数Ⅱ
数Ⅱ
福田のおもしろ数学469〜xとyに関する方程式を解く
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
方程式
$x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+4=2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1})$
を満たす正の数$x,y$をすべて求めよ。
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方程式
$x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+4=2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1})$
を満たす正の数$x,y$をすべて求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(1)〜複素数平面上の点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)複素数平面上で、方程式
$\vert z+i \vert = 2 \vert z-\sqrt3 \vert$
を満たす点$z$全体が表す図形は、
中心が$\boxed{ア}$,半径が$\boxed{イ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学467〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b,c$を正の数とするとき、
不等式
$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2} \geqq \sqrt{a^2+ac+c^2}$
を証明して下さい。
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$a,b,c$を正の数とするとき、
不等式
$\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2} \geqq \sqrt{a^2+ac+c^2}$
を証明して下さい。
福田のおもしろ数学466〜2次方程式の解の条件
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
方程式
$x^2+(a-2)x-2a^2+5a-3=0$
の解の一方の絶対値が、
もう一方の絶対値の$2$倍であるとき、
$a$の全ての値を求めよ。
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方程式
$x^2+(a-2)x-2a^2+5a-3=0$
の解の一方の絶対値が、
もう一方の絶対値の$2$倍であるとき、
$a$の全ての値を求めよ。
福田のおもしろ数学464〜素数でないことを証明する
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の整数$a,b,c,d$が
$ab=cd$を満たすとする。
このとき、
$a+b+c+d$が
素数でないことを証明せよ。
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正の整数$a,b,c,d$が
$ab=cd$を満たすとする。
このとき、
$a+b+c+d$が
素数でないことを証明せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第1問(3)〜絶対値の付いた対数関数の最小
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)実数$x$に対して、関数
$f(x)=\left \vert \dfrac{1}{10^{-x}\log 10^{-x}}\right \vert$
は、$x=\boxed{キ}$のとき最小値$\boxed{ク}$をとる。
ただし、$x$は$x\gt 0$を満たし、対数は自然対数とする。
なお、$\log 2=0.69,\log 3=1.10,\log 5=1.61,$
自然対数の底$e$は$2.72$として計算し、
$\boxed{キ}$と$\boxed{ク}$は小数で答えなさい。
値が小数第$2$位までで割り切れない場合は、
小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めなさい。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)実数$x$に対して、関数
$f(x)=\left \vert \dfrac{1}{10^{-x}\log 10^{-x}}\right \vert$
は、$x=\boxed{キ}$のとき最小値$\boxed{ク}$をとる。
ただし、$x$は$x\gt 0$を満たし、対数は自然対数とする。
なお、$\log 2=0.69,\log 3=1.10,\log 5=1.61,$
自然対数の底$e$は$2.72$として計算し、
$\boxed{キ}$と$\boxed{ク}$は小数で答えなさい。
値が小数第$2$位までで割り切れない場合は、
小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めなさい。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田のおもしろ数学460〜三角関数の変形
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
式の変形だけで
$\sin^3 18° + \sin^18°=\dfrac{1}{8}$
を証明して下さい。
＊$\sin18°$の値は求めないで！
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式の変形だけで
$\sin^3 18° + \sin^18°=\dfrac{1}{8}$
を証明して下さい。
＊$\sin18°$の値は求めないで！
福田の数学〜東北大学2025文系第4問〜2曲線で囲まれた2つの図形の面積が等しくなる条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を正の実数とする。
曲線$y=x(x-2)^2$と
放物線$y=kx^2$で囲まれた$2$つの
部分の面積が等しくなるような
$k$の値を求めよ。
$2025$年東北大学文系過去問題
福田のおもしろ数学459〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の数$a,b,c,d$が
$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$
を満たすことを証明して下さい。
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正の数$a,b,c,d$が
$\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geqq 4$
を満たすことを証明して下さい。
【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
10進法で表された数$12^{100}$を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
$log_{10}1.4=0.416$, $log_{10}1.8=0.255$, $log_{10}2.1=0.322$とするとき,
$log_{10}2$, $log_{10}3$, $log_{10}7$の値を求めよ。
また, $log_{10}63$の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
(1) $log_{2}3$が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて$log_{2}6$が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて$log_{6}4$が無理数であることを証明せよ。
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10進法で表された数$12^{100}$を2進法で表したときの桁数を求めよ。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
$log_{10}1.4=0.416$, $log_{10}1.8=0.255$, $log_{10}2.1=0.322$とするとき,
$log_{10}2$, $log_{10}3$, $log_{10}7$の値を求めよ。
また, $log_{10}63$の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
(1) $log_{2}3$が無理数であることを証明せよ。
(2) (1)を用いて$log_{2}6$が無理数であることを証明せよ。
(3) (2)を用いて$log_{6}4$が無理数であることを証明せよ。
【数Ⅱ】【指数関数と対数関数】常用対数1 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#指数関数と対数関数#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
(1) $6^{20}$は何桁の整数か。
(2) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。
年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は$10(1.05)^x$万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$,$ log_{10}7=0.8451$とする。
1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし, $log_{10}3=0.4771$とする。
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$log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$とする。
(1) $6^{20}$は何桁の整数か。
(2) $6^{20}$の最高位の数字を求めよ。
年利率5%, 1年ごとの複利で10万円を預金した時,
x年後の元利合計は$10(1.05)^x$万円となる。
元利合計が初めて15万円を超えるのは何年後か。
ただし, $log_{10}2=0.3010$, $log_{10}3=0.4771$,$ log_{10}7=0.8451$とする。
1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。
99.99%より多くの花粉を一度に除去するには,
このフィルターは最低何枚必要か。ただし, $log_{10}3=0.4771$とする。
相加相乗平均のイメージ
福田の数学〜東北大学2025理系第6問〜2つの正五角形の重なった図形の周の長さの最小値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{6}$
$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$K$の対角線の長さを求めよ。
(2)$K$の周で囲まれた図形を$P$とする。
また、$P$を$K$の外接円の中心の周りに
角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta}$とする。
$P$と$P_{\theta}$の共通部分の周の長さを
$\ell_{\theta}$とする。
$\theta$が$0°\lt 72°$の範囲を動くとき、
$\ell_{\theta}$の最小値が$2\sqrt5$であることを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第5問〜球面上の点と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
$S$を$xyz$空間内の原点$O(0,0,0)$を中心とする
半径$1$の球面とする。
また、点$P(a,b,c)$を
点$(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする。
点$P$と点$N$を通る直線$\ell$と$xy$平面との
交点を$Q$とおく。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)点$Q$の座標を$a,b,c$を用いて表せ。
(2)$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$N$を通る直線を
$m$とする。
直線$m$と球面$S$の交点のうち、
点$N$以外の交点の座標を$p,q$を用いて表せ。
(3)点$\left(0,0,\dfrac{1}{2}\right)$を通り、
ベクトル$(3,4,5)$に直交する
平面$\alpha$を考える。
点$P$が平面$\alpha$ト球面$S$との交わりを動くとき、
点$Q$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ。
$2025$年東北大学理系過去問題
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。
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0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の相等 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。
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0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²
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次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²
【数Ⅱ】【微分法と積分法】3次関数と接線で囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
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曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。
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1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の最小値 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
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福田のおもしろ数学456〜5変数の連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$x,y,z,w,t$に対して次の連立方程式を解け。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\hspace{ 2pt } x^5=y+y^5= \cdots ① \\
\hspace{ 2pt }y^5=z+z^5=\cdots ② \\\
\hspace{ 0.1pt }z^5=w+w^5=\cdots ③ \\\
\hspace{ 0.2pt }w^5=t+t^5=\cdots ④ \\\
\hspace{ 1pt }t^5=x+x^5= \cdots ⑤
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
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実数$x,y,z,w,t$に対して次の連立方程式を解け。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\hspace{ 2pt } x^5=y+y^5= \cdots ① \\
\hspace{ 2pt }y^5=z+z^5=\cdots ② \\\
\hspace{ 0.1pt }z^5=w+w^5=\cdots ③ \\\
\hspace{ 0.2pt }w^5=t+t^5=\cdots ④ \\\
\hspace{ 1pt }t^5=x+x^5= \cdots ⑤
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学455〜二重のシグマがかかった不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の実数$a_1,a_2,\cdots a_n$に対して
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{a_ia_j}{i+j-1}\right)\geqq 0$
を証明して下さい。
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任意の実数$a_1,a_2,\cdots a_n$に対して
$\displaystyle \sum_{j=1}^n \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n \dfrac{a_ia_j}{i+j-1}\right)\geqq 0$
を証明して下さい。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積から直線を求める ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が$\frac{32}{3}$である。この直線の方程式を求めよ。
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原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が$\frac{32}{3}$である。この直線の方程式を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の2等分 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。
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放物線y=2+x-x²とx軸で囲まれた図形の面積を、点(2,0)を通る直線lが2等分するとき、lの傾きを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積が一定になることを示す ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
放物線y=x²+4上の点Pにおける放物線の接線と放物線y=x²で囲まれた図形の面積は、点Pの選び方に関係なく一定であることを示せ。
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放物線y=x²+4上の点Pにおける放物線の接線と放物線y=x²で囲まれた図形の面積は、点Pの選び方に関係なく一定であることを示せ。
福田のおもしろ数学454〜積分に関するシュワルツの不等式の証明と等号成立条件
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#積分とその応用#不定積分#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
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$p\leqq x \leqq q$で定義された連続関数$f(x),ｇ(x)$に対して
$\left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)^2 dx\right)\left(\displaystyle \int_{p}^{q}g(x)^2 dx \right) \geqq \left(\displaystyle \int_{p}^{q} f(x)g(x)dx\right)^2$
を証明して下さい。
また等号成立条件も調べて下さい。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分の不等式の証明 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
不等式
$\left( \int_{0}^{1} (x-a)(x-b) \,dx \right)^2 \leq \int_{0}^{1} (x-a)^2 \,dx \int_{0}^{1} (x-b)^2 \,dx$
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
ただし、$a, b$ は定数とする。
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不等式
$\left( \int_{0}^{1} (x-a)(x-b) \,dx \right)^2 \leq \int_{0}^{1} (x-a)^2 \,dx \int_{0}^{1} (x-b)^2 \,dx$
を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
ただし、$a, b$ は定数とする。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0 \leq x \leq 4$ のとき、
関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (t-1)(t-3) \,dt$
の最大値、最小値を求めよ。
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$0 \leq x \leq 4$ のとき、
関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (t-1)(t-3) \,dt$
の最大値、最小値を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】定積分で表された関数2 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数 $f(x) = \int_{-3}^{x} (t^2 - 1) \,dt$
のグラフをかけ。
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関数 $f(x) = \int_{-3}^{x} (t^2 - 1) \,dt$
のグラフをかけ。