数Ⅱ
数Ⅱ
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第6問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第4問〜指数不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学506〜相加平均と相乗平均の商の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
この動画を見る
自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
福田のおもしろ数学504〜三角関数の最大値
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x$がすべての実数を動くとき
$\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$の最大値を求めよ。
この動画を見る
$x$がすべての実数を動くとき
$\sin(\cos x)+\cos(\sin x)$の最大値を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(2)〜2変数の不等式と領域
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
(2)不等式
$\vert m+n-6 \vert + \vert m-n-2 \vert \leqq 6 \cdots ①$
を満たす整数$m,n$を考える。
$(m+n-6)(m-n-2)\geqq 0$のとき、$m$と$n$が
不等式①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{セ} \leqq m \leqq \boxed{ソ}$
である。
同様に、$(m+n-6)(m-n-2)\leqq 0$のとき、
$m$と$n$が①を満たすための必要十分条件は
$\boxed{タチ}\leqq n \leqq \boxed{ツ}$
である。よって、$m$と$n$が①を満たすとき、
$(m-n)(m+n-6)$の最大値は、
$(m-n)(m+n-6)=(m-\boxed{テ})^2-(n-\boxed{ト})^2$
より$\boxed{ナニ}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学503〜複雑な三角方程式が実数解をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)$
$+\cos\dfrac{3\pi x}{2a}\cos \left(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3}\right)+2=0$
が実数解をもつような
自然数$a$の最小値を求めよ。
この動画を見る
$\cos^2\pi(a-x)-2\cos \pi(a-x)$
$+\cos\dfrac{3\pi x}{2a}\cos \left(\dfrac{\pi x}{2a}+\dfrac{\pi}{3}\right)+2=0$
が実数解をもつような
自然数$a$の最小値を求めよ。
福田のおもしろ数学502〜(n/10)^(n/10)の最小となるnを求める
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\left(\dfrac{n}{10}\right)^{\frac{n}{10}}$を最小にする
自然数$n$を求めて下さい。
この動画を見る
$\left(\dfrac{n}{10}\right)^{\frac{n}{10}}$を最小にする
自然数$n$を求めて下さい。
福田の数学〜名古屋大学2025文系第1問〜放物線が囲む部分の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025理系第3問〜球の通過範囲の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
この動画を見る
$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
mathematical formula : Shirotan's cute kawaii math show #数学 #小学生テスト #高校入試 #勉強 #高校受験
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#数学(高校生)
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
x²-5x+3=0の解a,b
1/a+1/b=？
この動画を見る
x²-5x+3=0の解a,b
1/a+1/b=？
福田のおもしろ数学496〜少なくとも1つは−1より大きくないことの証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
実数$a,b,c,d$が次の式を満たしている。
$a+b+c+d=-2$
$ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$
このとき、$a,b,c,d$の少なくとも$1$つは
$-1$より大きくないことを証明して下さい。
この動画を見る
実数$a,b,c,d$が次の式を満たしている。
$a+b+c+d=-2$
$ab+ac+ad+bc+bd+cd=0$
このとき、$a,b,c,d$の少なくとも$1$つは
$-1$より大きくないことを証明して下さい。
福田のおもしろ数学495〜次数の高い連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^3+3ab^2+3ac^2-6abc=1 \\
b^3+3ba^2+3bc^2-6abc=1 \\\
c^2+3ca^2+3cb^2-6abc=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$a,b,c$を求めよ。
この動画を見る
連立方程式
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a^3+3ab^2+3ac^2-6abc=1 \\
b^3+3ba^2+3bc^2-6abc=1 \\\
c^2+3ca^2+3cb^2-6abc=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$a,b,c$を求めよ。
田のおもしろ数学493〜2つの方程式の解が非負実数である条件
単元：
#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$2$つの方程式
$3x^2-12x-2a=0$
$x^3+ax^2+bx-8=0$
の解がすべて非負実数であるような
実数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
この動画を見る
$2$つの方程式
$3x^2-12x-2a=0$
$x^3+ax^2+bx-8=0$
の解がすべて非負実数であるような
実数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第4問〜ベクトル方程式と領域と角を2等分するベクトル
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
原点を$O$とする座標空間内の
$2$点$A(0,3,-5),B(5,-2,10)$に対して
$\overrightarrow{OP}=s\left \{ (1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB} \right \},x\geqq 0,\dfrac{1}{5} \leqq t \leqq \dfrac{3}{5}$
で定まる点$P$が存在する範囲を$D$とする。
$D$に含まれる半径$10\sqrt2$の円のうち、
その中心と原点との距離が最小となるものを
$C$とする。
円$C$の中心の座標を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学491〜三角関数の連立方程式
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y$は実数であり
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
のとき、$\cos 2x=\cos 2y$となることを
証明せよ。
この動画を見る
$x,y$は実数であり
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
のとき、$\cos 2x=\cos 2y$となることを
証明せよ。
福田の数学〜一橋大学2025文系第3問〜定積分で表された方程式の解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第2問〜円と円の交点を通る直線に対称な点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
座標平面上に原点を中心とす半径$3$の円$C_1$がある。
また、直線$x=2$上の点$P$を中心とする半径$1$の円を
$C_2$とする。
(1)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$P$の
$y$座標の範囲を求めよ。
(2)$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき、
その$2$つの共有点を通る直線を$\ell$とする。
$\ell$に関して$P$と対称な位置にある点を$Q$とする。
ただし、$P$が$\ell$上にあるときは$Q=P$とする。
$P$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき、
点$Q$の軌跡を求め、図示せよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学489〜3本の光線のなす角と三角関数
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$3$本の光線が原点$O$から空間へ発射された。
$2$本ずつのなす角が
$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$
であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$
を証明せよ。
この動画を見る
$3$本の光線が原点$O$から空間へ発射された。
$2$本ずつのなす角が
$\alpha,\beta,\gamma(0° \lt \alpha \leqq \beta \leqq \gamma \leqq 180°)$
であり、この$3$本の光線は同一平面上にない。
$\sin\dfrac{\alpha}{2}+\sin\dfrac{\beta}{2} \gt \sin\dfrac{\gamma}{2}$
を証明せよ。
福田のおもしろ数学487〜三角関数のシグマ計算の必殺テクニック
単元：
#数Ⅱ#三角関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
任意の自然数$m$に対して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} (-1)^k \cos \dfrac{k\pi}{2m+1}=-\dfrac{1}{2}$
が成り立つことを証明して下さい。
この動画を見る
任意の自然数$m$に対して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{m} (-1)^k \cos \dfrac{k\pi}{2m+1}=-\dfrac{1}{2}$
が成り立つことを証明して下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(1)〜極形式とド・モアブルの定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
【数B】【数列】自然数の式の証明3 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$n$は自然数とする。
$6^n+4= (5+1)^n+4$と変形することで、$6^n+4$が$5$の倍数であることを、二項定理を利用して証明せよ。
この動画を見る
$n$は自然数とする。
$6^n+4= (5+1)^n+4$と変形することで、$6^n+4$が$5$の倍数であることを、二項定理を利用して証明せよ。
福田のおもしろ数学482〜漸化式で定まる数列に関する不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_1=1,a_2=\dfrac{1}{2},$
$a_{n+2}=a_n+\dfrac{1}{2}a_{n+1}+\dfrac{1}{4a_na_{n+1}}$のとき、
$\dfrac{1}{a_1a_3}+\dfrac{1}{a_2a_4}+\dfrac{1}{a_3a_5}+\cdots +\dfrac{1}{a_{2025}a_{2027}}\lt 4$
であることを証明せよ。
この動画を見る
$a_1=1,a_2=\dfrac{1}{2},$
$a_{n+2}=a_n+\dfrac{1}{2}a_{n+1}+\dfrac{1}{4a_na_{n+1}}$のとき、
$\dfrac{1}{a_1a_3}+\dfrac{1}{a_2a_4}+\dfrac{1}{a_3a_5}+\cdots +\dfrac{1}{a_{2025}a_{2027}}\lt 4$
であることを証明せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(4)〜三角関数の最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)関数$y=(2\sin 2x+\sin x)+\sin x (0\leqq x \lt 2\pi)$は、
$x=\boxed{オ}$のとき最大値$\boxed{カ}$をとる。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{1}$
(4)関数$y=(2\sin 2x+\sin x)+\sin x (0\leqq x \lt 2\pi)$は、
$x=\boxed{オ}$のとき最大値$\boxed{カ}$をとる。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学480〜三角関数の不等式の証明とイェンゼンの不等式
単元：
#数Ⅱ#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\leqq \alpha,\beta \gamma \lt 90°$
$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =1$のとき
$\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma \geqq\dfrac{3}{8}$
を証明して下さい。
この動画を見る
$0\leqq \alpha,\beta \gamma \lt 90°$
$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =1$のとき
$\tan^2\alpha+\tan^2\beta+\tan^2\gamma \geqq\dfrac{3}{8}$
を証明して下さい。
福田のおもしろ数学478〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b,c$を正の数とする。
$a^2+b^2+c^2=3$のとき
$\dfrac{1}{1+2ab}+\dfrac{1}{1+2bc}+\dfrac{1}{1+2ca} \geqq 1$
を証明して下さい。
この動画を見る
$a,b,c$を正の数とする。
$a^2+b^2+c^2=3$のとき
$\dfrac{1}{1+2ab}+\dfrac{1}{1+2bc}+\dfrac{1}{1+2ca} \geqq 1$
を証明して下さい。
福田のおもしろ数学477〜イェンゼンの不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
イェンゼンの不等式
$f(x)$は凸関数、$\lambda i \geqq 0, \sum \lambda i=1$のとき、
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2) \geqq f(\lambda2x2)$
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2)+\lambda3f(x3) \geqq f(\lambda1x1+\lambda2x2+\lambda3x3)$
な成り立つ。証明して下さい。
この動画を見る
イェンゼンの不等式
$f(x)$は凸関数、$\lambda i \geqq 0, \sum \lambda i=1$のとき、
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2) \geqq f(\lambda2x2)$
$\lambda 1 f(x 1)+\lambda 2 f(x2)+\lambda3f(x3) \geqq f(\lambda1x1+\lambda2x2+\lambda3x3)$
な成り立つ。証明して下さい。
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第2問〜領域に含まれる三角形の面積の最大値
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$xy$平面上で、
連立不等式
$0\lt x \leqq 1,0\leqq y \leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と$y$軸の
$y\geqq 0$の部分を合わせた図形を$D$とする。
$D$に含まれる三角形の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
この動画を見る
$\boxed{2}$
$xy$平面上で、
連立不等式
$0\lt x \leqq 1,0\leqq y \leqq \log\dfrac{1}{x}$
で定まる領域と$y$軸の
$y\geqq 0$の部分を合わせた図形を$D$とする。
$D$に含まれる三角形の最大値を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学473〜難しい連立方程式を解くための飛び道具
単元：
#連立方程式#数Ⅱ#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=12\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=13\left(z+\dfrac{1}{z}\right) \\
xy+yz+zx=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$x,y,z$をすべて求めよ。
この動画を見る
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=12\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=13\left(z+\dfrac{1}{z}\right) \\
xy+yz+zx=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たす実数$x,y,z$をすべて求めよ。
福田のおもしろ数学470〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$t\geqq \dfrac{1}{2},n$は自然数のとき
$t^{2n} \geqq (t-1)^{2n} + (2t-1)^{2n}$
を証明して下さい。
この動画を見る
$t\geqq \dfrac{1}{2},n$は自然数のとき
$t^{2n} \geqq (t-1)^{2n} + (2t-1)^{2n}$
を証明して下さい。