数列 - 質問解決D.B.（データベース）

【数B】【数列】漸化式4 ※問題文は概要欄

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。
1)

a_{1} = 1

,

(n + 1) a_{n + 1} = n a_{n}

(2)

a_{1} = 1

,

n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n}

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【数B】【数列】漸化式3 ※問題文は概要欄

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。

a_{1}

=

1

,

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3 n

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【数B】【数列】漸化式2 ※問題文は概要欄

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。
(1)

a_{1} = 10

,

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 2}

(2)

a_{1} = 3

,

a_{n + 1} = 6 a_{n} + 3^{n + 1}

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【数B】【数列】漸化式1 ※問題文は概要欄

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

教材： #4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ。
(1)

a_{1} = 1

,

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 1}

(2)

a_{1} = \frac{1}{2}

,

a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 3}

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【数B】【数列】その他の数列3 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列1,2,3,……,nにおいて、次の積の和を求めよ。
（１）異なる2つの項の積の和（n≧2）
（２）互いに隣合わない異なる2つの項の積の和（n≧3）

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【数B】【数列】その他の数列2 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の和

S

を求めよ。

(1) S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5 + \dots + n \cdot 5^{n - 1}

(2) S = 1 + 4 x + 7 x^{2} + \dots + (3 n - 2) x^{n - 1}

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【数B】【数列】その他の数列1 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
数列

{a_{n}}

が

a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = n (n + 1)

を満たすとき、和

a_{1} + a_{2} + \dots a_{n}

を求めよ。

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【数B】【数列】群数列 ※問題文は概要欄

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題１
自然数の列を、次のように1個、2個、4個、8個、……、2^(n-1)個、……の群に分ける。
1 | 2, 3 | 4, 5, 6, 7 | 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | 16, ……
（１）第n群の最初の自然数を求めよ。
（２）500は第何群の第何項か。
（３）第n群にあるすべての自然数の和を求めよ。

問題２
数列1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1,……がある。
（１）nを自然数としたとき、自然数n²が初めて現れるのは第何項か。
（２）第100項を求めよ。
（３）初項から第100項までの和を求めよ。

問題３
数列
(1/2), (1/3), (2/3), (1/4), (2/4), (3/4), (1/5), (2/5), (3/5), (4/5), (1/6), ……
において、初項から第800項までの和を求めよ。

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福田のおもしろ数学383〜関数方程式

単元： #数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

0

以上の整数の集合を

N

_{0}

とする。

f :

N

_{0}

→

N

_{0}

が任意の

x ≧ y \in

N

_{0}

で

f (x^{2}) - f (y^{2}) = f (x + y) f (x - y)

を満たす。

f (x)

を求めよ。

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大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1,

a_{n} \neq 0

a_{n} = 3 (\sqrt{S_{n}} - \sqrt{S_{n - 1}}), 2 \leq n

1.

a_{2}

を求めよ。
2.

\sqrt{S_{n}}

を求めよ。
3.

a_{n}

を求めよ。

出典：1999年　千葉大学

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百マス計算全部出したらなんぼ？

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
「百マス計算全部出したらいくつか」について解説しています。

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2025年度入試に出るかも？～答えが2025になる計算問題～

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
2025年度入試に出るかも？
「答えが2025になる計算問題」について解説しています。
※問題文は動画内参照

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大学入試問題#895「2番だけで良い大問」　#福井大学医学部(2015)　#数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福井大学#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 2

3 a_{n + 1} - 4 a_{n} + 1 = 0

１．数列{

a_{n}

}の一般項を求めよ。

２．

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}

の小数部分を

b_{n}

とし、数列{

b_{n}

}の一般項を求めよ。

３．

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{b_{k}}

を求めよ。

出典：2015年福井大学医学部

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これ解ける？

単元： #算数(中学受験)#計算と数の性質#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#規則性（周期算・方陣算・数列・日暦算・N進法）#数学(高校生)#数B

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
これ解ける？
※問題文は動画内参照

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#指数関数#対数関数#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数

a

に対して

f (a)

=

\frac{1}{2} (2^{a} - 2^{- a})

とおく。また、

A

=

2^{a}

とする。
(1)等式

{(A - \frac{1}{A})}^{3}

=

ア {(A - \frac{1}{A})}^{3}

－

イ (A - \frac{1}{A})

　より、実数

a

に対して

{f (a)}^{3}

=

\frac{ウ}{エ} f (3 a)

－

\frac{オ}{カ} f (a)

　...①が成り立つ。
(2)実数

a

,

b

に対して

f (a)

=

b

が成り立つならば、

A

=

2^{a}

は2次方程式

A^{2}

－

キ b A

－

ク

=0
を満たす。

2^{a}

>0より、

a

は

b

を用いて

a

=

\log_{2} (ケ b + \sqrt{b^{2} + コ})

　...②
と表せる。つまり、任意の実数bに対して

f (a)

=

b

となる実数

a

が、ただ1つに定まる。
以下、数列

{a_{n}}

に対して

f (a_{n})

=

b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{b_{n}}

が、関係式

4 b_{n + 1}^{3}

+

3 b_{n + 1}

－

b_{n}

=0　(

n

=1,2,3,...)　...③
を満たすとする。
(3)①と③から

f (サ a_{n + 1})

=

f (a_{n})

　(

n

=1,2,3,...)となるので、(2)より、

a_{n}

=

\frac{a_{1}}{シ^{n - p}}

　(

n

=1,2,3,...)が得られる。ここで、

p

=

ス

である。
(4)

n

≧2に対して、

S_{n}

=

\sum_{k = 2}^{n} 3^{k - 1} b_{k}^{3}

　とおく。

c_{n}

=

3^{n} b_{n}

　(

n

=1,2,3,...)で定まる数列

{c_{n}}

の階差数列を用いると、③より、

S_{n}

=

\frac{セ}{ソ} b_{1}

－

\frac{タ^{n}}{チ} b_{n}

　(

n

=2,3,4,...)
となる。ゆえに、

b_{1}

=

\frac{4}{3} S_{5}

－108　が成り立つならば

a_{1}

=

ツ テ ト \log_{2} ナ

　である。

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福田のおもしろ数学175〜0から10^nまでの数に現れる各桁の数字の総和を求める

単元： #数列#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
0から

10^{n}

までに現れる各桁の数字の総和を求めてください。(

10^{n}

も含む)

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大学入試問題#862「計算力と根性！」　#京都大学(2023)　#数列

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{r} {\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{n} = \frac{S_{n}}{n} + (n - 1) ・ 2^{n} \end{cases} \end{array}

を満たすような数列

{a_{n}}

の一般項を求めよ

出典：2023年京都大学　入試問題

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289 フィボナッチ数列をプログラムする！：100を超えるのは何項目？#shorts

単元： #情報Ⅰ(高校生)#数列#漸化式#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション#数B

指導講師：めいちゃんねる

問題文全文(内容文)：
289 フィボナッチ数列をプログラムする！：100を超えるのは何項目？#shorts
【問題文】次のプログラムの実行結果を答えよ。
※プログラムは動画内参照

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288 数列の100以下の項を足し合わせる：漸化式とΣの面倒な問題もプログラムで楽々解決！ #shorts

単元： #情報Ⅰ(高校生)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学(高校生)#プログラミング#プログラムによる動的シミュレーション#数B

指導講師：めいちゃんねる

問題文全文(内容文)：
288 数列の100以下の項を足し合わせる：漸化式とΣの面倒な問題もプログラムで楽々解決！ #shorts
【問題文】次のプログラムの実行結果を答えよ。
※プログラムは動画内参照

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福田の数学〜神戸大学2024年文系第1問〜3次関数で定義された数列

単元： #数列#漸化式#神戸大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

=

\frac{1}{3} x^{3}

－10

x

　(

x

≧0)
が最小値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

=

\frac{1}{3} x^{3}

－100

a_{n} x

　(

x

≧0)
が最小値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

=

\log_{10} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

と

b_{1}

を求めよ。　(2)

a_{n + 1}

を

a_{n}

を用いて表せ。
(3)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(4)数列

{b_{n}}

の一般項を求めよ。
(5)

\frac{a_{1} a_{2} a_{3}}{100}

　の値を求めよ。

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福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#神戸大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

c

を正の実数とする。各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{c - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{c}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{a_{n} - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{a_{n}}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

=

\log_{2} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

を

c

を用いて表せ。
(2)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(3)数列

{b_{n}}

の一般項を

n

と

c

を用いて表せ。

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福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#大阪大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

素数を小さい順に並べて得られる数列を

p_{1}

,

p_{2}

, ...,

p_{n}

, ...
とする。
(1)

p_{15}

の値を求めよ。
(2)

n

≧12のとき、不等式

p_{n}

>

3 n

が成り立つことを示せ。

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福田の数学〜慶應義塾大学2024年商学部第2問(2)〜ベクトルの列とその絶対値の評価

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#指数関数と対数関数#対数関数#数列#平面上のベクトルと内積#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

(2)ベクトルの列

\vec{a_{1}}

,

\vec{a_{2}}

, ...,

\vec{a_{n}}

, ...を条件

\vec{a_{1}}

=(1,0),

\vec{a_{2}}

=

(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})

,

\vec{a_{n + 2}}

=

\frac{\vec{a_{n + 1}} ・ \vec{a_{n}}}{| \vec{a_{n}} |^{2}} \vec{a_{n}}

で定める。このとき

\vec{a_{9}}

=

(\frac{イ}{ウ エ オ}, カ)

である。また、

| \vec{a_{n}} |

<

10^{- 25}

を満たす最小の自然数

n

は

キ ク

である。ただし、必要であれば、

\log_{10} 2

=0.301を近似として用いてよい。

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福田のおもしろ数学142〜チェビシェフの多項式に関する証明

単元： #数Ⅱ#式と証明#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#加法定理とその応用#数列#数学的帰納法#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

n

を正の整数とする。

\cos n θ

は

\cos θ

の

n

次式で表されることを証明してください。

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福田のおもしろ数学138〜シグマ計算

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

\sum_{k = 1}^{n} k (k!)

　を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第4問〜確率漸化式

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

2つのチーム

W

,

K

が

n

回試合を行う。ただし

n

≧2とする。各試合での

W

,

K

それぞれの勝つ確率は

\frac{1}{2}

とし、引き分けはないものとする。

W

が連敗しない確率を

p_{n}

とする。ただし、連敗とは2回以上続けて負けることを言う。
(1)

p_{3}

を求めよ。
(2)

p_{n + 2}

を

p_{n + 1}

と

p_{n}

を用いて表せ。
(3)以下の2式を満たす

α

,

β

を求めよ。ただし、

α

<

β

とする。

p_{n + 2}

－

β p_{n + 1}

=

α (p_{n + 1} - β p_{n})

p_{n + 2}

－

α p_{n + 1}

=

β (p_{n + 1} - α p_{n})

(4)

p_{n}

　を求めよ。

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福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第2問〜重複順列と連立漸化式

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

n

を自然数とし、数1, 2, 4を重複を許して

n

個並べてできる

n

桁の自然数全体を考える。そのうちで3の倍数となるものの個数を

a_{n}

、3で割ると1余るものの個数を

b_{n}

、3で割ると2余るものの個数を

c_{n}

とする。
(1)

a_{n + 1}

を

b_{n}

,

c_{n}

を用いて表せ。同様に

b_{n + 1}

を

a_{n}

,

c_{n}

を用いて、

c_{n + 1}

を

a_{n}

,

b_{n}

を用いて表せ。
(2)

a_{n + 2}

を

n

と

c_{n}

を用いて表せ。
(3)

a_{n + 6}

を

n

と

a_{n}

を用いて表せ。
(4)

a_{6 m + 1} (m = 0, 1, 2, . . .)

を

m

を用いて表せ。

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福田のおもしろ数学127〜こんな漸化式解けるの？〜難しい漸化式の解き方

単元： #数列#漸化式#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

a_{1}

=

\frac{1}{2}

,

a_{n + 1}

=

\sqrt{\frac{a_{n} + 1}{2}}

を満たす数列

{a_{n}}

の一般項

a_{n}

を求めよ。

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福田の数学〜一橋大学2024年文系第1問〜シグマが2024になるような2変数の値

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

\sum_{k = 1}^{m} k (n - 2 k)

=2024 を満たす正の整数の組(

m

,

n

)を求めよ。

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福田の数学〜東北大学2024年文系第4問〜連立漸化式と不定方程式の整数解

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とする。2つの整数

a_{n}

,

b_{n}

を条件

(1 + \sqrt{2})^{n}

=

a_{n}

+

b_{n} \sqrt{2}

により定める。ここで

\sqrt{2}

は無理数なので、このような整数の組(

a_{n}

,

b_{n}

)はただ1つに定まる。
(1)

a_{n + 1}

,

b_{n + 1}

を

a_{n}

,

b_{n}

を用いてそれぞれ表せ。さらに

b_{4}

,

b_{5}

,

b_{6}

の値をそれぞれ求めよ。
(2)等式

(1 - \sqrt{2})^{n}

=

a_{n}

－

b_{n} \sqrt{2}

が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。
(3)

n

≧2 のとき、

b_{n + 1} b_{n - 1}

－

b_{n}^{2}

を求めよ。
(4)

p b_{6}

－

q b_{5}

=1, 0≦

p

≦100, 0≦

q

≦100 をすべて満たす整数

p

,

q

の組(

p

,

q

)を1組求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 数列

【数B】【数列】漸化式4 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】漸化式3 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】漸化式2 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】漸化式1 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】その他の数列3 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】その他の数列2 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】その他の数列1 ※問題文は概要欄

【数B】【数列】群数列 ※問題文は概要欄

福田のおもしろ数学383〜関数方程式

大学入試問題#923「帰納法で解いても良いのかな」

百マス計算全部出したらなんぼ？

2025年度入試に出るかも？～答えが2025になる計算問題～

大学入試問題#895「2番だけで良い大問」 #福井大学医学部(2015) #数列

これ解ける？

福田の数学〜慶應義塾大学2024年経済学部第3問〜指数関数で定義された数列の漸化式

福田のおもしろ数学175〜0から10^nまでの数に現れる各桁の数字の総和を求める

大学入試問題#862「計算力と根性！」 #京都大学(2023) #数列

289 フィボナッチ数列をプログラムする！：100を超えるのは何項目？#shorts

288 数列の100以下の項を足し合わせる：漸化式とΣの面倒な問題もプログラムで楽々解決！ #shorts

福田の数学〜神戸大学2024年文系第1問〜3次関数で定義された数列

福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

福田の数学〜慶應義塾大学2024年商学部第2問(2)〜ベクトルの列とその絶対値の評価

福田のおもしろ数学142〜チェビシェフの多項式に関する証明

福田のおもしろ数学138〜シグマ計算

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第4問〜確率漸化式

福田の数学〜早稲田大学2024年理工学部第2問〜重複順列と連立漸化式

福田のおもしろ数学127〜こんな漸化式解けるの？〜難しい漸化式の解き方

福田の数学〜一橋大学2024年文系第1問〜シグマが2024になるような2変数の値

福田の数学〜東北大学2024年文系第4問〜連立漸化式と不定方程式の整数解

数列

大学入試問題#895「2番だけで良い大問」　#福井大学医学部(2015)　#数列

大学入試問題#862「計算力と根性！」　#京都大学(2023)　#数列