関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）

福田の数学〜過去の入試問題(期間限定)〜東京慈恵会医科大学医学部2020第2問〜関数列の極限

単元： #大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学#東京慈恵会医科大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

p

を

2

以上の自然数の定数とする。

n

=

2

,

3

,

4

...に対して、関数

f_{n} (x)

(n > 0)

を

f_{n} (x) = (1 + \frac{x}{n}) (1 + \frac{x}{n + 1}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{x}{p n})

で定める。例えば

p

=

2

のとき

f_{2} (x) = (1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{3}) (1 + \frac{x}{4})

f_{3} (x) = (1 + \frac{x}{3}) (1 + \frac{x}{4}) (1 + \frac{x}{5}) (1 + \frac{x}{6})

である。

f (x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (x)

(n > 0)

とおくとき、次の問に答えよ。

(1)

t

≧

0

のとき、不等式

\frac{t}{1 + t}

≦

\log (1 + t)

≦

t

が成り立つことを示せ。ただし、対数は自然対数とする。

(2)

f (x)

を求めよ。

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【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方とグラフの書き方【NI・SHI・NOがていねいに解説】

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求め，そのグラフをかけ。

y ＝ l o g_{\frac{1}{3}} x

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【高校数学】数Ⅲ：関数：逆関数と合成関数：逆関数の求め方【NI・SHI・NOがていねいに解説】

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数の逆関数を求めよ。

y ＝ \frac{x - 2}{3 x + 1}

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福田のおもしろ数学158〜無理不等式と同値変形

単元： #関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
不等式

\sqrt{2 x + 1}

≧

x

－1　...(＊)を
(1)同値変形することで解け。　(2)グラフを利用して解け。

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福田の数学〜神戸大学2024年理系第1問〜無理関数を利用して定義された数列の一般項

単元： #数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#神戸大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

c

を正の実数とする。各項が正である数列

{a_{n}}

を次のように定める。

a_{1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{c - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{c}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。

a_{n + 1}

は関数

y

=

x

+

\sqrt{a_{n} - x^{2}}

　(0≦

x

≦

\sqrt{a_{n}}

)
が最大値をとるときの

x

の値とする。数列

{b_{n}}

を

b_{n}

=

\log_{2} a_{n}

　で定める。以下の問いに答えよ。
(1)

a_{1}

を

c

を用いて表せ。
(2)

b_{n + 1}

を

b_{n}

を用いて表せ。
(3)数列

{b_{n}}

の一般項を

n

と

c

を用いて表せ。

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福田のおもしろ数学132〜合成関数のグラフ

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x)

=

{\begin{matrix} 2 x (0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}) \\ 2 - 2 x (\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1) \end{matrix}

y

=

f (f (x))

のグラフをかけ。

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福田のおもしろ数学130〜合成関数の性質

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

f (x)

=

a x

+

b

,　

g (x)

=

c x

+

d

(

a

≠0,

c

≠0)とする。このとき次の条件を満たす関数

h (x)

,

k (x)

を求めよ。
(1)

g (h (x))

=

f (x)

　(2)

k (g (x))

=

f (x)

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約束記号　四天王寺

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：数学を数楽に

問題文全文(内容文)：

⟨ ⟨ x ⟩ ⟩ = 2 x - 1

とする

⟨ ⟨ ⟨ ⟨ 2 x ⟩ ⟩ - 1 ⟩ ⟩ = x^{2} + 10

x = ?

四天王寺高等学校

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【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)

y = \sqrt{x + 2}

(2)

y ＝ \sqrt{- 3 x - 6}

(3)

y ＝ - \sqrt{7 - 4 x}

(4)

y ＝ - \sqrt{\frac{1}{2} x - 3}

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【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)

y ＝ \sqrt{x ＋ 2}

(2)

y ＝ \sqrt{ー 3 x － 6}

(3)

y ＝ － \sqrt{7 － 4 x}

(4)

y ＝ － \sqrt{\frac{1}{2} x － 3}

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【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！②

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。

\frac{2 x}{x + 1} ≧ x + 6

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【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。

\frac{3 x - 4}{2 x - 3} < x

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【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。

\frac{3 x - 4}{2 x - 3} < x

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【高校数学】分数関数の漸近線とグラフの簡単な求め方！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ。また，その漸近線を求めよ。

y = \frac{- 2 x - 10}{x + 3}

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【高校数学】分数関数の漸近線とグラフの簡単な求め方！

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の関数のグラフをかけ。また，その漸近線を求めよ。

y = \frac{- 2 x - 10}{x + 3}

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【演習】極限の式変形の方針について解説しました！【数学III】

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師： 3rd School

問題文全文(内容文)：

lim_{x \to 0} \frac{c o s a x - c o s b x}{x^{2}}

を求めよ

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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福田の数学〜上智大学2023年理工学部第2問〜逆関数の微分積分

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

関数

f (x)

=

\sin x

(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})

の逆関数を

g (x)

とする。
(1)関数

g (x)

の定義域は

え

である。
(2)

y

=

g (x)

の

x

=

\frac{4}{5}

における接線の傾きは

\frac{オ}{カ}

である。
(3)

\int_{0}^{\frac{1}{2}} g (x) d x

=

\frac{π}{キ}

+

ク

+

\frac{ケ}{コ} \sqrt{サ}

である。
(4)

y

=

g (x)

のグラフと

x

=1および

x

軸で囲まれた図形を

x

軸のまわりに1回転させてできる立体の体積は

\frac{π^{a}}{シ}

+

ス π

　ただし

a

=

セ

である。

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極限の基本問題　立教大

単元： #関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
立教大学過去問題

lim_{x \to 0} \frac{\sin (1 - \cos x)}{x^{2}}

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福田の数学〜筑波大学2023年理系第5問〜関数の増減と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

f (x)

=

x^{- 2} e^{x}

　(

x

＞0)とし、曲線

y

=

f (x)

をCとする。また

h

を正の実数とする。さらに、正の実数

t

に対して、曲線C、2直線

x

=

t

,

x

=

t

+

h

、および

x

軸で囲まれた図形の面積を

g (t)

とする。
(1)

g^{'} (t)

を求めよ。
(2)

g (t)

を最小にする

t

がただ1つ存在することを示し、その

t

を

h

を用いて表せ。
(3)(2)で得られた

t

を

t (h)

とする。このとき極限値

lim_{h \to + 0} t (h)

を求めよ。

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関西医科大　分数不等式　整数問題

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#関西医科大学

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2022関西医科大学過去問題

f (x) = \frac{6 x^{2} + 17 x + 10}{3 x - 2}

①

f (x) > 0

をみたすxの範囲
②f(n)が正の整数となる整数n

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福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第３問〜逆関数とで囲まれる面積

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

実数xに対して関数f(x)をf(x)=

e^{x - 2}

で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=

\log x

+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ

C_{1}

,

C_{2}

とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと

C_{1}

が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと

C_{1}

との2つの交点のx座標を

α

,

β

とする。ただし

α

＜

β

とする。
直線y=xと

C_{1}

,

C_{2}

をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)

C_{1}

と

C_{2}

で囲まれる図形の面積を(3)の

α

と

β

の多項式で表せ。

2023早稲田大学理工学部過去問

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【0≦θ≦πを問題文に追加】微分すると大変かも・・・　By ～らん～

単元： #数Ⅱ#三角関数#三角関数とグラフ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#数学(高校生)#数B#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

m, n

：自然数

m ≧ 2

f (θ) = \frac{\sin n θ}{\cos n θ + m}

の最大値を

α (m, n)

とする

\sum_{m = 2}^{\infty} {α (m, n)}^{2}

を求めよ

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大学入試問題#457「いかにしてサッパリ解くか！」　横浜国立大学(2001)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x \sqrt{1 + x^{3}}}

出典：2001年横浜国立大学　入試問題

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大学入試問題#455「落とすと落ちる問題②　横浜国立大学後期 (2003)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{1}^{16} \frac{d x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}

出典：2003年横浜国立大学　入試問題

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大学入試問題#454「落とすと落ちる問題①」　横浜国立大学後期 2003　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#三角関数#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#横浜国立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d x}{\sin x + \sqrt{3} \cos x}

出典：2003年横浜国立大学　入試問題

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ハルハルさんの積分問題（準備）　難易度高めの最後まで気が抜けない！！

単元： #三角関数#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

K = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{d x}{\sin x - 2 \cos x + 3}

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大学入試問題#453「落とせない問題」　信州大学(2022)　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#対数関数#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#信州大学#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x (1 + l o g x^{3}) l o g x}

出典：2022年信州大学　入試問題

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題070〜筑波大学2017年度理系第５問〜格子点の個数とガウス記号と区分求積

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数B#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

xy平面において、x座標とy座標がともに整数である点を格子点という。また、実数aに対して、a以下の最大の整数を[a]で表す。記号[ ]をガウス記号という。
以下の問いではNを自然数とする。
(1) nを0

≦

n

≦

Nを満たす整数とする。点(n, 0)と点(n,　N

\sin (\frac{π x}{2 N})

)を結ぶ線分上にある格子点の個数をガウス記号を用いて表せ。
(2) 直線y=xと、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をA(N)とおく。このときA(N)を求めよ。
(3) 曲線y=N

\sin (\frac{π x}{2 N})

(0

≦

x

≦

N)と、x軸、および直線x=Nで囲まれた領域(境界を含む)にある格子点の個数をB(N)とおく。(2)のA(N)に対して

lim_{N \to \infty} \frac{B (N)}{A (N)}

を求めよ。

2017筑波大学理系過去問

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福田の数学〜北里大学2022年医学部第１問(2)〜逆関数と方程式の解

単元： #大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
1 (2)

f (x) = l o g (x / 1 - x)

とする。
関数f(x) の逆関数は

f^{-} 1 (x) = [エ]

である。
方程式

f^{-} 1 (x) - a = 0

が実数解をもつとき、定数aのとり得る値の範囲は[オ]である。
方程式

f^{-} 1 (x) ² - b f^{-} 1 (x) - 3 b = 0

が実数解をもつとき、定数 bのとり得る値の範囲は[カ]である。

2022北里大学医学部過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）

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