大学入試過去問(数学)
大学入試過去問(数学)
福田の数学〜大阪大学2024年文系第1問〜絶対値付き放物線と直線で囲まれた2つの面積が等しい条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 曲線$y$=|$x^2-1$|を$C$、直線$y$=$2a(x+1)$を$l$とする。ただし、$a$は0<$a$<1を満たす実数とする。
(1)曲線$C$と直線$l$の共有点の座標を全て求めよ。
(2)曲線$C$と直線$l$で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる$a$の値を求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 曲線$y$=|$x^2-1$|を$C$、直線$y$=$2a(x+1)$を$l$とする。ただし、$a$は0<$a$<1を満たす実数とする。
(1)曲線$C$と直線$l$の共有点の座標を全て求めよ。
(2)曲線$C$と直線$l$で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる$a$の値を求めよ。
#東海大学(2014) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#東海大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{x^2+3x+11}{x+1} dx$
出典：2014年東海大学
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$\displaystyle \int_{0}^{2} \displaystyle \frac{x^2+3x+11}{x+1} dx$
出典：2014年東海大学
大学入試問題#839「解法見えれば余裕！」 #上智大学(2005) #数列
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a_n=\displaystyle \frac{2n・3^n}{(2n+1)(2n+3)}$のとき、
$S_n=\displaystyle \frac{3^{n+1}}{2(2n+3)}-\displaystyle \frac{1}{2}$であることを示せ。
出典：2005年上智大学
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$a_n=\displaystyle \frac{2n・3^n}{(2n+1)(2n+3)}$のとき、
$S_n=\displaystyle \frac{3^{n+1}}{2(2n+3)}-\displaystyle \frac{1}{2}$であることを示せ。
出典：2005年上智大学
大学入試問題#838「基本問題」 #岩手大学(2023) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{ x-1 }} dx$
出典：2023年岩手大学 入試問題
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{ x-1 }} dx$
出典：2023年岩手大学 入試問題
福田の数学〜大阪大学2024年理系第4問〜回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ $a$>1とする。$xy$平面において、点($a$, 0)を中心とする半径1の円を$C$とする。
(1)円$C$の$x$≧$a$の部分と$y$軸および2直線$y$=1, $y$=-1で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ。
(2)円$C$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を$V_2$とする。(1)における$V_1$について、$V_1$=$2V_2$となる$a$の値を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ $a$>1とする。$xy$平面において、点($a$, 0)を中心とする半径1の円を$C$とする。
(1)円$C$の$x$≧$a$の部分と$y$軸および2直線$y$=1, $y$=-1で囲まれた図形を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V_1$を求めよ。
(2)円$C$で囲まれた部分を$y$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を$V_2$とする。(1)における$V_1$について、$V_1$=$2V_2$となる$a$の値を求めよ。
#芝浦工業大学(2023) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#芝浦工業大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t\sin \ t \ \cos\ t\ dt$
出典：2023年芝浦工業大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t\sin \ t \ \cos\ t\ dt$
出典：2023年芝浦工業大学
大学入試問題#837「少し工夫がいる超良問！」 #筑波大学(2016) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to -0 } (\sqrt{ \displaystyle \frac{1}{x^2}-\displaystyle \frac{a}{x}+2 }+\displaystyle \frac{b}{x})=1$が成り立つように、定数$a,b$の値を求めよ。
出典：2016年筑波大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ x \to -0 } (\sqrt{ \displaystyle \frac{1}{x^2}-\displaystyle \frac{a}{x}+2 }+\displaystyle \frac{b}{x})=1$が成り立つように、定数$a,b$の値を求めよ。
出典：2016年筑波大学 入試問題
福田の数学〜大阪大学2024年理系第3問〜ねじれの位置にある2直線に直交する直線が1本しかない証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 空間内の2直線$l$, $m$はねじれの位置にあるとする。$l$と$m$の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。
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$\Large\boxed{3}$ 空間内の2直線$l$, $m$はねじれの位置にあるとする。$l$と$m$の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。
#電気通信大学(2013) #極限 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \displaystyle \frac{3^{1-x}-1}{x-1}$
出典：2013年電気通信大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \displaystyle \frac{3^{1-x}-1}{x-1}$
出典：2013年電気通信大学
大学入試問題#836「このタイプの問題ばかり探していますw」 #長崎大学(2024) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#長崎大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{x^2-x^4}{1+e^x}dx$
出典：2024年長崎大学
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$\displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{x^2-x^4}{1+e^x}dx$
出典：2024年長崎大学
福田の数学〜大阪大学2024年理系第2問〜複素数の表す領域
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $\alpha$, $\beta$を複素数とし、複素数$z$に対して
$f(z)$=$z$+$\alpha z$+$\beta$
とおく。$\alpha$, $\beta$は
|$f(z)$－3|≦1 かつ |$f(i)$－1|≦3
を満たしながら動く。ただし、$i$は虚数単位である。
(1)$f(1+i)$がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。
(2)$f(1+i)$=0であるとき、$\alpha$, $\beta$の値を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ $\alpha$, $\beta$を複素数とし、複素数$z$に対して
$f(z)$=$z$+$\alpha z$+$\beta$
とおく。$\alpha$, $\beta$は
|$f(z)$－3|≦1 かつ |$f(i)$－1|≦3
を満たしながら動く。ただし、$i$は虚数単位である。
(1)$f(1+i)$がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。
(2)$f(1+i)$=0であるとき、$\alpha$, $\beta$の値を求めよ。
#宮崎大学(2023) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#宮崎大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ 2x+1 }}dx$
出典：2023年宮崎大学
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$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x}{\sqrt{ 2x+1 }}dx$
出典：2023年宮崎大学
大学入試問題#835「初見は厳しいかも」 #岩手大学(2014) #級数
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle \frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}$
出典：2014年岩手大学 入試問題
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$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \displaystyle \frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}$
出典：2014年岩手大学 入試問題
福田の数学〜大阪大学2024年理系第1問〜方程式の解と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 自然数$n$に対して、関数$f_n(x)$を
$f_n(x)$=1－$\displaystyle\frac{1}{2}e^{nx}$+$\displaystyle\cos\frac{x}{3}$ ($x$≧0)
で定める。ただし、$e$は自然対数の底である。
(1)方程式$f_n(x)$=0は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。
(2)(1)における実数解を$a_n$とおくとき、極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$ を求めよ。
(3)極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}na_n$ を求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 自然数$n$に対して、関数$f_n(x)$を
$f_n(x)$=1－$\displaystyle\frac{1}{2}e^{nx}$+$\displaystyle\cos\frac{x}{3}$ ($x$≧0)
で定める。ただし、$e$は自然対数の底である。
(1)方程式$f_n(x)$=0は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。
(2)(1)における実数解を$a_n$とおくとき、極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n$ を求めよ。
(3)極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}na_n$ を求めよ。
#電気通信大学(2017) #区分求積法 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の区分求積法を解け
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{k}{4n^2-3k^2}$
出典：2017年電気通信大学
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以下の区分求積法を解け
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \displaystyle \sum_{k=1}^n \displaystyle \frac{k}{4n^2-3k^2}$
出典：2017年電気通信大学
大学入試問題#833「計算力大事！」 #筑波大学(2023) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)$の導関数$g(x)$は定数$k( \neq 0)$を用いて次式で与えられる。
$g(x)=\displaystyle \frac{e^{kx}-e^{kx}}{2}$
次の問いに答えよ。
１．$f(0)=0$であるとき$f(x)$を求めよ。
２．$p$は定数とする。
$\displaystyle \int_{0}^{p} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 1+\{g(x)\} }}g'(x) \ dx$を求めよ
出典：2023年筑波大学 入試問題
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関数$f(x)$の導関数$g(x)$は定数$k( \neq 0)$を用いて次式で与えられる。
$g(x)=\displaystyle \frac{e^{kx}-e^{kx}}{2}$
次の問いに答えよ。
１．$f(0)=0$であるとき$f(x)$を求めよ。
２．$p$は定数とする。
$\displaystyle \int_{0}^{p} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 1+\{g(x)\} }}g'(x) \ dx$を求めよ
出典：2023年筑波大学 入試問題
福田の数学〜名古屋大学2024年文系第3問〜反復試行の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ $n$を自然数とする。表と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle\frac{1}{2}$のコインを$n$回投げ、以下のように得点を決める。
・最初に数直線上の原点に石を置き、コインを投げて表なら2、裏なら3だけ数直線上を正方向に石を移動させる。コインを$k$回投げた後の石の位置を$a_k$とする。
・$a_n$≠2$n$+2 の場合は得点を0、$a_n$≠2$n$+2 の場合は得点を$a_1$+$a_2$+...+$a_n$とする。
たとえば、$n$=3のとき、投げたコインが3回とも表のときは得点は0、投げたコインが順に裏、裏、表のときは得点は3+6+8=17 である。
(1)$n$解のうち裏の出る回数を$r$とするとき、$a_n$を求めよ。
(2)$n$=4とする。得点が0でない確率および25である確率をそれぞれ求めよ。
(3)$n$=9とする。得点が100である確率および奇数である確率をそれぞれ求めよ。
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$\Large\boxed{3}$ $n$を自然数とする。表と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle\frac{1}{2}$のコインを$n$回投げ、以下のように得点を決める。
・最初に数直線上の原点に石を置き、コインを投げて表なら2、裏なら3だけ数直線上を正方向に石を移動させる。コインを$k$回投げた後の石の位置を$a_k$とする。
・$a_n$≠2$n$+2 の場合は得点を0、$a_n$≠2$n$+2 の場合は得点を$a_1$+$a_2$+...+$a_n$とする。
たとえば、$n$=3のとき、投げたコインが3回とも表のときは得点は0、投げたコインが順に裏、裏、表のときは得点は3+6+8=17 である。
(1)$n$解のうち裏の出る回数を$r$とするとき、$a_n$を求めよ。
(2)$n$=4とする。得点が0でない確率および25である確率をそれぞれ求めよ。
(3)$n$=9とする。得点が100である確率および奇数である確率をそれぞれ求めよ。
#岩手大学(2013) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#大阪市立大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int 3x^2 log(x^3+1)dx$
出典：2013年岩手大学
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int 3x^2 log(x^3+1)dx$
出典：2013年岩手大学
#電気通信大学(2023) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int x\sqrt{ 1-x^2 } \ dx$
出典：2023年電気通信大学
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int x\sqrt{ 1-x^2 } \ dx$
出典：2023年電気通信大学
大学入試問題#834「置換一択！？」 #弘前大学(2022) #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#弘前大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{\sqrt{ 3 }}^{2} (3x-1)\sqrt{ 4-x^2 }\ dx$
出典：2022年広前大学 入試問題
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以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{\sqrt{ 3 }}^{2} (3x-1)\sqrt{ 4-x^2 }\ dx$
出典：2022年広前大学 入試問題
福田の数学〜名古屋大学2024年文系第2問〜放物線と直線の関係
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $t$を0でない実数として、$x$の関数$y$=$-x^2$+$tx$+$t$ のグラフを$C$とする。
(1)$C$上において$y$座標が最大となる点Pの座標を求めよ。
(2)Pと点O(0,0)を通る直線を$l$とする。$l$と$C$がP以外の共有点Qを持つために$t$が満たすべき条件を求めよ。また、そのとき、点Qの座標を求めよ。
(3)$t$は(2)の条件を満たすとする。A(-1,-2)として、$X$=$\displaystyle\frac{1}{4}t^2$+$t$ とおくとき、AP$^2$－AQ$^2$を$X$で表せ。また、AP<AQとなるために$t$が満たすべき条件を求めよ。
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$\Large\boxed{2}$ $t$を0でない実数として、$x$の関数$y$=$-x^2$+$tx$+$t$ のグラフを$C$とする。
(1)$C$上において$y$座標が最大となる点Pの座標を求めよ。
(2)Pと点O(0,0)を通る直線を$l$とする。$l$と$C$がP以外の共有点Qを持つために$t$が満たすべき条件を求めよ。また、そのとき、点Qの座標を求めよ。
(3)$t$は(2)の条件を満たすとする。A(-1,-2)として、$X$=$\displaystyle\frac{1}{4}t^2$+$t$ とおくとき、AP$^2$－AQ$^2$を$X$で表せ。また、AP<AQとなるために$t$が満たすべき条件を求めよ。
#電気通信大学(2023) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{1}^{e} \displaystyle \frac{1}{x(x+e)} dx$
出典：2023年電気通信大学
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以下の定積分を解け。
$\displaystyle \int_{1}^{e} \displaystyle \frac{1}{x(x+e)} dx$
出典：2023年電気通信大学
#筑波大学(1996) #極限 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\sqrt{ x^2+x+1 }-x)$
出典：1996年筑波大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } (\sqrt{ x^2+x+1 }-x)$
出典：1996年筑波大学
大学入試問題#832「これは落としたくない」 #岩手大学(2011) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{6}{t^2+7t+10} dt$について$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } f(x)$を求めよ。
出典：2011年岩手大学
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関数$f(x)=\displaystyle \int_{0}^{x} \displaystyle \frac{6}{t^2+7t+10} dt$について$\displaystyle \lim_{ x \to \infty } f(x)$を求めよ。
出典：2011年岩手大学
福田の数学〜名古屋大学2024年文系第1問〜高次方程式と解と係数の関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 次の問いに答えよ。
(1)方程式$x^3$－$3x^2$－50=0 の実数解を求めよ。
(2)実数$p$, $q$が$p$+$q$=$pq$ を満たすとする。$X$=$pq$とおくとき、$p^3$+$q^3$を$X$で表せ。
(3)条件
$p^3$+$q^3$=50, $\displaystyle\frac{1}{p}$+$\displaystyle\frac{1}{q}$=1, $p$<$q$
を満たす0でない実数の組($p$, $q$)をすべて求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 次の問いに答えよ。
(1)方程式$x^3$－$3x^2$－50=0 の実数解を求めよ。
(2)実数$p$, $q$が$p$+$q$=$pq$ を満たすとする。$X$=$pq$とおくとき、$p^3$+$q^3$を$X$で表せ。
(3)条件
$p^3$+$q^3$=50, $\displaystyle\frac{1}{p}$+$\displaystyle\frac{1}{q}$=1, $p$<$q$
を満たす0でない実数の組($p$, $q$)をすべて求めよ。
#電気通信大学(2023) #不定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#電気通信大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2023年電気通信大学
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以下の不定積分を解け。
$\displaystyle \int \displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2023年電気通信大学
大学入試問題#831「教科書の章末問題」 #山形大学(2010) #三角関数
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\sin\displaystyle \frac{19}{12}\pi$の値を求めよ
出典：2010年山形大学
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$\sin\displaystyle \frac{19}{12}\pi$の値を求めよ
出典：2010年山形大学
#福島大学(2021) #定積分 #Shorts
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#数学(高校生)#福島大学#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\ x\ log(\sin\ x) dx$
出典：2021年福島大学
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$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos\ x\ log(\sin\ x) dx$
出典：2021年福島大学
#岩手大学(2015) #定積分 #Shorts
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle \frac{2x^2}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2015年岩手大学
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$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \displaystyle \frac{2x^2}{\sqrt{ 1-x^2 }} dx$
出典：2015年岩手大学
大学入試問題#830「たまには、こんな問題でも」 #筑波大学(2016) #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\cos4x-2\cos\ 2x+1}{x^2}$
出典：2016年筑波大学
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$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \displaystyle \frac{\cos4x-2\cos\ 2x+1}{x^2}$
出典：2016年筑波大学