東京大学

【高校数学】東京大学2025年度理系数学第2問積分と極限の問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
■【東京大学 2025】
(1)

x ＞ 1

のとき、不等式

l o g x ≦ x - 1

を示せ。
(2)次の極限を求めよ。

lim_{n \to \infty} n \int_{1}^{2} l o g (\frac{1 + x^{\frac{1}{n}}}{2}) d x

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福田のおもしろ数学143〜斜面の勾配

単元： #数学(中学生)#中３数学#大学入試過去問(数学)#三平方の定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
傾いた平面上で、もっとも急な方向の勾配(傾き)が

\frac{1}{3}

であるという。いま南北方向の勾配を測ったところ

\frac{1}{5}

であった。
東西方向の勾配はどれだけか。

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【高校数学】東京大学2024年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分92日目~47都道府県制覇への道~【㉟東京】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【東京大学 2024】
座標空間内に3点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)をとり、D を線分ACの中点とする。三角形ABDの周および内部をx軸のまわりに1回転させて得られる立体の体積を求めよ。

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東大　文系数学　2024

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

0.3 ＜ \log_{10} 2 ＜ 0.31

を用いてよい
(1)

5^{n} > 10^{19}

となる最小の自然数n
(2)

5^{m} + 4^{m} > 10^{19}

となる最小の自然数m

2024東大文系過去問

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福田の数学〜東京大学2018年理系第5問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の原点を中心とする半径 1 の円を C とする。
点 P(z) は C 上にあり、点 A(I) とは異なるとする。
点 P における円 C の接線に関して、点 A と対称な点を Q(u) とする。

ω = \frac{1}{1 - u}

とおき

ω

と共役な複素数を

\overset{―}{ω}

で表す。

（１）uと

\frac{\overset{―}{ω}}{ω}

をzについての整数として表し、絶対値の値

\frac{| ω + \overset{―}{ω} - 1 |}{| ω |}

を求めよ。
（２）Cのうち実部が

\frac{1}{2}

以下の複素数平面で表される部分をCとする。点Ｐ(z)がＣ’上を動くときの点Ｒ(

ω

)の軌跡を求めよ。
　　

ω = x + y i

(x,yは実数)とおく。

2018東大理系過去問

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福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき

\vec{O R} = \frac{1}{k} \vec{O P} + k \vec{O Q}

を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および

lim_{k \to + 0} S (k), lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

2018東京大学理系過去問

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福田の数学〜東京大学2018年理系第2問〜数列の増減とユークリッドの互除法

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a_{1}, a_{2} ・ ・ ・

を

a_{n} = \frac{2_{n} +_{1} C_{n}}{n!}

(n=1,2,・・・)
で定める
(1)

n ≧ 2

とする。

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}

を規約分数

\frac{q_{n}}{p_{n}}

として表したときの分母

p_{n} ≧ 1

と分子

q_{n}

を求めよ。
(2)

a_{n}

が整数となる

n ≧ 1

をすべて求めよ。

2018東京大学理過去問

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福田の数学〜東京大学2018年理系第1問〜関数の増減と極限の計算

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x) = \frac{x}{\sin x} + \cos x (0 < x < π)

のぞうげんひょうを作り、

x \to + 0, x \to π - 0

のときの極限を調べよ。

2018東京大学理過去問

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福田のおもしろ数学033〜これが東大の入試問題だ！〜6個の円がおおう範囲の面積

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
これが東大の入試問題だ！
半径1の円6個で覆う太線で囲まれた部分の面積を求めよ

図は動画内参照

東京大学過去問

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福田の数学〜2点が動くときはどちらか一方を固定する〜東京大学2018年文系第4問〜平面ベクトルと点の動ける領域

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
4 放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

をみたす部分を C とする。座標平面上の原点Oと点A(１，0)を考える。
( 1 )点 P が C 上を動くとき、

\vec{O Q} = 2 \vec{O P}

　をみたす点 Q の軌跡を求めよ。
( 2 )点 P が C 上を動き、点 R が線分 OA 上を動くとき

\vec{O S} = \vec{2 O P} ＋ \vec{O R}

をみたす点 S が動く領域を座標平面上に図示し、その面積を求めよ。

2018東京大学文過去問

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福田の数学〜3次方程式の解の存在範囲に関する問題〜東京大学2018年文系第3問〜関数の増減と方程式の解

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a>0とし、f(x)=

x^{3} - 3 a^{2} x

とおく。
( 1 )x

≧ 1

でf(x)が単調に増加するための aについての条件を求めよ。
( 2 )次の 2 条件を満たす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件 1 :方程式f(x)=bは相異なる 3 実数解をもつ。
条件 2 :さらに方程式f(x)=bの解を

α < β < γ

とすると、

β ＞ 1

である。

2018東京大学文過去問

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福田の数学〜0と1の間に整数は存在しないなんて当たり前〜東京大学2018年文系第2問〜数列の増減と整数となる条件

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数列

a_{1}, a_{2}

,・・・を

a_{n} = \frac{_{2} n C_{n}}{n!}

(n=1,2,・・・)で定める。
（１）

a_{7}

と１の大小を調べよ。
（２）

n ≧ 2

とする。

\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} < 1

を満たすｎの範囲を求めよ。
（３）

a_{n}

が整数となる

n ≧ 1

を全て求めよ。

2018東京大学文過去問

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福田の数学〜不等式の図形的な意味に気づけるか〜東京大学2018年文系第1問(2)〜領域内を動く点が不等式を満たす条件

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に放物線 C を

y = x^{2} - 3 x + 4

で定め、領域Dを

y ≧ x^{2} - 3 x + 4

で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
( 2 )次の条件を満たす点 P(p,q)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件:領域Dのすべての点は(x,y)に対し、不等式

p x + q y ≦ 0

が成り立つ。

2018東京大学文過去問

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福田の数学〜複数の絶対値に対応できるか〜東京大学2018年文系第1問(1)〜絶対値を含む関数の最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面上に放物線 C を

y = x^{2} - 3 x + 4

で定め、領域Dを

y ≧ x^{2} - 3 x + 4

で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
(1) 放物線 C 上を動く点 A と直線l, m の距離をそれぞれL,M とする。

\sqrt{L} + \sqrt{M}

が最小値をとるときの点 A の座標を求めよ。

2018東京大学文過去問

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大学入試問題#582「ガチンコでぶつかると危険」　東京帝国大学(1946)　不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{d x}{x - \sqrt{x^{2} - 1}}

出典：1946年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#581「最後まで落ち着いて！」　東京帝国大学(1940)　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{3 x^{2} - 3 x + 2}{x^{3} - 3 x^{2} + x - 3} d x

出典：1940年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#574「なにかありそう」　東京帝国大学(1938)　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{1 + \sin x}{\sin x (1 + \cos x)} d x

出典：1938年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#568「素直に正面突破」　東京帝国大学(1968)　#広義積分

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\infty} \frac{x e^{- x}}{(1 + e^{- x})^{2}} d x

出典：1938年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#567「定数aの処理の難しさ」　東京大学1938　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int x^{2} (x^{2} + a^{2})^{\frac{1}{2}} d x

出典：1938年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#564「構想力が鍛えられる問題！」　東京帝国大学(1934)　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{3 x + 4}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 5}} d x

出典：1934年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#563「一度は解きたい問題」　東京帝国大学(1934)　曲線の長さ

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
曲線

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

の

x = 0

から

x = a

までの長さを求めよ。

出典：1934年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」　東京帝国大学1937　#定積分

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

：正の整数

\int_{0}^{π} \frac{\sin (2 n - 1) x}{\sin x} d x = π

を示せ

出典：1937年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#561「不定積分だと難易度爆上げ」　東京帝国大学(1930)　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{d x}{x \sqrt{1 - x^{2}}}

出典：1930年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#558　東京帝国大学(1933)　#方程式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\frac{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}} = \frac{4 x - 1}{2}

出典：1933年東京帝国大学　入試問題

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大学入試問題#556「技はかかりそうだけど、正面突破」　東京帝国大学大正14年　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#不定積分#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} d x

出典：大正14年東京大学　入試問題

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大学入試問題#555「不定積分だと難易度があがりがち」　東京帝国大学(1928)　#不定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int \frac{d x}{x (x^{2} + 1)^{2}}

出典：1928年東京帝国大学　入試問題

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【数Ⅲ】東大の文系の問題を微分で解いてみた【東京大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
kを正の実数とし,二次方程式

x^{2} + x - k = 0

の二つの実数解を、

α, β

とする。

k が k ＞ 2

の範囲を動くとき,

\frac{α^{3}}{1 - β} + \frac{β^{3}}{1 - α}

の最小値を求めよ。

東大過去問

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【２通りで解説】微分禁止！問題文から「あれ」を使う匂いがぷんぷんします【東京大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
kを正の実数とし,二次方程式

x^{2} + x - k = 0

の二つの実数解を、

α, β

とする。

k が k ＞ 2

の範囲を動くとき,

\frac{α^{3}}{1 - β} + \frac{β^{3}}{1 - α}

の最小値を求めよ。

東大過去問

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福田の数学〜東京大学2023年文系第４問〜四面体の体積

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

半径1の球面上の相異なる4点A,B,C,Dが
AB=1, AC=BC, AD=BD,

\cos ∠ A C B

=

\cos ∠ A D B

=

\frac{4}{5}

を満たしているとする。
(1)三角形ABCの面積を求めよ。
(2)四角形ABCDの体積を求めよ。

2023東京大学文系過去問

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福田の数学〜東京大学2023年理系第６問〜線分の先端の可動範囲と関節を加えたときの可動範囲(PART2)

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

Oを原点とする座標空間において、不等式|x|≦1, |y|≦1, |z|≦1の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、z＜1を満たす部分をSとする。
以下、座標空間内の2点A,Bが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。
(1)座標空間内の点Pが次の条件(i),(ii)をともに満たすとき、点Pが動きうる範囲Vの体積を求めよ。
(i)OP≦

\sqrt{3}

(ii)線分OPとSは、共有点をもたないか、点Pのみを共有点にもつ。
(2)座標空間内の点Nと点Pが次の条件(iii),(iv),(v)をすべて満たすとき、点Pが動きうる範囲Wの体積を求めよ。必要ならば、

\sin α

=

\frac{1}{\sqrt{3}}

を満たす実数α(0＜α＜

\frac{π}{2}

)を用いてよい。
(iii)ON+NP≦

\sqrt{3}

(iv)線分ONとSは共有点を持たない。
(v)線分NPとSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点を持つ。

2023東京大学理系過去問

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【高校数学】東京大学2025年度理系数学第2問 積分と極限の問題

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東大 文系数学 2024

福田の数学〜東京大学2018年理系第5問〜複素数平面上の点の軌跡

福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

福田の数学〜東京大学2018年理系第2問〜数列の増減とユークリッドの互除法

福田の数学〜東京大学2018年理系第1問〜関数の増減と極限の計算

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大学入試問題#582「ガチンコでぶつかると危険」 東京帝国大学(1946) 不定積分

大学入試問題#581「最後まで落ち着いて！」 東京帝国大学(1940) #不定積分

大学入試問題#574「なにかありそう」 東京帝国大学(1938) #不定積分

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大学入試問題#564「構想力が鍛えられる問題！」 東京帝国大学(1934) #不定積分

大学入試問題#563「一度は解きたい問題」 東京帝国大学(1934) 曲線の長さ

大学入試問題#562「証明問題じゃなきゃ解けるのか？」 東京帝国大学1937 #定積分

大学入試問題#561「不定積分だと難易度爆上げ」 東京帝国大学(1930) #不定積分

大学入試問題#558 東京帝国大学(1933) #方程式

大学入試問題#556「技はかかりそうだけど、正面突破」 東京帝国大学大正14年 #定積分

大学入試問題#555「不定積分だと難易度があがりがち」 東京帝国大学(1928) #不定積分

【数Ⅲ】東大の文系の問題を微分で解いてみた【東京大学】【数学 入試問題】

【２通りで解説】微分禁止！問題文から「あれ」を使う匂いがぷんぷんします【東京大学】【数学 入試問題】

福田の数学〜東京大学2023年文系第４問〜四面体の体積

福田の数学〜東京大学2023年理系第６問〜線分の先端の可動範囲と関節を加えたときの可動範囲(PART2)

【高校数学】東京大学2025年度理系数学第2問積分と極限の問題

東大　文系数学　2024

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【数Ⅲ】東大の文系の問題を微分で解いてみた【東京大学】【数学入試問題】

【２通りで解説】微分禁止！問題文から「あれ」を使う匂いがぷんぷんします【東京大学】【数学入試問題】