3}\ \ \ \boxed{4}\ \ \ \boxed{5}\ \ \ \boxed{6}\ \ \ \boxed{7}\ \ \ \boxed{8}\ \ \ \boxed{9}$
これら9枚のカードから同時に取り出した3枚のカードの数字の積が
10で割り切れる確率は$\boxed{イ}$である。
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福田の数学〜立教大学2022年理学部第１問(1)〜対数方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}(1)$実数$x$に関する方程式
$2\log(1-x)-\log(5-x)=\log 2$
を解くと$x=\boxed{ア}$である.
立教大学2022年理学部過去問
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$\boxed{1}(1)$実数$x$に関する方程式
$2\log(1-x)-\log(5-x)=\log 2$
を解くと$x=\boxed{ア}$である.
立教大学2022年理学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第３問〜直線の傾きと放物線との接線
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} aを実数の定数とする。座標平面上の放物線C:y=-x^2+ax-\frac{(a-2-\sqrt3)^2}{4}, \\
直線l:y=(2+\sqrt3)x がある。lとx軸のなす角を\thetaとする。ただし0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}とする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)Cとlの共有点のx座標をaを用いて表せ。\\
(2)\tan\theta, \tan(\theta+\frac{\pi}{4}), \tan(\theta-\frac{\pi}{4})の値をそれぞれ求めよ。\\
(3)y切片が2であり、lとのなす角が\frac{\pi}{4}である直線の方程式を全て求めよ。\\
(4)(3)で求めた直線のうち、傾きが負であるものをmとする。\\
Cとmが接するときのaの値を求めよ。\\
また、そのとき、Cとmの接点の座標を求めよ。\\
(5)aを(4)で求めた値とするとき、C,mおよび\ y\ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} aを実数の定数とする。座標平面上の放物線C:y=-x^2+ax-\frac{(a-2-\sqrt3)^2}{4}, \\
直線l:y=(2+\sqrt3)x がある。lとx軸のなす角を\thetaとする。ただし0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}とする。\\
このとき、次の各問いに答えよ。\\
(1)Cとlの共有点のx座標をaを用いて表せ。\\
(2)\tan\theta, \tan(\theta+\frac{\pi}{4}), \tan(\theta-\frac{\pi}{4})の値をそれぞれ求めよ。\\
(3)y切片が2であり、lとのなす角が\frac{\pi}{4}である直線の方程式を全て求めよ。\\
(4)(3)で求めた直線のうち、傾きが負であるものをmとする。\\
Cとmが接するときのaの値を求めよ。\\
また、そのとき、Cとmの接点の座標を求めよ。\\
(5)aを(4)で求めた値とするとき、C,mおよび\ y\ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第２問〜2項間の漸化式の解法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\}がある。\\
a_1=1, a_{n+1}=3a_n+4n (n=1,2,3,\ldots)\\
また、nに無関係な定数p,qに対し、\\
b_n=a_n+pn+q (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。このとき次の問いに答えよ。\\
(1)n,p,qに無関係な定数A,B,C,D,Eが\\
b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq) (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。\\
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列\left\{b_n\right\}が公比Aの等比数列となるような\\
p,qの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)(2)で求めたp,qの値に対して、数列\left\{b_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 次の条件によって定められる数列\left\{a_n\right\}がある。\\
a_1=1, a_{n+1}=3a_n+4n (n=1,2,3,\ldots)\\
また、nに無関係な定数p,qに対し、\\
b_n=a_n+pn+q (n=1,2,3,\ldots)\\
とおく。このとき次の問いに答えよ。\\
(1)n,p,qに無関係な定数A,B,C,D,Eが\\
b_{n+1}=Ab_n+(Bp+C)n+(Dp+Eq) (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たすとき、A,B,C,D,Eの値をそれぞれ求めよ。\\
(2)Aを(1)で求めた値とする。数列\left\{b_n\right\}が公比Aの等比数列となるような\\
p,qの値をそれぞれ求めよ。\\
(3)(2)で求めたp,qの値に対して、数列\left\{b_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(6)〜平均と分散の関係
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (6)\ 10個の正三角形がある。それらの辺の長さからなるデータの平均は9である。\\
また、それらの面積からなるデータの平均値は\frac{118\sqrt3}{5}である。このとき、\\
辺の長さからなるデータの分散は\ \boxed{\ \ ク\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (6)\ 10個の正三角形がある。それらの辺の長さからなるデータの平均は9である。\\
また、それらの面積からなるデータの平均値は\frac{118\sqrt3}{5}である。このとき、\\
辺の長さからなるデータの分散は\ \boxed{\ \ ク\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(5)〜対数方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ xについての方程式\\
(\log_2x)^2+5\log_2x+2=0\\
の2つの解を\alpha,\betaとおくと、\alpha\beta=\boxed{\ \ キ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ xについての方程式\\
(\log_2x)^2+5\log_2x+2=0\\
の2つの解を\alpha,\betaとおくと、\alpha\beta=\boxed{\ \ キ\ \ }である。
\end{eqnarray}
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福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(4)〜ベクトル方程式と三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 三角形OABにおいて、2つのベクトル\overrightarrow{ OA }, \overrightarrow{ OB }は|\overrightarrow{ OA }|=3, |\overrightarrow{ OB }|=2,\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=2 を満たすとする。実数s,tが\\
s \geqq 0, t \geqq 0, 2s+t \leqq 1\\
を満たすとき、\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }
と表されるような点Pの\\
存在する範囲の面積は\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)\ 三角形OABにおいて、2つのベクトル\overrightarrow{ OA }, \overrightarrow{ OB }は|\overrightarrow{ OA }|=3, |\overrightarrow{ OB }|=2,\\
\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=2 を満たすとする。実数s,tが\\
s \geqq 0, t \geqq 0, 2s+t \leqq 1\\
を満たすとき、\overrightarrow{ OP }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }
と表されるような点Pの\\
存在する範囲の面積は\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(3)〜さいころの確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)\ 3個のさいころを1回投げるとき、出た目の最大値が3となる確率は\\
\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ であり、また、出た目の積が8となる確率は\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)\ 3個のさいころを1回投げるとき、出た目の最大値が3となる確率は\\
\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ であり、また、出た目の積が8となる確率は\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(2)〜円に内接する四角形
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 円Cに内接する四角形PQRSにおいて、対角線PRは円Cの中心Oを通る。\\
また、各辺の長さは、PQ=1, QR=8, RS=4, SP=7であり、\\
角Pの大きさを\thetaとする。ただし、0 \lt \theta \lt \piとする。\\
このとき円Cの直径は\ \boxed{\ \ イ\ \ },\cos\theta=\boxed{\ \ ウ\ \ } である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ 円Cに内接する四角形PQRSにおいて、対角線PRは円Cの中心Oを通る。\\
また、各辺の長さは、PQ=1, QR=8, RS=4, SP=7であり、\\
角Pの大きさを\thetaとする。ただし、0 \lt \theta \lt \piとする。\\
このとき円Cの直径は\ \boxed{\ \ イ\ \ },\cos\theta=\boxed{\ \ ウ\ \ } である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年経済学部第１問(1)〜相加平均と相乗平均の関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ x \gt 0における(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x}) の最小値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学経済学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ x \gt 0における(x+\frac{1}{x})(x+\frac{2}{x}) の最小値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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福田の数学〜立教大学2021年理学部第４問〜極形式で与えられたzの計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 複素数zをz=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}とする。ただし、iは虚数単位とする。また、\\
a=z+\frac{1}{z}, b=z^2+\frac{1}{z^2}, c=z^3+\frac{1}{z^3} とおく。次の問いに答えよ。\\
(1)z^7は有理数になる。その値を求めよ。\\
(2)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(3)A=a+b+c は有理数になる。その値を求めよ。\\
(4)B=a^2+b^2+c^2 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(5)C=ab+bc+ca は有理数になる。その値を求めよ。\\
(6)D=a^3+b^3+c^3-3abc は有理数になる。その値を求めよ。\\
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 複素数zをz=\cos\frac{2\pi}{7}+i\sin\frac{2\pi}{7}とする。ただし、iは虚数単位とする。また、\\
a=z+\frac{1}{z}, b=z^2+\frac{1}{z^2}, c=z^3+\frac{1}{z^3} とおく。次の問いに答えよ。\\
(1)z^7は有理数になる。その値を求めよ。\\
(2)z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(3)A=a+b+c は有理数になる。その値を求めよ。\\
(4)B=a^2+b^2+c^2 は有理数になる。その値を求めよ。\\
(5)C=ab+bc+ca は有理数になる。その値を求めよ。\\
(6)D=a^3+b^3+c^3-3abc は有理数になる。その値を求めよ。\\
\end{eqnarray}
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福田の数学〜立教大学2021年理学部第３問〜定積分の漸化式と回転体の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} nを0以上の整数とする。定積分\\
I_n=\int_1^e\frac{(\log x)^n}{x^2}\ dx\\
について、次の問(1)～(4)に答えよ。ただし、eは自然対数の底である。\\
(1)I_0, I_1の値をそれぞれ求めよ。\\
(2)I_{n+1}をI_nとnを用いて表せ。\\
(3)x \gt 0とする。関数f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}\ の増減表を書け。\\
ただし、極値も増減表に記入すること。\\
(4)座標平面上の曲線\ y=\frac{(\log x)^2}{x}, x軸と直線x=eとで囲まれた図形を、\\
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} nを0以上の整数とする。定積分\\
I_n=\int_1^e\frac{(\log x)^n}{x^2}\ dx\\
について、次の問(1)～(4)に答えよ。ただし、eは自然対数の底である。\\
(1)I_0, I_1の値をそれぞれ求めよ。\\
(2)I_{n+1}をI_nとnを用いて表せ。\\
(3)x \gt 0とする。関数f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}\ の増減表を書け。\\
ただし、極値も増減表に記入すること。\\
(4)座標平面上の曲線\ y=\frac{(\log x)^2}{x}, x軸と直線x=eとで囲まれた図形を、\\
x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年理学部第２問〜2直線のなす角の最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 座標平面において、放物線y=x^2上の点でx座標がp,p+1,p+2である点を\\
それぞれP,Q,Rとする。また、直線PQの傾きをm_1、直線PRの傾きをm_2、\\
\angle QPR=\thetaとする。\\
\\
(1)m_1,\ m_2をそれぞれ\ p\ を用いて表せ。\\
(2)pが実数全体を動くとき、m_1m_2の最小値を求めよ。\\
(3)\tan\thetaを\ p\ を用いて表せ。\\
(4)pが実数全体を動くとき、\thetaが最大になる\ p\ の値を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} 座標平面において、放物線y=x^2上の点でx座標がp,p+1,p+2である点を\\
それぞれP,Q,Rとする。また、直線PQの傾きをm_1、直線PRの傾きをm_2、\\
\angle QPR=\thetaとする。\\
\\
(1)m_1,\ m_2をそれぞれ\ p\ を用いて表せ。\\
(2)pが実数全体を動くとき、m_1m_2の最小値を求めよ。\\
(3)\tan\thetaを\ p\ を用いて表せ。\\
(4)pが実数全体を動くとき、\thetaが最大になる\ p\ の値を求めよ。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年理学部第１問(5)〜対数の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ A=4^{(4^4)},\ B=(4^4)^4 のとき、\log_2(\log_2A)-\log_2(\log_2B)の値を\\
整数で表すと\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (5)\ A=4^{(4^4)},\ B=(4^4)^4 のとき、\log_2(\log_2A)-\log_2(\log_2B)の値を\\
整数で表すと\ \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理工学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年理学部第１問(4)〜数列の和と不等式の評価
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)一般項がa_n=\frac{2}{n(n+2)}\ であるような数列\left\{a_n\right\}の初項から第\ n\ 項までの和\\
をS_nとする。S_n \gt \frac{7}{6}\ を満たす最小の自然数\ n\ は\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (4)一般項がa_n=\frac{2}{n(n+2)}\ であるような数列\left\{a_n\right\}の初項から第\ n\ 項までの和\\
をS_nとする。S_n \gt \frac{7}{6}\ を満たす最小の自然数\ n\ は\ \boxed{\ \ オ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年理学部第１問(3)〜じゃんけんの確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)\ 4人でじゃんけんを1回するとき、ちょうど2人が勝つ確率は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ であり、\\
また、だれも勝たない確率は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ である。\hspace{130pt}
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (3)\ 4人でじゃんけんを1回するとき、ちょうど2人が勝つ確率は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }\ であり、\\
また、だれも勝たない確率は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ である。\hspace{130pt}
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年理学部第１問(2)〜3直線が1点で交わる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ tを実数とする。座標平面上の3つの直線\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x+(2t-2)y-4t+2=0\\
x+(2t+2)y-4t-2=0\\
2tx+y-4t=0 \\
\end{array}
\right.\\
\\
が1つの点で交わるようなtの値を全て求めるとt=\boxed{\ \ イ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)\ tを実数とする。座標平面上の3つの直線\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x+(2t-2)y-4t+2=0\\
x+(2t+2)y-4t-2=0\\
2tx+y-4t=0 \\
\end{array}
\right.\\
\\
が1つの点で交わるようなtの値を全て求めるとt=\boxed{\ \ イ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
福田の数学〜立教大学2021年理学部第１問(1)〜正六角形の対角線ベクトルの内積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ 1辺の長さが1の正六角形の頂点を反時計回りにA,B,C,D,E,Fとする。\\
このとき、2つのベクトル\overrightarrow{ AC },\overrightarrow{ AD }の内積\overrightarrow{ AC }・\overrightarrow{ AD }の値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (1)\ 1辺の長さが1の正六角形の頂点を反時計回りにA,B,C,D,E,Fとする。\\
このとき、2つのベクトル\overrightarrow{ AC },\overrightarrow{ AD }の内積\overrightarrow{ AC }・\overrightarrow{ AD }の値は\ \boxed{\ \ ア\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021立教大学理学部過去問
数学「大学入試良問集」【13−5 漸化式（割り算型）】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列$\{a_n\}$は
$a_1=9,a_{n+1}=4a_n+5^n(n=1,2,・・・)$をみたす。このとき、次の問いに答えよ。
（1）$b_n=a_n-5^n$とおく。$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。
（2）数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
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数列$\{a_n\}$は
$a_1=9,a_{n+1}=4a_n+5^n(n=1,2,・・・)$をみたす。このとき、次の問いに答えよ。
（1）$b_n=a_n-5^n$とおく。$b_{n+1}$を$b_n$で表せ。
（2）数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
立教大 ２次方程式の解 Mathematics Japanese university entrance exam
単元：
#２次方程式#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x^2-2(a-1)x+(a-2)^2=0$の2つの解を$\alpha,\beta$
$0 \lt \alpha \lt 1 \lt \beta \lt 2$となる$a$の範囲は？
出典：立教大学 過去問
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$x^2-2(a-1)x+(a-2)^2=0$の2つの解を$\alpha,\beta$
$0 \lt \alpha \lt 1 \lt \beta \lt 2$となる$a$の範囲は？
出典：立教大学 過去問
立教大 微分・積分 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
立教大学過去問題
$f(x)=x^3+3x^2+4$に(1,a)からちょうど2本の接線が引ける。
最小のaに対して2本の接線とf(x)で囲まれる面積
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立教大学過去問題
$f(x)=x^3+3x^2+4$に(1,a)からちょうど2本の接線が引ける。
最小のaに対して2本の接線とf(x)で囲まれる面積
関西大 漸化式 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
関西大学過去問題
n自然数
$a_1=3 \quad\quad a_{n+1}=2a_n-n^2+n$
$a_n$をnで表せ
立教大学過去問題
$2^{18}-1$を素因数分解
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関西大学過去問題
n自然数
$a_1=3 \quad\quad a_{n+1}=2a_n-n^2+n$
$a_n$をnで表せ
立教大学過去問題
$2^{18}-1$を素因数分解
立教大 立体図形・関数最大値 信州大 指数方程式 高校数学 Japanese university entrance exam questions
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#信州大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
立教大学過去問題
底面の直径が6高さが12の円錐に図のように円柱が内接している。円柱の体積の最大値
＊図は動画内参照
信州大学過去問題
$2^{3x+2}-13・2^{2x}+11・2^x-2=0$を解け
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立教大学過去問題
底面の直径が6高さが12の円錐に図のように円柱が内接している。円柱の体積の最大値
＊図は動画内参照
信州大学過去問題
$2^{3x+2}-13・2^{2x}+11・2^x-2=0$を解け