関数と極限
関数と極限
福田のおもしろ数学548〜無理関数の不定積分
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
不定積分$I=\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}dx \ (x\gt 1)$を
$x=\dfrac{1}{\cos\theta}$と
置き換えて求めて下さい。
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不定積分$I=\displaystyle \int \sqrt{x^2-1}dx \ (x\gt 1)$を
$x=\dfrac{1}{\cos\theta}$と
置き換えて求めて下さい。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の条件によって定められる数列a₁=8、an+₁=3an+4/an+3(1)bn=1/an-2とおくとき、｛bn｝の一般項を求めよ。(2)｛an｝の一般項とその極限を求めよ
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_n$について、次の問いに答えよ。
$a_1=8$、$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+4}{a_n+3}$
(1) $b_{n}=\dfrac{1}{a_n-2} $とおくとき、$b_n$の一般項を求めよ。
(2) $a_n$の一般項とその極限を求めよ。
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次の条件によって定められる数列$a_n$について、次の問いに答えよ。
$a_1=8$、$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+4}{a_n+3}$
(1) $b_{n}=\dfrac{1}{a_n-2} $とおくとき、$b_n$の一般項を求めよ。
(2) $a_n$の一般項とその極限を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の条件によって定められる数列｛an｝の一般項を求めよ。また、｛an｝の極限を求めよ。a₁=1/2、an+₁=an/2+an
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる
数列$a_n$の一般項を求めよ。
また、$a_n$の極限を求めよ。
$a_1=\dfrac{1}{2}$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2+a_n}$
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次の条件によって定められる
数列$a_n$の一般項を求めよ。
また、$a_n$の極限を求めよ。
$a_1=\dfrac{1}{2}$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2+a_n}$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列｛(x/x²+2p)^n｝がすべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。ただし、p＞0とする。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列｛$\dfrac{x}{x²+2p}^n$｝が
すべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。
ただし、p＞0とする。
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数列｛$\dfrac{x}{x²+2p}^n$｝が
すべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。
ただし、p＞0とする。
【数Ⅲ】【関数と極限】rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。(1) ｒ＞0のとき｛1/2+r^n｝(2) ｒ≠±1のとき｛r^n+2/r^n-1｝(3) ｒ≠0のとき｛1/r^n｝
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) ｒ＞0のとき｛$\dfrac{1}{2+r^n}$｝
(2) ｒ≠±1のとき｛$\dfrac{r^n+2}{r^n-1}$｝
(3) ｒ≠0のとき｛$\dfrac{1}{r^n}$｝
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rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) ｒ＞0のとき｛$\dfrac{1}{2+r^n}$｝
(2) ｒ≠±1のとき｛$\dfrac{r^n+2}{r^n-1}$｝
(3) ｒ≠0のとき｛$\dfrac{1}{r^n}$｝
【数Ⅲ】【関数と極限】次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。(1) ｛(x/1+2x)^n｝(2) ｛x(x²-5x+5)^n-1｝
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。
(1) ｛ $\dfrac{x}{1+2x}^n$ }
(2) ｛ $x(x²-5x+5)^{n-1}$ ｝
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次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。
(1) ｛ $\dfrac{x}{1+2x}^n$ }
(2) ｛ $x(x²-5x+5)^{n-1}$ ｝
【数Ⅲ】【関数と極限】初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、
初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
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初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、
初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
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第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】a₁=1/35、1/an+₁=1/an +8n+20によって定められる数列｛an｝について、次の問いに答えよ。(1) anをnの式で表せ。(2) 無限級数Σanの和を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列 $\{a_n\}$ は以下のように定められる数列について、次の問いに答えよ
$a_1 = \frac{1}{35}$,$\quad \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 8n + 20 \quad$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$
(1)$a_n$を$n$ の式で表せ。
(2)無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。
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数列 $\{a_n\}$ は以下のように定められる数列について、次の問いに答えよ
$a_1 = \frac{1}{35}$,$\quad \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 8n + 20 \quad$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$
(1)$a_n$を$n$ の式で表せ。
(2)無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。(1) 2 + 2/1+2 + 2/1+2+3 +・・・+ 2/1+2+3+…+n +・・・他
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無限級数の収束・発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
(1)$2+\frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \frac{2}{1+2+3+4} + \cdots$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3+5} + \frac{1}{3+5+7} + \cdots + \frac{1}{3+5+7+\cdots+(2n+1)} + \cdots$
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次の無限級数の収束・発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
(1)$2+\frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \frac{2}{1+2+3+4} + \cdots$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3+5} + \frac{1}{3+5+7} + \cdots + \frac{1}{3+5+7+\cdots+(2n+1)} + \cdots$
【数Ⅲ】【関数と極限】nは自然数とし、h＞0のとき、不等式(1+h)^n≧1+nh+n(n-1)/2・h²が成り立つ。このことを用いて、数列｛n/3^n｝の極限を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
nは自然数とし、h＞0のとき、
不等式$(1+h)^n≧1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}・h²$が成り立つ。
このことを用いて、数列$\dfrac{n}{3^n}$の極限を求めよ。
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nは自然数とし、h＞0のとき、
不等式$(1+h)^n≧1+nh+\dfrac{n(n-1)}{2}・h²$が成り立つ。
このことを用いて、数列$\dfrac{n}{3^n}$の極限を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】次の条件によって定められる数列｛an｝の極限を求めよ。a₁=0、a₂=1、3an+₂=an+₁+2an他
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件によって定められる数列$a_n$の極限を求めよ。
(1) $a₁=0$、$a₂=1$、$3a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$
(2) $a₁=0$、$a₂=1$、$a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n=0$
(3) $a₁=1$、$a₂=2$、$a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$
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次の条件によって定められる数列$a_n$の極限を求めよ。
(1) $a₁=0$、$a₂=1$、$3a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$
(2) $a₁=0$、$a₂=1$、$a_{n+2}-7a_{n+1}+10a_n=0$
(3) $a₁=1$、$a₂=2$、$a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$
福田の数学〜大阪大学2025理系第4問〜不等式の証明と関数の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
次の問いに答えよ。
(1)$t\gt 0$のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。
(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$
を示せ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
次の問いに答えよ。
(1)$t\gt 0$のとき
$-\dfrac{1}{t}\lt \displaystyle \int_{t}^{2t} \dfrac{\sin x}{x^2}dx \lt \dfrac{1}{t}$
が成り立つことを示せ。
(2)$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \dfrac{\cos x}{x}dx=0$を示せ。
(3)$f(x)=\sin\left(\dfrac{3x}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$おく。
$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\displaystyle \int_{1}^{t} \dfrac{f(x)}{x}dx=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{\cos x}{x} dx$
を示せ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田のおもしろ数学522〜連続関数の性質
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
すべての実数で定義された連続関数$f(x)$に対し、
$\dfrac{f(x)}{x} \ (x\neq 0)$
が常に正であるとき、
$f(0)$の値を求めて下さい。
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すべての実数で定義された連続関数$f(x)$に対し、
$\dfrac{f(x)}{x} \ (x\neq 0)$
が常に正であるとき、
$f(0)$の値を求めて下さい。
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限5 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
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数列$\{ a_n \}, \{ b_n \}, \{ c_n \}$について、次の事柄は正しいか。
正しいものは証明し、正しくないものは、その反例をあげよ。
ただし、$\alpha$は定数とする。
(1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = \infty$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty} a_n = \infty, \lim_{n \to \infty} b_n = 0$ ならば $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_nb_n=0$
(3) $ \displaystyle b_n \lt a_n \lt c_n , \lim_{n \to \infty}(c_n-b_n)=0$ ならば $ \{ a_n \}$は収束する。
(4) $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0, \lim_{n \to \infty}a_n =\alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n= \alpha$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限4 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
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次の条件を満たす数列$\{ a_n \}$の例を、それぞれ一つずつあげよ。
(1) すべての$n$について$a_n\gt 5$で、$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=5$
(2) 各項が互いに異なり、$\{ a_n \}$は収束しないが $ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n^2=1$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限3 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n^2}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{4+7+10+\cdots\cdots+(3n+1)}{5+8+11+\cdots\cdots+(3n+2)}$
(3) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{3+7+11+\cdots\cdots+(4n-1)}{3+5+7+\cdots\cdots+(2n+1)}$
(4) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}(\frac{1+2+3+\cdots\cdots+n}{n+2}-\frac{n}{2})$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限2 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n}}$
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次の極限を求めよ。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n+3}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n}}$
【数Ⅲ】【関数と極限】数列の極限1 ※問題文は概要欄
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の極限を求めよ。ただし、$\theta$は定数とする。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{4}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}$
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次の極限を求めよ。ただし、$\theta$は定数とする。
(1) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty }\frac{1}{n} \cos \frac{n\pi}{4}$
(2) $ \displaystyle \lim_{ n \to \infty}\frac{\sin^2n\pi}{n^2+1}$
福田のおもしろ数学498〜定積分で定義された関数の極限
単元：
#関数と極限#積分とその応用#関数の極限#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
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$0\lt t \leqq 1$に対し、
$f(t)=\dfrac{1}{t} \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}t} \vert \cos 2x \vert dx$とする。
$\displaystyle \lim_{t\to 0} f(t)$を求めよ。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第5問〜分数関数のグラフと解の存在範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{5}$
(1)関数
$f(t)=\dfrac{t^2-1}{t^3} (t\neq 0)$
の増減を調べ、グラフの概形をかけ。
(2)実数$x,y,z$が、条件
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x \lt y \lt z \\
xyz \neq 0 \\\
x^3y^2-x^3=x^2y^3-y^3 \\\
y^3z^2-y^3=y^2z^3-z^3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
を満たしながら動くとき、
$x$が取り得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第5問〜無理関数のグラフ上に無数の有理点が存在する証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{5}$
$xy$平面上の曲線$C:y=\sqrt[3]{x^2+2}$と考え、
$C$上の$(0,\sqrt[3]{2})$以外の点$P(a,b)$における接線を
$\ell : y = kx +c$と表す。$C$と$\ell$の方程式から
$x$を消去して得られる$y$についての$3$次方程式
$f(y)=0$は$b$を重解としてもつので、もう$1$つの解を
$b'$とする。
ただし、$b'$が$3$重解のときは$b'=b$とみなす。
次の問いに答えよ。
(1)$2b+b'$を$k$のみの分数式で表せ。
(2)$b'$を$b$のみの分数式で表せ。
(3)$C$と$\ell$の共有点で、その$y$座標が$b'$であるものを
$P'(a',b')$とする。
$a$と$b$が有理数ならば、$a'$と$b'$も有理数であることを
示せ。
(4)$b$が奇数$p,q$と負でない整数$r$を用いて
$b=\dfrac{p}{2^r q}$で与えられるとする。
有理数$b'$を奇数$p',q'$と整数$s$を用いて$b'=\dfrac{p'}{2^s q'}$と
表すとき、$s$を$r$の式で表せ。
(5)$P(5,3)$が曲線$C$上の点であることを利用して、
$C$上に$x$座標と$y$座標がともに有理数であるような点が
無数に存在することを示せ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学476〜完全順列と極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
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$1,2,･･･,n$を並べるとき、$k$項目に$k$がこないような
並べ方の総数を$x_n$通りとする。
$n\geqq 3$のとき$x_n,x_{n-1},x_{n-2}$の関係式を作り、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{x_n}{n!}$を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第2問〜分数関数の接線とベクトル計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
座標平面上の点$P(1,1)$と点$Q(1,-1)$および
曲線$C:y=\dfrac{1}{x-4}(x\gt 4)$を考える。
(1)曲線$C$の接線で点$Q$を通るものは存在しないことを
証明しなさい。
(2)曲線$C$の接線で点$P$を通るものを$l$とし、
$C$と$l$の接点を$A$とする。
このとき、$l$の方程式は$y=\boxed{キ}$であり、
点$A$の座標は$\boxed{ク}$である。
また、曲線$C$上の点の点$B$が
$\overrightarrow{PB}･\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AB}･\overrightarrow{AQ}=-\dfrac{2}{3}$
を満たすとき、点$B$の座標は$\boxed{ケ}$である。
(3)$A,B$を(2)で定めた点とする。
正の数$t$に対し、曲線$C$上の点$R\left(t+4,\dfrac{1}{t}\right)$は
点$A$と異なるものとする。
線分$AR$を$2:1$に内分する点を$S$とし、
線分$BS$を$3:2$に内分する点を$T(u,v)$とするとき、
$u$を$t$の式で表すと$u=\boxed{コ}$である。
また、$uv$の値は$t-\boxed{サ}$のとき最小となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(3)〜逆関数の微分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)$f(x)$を微分可能な関数とし、
$g(x)=x^3+x$とする。
関数$g(x)$は微分可能な逆関数$g^{-1}(x)$をもつ。
定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f'(t)$を$t$の多項式で表すと$f'(t)=\boxed{オ}$となる。
次に、任意の定数$t$に対して、関数$t^2x^2-f(g^{-1}(x))$は
$x=t^3+t$で極値をとるとする。
このとき、$f(0)=-2$ならば$f(1)=\boxed{カ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第3問〜逆関数と定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
実数$x$に対して、関数
$f(x)=\dfrac{1}{3}x+\sqrt{\dfrac{1}{9}x^2+8}$
がある。ただし、定義域は$x\geqq 0$である。
$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする。
(1)$g(x)$を求めると、$g(x)=\boxed{ナ}$であり、
$g(x)$定義域は$\boxed{ニ}$である。
(2)$\displaystyle \int_{2\sqrt2}^{4}g(x)dx$を求めると$\boxed{ヌ}$である。
(3)$\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$を求めると$\boxed{ネ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{3}$
実数$x$に対して、関数
$f(x)=\dfrac{1}{3}x+\sqrt{\dfrac{1}{9}x^2+8}$
がある。ただし、定義域は$x\geqq 0$である。
$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする。
(1)$g(x)$を求めると、$g(x)=\boxed{ナ}$であり、
$g(x)$定義域は$\boxed{ニ}$である。
(2)$\displaystyle \int_{2\sqrt2}^{4}g(x)dx$を求めると$\boxed{ヌ}$である。
(3)$\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$を求めると$\boxed{ネ}$である。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田の数学〜東北大学2025理系第3問〜4次関数が極大値をもつ条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
$a$を実数とし、関数$f(x)$を次のように定める。
$f(x)=x^4+\dfrac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2$
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る
値の範囲を求めよ。
(2)関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような
$a$のとり得る値の範囲を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
福田のおもしろ数学441〜ガウス記号を使って定義された数列の極限
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a_n=\dfrac{1}{n^2} \displaystyle \sum_{k=1}^n [\sqrt{2n^2-k^2}]$とするとき、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$を求めて下さい。
$[x]$は$x$を超えない最大の整数とする。
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$a_n=\dfrac{1}{n^2} \displaystyle \sum_{k=1}^n [\sqrt{2n^2-k^2}]$とするとき、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$を求めて下さい。
$[x]$は$x$を超えない最大の整数とする。
福田のおもしろ数学429〜複雑な無理関数の最大値
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$
$\qquad -\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
の最大値を求めよ。
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$xy+x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}$
$\qquad -\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}$
の最大値を求めよ。