大学入試過去問(数学)
大学入試過去問(数学)
福田の数学〜立教大学2025理学部第1問(2)〜内積と絶対値の計算問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)$2$つの平面ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$は、
$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=4,\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \vert =2$を満たすとする。
このとき、内積$\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}$の値は$\boxed{イ}$である。
また、$\vert 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \vert^2+\vert 3 \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \vert^2$の値は$\boxed{ウ}$である。
$2025$年立教大学理学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)$2$つの平面ベクトル$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$は、
$\vert \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \vert=4,\vert \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \vert =2$を満たすとする。
このとき、内積$\overrightarrow{a}･\overrightarrow{b}$の値は$\boxed{イ}$である。
また、$\vert 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \vert^2+\vert 3 \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \vert^2$の値は$\boxed{ウ}$である。
$2025$年立教大学理学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025理学部第1問(1)〜不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)自然数$n$に対して$a_n=2^n$とし、
積$a_1a_2\cdots a_n$を$A_n$とおく。
このとき、$A_n \geqq 10^{10}$を満たす最小の
$n$は$\boxed{ア}$である。
ただし、$\log_2 10=3.3219$とする。
$2025$年立教大学理学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)自然数$n$に対して$a_n=2^n$とし、
積$a_1a_2\cdots a_n$を$A_n$とおく。
このとき、$A_n \geqq 10^{10}$を満たす最小の
$n$は$\boxed{ア}$である。
ただし、$\log_2 10=3.3219$とする。
$2025$年立教大学理学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第3問〜3次関数のグラフと直線の共有点の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$k$を実数とする。
$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+1$に対して、
座標平面上の曲線$C$を$C:y=f(x)$とする。
また、$C$上の点$P(1,1)$を通り、
傾きが$k$である直線を$\ell$とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ。
(2)$f(x)$の導関数$f'(x)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極値を求めよ。
また、そのときの$x$の値を求めよ。
(4)$\ell$と$C$がちょうど$2$個の共有点を
もつような$k$の値を求めよ。
(5)$\ell$と$C$が異なる$3$個の共有点をもつような
$k$の値の範囲を求めよ。
(6)(5)のとき、異なる$3$個の共有点の$y$座標を
小さい方から順に$y_1,y_2,y_3$とする。
このとき、
比の等式$(y_2-y_1):(y_3-y_2)=1:2$を
満たすような$k$の値を求めよ。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$k$を実数とする。
$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+1$に対して、
座標平面上の曲線$C$を$C:y=f(x)$とする。
また、$C$上の点$P(1,1)$を通り、
傾きが$k$である直線を$\ell$とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ。
(2)$f(x)$の導関数$f'(x)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極値を求めよ。
また、そのときの$x$の値を求めよ。
(4)$\ell$と$C$がちょうど$2$個の共有点を
もつような$k$の値を求めよ。
(5)$\ell$と$C$が異なる$3$個の共有点をもつような
$k$の値の範囲を求めよ。
(6)(5)のとき、異なる$3$個の共有点の$y$座標を
小さい方から順に$y_1,y_2,y_3$とする。
このとき、
比の等式$(y_2-y_1):(y_3-y_2)=1:2$を
満たすような$k$の値を求めよ。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第2問〜2点の位置関係と三角関数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$p,q$を正の実数とする。
原点を$O$とする座標平面上に
点$A(1,0)$、点$P\left(p,\dfrac{1}{p}\right)$,点$Q\left(q,\dfrac{2}{q}\right)$がある。
$\angle AOP=\alpha,\angle AOQ=\beta$とおき、
$P,Q$は$\alpha \lt \beta$を満たしながら動くものとする。
三角形$OPQ$の面積を$S$とし、
また、$T=\tan(\beta-\alpha)$とおく。
(1)$\cos\alpha,\sin\alpha$をそれぞれ$p$を用いて表せ。
また、$\cos\beta,\sin\beta$をそれぞれ$q$を用いて表せ。
(2)$T$を$p,q$を用いて表せ。
(3)$S$を$p,q$を用いて表せ。
(4)$t=pq$とおく。$\dfrac{S}{T}$を$t$を用いて表せ。
(5)$\dfrac{S}{T}$の最小値を求めよ。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{2}$
$p,q$を正の実数とする。
原点を$O$とする座標平面上に
点$A(1,0)$、点$P\left(p,\dfrac{1}{p}\right)$,点$Q\left(q,\dfrac{2}{q}\right)$がある。
$\angle AOP=\alpha,\angle AOQ=\beta$とおき、
$P,Q$は$\alpha \lt \beta$を満たしながら動くものとする。
三角形$OPQ$の面積を$S$とし、
また、$T=\tan(\beta-\alpha)$とおく。
(1)$\cos\alpha,\sin\alpha$をそれぞれ$p$を用いて表せ。
また、$\cos\beta,\sin\beta$をそれぞれ$q$を用いて表せ。
(2)$T$を$p,q$を用いて表せ。
(3)$S$を$p,q$を用いて表せ。
(4)$t=pq$とおく。$\dfrac{S}{T}$を$t$を用いて表せ。
(5)$\dfrac{S}{T}$の最小値を求めよ。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(6)〜2つのベクトルの両方に垂直なベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(6)空間のベクトル$\vec{ p}=(x,y,z)$は
$\vec{b}=(0,3,2)$の両方に垂直であり、
$\vec{\vert p \vert}=7$かつ$z \gt 0$を
満たしている。
このとき、$\vec{p}=(\boxed{ク},\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(6)空間のベクトル$\vec{ p}=(x,y,z)$は
$\vec{b}=(0,3,2)$の両方に垂直であり、
$\vec{\vert p \vert}=7$かつ$z \gt 0$を
満たしている。
このとき、$\vec{p}=(\boxed{ク},\boxed{ケ},\boxed{コ})$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(5)〜絶対値の付いた関数の定積分の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(5)定積分$\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\vert x-1 \vert dx$
の値は$\boxed{キ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(5)定積分$\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\vert x-1 \vert dx$
の値は$\boxed{キ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(4)〜2直線が1点で交わる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)実数$a$は定数とする。
座標平面上の$2$つの直線$(a+1)x+ay=1$
$ax+(a+2)y=2$がただ$1$つの交点を持つための
$a$の条件は$\boxed{カ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(4)実数$a$は定数とする。
座標平面上の$2$つの直線$(a+1)x+ay=1$
$ax+(a+2)y=2$がただ$1$つの交点を持つための
$a$の条件は$\boxed{カ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(3)〜等差中項と等比中項
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)$x,y,z$は実数であり、$x\lt y$を満たすとする。
$3$つの数$3,x,y$がこの順に等差数列となり、
さらに$4$つの数$4,x,y,z$がこの順に
等差数列となるとき、
$x=\boxed{ウ}、\boxed{エ}、\boxed{オ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)$x,y,z$は実数であり、$x\lt y$を満たすとする。
$3$つの数$3,x,y$がこの順に等差数列となり、
さらに$4$つの数$4,x,y,z$がこの順に
等差数列となるとき、
$x=\boxed{ウ}、\boxed{エ}、\boxed{オ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(2)〜順列と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)赤玉$3$個と白玉$4$個を無作為に$1$列に
並べるとき、
白玉が両端にある確率は$\boxed{イ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)赤玉$3$個と白玉$4$個を無作為に$1$列に
並べるとき、
白玉が両端にある確率は$\boxed{イ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(1)〜指数不等式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$2^{1-3x} \geqq \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^x$を満たす
実数$x$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$2^{1-3x} \geqq \left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^x$を満たす
実数$x$の値の範囲は$\boxed{ア}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第5問〜空間における平面と平面の交線
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{5}$
座標平面の原点$O$を中心とする半径$1$の
球面を$C$、点$M(4,0,0)$を中心とする
半径$2$の球面上を$D$とする。
(1)$p,q$を実数とする。
$xy$平面上の直線$y=px+q$は、
球面$C$と$xy$平面が交わってできる円と
点$A_1$で接し、球面$D$と$xy$平面が交わって
できる円と点$A_2$で接し、かつ
$0 \lt p 1$を満たすとする。$p$と$q$の値を求めよ。
(2)$r,s$を実数とする。
$zx$平面上の直線$z=rx+s$は、球面$C$と
$zx$平面が交わってできる円と点$B_1$で接し、
球面$D$と$zx$平面が交わってできる円と点$B_2$で
接し、かつ、$r \lt -1$を満たすとする。
$r$と$s$の値を求めよ。
以下、点$E$は$\overrightarrow{ A_1 E }=(0,0,1)$を満たすとし、
$3$点$A_1,A_2,E$を通る平面を$\alpha$とする。
また、点$F$は$\overrightarrow{ B_1 E }=(0,1,0)$を満たすとし、
$3$点$B_1,B_2,F$を通る平面を$\beta$とする。
$\alpha$と$\beta$が交わってできる直線を
$\ell$とし、$\ell$と$xy$平面の交点を
$G,\ell$と$zx$平面の交点を$H$とする。
(3)$G$の座標を求めよ。
(4)$\ell$上の点$T$を、実数$t$を用いて
$\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OG}+t\overrightarrow{OH}$と表す。
$\triangle OMT$の面積が最小となる$t$の値の求めよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第4問〜指数不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第3問〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
予備校講師のストライキはありなのか【賛否両論大揉め中】
単元：
#大学入試過去問(数学)#情報Ⅰ(高校生)#全統模試(河合塾)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#模試解説・過去問解説#【河合塾】全統共通テスト模試
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
緊急速報！予備校業界を揺るがすストライキ騒動で、人気講師が炎上する事態に！
YouTubeチャンネル「Morite2 English Channel」で、河合塾講師による異例のストライキに関する動画が投稿され、大きな波紋を呼んでいる。今回の騒動では、人気予備校講師である荻野（おぎの）先生が、SNS（X）へのある投稿をきっかけに「炎上」してしまった！
荻野先生は、「生徒に迷惑をかけたらダメ」という、予備校講師や生徒の立場からすれば当然とも言える意見を投稿した。しかしこれに対し、多くの社会人や労働者の目線を持つ人々から、「ストライキは迷惑をかけなきゃ意味がない」といった批判が殺到したのだ。ストライキは本来、労働者の権利であり、雇用主に圧力をかけるために消費者側に迷惑がかかるのが目的だという考え方だ。
これは、教育業界の「予備校講師目線」と、一般的な「労働者目線」という、全く異なる立場の意見が激しく衝突した結果だ。教育業界では、ストライキはすべきではないという観念があるため、そもそもストライキを考えたこともない講師が多い。
今回のストライキは、ベテラン講師のコマ単価が長年変わらず、若手講師の賃金も低いという労働問題が背景にある。しかし、ベテラン講師から見て「安い」と感じる年収（500〜600万円程度）でも、若手から見れば「高い」と感じられるため、世代間で意見の対立が生まれている。
ストライキをした講師は、後輩の若い世代のためにも声を上げている可能性がある。しかし、予備校講師は業務委託契約が多く、会社員と違って簡単に契約を切られるリスクがあるため、ストライキをするにはそれなりの覚悟が必要だと指摘されている。
森鉄先生は、荻野先生と同じく「自分ならストライキはしない」としつつも、「する権利はある」という見解を示している。日本では、人に迷惑をかけないことを前提とする文化があるため、今回の行動は「日本の文化を逸脱した」と捉える人もいるのではないかと分析されている。
このストライキ論争は、「日本の予備校講師は労働者なのか？」「教育にストライキは許されるのか？」という根本的な問題を投げかけている。
この激しい議論の行方から、目が離せない！
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緊急速報！予備校業界を揺るがすストライキ騒動で、人気講師が炎上する事態に！
YouTubeチャンネル「Morite2 English Channel」で、河合塾講師による異例のストライキに関する動画が投稿され、大きな波紋を呼んでいる。今回の騒動では、人気予備校講師である荻野（おぎの）先生が、SNS（X）へのある投稿をきっかけに「炎上」してしまった！
荻野先生は、「生徒に迷惑をかけたらダメ」という、予備校講師や生徒の立場からすれば当然とも言える意見を投稿した。しかしこれに対し、多くの社会人や労働者の目線を持つ人々から、「ストライキは迷惑をかけなきゃ意味がない」といった批判が殺到したのだ。ストライキは本来、労働者の権利であり、雇用主に圧力をかけるために消費者側に迷惑がかかるのが目的だという考え方だ。
これは、教育業界の「予備校講師目線」と、一般的な「労働者目線」という、全く異なる立場の意見が激しく衝突した結果だ。教育業界では、ストライキはすべきではないという観念があるため、そもそもストライキを考えたこともない講師が多い。
今回のストライキは、ベテラン講師のコマ単価が長年変わらず、若手講師の賃金も低いという労働問題が背景にある。しかし、ベテラン講師から見て「安い」と感じる年収（500〜600万円程度）でも、若手から見れば「高い」と感じられるため、世代間で意見の対立が生まれている。
ストライキをした講師は、後輩の若い世代のためにも声を上げている可能性がある。しかし、予備校講師は業務委託契約が多く、会社員と違って簡単に契約を切られるリスクがあるため、ストライキをするにはそれなりの覚悟が必要だと指摘されている。
森鉄先生は、荻野先生と同じく「自分ならストライキはしない」としつつも、「する権利はある」という見解を示している。日本では、人に迷惑をかけないことを前提とする文化があるため、今回の行動は「日本の文化を逸脱した」と捉える人もいるのではないかと分析されている。
このストライキ論争は、「日本の予備校講師は労働者なのか？」「教育にストライキは許されるのか？」という根本的な問題を投げかけている。
この激しい議論の行方から、目が離せない！
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(1)〜三角形の面積と線分の長さ
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025文系第1問〜放物線が囲む部分の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025理系第4問〜コインを裏返す操作の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
コイン$①,\cdots,⑥$が下図のようにマス目の中に
置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び、
選んだコインはそのままにし、
そのコインのあるマス目と
辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す
操作を考える。
例えば、①を選べば、②,④を裏返し、
②を選べば、①,③,⑤を繰り返す。
最初はすべてのコインが
表向きに置かれていたとする。
正の整数$n$に対し、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きである確率$p_n$とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)$p_2$を求めよ。
(2)コイン$①,\cdots,⑥$をグループ$A,B$に
分けることによって、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きであるための必要十分条件を
次の形に表すことができる。
図は動画内参照
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
コイン$①,\cdots,⑥$が下図のようにマス目の中に
置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び、
選んだコインはそのままにし、
そのコインのあるマス目と
辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す
操作を考える。
例えば、①を選べば、②,④を裏返し、
②を選べば、①,③,⑤を繰り返す。
最初はすべてのコインが
表向きに置かれていたとする。
正の整数$n$に対し、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きである確率$p_n$とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)$p_2$を求めよ。
(2)コイン$①,\cdots,⑥$をグループ$A,B$に
分けることによって、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きであるための必要十分条件を
次の形に表すことができる。
図は動画内参照
$2025$年名古屋大学理系過去問題
河合塾講師のストで荻野先生が炎上 #shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#情報Ⅰ(高校生)#全統模試(河合塾)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#模試解説・過去問解説#【河合塾】全統共通テスト模試
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
緊急速報！河合塾講師のストライキ問題が飛び火！なぜかあの予備校講師が**炎上**する事態に！
人気YouTubeチャンネル「Morite2 English Channel」が、先日投稿した**塾講師のストライキ動画**に寄せられたコメントが波紋を呼んでいる。なんと、予備校の**荻野（おぎの）先生**が「炎上」しているというのだ！
炎上のきっかけは、荻野先生がSNS（X）で「**生徒に迷惑をかけたらダメ**」と投稿したこと。生徒にとっては授業をしないことは迷惑がかかる、という予備校講師目線、生徒目線からの当然の意見だった。授業が中断されれば進度が遅れる可能性もあるからだ。
ところがこれに対し、「**ストライキは迷惑をかけなきゃ意味がない**」といったコメントが殺到！労働者として生きる社会人から見れば、消費者側に迷惑がかかるのが「スト」なのだ、という意見がぶつけられた形だ。
荻野先生からすると、「あんたたちの目線で予備校や教育業界を語るな」ということだろう。これは、予備校講師目線と、労働者（社会人）目線という、**目線が全く違う**ために、折り合いがつくわけがない状況だという。
この動画では、交渉や条件という意味を持つ重要な単語「**terms**」について、「**come to terms**（折り合いがつく）」という形で出題されやすいと解説し、受験生への学習アドバイスも添えられている。
このストライキ論争、あなたはどちらの意見に共感する？予備校業界を揺るがす議論から目が離せない！
この動画を見る
緊急速報！河合塾講師のストライキ問題が飛び火！なぜかあの予備校講師が**炎上**する事態に！
人気YouTubeチャンネル「Morite2 English Channel」が、先日投稿した**塾講師のストライキ動画**に寄せられたコメントが波紋を呼んでいる。なんと、予備校の**荻野（おぎの）先生**が「炎上」しているというのだ！
炎上のきっかけは、荻野先生がSNS（X）で「**生徒に迷惑をかけたらダメ**」と投稿したこと。生徒にとっては授業をしないことは迷惑がかかる、という予備校講師目線、生徒目線からの当然の意見だった。授業が中断されれば進度が遅れる可能性もあるからだ。
ところがこれに対し、「**ストライキは迷惑をかけなきゃ意味がない**」といったコメントが殺到！労働者として生きる社会人から見れば、消費者側に迷惑がかかるのが「スト」なのだ、という意見がぶつけられた形だ。
荻野先生からすると、「あんたたちの目線で予備校や教育業界を語るな」ということだろう。これは、予備校講師目線と、労働者（社会人）目線という、**目線が全く違う**ために、折り合いがつくわけがない状況だという。
この動画では、交渉や条件という意味を持つ重要な単語「**terms**」について、「**come to terms**（折り合いがつく）」という形で出題されやすいと解説し、受験生への学習アドバイスも添えられている。
このストライキ論争、あなたはどちらの意見に共感する？予備校業界を揺るがす議論から目が離せない！
福田の数学〜名古屋大学2025理系第3問〜球の通過範囲の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
河合塾で初のストライキ【元講師が詳細解説】
単元：
#大学入試過去問(数学)#情報Ⅰ(高校生)#全統模試(河合塾)#英語(高校生)#大学入試過去問(英語)#全統模試(河合塾)#数学(高校生)#模試解説・過去問解説#【河合塾】全統共通テスト模試
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
大手の河合塾で異例の**ストライキ**が発生！元講師がその詳細を解説する激震の内容だ！
予備校・学習塾業界で大手としては**初めて**となる授業中のストライキが実施された！ 今回ストライキを決行したのは、河合塾ユニオンの委員長で、物理を担当する竹達さん（講師歴38年目のベテラン）だという。ストライキは授業全てではなく、90分間の授業の**最後の15分間**に限定して行われる予定だ！
ストライキの背景には、ベテラン講師の**コマ単価が10年以上変わっていない**現状がある。竹達委員長は、コマ単価が約1万7,000円という状況が続き、年収は約500万円から600万円程度だと明かしている。時給に換算すると1万円を超えると見ることもできるが、コマがなければ生活できない、安定しない職業であり、会社からの手当も少ないため、これを高いと取るか低いと取るかは人によると述べられている。
ユニオン側が要求しているのは主に3点だ。
1. **賃上げの実現**：1分あたり35円（1コマ90分で3,150円）の賃上げ。これは時給換算で2,100円の賃上げとなり、この業界では「強欲な申し出」とも聞こえるが、講師は授業準備や採点、生徒の質問対応、保護者への連絡などの業務を無給で行っており、長時間拘束されている点を訴えている。
2. **私学共済への加入**：業務委託契約の講師でも私学共済に加入できるようにすること。
3. **無期転換権の承認**：業務委託契約の講師にも5年間で無期転換を認めるよう要求。
ユニオン側は、物価高騰で実質賃金が下がる中、賃上げ要求を河合塾に一蹴されたため、今回のストライキを決行したとしている。
委員長は、「生徒に迷惑をかけたくない」という思いから授業の最後の15分間に限定したストを実施。ストライキは労働者の基本的な権利であり、業界の多くの場所で若者が疲弊している現状を見て、**「塾講師も労働者である」**ことを示すために、あえて最も象徴的な「スト」の権利を発揮し、他の塾講師がストライキを起こす際のハードルを下げる狙いがあるという。
これに対し河合塾側は、「要求項目に対する弊方の見解が理解いただけず残念」としつつも、適法に行われるストライキは受け入れ、**別の講師による補填授業**（90分間まるまる授業）を用意することで対応するとしている。
この慰霊のストライキが、予備校業界の労働環境をどう変えるのか、結果に注目が集まっている！
この動画を見る
大手の河合塾で異例の**ストライキ**が発生！元講師がその詳細を解説する激震の内容だ！
予備校・学習塾業界で大手としては**初めて**となる授業中のストライキが実施された！ 今回ストライキを決行したのは、河合塾ユニオンの委員長で、物理を担当する竹達さん（講師歴38年目のベテラン）だという。ストライキは授業全てではなく、90分間の授業の**最後の15分間**に限定して行われる予定だ！
ストライキの背景には、ベテラン講師の**コマ単価が10年以上変わっていない**現状がある。竹達委員長は、コマ単価が約1万7,000円という状況が続き、年収は約500万円から600万円程度だと明かしている。時給に換算すると1万円を超えると見ることもできるが、コマがなければ生活できない、安定しない職業であり、会社からの手当も少ないため、これを高いと取るか低いと取るかは人によると述べられている。
ユニオン側が要求しているのは主に3点だ。
1. **賃上げの実現**：1分あたり35円（1コマ90分で3,150円）の賃上げ。これは時給換算で2,100円の賃上げとなり、この業界では「強欲な申し出」とも聞こえるが、講師は授業準備や採点、生徒の質問対応、保護者への連絡などの業務を無給で行っており、長時間拘束されている点を訴えている。
2. **私学共済への加入**：業務委託契約の講師でも私学共済に加入できるようにすること。
3. **無期転換権の承認**：業務委託契約の講師にも5年間で無期転換を認めるよう要求。
ユニオン側は、物価高騰で実質賃金が下がる中、賃上げ要求を河合塾に一蹴されたため、今回のストライキを決行したとしている。
委員長は、「生徒に迷惑をかけたくない」という思いから授業の最後の15分間に限定したストを実施。ストライキは労働者の基本的な権利であり、業界の多くの場所で若者が疲弊している現状を見て、**「塾講師も労働者である」**ことを示すために、あえて最も象徴的な「スト」の権利を発揮し、他の塾講師がストライキを起こす際のハードルを下げる狙いがあるという。
これに対し河合塾側は、「要求項目に対する弊方の見解が理解いただけず残念」としつつも、適法に行われるストライキは受け入れ、**別の講師による補填授業**（90分間まるまる授業）を用意することで対応するとしている。
この慰霊のストライキが、予備校業界の労働環境をどう変えるのか、結果に注目が集まっている！
福田の数学〜名古屋大学2025理系第2問〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
整数$a,b,c$に対し次の条件を考える。
(＊)$ a\geqq b \geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$
以下の問いに答えよ。
(1)$c=24,25,26$それぞれの場合に
条件(＊)をみたす
整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
(2)$p$は$3$以上の素数、$n$は正の整数、
$c=4p^{2n}$とする。
このとき、条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$を
すべて求めよ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
整数$a,b,c$に対し次の条件を考える。
(＊)$ a\geqq b \geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$
以下の問いに答えよ。
(1)$c=24,25,26$それぞれの場合に
条件(＊)をみたす
整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
(2)$p$は$3$以上の素数、$n$は正の整数、
$c=4p^{2n}$とする。
このとき、条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$を
すべて求めよ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025理系第1問〜関数の増減と最大
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
(1)実数$x$を変数とする関数$f(x)$が導関数$f'(x)$および
第$2$次導関数$f''(x)$をもち、
すべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすとする。
さらに以下の極限値$a,b(a\lt b)$が存在すると仮定する。
$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f'(x)=a,\displaystyle \lim_{x\to\infty}f'(x)=b$
このとき、
$a\lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し、
関数$g(x)=cx-f(x)$の値を最大にする
$x=x_0$がただひとつ存在することを示せ。
(2)実数$x$を変数とする関数
$f(x)=\log \left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)$
はすべての$x$に対し$f''(x)\gt 0$をみたすことを示せ。
また、この$f$に対し小問(1)の極限値$a,b$を求めよ。
(3)小問(2)の関数$f$および極限値$a,b$を考える。
$a \lt c \lt b$をみたす任意の実数$c$に対し
小問(1)の$x_0$および$g(x_0)$を$c$で表せ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第5問〜分数関数のグラフと解の存在範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
この動画を見る
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第4問〜フィボナッチ数列と無限級数の和
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
数列$\{a_n\}$を
$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$
により定め、数列$\{b_n\}$を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める。
ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。
(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。
(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、
$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
数列$\{a_n\}$を
$a_1=a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n (n=1,2,3,\cdots)$
により定め、数列$\{b_n\}$を
$\tan b_n=\dfrac{1}{a_n}$
により定める。
ただし、$0\lt b_n \lt \dfrac{\pi}{2}$であるものとする。
(1)$n\geqq 2$に対して、$a_{n+1}a_{n-1}-{a_n}^2$を求めよ。
(2)$m\geqq 1$($m$は整数)に対して、
$a_{2ｍ}･\tan(b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ。
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} b_{2m+1}$を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第3問〜確率漸化式と無限級数の和
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第2問〜ねじれの位置にある直線上の2点ずつでできる四面体の体積の最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
空間の点$(0,0,1)$を通り
$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする
直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を
方向ベクトルとする直線を$m$とする。
(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。
また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。
このとき$P$と$Q$の座標、
および線分$PQ$の長さを求めよ。
(2)$\ell$上に$2$点
$A=(t,-t,1),$
$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$
があり、$m$上に$2$点
$C=(1,t,3,-2t),$
$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$
があるとする。ただし、$y$は実数とする。
四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。
$V(0)$を求めよ。
(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、
$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{2}$
空間の点$(0,0,1)$を通り
$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする
直線を$\ell$とし、点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を
方向ベクトルとする直線を$m$とする。
(1)$P$を$\ell$上の点とし、$Q$を$m$上の点とする。
また直線$PQ$は直線$\ell$と直線$m$に垂線であるとする。
このとき$P$と$Q$の座標、
および線分$PQ$の長さを求めよ。
(2)$\ell$上に$2$点
$A=(t,-t,1),$
$B(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$
があり、$m$上に$2$点
$C=(1,t,3,-2t),$
$D=(1,2+t<\cos t,-1-2t-2\cos t)$
があるとする。ただし、$y$は実数とする。
四面体$ABCD$の体積を$V(t)$とする。
$V(0)$を求めよ。
(3)$t$が$t\geqq 0$を動くとき、
$V(t)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第4問〜ベクトル方程式と領域と角を2等分するベクトル
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第3問〜定積分で表された方程式の解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第2問〜円と円の交点を通る直線に対称な点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第1問〜正の約数の個数と関数の最大値
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題