東北大学

福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第４問〜2つの直線に接し互いに外接する２つの円の性質

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
xy平面の第1象限内において、直線

l : y = m x (m > 0)

とx軸の両方に
接している半径aの円をCとし、円Cの中心を通る直線

y = t x (t > 0)

を考える。
また、直線lとx軸、および、円Cの全てにそれぞれ1点で接する円の半径をbとする。
ただし、

b > a

とする。
(1)mを用いてtを表せ。
(2)tを用いて

\frac{b}{a}

を表せ。
(3)極限値

lim_{m \to + 0} \frac{1}{m} (\frac{b}{a} - 1)

を求めよ。

2022東北大学理系過去問

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福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第３問〜無限級数の和とはさみうちの原理

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
正の整数nに対して、

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (\sqrt{1 + \frac{k}{n^{2}}} - 1)

とする。
(1)正の実数xに対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{x}{2 + x} ≦ \sqrt{1 + x} - 1 ≦ \frac{x}{2}

(2)極限値

lim_{n \to \infty} S_{n}

を求めよ。

2022東北大学理系過去問

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福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第２問〜4次関数の極値と最小値

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#接線と増減表・最大値・最小値#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
aを実数とし、実数xの関数

f (x) = (x^{2} + 3 x + a) (x + 1)^{2}

を考える。
(1)f(x)の最小値が負となるようなaのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)

a < 2

のとき、f(x)は2つの極小値をもつ。このときf(x)が極小となる
xの値を

α_{1}, α_{2} (α_{1} < α_{2})

とする。

f (α_{1}) < f (α_{2})

を示せ。
(3)f(x)が

x < β

において単調減少し、かつ、

x = β

において最小値をとるとする。
このとき、aのとりうる値の範囲を求めよ。

2022東北大学理系過去問

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福田の数学・入試問題解説〜東北大学2022年理系第１問〜不定方程式の整数解の個数

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
Kを3より大きい奇数とし、

l + m + n = K

を満たす正の奇数の組(l,m,n)
の個数Nを考える。ただし、例えば、

K = 5

のとき、

(l, m, n) = (1, 1, 3)

と

(l, m, n) = (1, 3, 1)

とは異なる組とみなす。
(1)

K = 99

のとき、Nを求めよ。
(2)

K = 99

のとき、l,m,nの中に同じ奇数を2つ以上含む組(l,m,n)の個数を
求めよ。
(3)

N > K

を満たす最小のKを求めよ。

2022東北大学理系過去問

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数学「大学入試良問集」【16−3 ド・モアブルの定理と累乗の取り扱い】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

z

を絶対値が1の複素数とする。
このとき以下の問いに答えよ。
（1）

z^{3} - z

の実部が

0

となるような

z

をすべて求めよ。
（2）

z^{5} + z

の絶対値が1となるような

z

をすべて求めよ。
（3）

n

を自然数とする。

z^{n} + 1

の絶対値が1となるような

z

となるような

z

をすべてかけ合わせて得られる複素数を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【9−2 常用対数と最高位の数】を宇宙一わかりやすく

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

6^{n}

が

39

桁の自然数になるときの自然数

n

を求めよ。
その場合の

n

に対する

6^{n}

の最高位の数字を求めよ。
ただし、

l o g_{10} 2 = 0.3010, l o g_{10} 3 = 0.4771

とする。

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【理数個別の過去問解説】1996年度東北大学数学第3問解説

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
東北大学(1996年)
xy平面の点

(1, 0)

を中心とする半径1の円をCとし、第1象限にあって、x軸とCに接する円C₁を考える。次に、x軸、

C 、 C_{1}

で囲まれた部分にあって、x軸とこれら2円に接する円を

C_{2}

とする。以下同様に、

C_{n + 1} (n = 1, 2, \dots)

をx軸、

C 、 C_{n}

で囲まれた部分にあって、これらに接する円とする。
(1)

C_{1}

の中心の座標をaとするとき、C₁の半径

r_{1}

をaを用いて表そう。
(2)

C_{n}

の半径

r_{n}

をaとnを用いて表そう。

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【理数個別の過去問解説】2016年度東北大学数学文系第1問解説

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
平面上で原点Oと3点A(3,1)B(1,2)C(-1,1)を考える。実数s,tに対し、点PをOP=sOA+tOBにより定める。
(1)s,tが条件

- 1 ≦ s ≦ 1, - 1 ≦ t ≦ 1, - 1 ≦ s + t ≦ 1

を満たすとき点P(x,y)の存在する範囲Dを図示しよう。
(2)点Pが(1)で求めた範囲Dを動くとき、内積OP・OCの最大値を求め、そのときのPの座標を求めよう。

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東北大学（農学部）に合格した塾生にインタビュー！【篠原好】

単元： #その他#東北大学#その他

指導講師：篠原好【京大模試全国一位の勉強法】

問題文全文(内容文)：
「東北大学（農学部）に合格した塾生」にインタビューしています。

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東北大整数問題

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

3^{a} - 2^{n} = 1

a, b ε Z

（1）

a, b

はともに正、示せ

（2）

b > 1

のとき、

a

偶数

（3）

(a, b)

すべて求めよ

出典：2018年東北大学　過去問

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東北大　円の方程式　領域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
領域

D

は次の連立不等式

\begin{array}{r} {\begin{cases} x^{2} - 6 x + y^{2} + 5 ≦ 0 \\ x + y ≦ 5 \end{cases} \end{array}

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 y + a^{2} = 0

が

D

を通るような

a

の最大値と最小値を求めよ

出典：2006年東北大学　過去問

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東北大　三角方程式 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

0 ≦ x < 2 π

方程式を解け

（1）

\sin^{3} x + \cos^{3} x = 1

（2）

\sin^{3} x + \cos^{3} x + \sin x = 2

出典：2007年東北大学　過去問

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東北大　漸化式 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 3

a_{n + 1} > a_{n}

n

自然数　一般項を求めよ

a_{n}^{2} - 2 a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1}^{2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1})

出典：2015年東北大学　過去問

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東北大　二次関数と接線 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

C_{1} : y - x^{2}

C_{2} : y = - x^{2} + 2 a x - a

（1）

C_{1}

と

C_{2}

が共有点をもたない

a

の範囲

（2）
（1）のとき、

C_{1} C_{2}

の両方に接する直線が2本あることを示せ

（3）
（2）の2直線の交点の描く図形を図表せよ

出典：2015年東北大学　過去問

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東北大　指数不等式高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
96年　東北大学過去問
全ての実数

x

に対して

2^{2 x + 2} + 2^{x} + 1 - a > 0

が成り立つような実数

a

の範囲を求めよ

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東北大（ｎ＋１）次方程式の解の個数 Mathematics Japanese university entrance exam

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
'83東北大学過去問題

n ≧ 3

整数

f (x) = 2 x^{n + 1} - 4 x^{n} + 3

(1)

f (\frac{3}{2})

の符号
(2)方程式、

f (x) = 0

の正の解、負の解の個数

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東北大　確率漸化式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東北大学過去問題
立方体の上面に印をつける。床に接する面の4辺のうちから1辺を等確率で選び、その1辺を軸に立方体を倒す。
n回倒したとき、印の面が側面にくる確率を

a_{n}

,底面にくる確率を

b_{n}

(1)

a_{n}

をnで表せ
(2)

b_{n}

をnで表し、

lim_{n \to \infty} b_{n}

を求めよ

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東北大　対数方程式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東北大学過去問題
連立方程式を解け

\begin{array}{r} {\begin{cases} x^{y} = y^{x} \\ l o g_{x} y + l o g_{y} x = \frac{13}{6} \end{cases} \end{array}

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東北大　分数型漸化式　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#東北大学#数学(高校生)#数B

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2008東北大学過去問題

a_{1} = 2 a_{n + 1} = \frac{4 a_{n} + 1}{2 a_{n} + 3}

(1)

b_{n} = \frac{a_{n} + β}{a_{n} + α}

として

{b_{n}}

が等比数列となるようなα,β(α>β)を1組求めよ。
(2)

{a_{n}}

の一般項

a_{n}

を求めよ。

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東北大　三次関数と放物線の共有点の数　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東北大学過去問題

y = x^{2} + k

と

y = | x (x^{2} - 1) |

との共有点の個数

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東北大　常用対数　桁数と最高位の数字　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2006東北大学過去問題

6^{n}

が39桁の自然数になるとき、自然数nを求めよ。
その場合のnに対する

6^{n}

の最高位の数字を求めよ。

l o g_{10} 2 = 0.3010

l o g_{10} 3 = 0.4771

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東北大　三次方程式　相異三実根　高校数学 Japanese university entrance exam questions

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#東北大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
東北大学過去問題

2 x^{3} - 3 (a + b) x^{2} + 6 a b x - 2 a^{2} b = 0

が相異3実根をもつとき
(a,b)の範囲を図示せよ。

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東北大 整数問題

東北大 円の方程式 領域

東北大 三角方程式 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大 漸化式 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大 二次関数と接線 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大 指数不等式 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大（ｎ＋１）次方程式の解の個数 Mathematics Japanese university entrance exam

東北大 確率漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions

東北大 対数方程式 高校数学 Japanese university entrance exam questions

東北大 分数型漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions

東北大 三次関数と放物線の共有点の数 高校数学 Japanese university entrance exam questions

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