関数と極限

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

p

を

2

以上の自然数の定数とする。

n

=

2

,

3

,

4

...に対して、関数

f_{n} (x)

(n > 0)

を

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n}) (1 + \frac{x}{n + 1}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{x}{p n})

で定める。例えば

p

=

2

のとき

f_{2} (x) = (1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{3}) (1 + \frac{x}{4})

f_{3} (x) = (1 + \frac{x}{3}) (1 + \frac{x}{4}) (1 + \frac{x}{5}) (1 + \frac{x}{6})

である。

f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)

(n > 0)

とおくとき、次の問に答えよ。

(1)

t

≧

0

のとき、不等式

\frac{t}{1 + t}

≦

\log (1 + t)

≦

t

が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。

(2)

f (x)

を求めよ。

この動画を見る　

難易度バリ高の極限　by 餃子n人前さん　※作成者の解答を参考に動画を作成しています。

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

a_{1} = 1,

a_{n + 1} + a_{n} = \frac{1}{n}

のとき、

lim_{n \to \infty} | n a_{n} |

を求めよ

この動画を見る　

【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方とグラフの書き方【NI・SHI・NOがていねいに解説】

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求め，そのグラフをかけ。

y ＝ l o g_{\frac{1}{3}} x

この動画を見る　

【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方【NI・SHI・NOがていねいに解説】

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求めよ。

y ＝ \frac{x - 2}{3 x + 1}

この動画を見る　

福田のおもしろ数学183〜xが−1と1の間の数のときにnx^nが0に収束することの証明

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
|

x

|＜1　のとき、

lim_{n \to \infty} n x^{n}

=0　を示せ。

この動画を見る　

音楽と数学の相関関係～全国入試問題解法 #数学 #勉強 #高校入試 #数検 #点数

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん

問題文全文(内容文)：
音楽と数学の相関関係

lim_{x \to 1} \frac{a x - 1}{x - a}

を求めよ。

この動画を見る　

福田のおもしろ数学169〜log x/xの極限

単元： #関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}

=0　を証明せよ。

この動画を見る　

福田の数学〜九州大学2024年理系第5問〜定積分で定義された数列の極限

単元： #関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

自然数

m

,

n

に対して

I (m, n)

=

\int_{1}^{e} x^{m} e^{x} (\log x)^{n} d x

とする。以下の問いに答えよ。
(1)

I (m + 1, n + 1)

を

I (m, n + 1)

,

I (m, n)

,

m

,

n

を用いて表せ。
(2)すべての自然数

m

に対して、

lim_{n \to \infty} I (m, n)

=0　が成り立つことを示せ。

この動画を見る　

πをどうやって表しますか？

単元： #関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：【楽しい授業動画】あきとんとん

問題文全文(内容文)：
円周率の表し方解説動画です

この動画を見る　

福田のおもしろ数学164〜階乗とn乗の商の極限

単元： #関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} \frac{n!}{3^{n}}

と

lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^{n}}

　を求めなさい。

この動画を見る　

大学入試問題#846「基本問題」　#岩手大学(2017)　#極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e

を利用して

lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{4}} {l o g (x^{2} + x^{3}) - l o g x^{2}}

を求めよ

出典：2017年岩手大学　入試問題

この動画を見る　

福田のおもしろ数学158〜無理不等式と同値変形

単元： #関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
不等式

\sqrt{2 x + 1}

≧

x

－1　...(＊)を
(1)同値変形することで解け。　(2)グラフを利用して解け。

この動画を見る　

福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#神戸大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

c

を正の実数とする。各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{c - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{c}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{a_{n} - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{a_{n}}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

=

\log_{2} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

を

c

を用いて表せ。
(2)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(3)数列

{b_{n}}

の一般項を

n

と

c

を用いて表せ。

この動画を見る　

#筑波大学(1996) #極限 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 1} - x)

出典：1996年筑波大学

この動画を見る　

#岩手大学(2013) #極限 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岩手大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3 x + 4} - 2}{\sin 3 x}

出典：2013年岩手大学

この動画を見る　

#茨城大学(2023) #極限 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#茨城大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{1}{x} l o g (\frac{e^{x} + 1}{2})

出典：2023年茨城大学

この動画を見る　

#65数検1級1次過去問「ミスれない戦い」　#極限

単元： #関数と極限#数列の極限#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

出典：数検1級1次過去問

この動画を見る　

#筑波大学(2020) #極限 #Shorts

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{1 - \cos x}

出典：2020年筑波大学推薦医学科

この動画を見る　

福田のおもしろ数学132〜合成関数のグラフ

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x)

=

{\begin{matrix} 2 x (0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}) \\ 2 - 2 x (\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1) \end{matrix}

y

=

f (f (x))

のグラフをかけ。

この動画を見る　

福田のおもしろ数学130〜合成関数の性質

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x)

=

a x

+

b

,　

g (x)

=

c x

+

d

(

a

≠0,

c

≠0)とする。このとき次の条件を満たす関数

h (x)

,

k (x)

を求めよ。
(1)

g (h (x))

=

f (x)

　(2)

k (g (x))

=

f (x)

この動画を見る　

約束記号　四天王寺

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

⟨ ⟨ x ⟩ ⟩ = 2 x - 1

とする

⟨ ⟨ ⟨ ⟨ 2 x ⟩ ⟩ - 1 ⟩ ⟩ = x^{2} + 10

x = ?

四天王寺高等学校

この動画を見る　

大学入試問題#800「コメントが難しい」　#兵庫県立大学中期(2012) #極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#兵庫県立大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
実数

x

に対して

f (x) = lim_{x \to \infty} n {\sin (\frac{1 + n}{n} x) + \sin (\frac{1 - n}{n} x)}

とおく。
次の問いに答えよ。
１．

f (x)

を求めよ。
２．定積分

\int_{0}^{π} f (x) d x

を求めよ。

出典：2012年兵庫県立大学中期　入試問題

この動画を見る　

「安定の良問」　by にっし~Diaryさん　#極限

単元： #数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to \infty} \frac{x {\sin (\frac{1}{x}) - \sin (\sin (\frac{1}{x}))}}{1 - x \sin (\frac{1}{x})}

この動画を見る　

福田の数学〜東京工業大学2024年理系第4問〜表の出る確率が異なるコインを投げたときの表が奇数枚出る確率と極限

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

n

を正の整数とし、

C_{1}

,...,

C_{n}

を

n

枚の硬貨とする。各

k

=1,...,

n

に対し、硬貨

C_{k}

を投げて表が出る確率を

p_{k}

、裏が出る確率を1－

p_{k}

とする。この

n

枚の硬貨を同時に投げ、表が出た硬貨の枚数が奇数であれば成功、というゲームを考える。
(1)

p_{k}

=

\frac{1}{3}

(

k

=1,...,

n

)のとき、このゲームで成功する確率

X_{n}

を求めよ。
(2)

p_{k}

=

\frac{1}{2 (k + 1)}

(

k

=1,...,

n

)のとき、このゲームで成功する確率

Y_{n}

を求めよ。
(3)

n

=

3 m

(

m

は正の定数)で

k

=1,...,

3 m

に対して

p_{k}

=

{\begin{matrix} \frac{1}{3 m} (k = 1, . . ., m) \\ \frac{2}{3 m} (k = m + 1, . . ., 2 m) \\ \frac{1}{m} (k = 2 m + 1, . . ., 3 m) \end{matrix}

とする。このゲームで成功する確率を

Z_{3 m}

とするとき、

lim_{m \to \infty} Z_{3 m}

を求めよ。

この動画を見る　

福田の数学〜東京工業大学2024年理系第3問〜点列と漸化式の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

x y

平面上に、点A(

a

,0), B(0,

b

), C(

- a

,0)(ただし0＜

a

＜

b

)をとる。点A,Bを通る直線を

l

とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線を

k

とする。さらに、点Aを通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{1}

とし、点

C_{1}

を通り、

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{1}

とする。以下、

n

=1,2,3,...に対して、点

A_{n}

を通り

y

軸に平行な直線と直線

k

との交点を

C_{n + 1}

、点

C_{n + 1}

を通り

x

軸に平行な直線と直線

l

との交点を

A_{n + 1}

とする。
(1)点

A_{n}

,

C_{n}

の座標を求めよ。
(2)△

C B A_{n}

の面積

S_{n}

を求めよ。
(3)

lim_{n \to \infty} \frac{B A_{n}}{B C}

を求めよ。

この動画を見る　

福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理

単元： #大学入試過去問(数学)#漸化式#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、

x ≦ 2

において

\frac{2}{3} - \frac{1}{3} x ≦ f (x) ≦ 2 - x

を満たしているものとする。数列{

a_{n}

}は漸化式

a_{n + 1} = a_{n} + f (a_{n})

を満たしているものとする。
(i)

a_{1} ≦ 2

ならば、すべての自然数nに対して、

a_{1} ≦ a_{n} ≦ 2

となる事を証明しなさい。
(ii)

a_{1} ≦ 2

ならば、

a_{1}

の値によらず

lim_{n \to \infty} a_{n} = 2

となる事を証明しなさい。

この動画を見る　

【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)

y = \sqrt{x + 2}

(2)

y ＝ \sqrt{- 3 x - 6}

(3)

y ＝ - \sqrt{7 - 4 x}

(4)

y ＝ - \sqrt{\frac{1}{2} x - 3}

この動画を見る　

【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)

y ＝ \sqrt{x ＋ 2}

(2)

y ＝ \sqrt{ー 3 x － 6}

(3)

y ＝ － \sqrt{7 － 4 x}

(4)

y ＝ － \sqrt{\frac{1}{2} x － 3}

この動画を見る　

福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
放物線

y = x^{2}

のうち

- 1 ≦ x ≦ 1

を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき

\vec{O R} = \frac{1}{k} \vec{O P} + k \vec{O Q}

を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および

lim_{k \to + 0} S (k), lim_{k \to \infty} S (k)

を求めよ。

2018東京大学理系過去問

この動画を見る　

大学入試問題#732「まあ面白い良問！」　早稲田大学人間科学部(2022)　級数

単元： #関数と極限#数列の極限#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して、

S_{n} = \int_{e^{n - 1}}^{e^{n}} \frac{\sin (π l o g x)}{x^{2}} d x

とする。

さらに　

T = \sum_{n = 1}^{\infty} S_{n}

とする。

以下の問いに答えよ。
（1）

S_{1}

を求めよ。
（2）

\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}

を求めよ。
（3）

T

を求めよ。

出典：2022年早稲田大学人間科学部　入試問題

この動画を見る　

<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 関数と極限

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

難易度バリ高の極限 by 餃子n人前さん ※作成者の解答を参考に動画を作成しています。

【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方とグラフの書き方【NI・SHI・NOがていねいに解説】

【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方【NI・SHI・NOがていねいに解説】

福田のおもしろ数学183〜xが−1と1の間の数のときにnx^nが0に収束することの証明

音楽と数学の相関関係～全国入試問題解法 #数学 #勉強 #高校入試 #数検 #点数

福田のおもしろ数学169〜log x/xの極限

福田の数学〜九州大学2024年理系第5問〜定積分で定義された数列の極限

πをどうやって表しますか？

福田のおもしろ数学164〜階乗とn乗の商の極限

大学入試問題#846「基本問題」 #岩手大学(2017) #極限

福田のおもしろ数学158〜無理不等式と同値変形

福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

#筑波大学(1996) #極限 #Shorts

#岩手大学(2013) #極限 #Shorts

#茨城大学(2023) #極限 #Shorts

#65数検1級1次過去問「ミスれない戦い」 #極限

#筑波大学(2020) #極限 #Shorts

福田のおもしろ数学132〜合成関数のグラフ

福田のおもしろ数学130〜合成関数の性質

約束記号 四天王寺

大学入試問題#800「コメントが難しい」 #兵庫県立大学中期(2012) #極限

「安定の良問」 by にっし~Diaryさん #極限

福田の数学〜東京工業大学2024年理系第4問〜表の出る確率が異なるコインを投げたときの表が奇数枚出る確率と極限

福田の数学〜東京工業大学2024年理系第3問〜点列と漸化式の極限

福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理

【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！

【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！

福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限

大学入試問題#732「まあ面白い良問！」 早稲田大学人間科学部(2022) 級数

難易度バリ高の極限　by 餃子n人前さん　※作成者の解答を参考に動画を作成しています。

大学入試問題#846「基本問題」　#岩手大学(2017)　#極限

#65数検1級1次過去問「ミスれない戦い」　#極限

約束記号　四天王寺

大学入試問題#800「コメントが難しい」　#兵庫県立大学中期(2012) #極限

「安定の良問」　by にっし~Diaryさん　#極限

大学入試問題#732「まあ面白い良問！」　早稲田大学人間科学部(2022)　級数