数B
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山形大（医）確率 等比数列の和 高校数学 Japanese university entrance exam questions
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
山形大学過去問題
箱に白玉が3個、赤玉が2個。1個とり出し、白なら戻す。赤なら戻さない。
2個目の赤が出たら終了。n回目に終わる確率を求めよ。
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山形大学過去問題
箱に白玉が3個、赤玉が2個。1個とり出し、白なら戻す。赤なら戻さない。
2個目の赤が出たら終了。n回目に終わる確率を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜数列・シグマ記号(2)〜高校2年生
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
(1)$2^2+4^2+6^2+8^2+\cdots+(2n)^2$
(2)$1・2・3+2・3・5$$+3・4・7+$$4・5・9+$$\cdots+n(n+1)(2n+1)$
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
(1)$2, 2+4, 2+4+6,$$ 2+4+6+8,\cdots$
(2)$1^2+1・2+2^2,$$ 2^2+2・3+3^2,$$ 3^2+3・4+4^2,\cdots$
(3)$1, 11, 111, 1111,\cdots$
次の数列の和を求めよ。
(1)$1・n, 3(n-1), 5(n-2),$$\cdots$$, (2n-3)・2$$, (2n-1)・1$
(2)$1^2・n, 2^2(n-1), 3^2(n-2),$$\cdots$$, (n-1)^2・2$$, n^2・1$
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次の和を求めよ。
(1)$2^2+4^2+6^2+8^2+\cdots+(2n)^2$
(2)$1・2・3+2・3・5$$+3・4・7+$$4・5・9+$$\cdots+n(n+1)(2n+1)$
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
(1)$2, 2+4, 2+4+6,$$ 2+4+6+8,\cdots$
(2)$1^2+1・2+2^2,$$ 2^2+2・3+3^2,$$ 3^2+3・4+4^2,\cdots$
(3)$1, 11, 111, 1111,\cdots$
次の数列の和を求めよ。
(1)$1・n, 3(n-1), 5(n-2),$$\cdots$$, (2n-3)・2$$, (2n-1)・1$
(2)$1^2・n, 2^2(n-1), 3^2(n-2),$$\cdots$$, (n-1)^2・2$$, n^2・1$
福田の一夜漬け数学〜数列・シグマ記号(1)〜高校2年生
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n(3k^2+7k+2)$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^nk(k^2+1)$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n(-2)^{k-1}$
次の和を求めよ。
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}}$
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次の和を求めよ。
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n(3k^2+7k+2)$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^nk(k^2+1)$
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n(-2)^{k-1}$
次の和を求めよ。
(1)$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}$
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt k+\sqrt{k+1}}$
一橋大学 確率 高校数学 Japanese university entrance exam questions
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2016一橋大学過去問題
硬貨が2枚ある。最初は2枚とも表の状態で置かれている。次の操作をn回行った後、硬貨が2枚とも裏になっている確率を求めよ。
(操作)2枚とも表、又は2枚とも裏のとき、2枚とも投げる。表裏各1枚のときには表の硬貨だけ投げる。
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2016一橋大学過去問題
硬貨が2枚ある。最初は2枚とも表の状態で置かれている。次の操作をn回行った後、硬貨が2枚とも裏になっている確率を求めよ。
(操作)2枚とも表、又は2枚とも裏のとき、2枚とも投げる。表裏各1枚のときには表の硬貨だけ投げる。
福田の一夜漬け数学〜等差数列・等比数列(2)〜高校2年生
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$8,a,b$がこの順に等差数列、$a,b,36$がこの順に等比数列をなすとき、
$a,b$の値を求めよ。
等差数列をなす3つの数がある。その和は$3$で、2乗の和は$35$である。
この3つの数を求めよ。
$10$以上$50$以下の分数で、分母が$3$である既約分数の和を求めよ。
$p$を素数、自然数$m,n$を$m \lt n$とする。$m$と$n$の間にあって$p$を分母と
する既約分数の総和を求めよ。
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$8,a,b$がこの順に等差数列、$a,b,36$がこの順に等比数列をなすとき、
$a,b$の値を求めよ。
等差数列をなす3つの数がある。その和は$3$で、2乗の和は$35$である。
この3つの数を求めよ。
$10$以上$50$以下の分数で、分母が$3$である既約分数の和を求めよ。
$p$を素数、自然数$m,n$を$m \lt n$とする。$m$と$n$の間にあって$p$を分母と
する既約分数の総和を求めよ。
福田の一夜漬け数学〜等差数列・等比数列(1)〜高校2年生
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
初項から第10項までの和が550,初項から第20項までの和が700である
等差数列$\left\{a_n\right\}$について
(1)一般項$a_n$を求めよ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$の第20項から第30項までの和を求めよ。
(3)初項から第$n$項までの和$S_n$の最大値とそのときのnの値を求めよ。
初項から第4項までの和が45,初項から第8項までの和が765である
等比数列$\left\{a_n\right\}$を考える。
(1)一般項$a_n$を求めよ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$の公比が正であるとき、数列$\left\{a_{2n-1}\right\}$はどのような数列か。
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初項から第10項までの和が550,初項から第20項までの和が700である
等差数列$\left\{a_n\right\}$について
(1)一般項$a_n$を求めよ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$の第20項から第30項までの和を求めよ。
(3)初項から第$n$項までの和$S_n$の最大値とそのときのnの値を求めよ。
初項から第4項までの和が45,初項から第8項までの和が765である
等比数列$\left\{a_n\right\}$を考える。
(1)一般項$a_n$を求めよ。
(2)数列$\left\{a_n\right\}$の公比が正であるとき、数列$\left\{a_{2n-1}\right\}$はどのような数列か。
横浜市立（医）漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#横浜市立大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2016横浜市立大学過去問題
$a_1=1 , a_2 = 1$
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n = 0$
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2016横浜市立大学過去問題
$a_1=1 , a_2 = 1$
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n = 0$
一橋大 数学的帰納法 高校数学 Japanese university entrance exam questions
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2009一橋大学過去問題
$α={}^3\sqrt{7+5\sqrt{2}}$ $\quad$ $β={}^3\sqrt{7-5\sqrt{2}}$
n自然数
$α^n+β^n$は自然数であることを示せ。
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2009一橋大学過去問題
$α={}^3\sqrt{7+5\sqrt{2}}$ $\quad$ $β={}^3\sqrt{7-5\sqrt{2}}$
n自然数
$α^n+β^n$は自然数であることを示せ。
弘前大（医、他）分数型漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#弘前大学#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2010弘前大学過去問題
$a_1 = 4 \quad a_{n+1} = \frac{4a_n+3}{a_n+2}$
(1) $b_n = \frac{a_n -3}{a_n+1}$
$b_n$の漸化式を求めよ。
(2)$a_n$を求めよ。
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2010弘前大学過去問題
$a_1 = 4 \quad a_{n+1} = \frac{4a_n+3}{a_n+2}$
(1) $b_n = \frac{a_n -3}{a_n+1}$
$b_n$の漸化式を求めよ。
(2)$a_n$を求めよ。
東大 確率 漸化式 高校数学 Japanese university entrance exam questions Tokyo University
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
'91東京大学過去問題
正四面体をn回転がしたとき、最初に床に接していた面が床に接している確率
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'91東京大学過去問題
正四面体をn回転がしたとき、最初に床に接していた面が床に接している確率
漸化式・特性方程式・三項間漸化式・視聴者からの質問への返答
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
漸化式・特性方程式・三項間漸化式・視聴者からの質問への返答です.
$a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n=0$ $a_1=1$ $a_2=2$
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漸化式・特性方程式・三項間漸化式・視聴者からの質問への返答です.
$a_{n+2}-3a_{n+1}-4a_n=0$ $a_1=1$ $a_2=2$
質問に対する返答です。整数問題,数列の和
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$1 \leqq t< u < v \leqq 6m$
$t+u+v=6m$
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$1 \leqq t< u < v \leqq 6m$
$t+u+v=6m$
【高校数学】数Ⅲ-71 数列の極限⑦(無限等比数列)
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
①$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+2(n=1,2,･･･)$によって
定められる数列$\{a_n\}$について、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ。
②$a_1=o,a_2=1,a_{n+2}=\dfrac{1}{4}(a_{n+1}+3a_n)(n=1,2,･･･)$によって
定められる数列$\{a_n\}$について、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ。
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①$a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+2(n=1,2,･･･)$によって
定められる数列$\{a_n\}$について、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ。
②$a_1=o,a_2=1,a_{n+2}=\dfrac{1}{4}(a_{n+1}+3a_n)(n=1,2,･･･)$によって
定められる数列$\{a_n\}$について、$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ。
確率漸化式 特性方程式
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
(1)正三角形ABCの頂点を1秒ごとに無作為に必ず隣の頂点に移動する虫がいる。虫がはじめ頂点Aにいる時、n秒後に頂点Aにいる確率を求めよ。
(2)2,3,5,7,9の数字が書かれたカードが各1枚入った箱がある。箱から無作為に1枚取り出し数字をメモしてカードは箱に戻す。これをn回繰り返したときにメモされた数字の合計が奇数である確率を求めよ。
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(1)正三角形ABCの頂点を1秒ごとに無作為に必ず隣の頂点に移動する虫がいる。虫がはじめ頂点Aにいる時、n秒後に頂点Aにいる確率を求めよ。
(2)2,3,5,7,9の数字が書かれたカードが各1枚入った箱がある。箱から無作為に1枚取り出し数字をメモしてカードは箱に戻す。これをn回繰り返したときにメモされた数字の合計が奇数である確率を求めよ。
確率、等比数列 巴戦は平等な優勝決定法か？（類）東大、神戸大
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
確率、等比数列 巴戦は平等な優勝決定法か？
（類）東大、神戸大
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確率、等比数列 巴戦は平等な優勝決定法か？
（類）東大、神戸大
ハノイの塔 漸化式 規則性
ド・モアブルの定理を数学的帰納法で証明するよ。
【高校数学】 数B－１１７(最終回) 推定
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#標本調査#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
①大きさ100の標本の平均値は56.3で,標本標準偏差は10.2である.
このとき,母平均$m$に対して,信頼度95%の信頼区間を求めよう.
②ある工場で生産される製品の不良率を信頼度95%で推定したい.
この不良率がほぼ5%であると予想できるとき,
信頼区間の幅を0.02以下にするには標本の大きさをいくらにすればよいか求めよう.
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①大きさ100の標本の平均値は56.3で,標本標準偏差は10.2である.
このとき,母平均$m$に対して,信頼度95%の信頼区間を求めよう.
②ある工場で生産される製品の不良率を信頼度95%で推定したい.
この不良率がほぼ5%であると予想できるとき,
信頼区間の幅を0.02以下にするには標本の大きさをいくらにすればよいか求めよう.
【高校数学】 数B－１１６ 母集団と標本②
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
$P(1)=0.3413,P(2)=0.4772$として,次の確率を求めよう.
①母平均120,母標準偏差30をもつ母集団から,
大きさ100の無作為標本を抽出するとき,
その標本平均$\overline{X}$が123より大きい値をとる確率
②ある学校の生徒を母集団とするとき,
その身長は平均165cm,標準偏差4cmの正規分布をなしていた.
この母集団から無作為に64人の標本を抽出したとき,
その標本平均が164cm以上166cm以下である確率
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$P(1)=0.3413,P(2)=0.4772$として,次の確率を求めよう.
①母平均120,母標準偏差30をもつ母集団から,
大きさ100の無作為標本を抽出するとき,
その標本平均$\overline{X}$が123より大きい値をとる確率
②ある学校の生徒を母集団とするとき,
その身長は平均165cm,標準偏差4cmの正規分布をなしていた.
この母集団から無作為に64人の標本を抽出したとき,
その標本平均が164cm以上166cm以下である確率
【高校数学】 数B－１１５ 母集団と標本①
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#標本調査#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
1,2,3の数字を記入した玉が,それぞれ2個,3個,5個袋の中に入っている.
これを母集団として,次の問いに答えよう.
①玉に書かれている数字の母集団分布を求めよう.
②母平均$m$,母分散$\sigma^2$,母標準偏差$\sigma$を求めよう。
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1,2,3の数字を記入した玉が,それぞれ2個,3個,5個袋の中に入っている.
これを母集団として,次の問いに答えよう.
①玉に書かれている数字の母集団分布を求めよう.
②母平均$m$,母分散$\sigma^2$,母標準偏差$\sigma$を求めよう。
【高校数学】 数B－１１４ 正規分布③
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
確率変数$X$は正規分布$N(2,5^2)$に従うとき,
次の確率を求めよう.
ただし,$P(0.4)=0.1554,P(1)=0.3413,P(2)=0.4772$とする.
①$P(2\leqq X \leqq 12)$
②$P(0\leqq X \leqq 7)$
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確率変数$X$は正規分布$N(2,5^2)$に従うとき,
次の確率を求めよう.
ただし,$P(0.4)=0.1554,P(1)=0.3413,P(2)=0.4772$とする.
①$P(2\leqq X \leqq 12)$
②$P(0\leqq X \leqq 7)$
【高校数学】 数B－１１３ 正規分布②
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき,
次の確率を求めよう.
ただし,$P(1)=0.3413,P(2)=0.4772$とする.
①$P(-1\leqq Z \leqq 2)$
②$P(1\leqq Z \leqq 2)$
③$P(Z\geqq 1)$
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確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,1)$に従うとき,
次の確率を求めよう.
ただし,$P(1)=0.3413,P(2)=0.4772$とする.
①$P(-1\leqq Z \leqq 2)$
②$P(1\leqq Z \leqq 2)$
③$P(Z\geqq 1)$
【高校数学】 数B－１１２ 正規分布①
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられたとき,
指定された確率をそれぞれ求めよう.
①$f(x)=2x(0\leqq x \leqq 1) \quad 0.3\leqq X \leqq 0.5$である確率
②$f(x)=1-\dfrac{1}{2}x(0\leqq x\leqq 2) \quad 0.4\leqq X \leqq 1.2$である確率
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確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられたとき,
指定された確率をそれぞれ求めよう.
①$f(x)=2x(0\leqq x \leqq 1) \quad 0.3\leqq X \leqq 0.5$である確率
②$f(x)=1-\dfrac{1}{2}x(0\leqq x\leqq 2) \quad 0.4\leqq X \leqq 1.2$である確率
【高校数学】 数B－１１１ 二項分布③
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
①1個のさいころを100回投げて,3の倍数の目が出る回数をXとする.
$X$の期待値, 分散,標準偏差を求めよう.
②赤玉が6個,白玉が4個入った袋から1球を取り出し,色を調べてからもとに戻す.
これを6回繰り返して,赤玉の出た回数を$X$とするとき,
$X$の期待値,分散,標準偏差を求めよう.
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①1個のさいころを100回投げて,3の倍数の目が出る回数をXとする.
$X$の期待値, 分散,標準偏差を求めよう.
②赤玉が6個,白玉が4個入った袋から1球を取り出し,色を調べてからもとに戻す.
これを6回繰り返して,赤玉の出た回数を$X$とするとき,
$X$の期待値,分散,標準偏差を求めよう.
【高校数学】 数B－１１０ 二項分布②
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
次の二項分布の平均,分散,標準偏差を求めよう.
①$B\left(9,\dfrac{2}{3}\right)$
②$B\left(5,\dfrac{1}{4}\right)$
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次の二項分布の平均,分散,標準偏差を求めよう.
①$B\left(9,\dfrac{2}{3}\right)$
②$B\left(5,\dfrac{1}{4}\right)$
【高校数学】 数B－１０９ 二項分布①
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
1個のさいころを5回投げて,3の倍数の目が出る回数を$X$とする.
$X$はどのような二項分布に従うか.
また,次の確率を求めよう.
①$P(x=2)$
②$P(4\leqq X \leqq 5)$
③$P(X \leqq 2)$
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1個のさいころを5回投げて,3の倍数の目が出る回数を$X$とする.
$X$はどのような二項分布に従うか.
また,次の確率を求めよう.
①$P(x=2)$
②$P(4\leqq X \leqq 5)$
③$P(X \leqq 2)$
【高校数学】 数B－１０８ 確率変数の和と積③
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
大中小3個のさいころを投げるとき,次の値を求めよう.
①出る目の和の期待値
②出る目の積の期待値
③出る目の和の分散
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大中小3個のさいころを投げるとき,次の値を求めよう.
①出る目の和の期待値
②出る目の積の期待値
③出る目の和の分散
【高校数学】 数B－１０７ 確率変数の和と積②
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
袋Aには赤玉3個,白玉2個,袋Bには赤玉2個,白玉3個が入っている.
それぞれの袋から2個の玉を同時に取り出すとき,
取り出した計4個の中の白玉の個数を$X$とする.
①確率変数$X$の期待値を求めよう.
②確率変数$X$の分散を求めよう.
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袋Aには赤玉3個,白玉2個,袋Bには赤玉2個,白玉3個が入っている.
それぞれの袋から2個の玉を同時に取り出すとき,
取り出した計4個の中の白玉の個数を$X$とする.
①確率変数$X$の期待値を求めよう.
②確率変数$X$の分散を求めよう.
【高校数学】 数B－１０６ 確率変数の和と積①
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
①2枚の硬貨を同時に投げる試行を2回行う.
1回目の試行で表の出る枚数を$X$, 2回目の試行で表の出る枚数を$Y$とするとき,
$X$と$Y$の同時分布を求めよう.
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①2枚の硬貨を同時に投げる試行を2回行う.
1回目の試行で表の出る枚数を$X$, 2回目の試行で表の出る枚数を$Y$とするとき,
$X$と$Y$の同時分布を求めよう.
【高校数学】 数B－１０５ 分散と標準偏差
単元：
#確率分布と統計的な推測#確率分布#数学(高校生)#数B
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
確率変数$Y$の「確率分布が下の図で与えられるとき,
次の値を求めよう.
①$X$の分散
②$X$の標準偏差
$\begin{array}{c|ccc|c}
X & \ 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \dfrac{3}{6} & \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{6} & 1 & \\
\end{array}$
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確率変数$Y$の「確率分布が下の図で与えられるとき,
次の値を求めよう.
①$X$の分散
②$X$の標準偏差
$\begin{array}{c|ccc|c}
X & \ 0 & 1 & 2 & 計 \\
\hline
P & \dfrac{3}{6} & \dfrac{2}{6} & \dfrac{1}{6} & 1 & \\
\end{array}$