大学入試過去問(数学)
大学入試過去問(数学)
大学入試問題#524「何も考えず式変形」 福島県立医科大学(2018) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#福島県立医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{e} (log\ x-x)^2 dx$
出典：2018年福島県立医科大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{1}^{e} (log\ x-x)^2 dx$
出典：2018年福島県立医科大学 入試問題
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第２問〜反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ nを自然数とする。A君とB君の2人が以下の試合Tをnセット行い、それぞれが得点をためていくとする。
試合T：2人で腕ずもうを繰り返し行う。毎回、A君, B君のどちらも勝つ確率は$\frac{1}{2}$ずつである。どちらかが先に2勝したら、腕ずもうを行うのをやめる。2勝0敗の者は2点を、2勝1敗の者は1点を得る。2勝しなかった者の得点は0点である。
A君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$a_n$とし、B君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$b_n$とする。
(1)n=1とする。$a_1$=2である確率は$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$a_1$=1である確率は$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)n≧4とする。試合Tをnセット行ううち、A君が2点を得るのがちょうど2セット、かつ1点を得るのがちょうど2セットである確率は$\frac{\boxed{\ \ う\ \ }}{\boxed{\ \ え\ \ }}$である。
(3)n≧2とする。$a_n$=$n$+2かつ$b_n$=0である確率は$\frac{\boxed{\ \ お\ \ }}{\boxed{\ \ か\ \ }}$である。
(4)$a_n$=2である確率は$\frac{\boxed{\ \ き\ \ }}{\boxed{\ \ く\ \ }}$である。
(5)n=4とする。$a_4$＞$b_4$である確率は$\frac{\boxed{\ \ け\ \ }}{\boxed{\ \ こ\ \ }}$である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
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$\Large\boxed{2}$ nを自然数とする。A君とB君の2人が以下の試合Tをnセット行い、それぞれが得点をためていくとする。
試合T：2人で腕ずもうを繰り返し行う。毎回、A君, B君のどちらも勝つ確率は$\frac{1}{2}$ずつである。どちらかが先に2勝したら、腕ずもうを行うのをやめる。2勝0敗の者は2点を、2勝1敗の者は1点を得る。2勝しなかった者の得点は0点である。
A君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$a_n$とし、B君が1セット目からnセットまでに得た点の合計を$b_n$とする。
(1)n=1とする。$a_1$=2である確率は$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$a_1$=1である確率は$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)n≧4とする。試合Tをnセット行ううち、A君が2点を得るのがちょうど2セット、かつ1点を得るのがちょうど2セットである確率は$\frac{\boxed{\ \ う\ \ }}{\boxed{\ \ え\ \ }}$である。
(3)n≧2とする。$a_n$=$n$+2かつ$b_n$=0である確率は$\frac{\boxed{\ \ お\ \ }}{\boxed{\ \ か\ \ }}$である。
(4)$a_n$=2である確率は$\frac{\boxed{\ \ き\ \ }}{\boxed{\ \ く\ \ }}$である。
(5)n=4とする。$a_4$＞$b_4$である確率は$\frac{\boxed{\ \ け\ \ }}{\boxed{\ \ こ\ \ }}$である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
大学入試問題#523「落とせない積分」 信州大学(2001) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2+2}{x+2} dx$
出典：2001年信州大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1} \displaystyle \frac{x^2+2}{x+2} dx$
出典：2001年信州大学 入試問題
【整数問題】考えられる候補は何パターンだろうか【慶應義塾大学】【数学 入試問題】
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$6a^{3}+11a^{2}b^{2}c+3ab^{3}c$=6270を満たす(a,b,c)の組をすべて求めよ。
ただし、a,b,cはそれぞれ2以上の整数とする。
慶應義塾大過去問
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$6a^{3}+11a^{2}b^{2}c+3ab^{3}c$=6270を満たす(a,b,c)の組をすべて求めよ。
ただし、a,b,cはそれぞれ2以上の整数とする。
慶應義塾大過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第１問(3)〜曲線と直線で囲まれた面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#微分とその応用#積分とその応用#微分法#接線と法線・平均値の定理#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (3)曲線y=$x$$\log(x^2+1)$のx≧0の部分をCとすると、点(1, log2)におけるCの接線lの方程式はy=$\boxed{\ \ く\ \ }$である。
また、曲線Cと直線l、およびy軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ け\ \ }$である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (3)曲線y=$x$$\log(x^2+1)$のx≧0の部分をCとすると、点(1, log2)におけるCの接線lの方程式はy=$\boxed{\ \ く\ \ }$である。
また、曲線Cと直線l、およびy軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ け\ \ }$である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
大学入試問題#522「これ初見はきつそう」 信州大学2001 #面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#信州大学#数C
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$
曲線
$x=\cos^3\theta,\ y=\sin^3\theta$で囲まれた面積を求めよ
出典：2001年信州大学後期 入試問題
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$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$
曲線
$x=\cos^3\theta,\ y=\sin^3\theta$で囲まれた面積を求めよ
出典：2001年信州大学後期 入試問題
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第１問(2)〜虚数が係数の2次方程式の解
単元：
#大学入試過去問(数学)#２次関数#複素数平面#2次方程式と2次不等式#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (2)式4$z^2$+4$z$-$\sqrt 3 i$=0を満たす複素数zは2つある。それらを$\alpha$,$\beta$とする。ただし、$i$は虚数単位である。$\alpha$,$\beta$に対応する複素数平面上の点をそれぞれP,Qとすると、線分PQの長さは$\boxed{\ \ え\ \ }$であり、PQの中点の座標は($\boxed{\ \ お\ \ }$, $\boxed{\ \ か\ \ }$)である。
また線分PQの垂直二等分線の傾きは$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (2)式4$z^2$+4$z$-$\sqrt 3 i$=0を満たす複素数zは2つある。それらを$\alpha$,$\beta$とする。ただし、$i$は虚数単位である。$\alpha$,$\beta$に対応する複素数平面上の点をそれぞれP,Qとすると、線分PQの長さは$\boxed{\ \ え\ \ }$であり、PQの中点の座標は($\boxed{\ \ お\ \ }$, $\boxed{\ \ か\ \ }$)である。
また線分PQの垂直二等分線の傾きは$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
大学入試問題#521「部分積分もあるかもしれない」 信州大学(2004) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{1}^{2} (x+2)\sqrt{ 4-x^2 }\ dx$
出典：2004年信州大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{1}^{2} (x+2)\sqrt{ 4-x^2 }\ dx$
出典：2004年信州大学 入試問題
すべてを○けろ！！久留米大附設
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$a,b,c,d,e$は正の数
$ab=1,bc=2,cd=3,de=4,ea=5$のとき
$a=?$
久留米大学付設高等学校
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$a,b,c,d,e$は正の数
$ab=1,bc=2,cd=3,de=4,ea=5$のとき
$a=?$
久留米大学付設高等学校
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第１問(1)〜図形の証明
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#平面上のベクトル#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#図形と方程式#恒等式・等式・不等式の証明#点と直線#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (1)三角形ABCにおいて辺BCを4：3に内分する点をDとするとき、等式
$\boxed{\ \ あ\ \ }$$AB^2$+$\boxed{\ \ い\ \ }$$AC^2$=$AD^2$+$\boxed{\ \ う\ \ }$$BD^2$
が成り立つ。
203慶應義塾大学医学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (1)三角形ABCにおいて辺BCを4：3に内分する点をDとするとき、等式
$\boxed{\ \ あ\ \ }$$AB^2$+$\boxed{\ \ い\ \ }$$AC^2$=$AD^2$+$\boxed{\ \ う\ \ }$$BD^2$
が成り立つ。
203慶應義塾大学医学部過去問
大学入試問題#520「これは綺麗や～～」 東北大学(2023) #数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_1=S$：実数
$(n+2)a_{n+1}=n\ a_n+2$
（1）
$a_n$を求めよ
（2）
$\displaystyle \sum_{n=1}^m a_n=0$のとき$S$を$m$で表せ
出典：2023年東北大学 入試問題
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$a_1=S$：実数
$(n+2)a_{n+1}=n\ a_n+2$
（1）
$a_n$を求めよ
（2）
$\displaystyle \sum_{n=1}^m a_n=0$のとき$S$を$m$で表せ
出典：2023年東北大学 入試問題
福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第５問〜回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ xyz空間において、3点A(2,1,2), B(0,3,0), C(0,-3,0)を頂点とする三角形ABCを考える。以下の問いに答えよ。
(1)$\angle$BACを求めよ。
(2)0≦h≦2に対し、線分AB,ACと平面x=hとの交点をそれぞれP,Qとする。
点P,Qの座標を求めよ。
(3)0≦h≦2に対し、点(h,0,0)と線分PQの距離をhで表せ。ただし、点と線分の距離とは、点と線分上の点の距離の最小値である。
(4)三角形ABCをx軸の周りに1回転させ、そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ。
2023早稲田大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{5}$ xyz空間において、3点A(2,1,2), B(0,3,0), C(0,-3,0)を頂点とする三角形ABCを考える。以下の問いに答えよ。
(1)$\angle$BACを求めよ。
(2)0≦h≦2に対し、線分AB,ACと平面x=hとの交点をそれぞれP,Qとする。
点P,Qの座標を求めよ。
(3)0≦h≦2に対し、点(h,0,0)と線分PQの距離をhで表せ。ただし、点と線分の距離とは、点と線分上の点の距離の最小値である。
(4)三角形ABCをx軸の周りに1回転させ、そのときに三角形が通過する点全体からなる立体の体積を求めよ。
2023早稲田大学理工学部過去問
千葉大 整数解を持つ条件
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
Pは素数であり,
$P^2+(5-P^2)x-3P=0$が整数解をもつのは$P=2$に限ることを示せ.
千葉大過去問
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Pは素数であり,
$P^2+(5-P^2)x-3P=0$が整数解をもつのは$P=2$に限ることを示せ.
千葉大過去問
福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第４問〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#微分とその応用#複素数平面#図形への応用#色々な関数の導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 複素数平面上に2点A(1), B($\sqrt 3 i$)がある。ただし、$i$は虚数単位である。
複素数zに対し$w$=$\frac{3}{z}$で表される点$w$を考える。以下の問いに答えよ。
(1)z=1, $\frac{1+\sqrt 3i}{2}$, $\sqrt 3 i$のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2)実数tに対し、z=(1-t)+t$\sqrt 3 i$とする。$\alpha$=$\frac{3-\sqrt 3 i}{2}$について、$\alpha z$の実部を求め、さらに($w-\alpha$)($\bar{w-\alpha}$)を求めよ。
(3)wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 複素数平面上に2点A(1), B($\sqrt 3 i$)がある。ただし、$i$は虚数単位である。
複素数zに対し$w$=$\frac{3}{z}$で表される点$w$を考える。以下の問いに答えよ。
(1)z=1, $\frac{1+\sqrt 3i}{2}$, $\sqrt 3 i$のときのwをそれぞれ計算せよ。
(2)実数tに対し、z=(1-t)+t$\sqrt 3 i$とする。$\alpha$=$\frac{3-\sqrt 3 i}{2}$について、$\alpha z$の実部を求め、さらに($w-\alpha$)($\bar{w-\alpha}$)を求めよ。
(3)wと原点を結んでできる線分Lを考える。zが線分AB上を動くとき、線分Lが通過する範囲を図示し、その面積を求めよ。
解を出さなくても解ける！ 難関高校受験するのなら絶対に知って欲しい 解と〇〇の関係 明大明治
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$x^2-4x+1=0$の2つの解をa,bとするとき
$a^{10}b^8 + a^6b^8 - 3a^5b^5 =?$
明治大学付属明治高等学校
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$x^2-4x+1=0$の2つの解をa,bとするとき
$a^{10}b^8 + a^6b^8 - 3a^5b^5 =?$
明治大学付属明治高等学校
福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第３問〜逆関数とで囲まれる面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 実数xに対して関数f(x)をf(x)=$e^{x-2}$で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=$\log x$+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ$C_1$,$C_2$とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと$C_1$が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと$C_1$との2つの交点のx座標を$\alpha$, $\beta$とする。ただし$\alpha$＜$\beta$とする。
直線y=xと$C_1$,$C_2$をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を(3)の$\alpha$と$\beta$の多項式で表せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{3}$ 実数xに対して関数f(x)をf(x)=$e^{x-2}$で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=$\log x$+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ$C_1$,$C_2$とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと$C_1$が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと$C_1$との2つの交点のx座標を$\alpha$, $\beta$とする。ただし$\alpha$＜$\beta$とする。
直線y=xと$C_1$,$C_2$をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を(3)の$\alpha$と$\beta$の多項式で表せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
大学入試問題#517「どこでも解説されてる良問」 京都大学(2018) #整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$n^3-yn+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
出典：2018年京都大学 入試問題
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$n^3-yn+9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ。
出典：2018年京都大学 入試問題
福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第２問〜玉を取り出す確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し、取り出した玉を袋に戻した上で、取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す。以下の問いに答えよ。
(1)初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を$P_n(k)$(k=0,1,...,n)とする。
$P_1(k)$と$P_2(k)$を求め、さらに$P_n(k)$を求めよ。
(2)初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb個(r≧1, b≧1)入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率$Q_n(k)$(k=1,2,..., n)とする。$Q_n(k)$はkによらないことを示せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{2}$ 赤玉と黒玉が入っている袋の中から無作為に玉を1つ取り出し、取り出した玉を袋に戻した上で、取り出した玉と同じ色の玉をもう1つ袋に入れる操作を繰り返す。以下の問いに答えよ。
(1)初めに袋の中に赤玉が1個、黒玉が1個入っているとする。n回の操作を行ったとき、赤玉をちょうどk回取り出す確率を$P_n(k)$(k=0,1,...,n)とする。
$P_1(k)$と$P_2(k)$を求め、さらに$P_n(k)$を求めよ。
(2)初めに袋の中に赤玉がr個、黒玉がb個(r≧1, b≧1)入っているとする。n回の操作を行ったとき、k回目に赤玉が、それ以外ではすべて黒玉が取り出される確率$Q_n(k)$(k=1,2,..., n)とする。$Q_n(k)$はkによらないことを示せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
大学入試問題#516「ちょっとした公式で一撃！」 高知工科大学(2022) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#高知工科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle \frac{dx}{\tan^2x\ \cos^2x}$
出典：2022年高知工科大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \displaystyle \frac{dx}{\tan^2x\ \cos^2x}$
出典：2022年高知工科大学 入試問題
千葉大 整数問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
Pは奇数の素数である.
$N=(P+1)(P+3)(P+5)$
(1)Nは48の倍数であることを示せ.
(2)Nが144の倍数となるPを小さい順に5つ答えよ.
千葉大過去問
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Pは奇数の素数である.
$N=(P+1)(P+3)(P+5)$
(1)Nは48の倍数であることを示せ.
(2)Nが144の倍数となるPを小さい順に5つ答えよ.
千葉大過去問
福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第１問〜整式の割り算の商に関する論証
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ nを自然数として、整式$(3x+2)^n$を$x^2$+$x$+1で割った余りを$a_nx$+$b_n$とおく。
(1)$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を、それぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、$a_n$と$b_n$は7で割り切れないことを示せ。
(3)$a_n$と$b_n$を$a_{n+1}$と$b_{n+1}$で表し、全てのnに対して、2つの整数$a_n$と$b_n$は互いに素であることを示せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ nを自然数として、整式$(3x+2)^n$を$x^2$+$x$+1で割った余りを$a_nx$+$b_n$とおく。
(1)$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を、それぞれ$a_n$と$b_n$を用いて表せ。
(2)全てのnに対して、$a_n$と$b_n$は7で割り切れないことを示せ。
(3)$a_n$と$b_n$を$a_{n+1}$と$b_{n+1}$で表し、全てのnに対して、2つの整数$a_n$と$b_n$は互いに素であることを示せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
大学入試問題#515「この問題は結構有名？」 名古屋大学(2005) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{x\ \sin^3x}{4-\cos^2x} dx$
出典：2005年名古屋大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{\pi} \displaystyle \frac{x\ \sin^3x}{4-\cos^2x} dx$
出典：2005年名古屋大学 入試問題
福田の数学〜慶應義塾大学2023年薬学部第３問〜データの分析と相関係数
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ ある病院に入院中の患者20人について、ある検査値と、薬Xと薬Yの使用量との関係について調べた。その結果をまとめたものが以下の表であり、斜線は薬を使用していないことを示す。
(1)薬Xのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ネ\ \ }$(mg/dL)、薬Yのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ノ\ \ }$(mg/dL)である。
したがって、薬Xと薬Yのどちらも使用していない患者の検査値の平均と比べ、薬Xのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ハ\ \ }$、薬Yのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$。
(2)薬Xと薬Yを併用している患者の検査値の第1四分位数は$\boxed{\ \ フ\ \ }$(mg/dL)、第3四分位数は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }$(mg/dL)である。
(3)薬Xの使用量と検査値との相関係数は、薬Xのみを使用している場合は0.78であり、薬Xと薬Yを併用している場合は$\boxed{\ \ ホ\ \ }$である。
よって薬Xと薬Yを併用すると、薬Xの使用量と検査値の相関係数が$\boxed{\ \ マ\ \ }$と考えられる。
なお下線部の0.78は、小数第3位を四捨五入した値である。
ただし、$\sqrt 2$=1.41, $\sqrt 5$=2.23, $\sqrt{30}$=5.48, $\sqrt{101}$=10.05として計算しなさい。
2023慶應義塾大学薬学部過去問
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$\Large\boxed{3}$ ある病院に入院中の患者20人について、ある検査値と、薬Xと薬Yの使用量との関係について調べた。その結果をまとめたものが以下の表であり、斜線は薬を使用していないことを示す。
(1)薬Xのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ネ\ \ }$(mg/dL)、薬Yのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ノ\ \ }$(mg/dL)である。
したがって、薬Xと薬Yのどちらも使用していない患者の検査値の平均と比べ、薬Xのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ハ\ \ }$、薬Yのみを使用している患者の検査値の平均値は$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$。
(2)薬Xと薬Yを併用している患者の検査値の第1四分位数は$\boxed{\ \ フ\ \ }$(mg/dL)、第3四分位数は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }$(mg/dL)である。
(3)薬Xの使用量と検査値との相関係数は、薬Xのみを使用している場合は0.78であり、薬Xと薬Yを併用している場合は$\boxed{\ \ ホ\ \ }$である。
よって薬Xと薬Yを併用すると、薬Xの使用量と検査値の相関係数が$\boxed{\ \ マ\ \ }$と考えられる。
なお下線部の0.78は、小数第3位を四捨五入した値である。
ただし、$\sqrt 2$=1.41, $\sqrt 5$=2.23, $\sqrt{30}$=5.48, $\sqrt{101}$=10.05として計算しなさい。
2023慶應義塾大学薬学部過去問
大学入試問題#514「困ったらz=x+yi？」 札幌医科大学(2022) #複素数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#札幌医科大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$|z+3i|=2|z|$
$|z+4i|=|z|$
を満たす複素数$z$をすべて求めよ
出典：2022年札幌医科大学 入試問題
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$|z+3i|=2|z|$
$|z+4i|=|z|$
を満たす複素数$z$をすべて求めよ
出典：2022年札幌医科大学 入試問題
福田の数学〜慶應義塾大学2023年薬学部第２問〜対称式もどきの表す点の動く領域
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 原点をOとするxy平面上に点A(1,-1)があり、点Bは$\overrightarrow{AB}$=(2$\cos\theta$, 2$\sin\theta$)(0≦θ≦2π)を満たす点である。Bの軌跡を境界線とする2つの領域のうち、点Aを含む領域を領域Cとする。ただし、領域Cは境界線を含む。
(1)点Bの軌跡の方程式は$\boxed{\ \ ナ\ \ }$である。
(2)点(x,y)がxy平面上のすべての点を動くとき、点(x-y,xy)がxy平面上で動く範囲は式$\boxed{\ \ ニ\ \ }$で表される領域である。
(3)点(x,y)が領域C上のすべての点を動くとき、点(x-y,xy)がxy平面上で動く領域を領域Dとする。
(i)領域Dを図示しなさい。ただし領域は斜線で示し、境界線となる式も図に記入すること。
(ii)領域Dの面積は$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。
2023慶應義塾大学薬学部過去問
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$\Large\boxed{2}$ 原点をOとするxy平面上に点A(1,-1)があり、点Bは$\overrightarrow{AB}$=(2$\cos\theta$, 2$\sin\theta$)(0≦θ≦2π)を満たす点である。Bの軌跡を境界線とする2つの領域のうち、点Aを含む領域を領域Cとする。ただし、領域Cは境界線を含む。
(1)点Bの軌跡の方程式は$\boxed{\ \ ナ\ \ }$である。
(2)点(x,y)がxy平面上のすべての点を動くとき、点(x-y,xy)がxy平面上で動く範囲は式$\boxed{\ \ ニ\ \ }$で表される領域である。
(3)点(x,y)が領域C上のすべての点を動くとき、点(x-y,xy)がxy平面上で動く領域を領域Dとする。
(i)領域Dを図示しなさい。ただし領域は斜線で示し、境界線となる式も図に記入すること。
(ii)領域Dの面積は$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。
2023慶應義塾大学薬学部過去問
よく間違える問題。整数部分と小数部分。計算が面白いんだ 東邦大附属東邦
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$5- \sqrt 7$の整数部分をa、小数部分をbとするとき
$b^2(a-b+4)=?$
東邦大学付属東邦高等学校
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$5- \sqrt 7$の整数部分をa、小数部分をbとするとき
$b^2(a-b+4)=?$
東邦大学付属東邦高等学校
微分の超頻出の問題！どこで最大値を取るかしっかり考えよう【大阪大学】【数学 入試問題】
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
正の実数a,xに対して,
y=$(\log_{\frac{1}{2}}x)^{3}$+$a(\log_{\sqrt{ 2 } } x)(\log_{4} x^{3})$とする。
(1)t=$\log_{ 2 } x$とするとき,yをa,tを用いて表せ。
(2)xが$\dfrac{1}{2}$≦x≦8の範囲を動くとき,yの最大値Mをaを用いて表せ。
大阪大過去問
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正の実数a,xに対して,
y=$(\log_{\frac{1}{2}}x)^{3}$+$a(\log_{\sqrt{ 2 } } x)(\log_{4} x^{3})$とする。
(1)t=$\log_{ 2 } x$とするとき,yをa,tを用いて表せ。
(2)xが$\dfrac{1}{2}$≦x≦8の範囲を動くとき,yの最大値Mをaを用いて表せ。
大阪大過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年薬学部第１問(7)〜n進法と割り算の余り
単元：
#計算と数の性質#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#規則性（周期算・方陣算・数列・日暦算・N進法）#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (7)整数Zはn進法で表すとk+1桁であり、$n^k$の位の数が4、$n^i$ (1≦i≦k-1)の位の数が0、$n^0$の位の数が1となる。ただし、nはn≧3を満たす整数、kはk≧2を満たす整数とする。
(i)k=3とする。Zをn+1で割った時の余りは$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。
(ii)Zがn-1で割り切れるときのnの値をすべて求めると$\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
2023慶應義塾大学薬学部過去問
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$\Large\boxed{1}$ (7)整数Zはn進法で表すとk+1桁であり、$n^k$の位の数が4、$n^i$ (1≦i≦k-1)の位の数が0、$n^0$の位の数が1となる。ただし、nはn≧3を満たす整数、kはk≧2を満たす整数とする。
(i)k=3とする。Zをn+1で割った時の余りは$\boxed{\ \ テ\ \ }$である。
(ii)Zがn-1で割り切れるときのnの値をすべて求めると$\boxed{\ \ ト\ \ }$である。
2023慶應義塾大学薬学部過去問
大学入試問題#512「受験生の心は折れる」 浜松医科大学(2015) #区分求積法
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\displaystyle \frac{(3n^2+1^2)(3n^2+2^2)・・・(3n^2+n^2)}{(n^2+1^2)(n^2+2^2)・・・(n^2+n^2)})^{\frac{1}{n}}$
出典：2015年浜松医科大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\displaystyle \frac{(3n^2+1^2)(3n^2+2^2)・・・(3n^2+n^2)}{(n^2+1^2)(n^2+2^2)・・・(n^2+n^2)})^{\frac{1}{n}}$
出典：2015年浜松医科大学 入試問題
横浜市立（医）整数の基本問題
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#横浜市立大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$n$を自然数とし,$1\leqq n \leqq 1000$である.
$n^5+1$が3の倍数となるnは何個か?
横浜市立(医)過去問
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$n$を自然数とし,$1\leqq n \leqq 1000$である.
$n^5+1$が3の倍数となるnは何個か?
横浜市立(医)過去問