早稲田大学

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第5問〜媒介変数表示のグラフと回転体の体積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

x y

平面上において、以下の媒介変数表示をもつ曲線を

C

とする。

{\begin{matrix} x = \sin t + \frac{1}{2} \sin 2 t \\ y = - \cos t - \frac{1}{2} \cos 2 t - \frac{1}{2} \end{matrix}

ただし、0≦

t

≦

π

とする。
(1)

y

の最大値、最小値を求めよ。
(2)

\frac{d y}{d t}

<0　となる

t

の範囲を求め、

C

の概形を

x y

平面上に描け。
(3)

C

を

y

軸のまわりに1回転してできる立体の体積

V

を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第4問〜確率漸化式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

2つのチーム

W

,

K

が

n

回試合を行う。ただし

n

≧2とする。各試合での

W

,

K

それぞれの勝つ確率は

\frac{1}{2}

とし、引き分けはないものとする。

W

が連敗しない確率を

p_{n}

とする。ただし、連敗とは2回以上続けて負けることを言う。
(1)

p_{3}

を求めよ。
(2)

p_{n + 2}

を

p_{n + 1}

と

p_{n}

を用いて表せ。
(3)以下の2式を満たす

α

,

β

を求めよ。ただし、

α

<

β

とする。

p_{n + 2}

－

β p_{n + 1}

=

α (p_{n + 1} - β p_{n})

p_{n + 2}

－

α p_{n + 1}

=

β (p_{n + 1} - α p_{n})

(4)

p_{n}

　を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第3問〜四面体の内部に出来る八面体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

点O, A, B, Cを頂点とする四面体OABCを考える。辺OA, OB, OCの中点をそれぞれP, Q, Rとし、辺BC, CA, ABの中点をそれぞれS, T, Uとする。
(1)辺PS, QT, RUが1点で交わることを示せ。
(2)

O A^{2}

+

B C^{2}

=

O B^{2}

+

C A^{2}

=

O C^{2}

+

A B^{2}

のとき、点P, Q, R, S, T, Uが同一球面上にあることを示せ。
(3)(2)において、辺PSが辺OA, BCと直交するとし、辺OA, BCの長さをそれぞれ

a

,

k

とする。点P, Q, R, S, T, Uを頂点とする八面体の体積

V

を

a

と

k

を用いて表せ。
(4)(3)において、

k

=1のとき八面体の体積

V

の最大値を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第1問〜円の接線で出来る図形の面積の最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#微分法と積分法#三角関数とグラフ#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

円

C

：

x^{2}

+

(y - 1)^{2}

=1 に接する直線で、

x

切片、

y

切片がともに正であるものを

l

とする。

C

と

l

と

x

軸により囲まれた部分の面積を

S

、

C

と

l

と

y

軸により囲まれた部分の面積を

T

とする。

S

+

T

が最小となるとき、

S

－

T

の値を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第7問〜内サイクロイド曲線の長さ

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

7

n

を2以上の自然数とする。座標平面において、原点を中心とする半径

n

の円

C_{n}

の内側を半径1の円

C

が滑らずに転がるとき、円

C

上の定点Pの軌跡について考える。時刻

t

において、2つの円

C

と

C_{n}

は点(

n \cos t

,

n \sin t

)で接している。
また、時刻

t

=0 において、点Pは点(

n

, 0)にある。

t

が0≦

t

≦

\frac{2 π}{n}

の範囲を動くとき、点Pの軌跡の長さを

L_{n}

とする。このとき、

L_{2}

=

テ

である。また、

lim_{n \to \infty} L_{n}

=

ト

である。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第6問〜空間内の折れ線の長さの最小値

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

6

2点A(1,0,1)とB(2,

\sqrt{3}

, 1)、および、

x y

平面上を自由に動く2つの点PとQがあり、

l

=AP+BQ+

\frac{PQ}{2}

とする。

l

が最小値をとるとき、点PとQを通る

x y

平面上の直線の方程式は

y

=

\sqrt{ソ x}

－

\sqrt{タ}

であり、

l

の最小値は

チ

+

\sqrt{ツ}

である。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第5問〜円の性質と切り取られる弦の長さ

単元： #数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

2点A(－

\sqrt{2}

－

\sqrt{6}

,

\sqrt{2}

－

\sqrt{6}

),　B(

\sqrt{2}

+

\sqrt{6}

,

\sqrt{2}

－

\sqrt{6}

)と原点O(0, 0)について、

θ

=

∠ AOB

とするとき、

θ

=

\frac{ナ}{ニ} π

である。ただし、0≦

θ

≦

π

とする。さらに円

x^{2}

+

y^{2}

－

2 x

－

10 y

+22=0 を

C

とする。円

C

上の点P, Qは

∠ APB

=

∠ AQB

=

\frac{5}{12} π

を満たす点とする。このとき、PQ=

ヌ \sqrt{\frac{ネ}{ノ}}

である。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第4問〜関数の増減と接線の傾きの長さ

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

f (x)

=

x^{3}

+

a x^{2}

+

b x

+

\frac{1}{4} a^{2}

が

x

=-2 で極値をとり、その値が1であるとき、定数

a

,

b

の値は

a

=

ソ

,　

b

=

タ

である。このとき、曲線

y

=

f (x)

上の点

(t, f (t))

における接線の傾きは

t

=

\frac{チ}{ツ}

のとき、最小値

\frac{テ}{ト}

をとる。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第3問〜平面へ下ろした垂線の長さ

単元： #大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

直方体OABC－DEFGにおける各辺の長さは
OA=CB=DE=GF=1
AB=OC=EF=DG=

\sqrt{2}

OD=AE=BF=CG=

\sqrt{3}

である。点Bから3点O, E, Gを含む平面に下ろした垂線の足をHとする。このとき、

\vec{OH}

=

\frac{ケ}{コ} \vec{OE}

+

\frac{サ}{シ} \vec{OG}

と表すことができ、

| \vec{BH} |^{2}

=

\frac{ス}{セ}

である。

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福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第1問(1)〜4次式の最小値

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)

x

が実数であるとき、

x (x + 1) (x + 2) (x + 3)

の最小値は

ア

である。

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大学入試問題#792「なぜサムネに『も』をいれてんだ」　#早稲田大学人間科学部(2024)

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x

が実数であるとき

x (x + 1) (x + 2) (x + 3)

の最小値を求めよ。

出典：2024年早稲田大学人間科学部　入試問題

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大学入試問題#789「落ち着いて解くだけ」　早稲田大学商学部(2024) #整数問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
不等式

| \frac{2024 n}{1 - 46 n} + 44 | < \frac{1}{2025}

を満たす正の整数

n

の最小値を求めよ。

出典：2024年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#764「よく作成できるもんです」　早稲田大学商学部(2024) #数列

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

c

を1でない正の実数とする。
数列

{a_{n}}

が次の条件を満たしている。

a_{1} = c,

(a_{n})^{n + 1} ・ (a_{n + 1})^{n} = c^{- (2 n + 1)}

このとき、一般項

a_{n}

を

c

を用いて表せ。

出典：2024年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#754「スッキリと解きたい」　早稲田大学人間科学部(2022) #整数問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

m > 3

である自然数

m

に対して、
等式

m a + \frac{1}{m} b = a b - 1

を満たす整数

a, b

の組をすべて求めよ。

出典：2022年早稲田大学人間科学部　入試問題

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#整数問題　#早稲田大学2022　#Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

2 a + \frac{1}{2} b = a b - 1

を満たす整数

a, b

の組を求めよ。

出典：2022年早稲田大学人間科学部

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大学入試問題#748「計算力が試される」早稲田大学人間科学部(2006) 積分方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = x + 2 \int_{0}^{π} \sin (x - t) f (t) d t

を満たす関数

f (x)

を求めよ。

出典：2006年早稲田大学人間科学部　入試問題

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大学入試問題#747「解き方は好み」早稲田大学国際教養学部(2006)

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
実数

x, y

が

2 x^{2} + 3 y^{2} = 1

を満たすとき、

x^{2} - y^{2} + x y

の最大値を求めよ。

出典：2006年早稲田大学国際教養学部　入試問題

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大学入試問題#745「落ち着けばどうにかなる」早稲田大学理工学部(2002) 微積の応用

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

0 < θ < \frac{π}{2}

とする。

I (θ) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} | \sin x - \tan θ \cos x | \sin 2 x d x

（1）

I (θ)

を求めよ。
（2）

I (θ)

を最小にする

θ

に対し、

\cos θ

の値を求めよ。

出典：2002年早稲田大学理工学部　入試問題

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大学入試問題#744「ひっかける場所はどこだ？」早稲田大学政治経済学部(2005) #整数問題

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\frac{1}{x} + \frac{1}{2 y} + \frac{1}{3 z} = \frac{4}{3}

を満たす正の整数の組

(x, y, z)

をすべて求めよ。

出典：2005年早稲田大学政治経済学部　入試問題

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大学入試問題#743「単なる場合分け？」早稲田大学政治経済学部(2003) #対数

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a > 0, a \neq 1

とする。
このとき、

x

の不等式

l o g_{a} (x + 2) \geq l o g_{a^{2}} (3 x + 16)

を解け

出典：2003年早稲田大学政治経済学部　入試問題

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大学入試問題#742「落としたくないかな～～」早稲田大学理工学部(2001) #極限

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{M \to \infty} \int_{0}^{M} e^{- 2 x} \sin^{2} x d x

出典：2001年早稲田大学理工学部　入試問題

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大学入試問題#739「このタイプ、定期的に難関大学で出題されてる」　早稲田大学国際教養学部(2005)三角関数

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sin x + \sin y = \frac{2}{3}, \cos x \cos y = \frac{1}{2}

のとき、

\sin x \sin y, \sin \frac{x + y}{2}

の値を求めよ。

出典：2005年早稲田大学国際教養学部　入試問題

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大学入試問題#737「もはや三角関数の問題」　早稲田大学人間科学部(2001)定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{\sin 15^{\circ}}^{\cos 15^{\circ}} (3 x^{2} - 1) d x

出典：2001年早稲田大学人間科学部　入試問題

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大学入試問題#730「総和と間違えそう」早稲田大学商学部(2011)　個数の処理

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

n

を正の整数とする。

10^{n}

の正の約数すべての積の値を求めよ。

出典：2011年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#728「たぶん良問」早稲田大学商学部(2014)　積分方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
任意の実数

x

に対して、

\int_{0}^{x} f (t) d t - 3 \int_{- x}^{0} f (t) d t = x^{3}

を満たす関数

f (x)

を求めよ

出典：2014年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#725「計算ミスだけ注意」　早稲田商学部(2015)　対数と三角関数

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\sum_{k = 1}^{7} l o g_{2} (\cos \frac{k π}{16})

出典：2021年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#721「落ち着いて計算」　早稲田商学部(2012)　積分方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定数関数でない関数

f (x)

が

f (x) = x^{2} - \int_{0}^{1} (f (t) + x)^{2} d t

を満たすとき

f (x)

を求めよ。

出典：2012年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#719「これは落としたくない」　早稲田大学商学部(2005)　3次方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
3次方程式

x^{3} - p x^{2} + 11 x - q = 0

が3つの連続する正の整数を解とするとき、

p, q

の値を求めよ。

出典：2005年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#718「理系の偏差値63ではきつい」　早稲田商学部(2011)　微積の応用

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \int_{0}^{1} | t^{2} - x^{2} | d t

の最小値を求めよ。

出典：2011年早稲田大学商学部　入試問題

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大学入試問題#717「これはよく考えられた問題だな～～」　早稲田商学部(2012) 対数

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

l o g_{3} x - \frac{1}{l o g_{9} x} = (- 1)^{x}

を満たす正の整数

x

の値を求めよ。

出典：2012年早稲田大学商学部　入試問題

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 早稲田大学

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第5問〜媒介変数表示のグラフと回転体の体積

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第4問〜確率漸化式

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第3問〜四面体の内部に出来る八面体の体積

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第1問〜円の接線で出来る図形の面積の最小

福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第7問〜内サイクロイド曲線の長さ

福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第6問〜空間内の折れ線の長さの最小値

福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第5問〜円の性質と切り取られる弦の長さ

福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第4問〜関数の増減と接線の傾きの長さ

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大学入試問題#717「これはよく考えられた問題だな～～」 早稲田商学部(2012) 対数

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大学入試問題#789「落ち着いて解くだけ」　早稲田大学商学部(2024) #整数問題

大学入試問題#764「よく作成できるもんです」　早稲田大学商学部(2024) #数列

大学入試問題#754「スッキリと解きたい」　早稲田大学人間科学部(2022) #整数問題

#整数問題　#早稲田大学2022　#Shorts

大学入試問題#748「計算力が試される」早稲田大学人間科学部(2006) 積分方程式

大学入試問題#747「解き方は好み」早稲田大学国際教養学部(2006)

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