図形の性質
図形の性質
【数A】【図形の性質】円に内接する図形 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
円oにおいて、平行な2つの弦をAA´、BB´とし、AB´とA´Bが円の内部の点Pで交わっている。このとき、∠APB＝∠AOBであることを証明せよ。
鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。
下の図において、角θを求めよ。
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円oにおいて、平行な2つの弦をAA´、BB´とし、AB´とA´Bが円の内部の点Pで交わっている。このとき、∠APB＝∠AOBであることを証明せよ。
鋭角三角形ABCの垂心をHとし、AHがBCと交わる点をD、△ABCの外接円と交わる点をEとする。このとき、Dは線分HEの中点であることを証明せよ。
下の図において、角θを求めよ。
【数A】【図形の性質】三角形の関係証明 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
△ABCの内部の1点をPとするとき、AP＋BP＋CP＞1/2（AB＋BC＋CA）を証明せよ。
上の図において、点Pが線分CD上を動くとき、線分の和AP＋PBの最小値とそのときの点Pの位置を求めよ。
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△ABCの内部の1点をPとするとき、AP＋BP＋CP＞1/2（AB＋BC＋CA）を証明せよ。
上の図において、点Pが線分CD上を動くとき、線分の和AP＋PBの最小値とそのときの点Pの位置を求めよ。
【数A】【図形の性質】三角形の辺と角 ※問題文は概要欄
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#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
∠B＝90度の直角三角形ABCの辺BC上に頂点と異なる点Pを取る時、AB＜AP＜ACであることを証明せよ。
△ABCにおいて、AB＞ACとする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとする時、次の①～④のうちで常に成り立つものを全て選べ。
①BP＝PC ②AB＞AP ③AC＞AP ④AC＞CP
次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するようなXの値の範囲を求めよ。
(1)X、２、６ (2)３X、X＋４、X＋２
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∠B＝90度の直角三角形ABCの辺BC上に頂点と異なる点Pを取る時、AB＜AP＜ACであることを証明せよ。
△ABCにおいて、AB＞ACとする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとする時、次の①～④のうちで常に成り立つものを全て選べ。
①BP＝PC ②AB＞AP ③AC＞AP ④AC＞CP
次の長さの線分を3辺とする三角形が存在するようなXの値の範囲を求めよ。
(1)X、２、６ (2)３X、X＋４、X＋２
【数A】【図形の性質】チェバメネラウス ※問題文は概要欄
単元：
#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1)：△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる点D、Eを取る時、等式【△ADE/△ABC】＝【AD/AB】×【AE/AC】が成り立つことを証明せよ。
(2)：△ABCの辺BCを２：３、辺CAを３：１、辺ABを１：２に内分する点をそれぞれD、E、Fとする時、次の値を求めよ。
(ア)△AFE/△ABC (イ)△DEF/△ABC
△ABCの辺ABを２：３に内分する点をR、辺ACを５：６に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をOとする。直線AOと辺BCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)△OBC：△ABCを求めよ。
△ABCの辺ABを２：１に内分する点をD、辺ACを３：１に内分する点をEとする。直線DEとBCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)DP：PEを求めよ。
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(1)：△ABCの辺AB、AC上に、それぞれ頂点と異なる点D、Eを取る時、等式【△ADE/△ABC】＝【AD/AB】×【AE/AC】が成り立つことを証明せよ。
(2)：△ABCの辺BCを２：３、辺CAを３：１、辺ABを１：２に内分する点をそれぞれD、E、Fとする時、次の値を求めよ。
(ア)△AFE/△ABC (イ)△DEF/△ABC
△ABCの辺ABを２：３に内分する点をR、辺ACを５：６に内分する点をQとする。線分BQと線分CRの交点をOとする。直線AOと辺BCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)△OBC：△ABCを求めよ。
△ABCの辺ABを２：１に内分する点をD、辺ACを３：１に内分する点をEとする。直線DEとBCの交点をPとする。
(1)BP：PCを求めよ。 (2)DP：PEを求めよ。
【数A】【図形の性質】図形の性質の基本2 ※問題文は概要欄
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#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
三角形ABCの内心をIとし、3辺BC、CA、ABに関してIと対称な点をそれぞれP,Q,Rとする。Iは三角形PQRについてどのような点か？
三角形ABCの内心をI、角Aの内部の傍心をＩ₁とする時、次の問いに答えよ。
（１）角ＩＢＩ₁の大きさを求めよ。
（２）三角形ＡＢＣの外接円は線分ＩＩ₁を二等分することを証明せよ。
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとする。
角Ｂの内部の傍接円ＩＢの半径はＡＤに等しいことを証明せよ。
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三角形ABCの内心をIとし、3辺BC、CA、ABに関してIと対称な点をそれぞれP,Q,Rとする。Iは三角形PQRについてどのような点か？
三角形ABCの内心をI、角Aの内部の傍心をＩ₁とする時、次の問いに答えよ。
（１）角ＩＢＩ₁の大きさを求めよ。
（２）三角形ＡＢＣの外接円は線分ＩＩ₁を二等分することを証明せよ。
ＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線をＡＤとする。
角Ｂの内部の傍接円ＩＢの半径はＡＤに等しいことを証明せよ。
【数A】【図形の性質】図形の性質の基本1 ※問題文は概要欄
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#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
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#4S数学#4S数学Ⅰ＋AのB問題解説（新課程2022年以降）#図形の性質#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。
図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
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外心と内心が一致する三角形は正三角形である。このことを証明せよ。
図の三角形ABCは角B＝90度の直角三角形であり、3点D、E、Fは三角形ABCの外心・内心・重心のいずれかであるとする。このとき、三角形ABCの外心・内心・重心は3点D、E、Fのいずれであるか？
三角形ABCにおいて、AB＝AC＝3、BC＝2である。三角形ABCの重心をG、内心をIとするとき、線分GIの長さを求めよ。
図において、点Hは三角形ABCの垂心である。角α、βを求めよ。
【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
単元：
#数Ⅱ#図形の性質#式と証明#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#恒等式・等式・不等式の証明#その他#数学(高校生)#参考書紹介
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
※問題は動画内参照
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【保存版】相加平均・相乗平均の覚え方
※問題は動画内参照
【高校数学】円と直線が接するときの２パターンの考え方【数学のコツ】
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の円と直線が接するときの$k$の値と接点の座標を求めよ。
$x^2+y^2=4, y=x+k$
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次の円と直線が接するときの$k$の値と接点の座標を求めよ。
$x^2+y^2=4, y=x+k$
これなに？
福田のおもしろ数学148〜円の面積
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#数A#数Ⅱ#図形の性質#図形と方程式#数学(高校生)
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福田次郎
問題文全文(内容文)：
左図(※動画参照)で4つの四角形はすべて面積が$16 \textrm{cm}^2$の正方形です。
円の面積を求めて下さい。
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左図(※動画参照)で4つの四角形はすべて面積が$16 \textrm{cm}^2$の正方形です。
円の面積を求めて下さい。
接線の長さ
福田の数学〜早稲田大学2024年人間科学部第5問〜円の性質と切り取られる弦の長さ
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#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 2点A(－$\sqrt 2$－$\sqrt 6$, $\sqrt 2$－$\sqrt 6$), B($\sqrt 2$+$\sqrt 6$, $\sqrt 2$－$\sqrt 6$)と原点O(0, 0)について、$\theta$=$\angle\textrm{AOB}$ とするとき、$\theta$=$\displaystyle\frac{\boxed{ナ}}{\boxed{ニ}}\pi$ である。ただし、0≦$\theta$≦$\pi$ とする。さらに円$x^2$+$y^2$－$2x$－$10y$+22=0 を$C$とする。円$C$上の点P, Qは
$\angle\textrm{APB}$=$\angle\textrm{AQB}$=$\displaystyle\frac{5}{12}\pi$
を満たす点とする。このとき、PQ=$\displaystyle\boxed{ヌ}\sqrt{\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}}$ である。
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$\Large\boxed{5}$ 2点A(－$\sqrt 2$－$\sqrt 6$, $\sqrt 2$－$\sqrt 6$), B($\sqrt 2$+$\sqrt 6$, $\sqrt 2$－$\sqrt 6$)と原点O(0, 0)について、$\theta$=$\angle\textrm{AOB}$ とするとき、$\theta$=$\displaystyle\frac{\boxed{ナ}}{\boxed{ニ}}\pi$ である。ただし、0≦$\theta$≦$\pi$ とする。さらに円$x^2$+$y^2$－$2x$－$10y$+22=0 を$C$とする。円$C$上の点P, Qは
$\angle\textrm{APB}$=$\angle\textrm{AQB}$=$\displaystyle\frac{5}{12}\pi$
を満たす点とする。このとき、PQ=$\displaystyle\boxed{ヌ}\sqrt{\frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}}$ である。
東大生のワイヤレスイヤホンの見付け方が凄すぎた
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#数A#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#数学(高校生)
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【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
ワイヤレスイヤホンを落としたときの見つけ方
三角形の外心の話です
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ワイヤレスイヤホンを落としたときの見つけ方
三角形の外心の話です
福田の数学〜東北大学2024年文系第2問〜75°の三角比と図形の計量
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#三角関数#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{2}}$ $a$, $b$, $d$を正の実数とし、$xy$平面上の点O(0,0), A($a$,0), B($b$,0), D(0,$d$)が次の条件をすべて満たすとする。
$\angle OAD$=15°, $\angle OBD$=75°, AB=6
以下の問いに答えよ。
(1)$\tan 75°$の値を求めよ。
(2)$a$, $b$, $d$の値をそれぞれ求めよ。
(3)2点O, Dを直径の両端とする円をCとする。線分ADとCの交点のうちDと異なるものをPとする。また、線分BDとCの交点のうちDと異なるものをQとする。このとき、方べきの定理AP・AD=$\textrm{AO}^2$, BP・BD=$\textrm{BO}^2$ を示せ。
(4)(3)の点P,Qに対し、積AP・BQの値を求めよ。
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$\Large{\boxed{2}}$ $a$, $b$, $d$を正の実数とし、$xy$平面上の点O(0,0), A($a$,0), B($b$,0), D(0,$d$)が次の条件をすべて満たすとする。
$\angle OAD$=15°, $\angle OBD$=75°, AB=6
以下の問いに答えよ。
(1)$\tan 75°$の値を求めよ。
(2)$a$, $b$, $d$の値をそれぞれ求めよ。
(3)2点O, Dを直径の両端とする円をCとする。線分ADとCの交点のうちDと異なるものをPとする。また、線分BDとCの交点のうちDと異なるものをQとする。このとき、方べきの定理AP・AD=$\textrm{AO}^2$, BP・BD=$\textrm{BO}^2$ を示せ。
(4)(3)の点P,Qに対し、積AP・BQの値を求めよ。
点Pはどこ？
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
△PAB=△PAD=△PCDとなる点Pはどこ？
＊図は動画内参照
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△PAB=△PAD=△PCDとなる点Pはどこ？
＊図は動画内参照
福田のおもしろ数学118〜幾何の証明〜垂心に関する命題の証明
単元：
#数A#図形の性質#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
動画の三角形ABCにおいて、点Hは三角形ABCの垂心、Mは辺BCの中点である。
DE$\bot$MHのとき、DH=EHを証明せよ。
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動画の三角形ABCにおいて、点Hは三角形ABCの垂心、Mは辺BCの中点である。
DE$\bot$MHのとき、DH=EHを証明せよ。
内心と比
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内角の二等分線と〇〇 2024城北高校
円と面積比 嵯峨野高校2024
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
△APD＝△BPC×5
PC=?
＊図は動画内参照
2024嵯峨野高等学校
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△APD＝△BPC×5
PC=?
＊図は動画内参照
2024嵯峨野高等学校
福田のおもしろ数学056〜折り返し問題〜半円を折り返す
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
図は半円 O を点 C で接するように折り返したもので EF はその折り目である。EF と AB の交点を D とする。 $AC = 6 , BC = 2$ のとき、 AD の長さを求めよ。
※図は動画内参照
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図は半円 O を点 C で接するように折り返したもので EF はその折り目である。EF と AB の交点を D とする。 $AC = 6 , BC = 2$ のとき、 AD の長さを求めよ。
※図は動画内参照
福田のおもしろ数学053〜数学オリンピックの幾何の問題〜線分の長さを求める
単元：
#数A#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#図形の性質#方べきの定理と２つの円の関係#数学オリンピック#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
DB = BC = 2 , AB = AC, 直線 AC と直線 DC は点 A, D で円 O に接している。
直線AB と円 O の交点のうち A でない方を E とし、直線 CE と円 O の交点のうち E でない方を F とする。
線分 EF の長さを求めよ。
※図は動画内参照
数学オリンピック過去問
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DB = BC = 2 , AB = AC, 直線 AC と直線 DC は点 A, D で円 O に接している。
直線AB と円 O の交点のうち A でない方を E とし、直線 CE と円 O の交点のうち E でない方を F とする。
線分 EF の長さを求めよ。
※図は動画内参照
数学オリンピック過去問
円周角の和 2024早稲田本庄
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
角の和○＋✖＋△＋▢をaで表せ
＊図は動画内参照
2024早稲田大学本庄高等学院
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角の和○＋✖＋△＋▢をaで表せ
＊図は動画内参照
2024早稲田大学本庄高等学院
これ知ってる？
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
正四面体の体積を一瞬で出す方法を解説していきます.
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正四面体の体積を一瞬で出す方法を解説していきます.
四角形の面積 立教新座2024
単元：
#数A#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
四角形の面積は？
＊図は動画内参照
2024立教新座高等学校
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四角形の面積は？
＊図は動画内参照
2024立教新座高等学校
円の半径＝❓
これ一瞬で解けるの知ってる？
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
【楽しい授業動画】あきとんとん
問題文全文(内容文)：
座標上の三角形の面積を一瞬で求める裏技に関して解説していきます。
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座標上の三角形の面積を一瞬で求める裏技に関して解説していきます。
福田のおもしろ数学034〜各面が合同な三角形でできた四面体の体積〜等面四面体
単元：
#数学(中学生)#中３数学#数A#図形の性質#三平方の定理#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
どの面も、5,6,7の長さの三角形でできている四面体の体積を求めよ
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どの面も、5,6,7の長さの三角形でできている四面体の体積を求めよ
福田のおもしろ数学033〜これが東大の入試問題だ！〜6個の円がおおう範囲の面積
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
これが東大の入試問題だ！
半径1の円6個で覆う太線で囲まれた部分の面積を求めよ
図は動画内参照
東京大学過去問
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これが東大の入試問題だ！
半径1の円6個で覆う太線で囲まれた部分の面積を求めよ
図は動画内参照
東京大学過去問
福田のおもしろ数学027〜1分でできたらマジ天才〜2直線のなす角の最大
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#方べきの定理と２つの円の関係#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の図で、xの辺の長さを求めよ
図は動画内参照
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次の図で、xの辺の長さを求めよ
図は動画内参照