関数と極限
関数と極限
極限の基本問題 愛知県立大
単元：
#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2019愛知県立大学過去問題
$e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } (1+h)^\frac{1}{h} $
aは正の実数
$e=\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x^{x}}(x-a)^{x}$
の値
この動画を見る
2019愛知県立大学過去問題
$e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } (1+h)^\frac{1}{h} $
aは正の実数
$e=\displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{1}{x^{x}}(x-a)^{x}$
の値
林俊介 語りかける東大数学
単元：
#対数関数#関数と極限
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$
\begin{eqnarray}
&&(1)n\in\mathbb{ Z }_+\\
&&g(x):=
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\cos(\pi x)+1}{2}(|x|\leq1) \\
0(|x|＞1)
\end{array}
\right.\\
&&f(x):連続 p,q\in\mathbb{ R }\\
&&|x|\leqでつねにp\leq f(x)\leq q
&p\leq n \int_{-1}^1 g(nx) f(x)dx \leq qを示せ
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
&&(2)h(x) :=
\left\{
\begin{array}{l}
-\frac{\pi}{2}\sin(\pi x)&(|x| \leq 1)&\\
0&(|x|＞1)&
\end{array}
\right.\\
&&次の極限を求めよ
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } n^2 \int_{-1}^{1}h(nx)\log(1+e^{x+1})dx\\
\end{eqnarray}\\
$
$
\begin{eqnarray}
&&(1)g(x)=
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\cos(\pi x)+1}{2}(|x|\leq1)
0(|x|＞1)
\end{array}
\right.\\
&&p\leq n\int_{-1}^{1}g(nx)f(x)dx \leq q
\end{eqnarray}
$
この動画を見る
$
\begin{eqnarray}
&&(1)n\in\mathbb{ Z }_+\\
&&g(x):=
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\cos(\pi x)+1}{2}(|x|\leq1) \\
0(|x|＞1)
\end{array}
\right.\\
&&f(x):連続 p,q\in\mathbb{ R }\\
&&|x|\leqでつねにp\leq f(x)\leq q
&p\leq n \int_{-1}^1 g(nx) f(x)dx \leq qを示せ
\end{eqnarray}
$
$
\begin{eqnarray}
&&(2)h(x) :=
\left\{
\begin{array}{l}
-\frac{\pi}{2}\sin(\pi x)&(|x| \leq 1)&\\
0&(|x|＞1)&
\end{array}
\right.\\
&&次の極限を求めよ
\displaystyle\lim_{ n \to \infty } n^2 \int_{-1}^{1}h(nx)\log(1+e^{x+1})dx\\
\end{eqnarray}\\
$
$
\begin{eqnarray}
&&(1)g(x)=
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\cos(\pi x)+1}{2}(|x|\leq1)
0(|x|＞1)
\end{array}
\right.\\
&&p\leq n\int_{-1}^{1}g(nx)f(x)dx \leq q
\end{eqnarray}
$
長岡技術科大 ナイスな問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2008長岡技術科学大学過去問題
①$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{1}{4}}$を求めよ
②$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}$を示せ
この動画を見る
2008長岡技術科学大学過去問題
①$\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-\frac{1}{4}}$を求めよ
②$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\frac{5}{3}$を示せ
極限の基本問題 立教大
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
立教大学過去問題
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(1-\cos x)}{x^2}$
この動画を見る
立教大学過去問題
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin(1-\cos x)}{x^2}$
大阪市立大 いい問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#大阪市立大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2021大阪市立大学
単位円に内接する正n角形の面積を$A_n$
単位円に内接する正n角形の各辺の中点を結んでできる正n角形の面積を$B_n$
①②$A_n$,$B_n$をnを用いて
③$\displaystyle\lim_{n \to \infty}B_n$を求めよ
④$n \geqq 32$のとき$\frac{B_n}{A_n}>\frac{99}{100}$を示せ
この動画を見る
2021大阪市立大学
単位円に内接する正n角形の面積を$A_n$
単位円に内接する正n角形の各辺の中点を結んでできる正n角形の面積を$B_n$
①②$A_n$,$B_n$をnを用いて
③$\displaystyle\lim_{n \to \infty}B_n$を求めよ
④$n \geqq 32$のとき$\frac{B_n}{A_n}>\frac{99}{100}$を示せ
福田の数学〜筑波大学2023年理系第5問〜関数の増減と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ $f(x)$=$x^{-2}e^x$ ($x$＞0)とし、曲線$y$=$f(x)$をCとする。また$h$を正の実数とする。さらに、正の実数$t$に対して、曲線C、2直線$x$=$t$, $x$=$t$+$h$、および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする。
(1)$g'(t)$を求めよ。
(2)$g(t)$を最小にする$t$がただ1つ存在することを示し、その$t$を$h$を用いて表せ。
(3)(2)で得られた$t$を$t(h)$とする。このとき極限値$\displaystyle\lim_{h \to +0}t(h)$を求めよ。
この動画を見る
$\Large\boxed{5}$ $f(x)$=$x^{-2}e^x$ ($x$＞0)とし、曲線$y$=$f(x)$をCとする。また$h$を正の実数とする。さらに、正の実数$t$に対して、曲線C、2直線$x$=$t$, $x$=$t$+$h$、および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする。
(1)$g'(t)$を求めよ。
(2)$g(t)$を最小にする$t$がただ1つ存在することを示し、その$t$を$h$を用いて表せ。
(3)(2)で得られた$t$を$t(h)$とする。このとき極限値$\displaystyle\lim_{h \to +0}t(h)$を求めよ。
e話
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$e=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$
$\displaystyle\lim_{n \to -\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$を示せ
この動画を見る
$e=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$
$\displaystyle\lim_{n \to -\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$を示せ
関西医科大 分数不等式 整数問題
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#関西医科大学#関西医科大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2022関西医科大学過去問題
$f(x)=\frac{6x^2+17x+10}{3x-2}$
①$f(x)>0$をみたすxの範囲
②f(n)が正の整数となる整数n
この動画を見る
2022関西医科大学過去問題
$f(x)=\frac{6x^2+17x+10}{3x-2}$
①$f(x)>0$をみたすxの範囲
②f(n)が正の整数となる整数n
三角関数の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#関西医科大学#関西医科大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
関西医科大学過去問題
$\displaystyle\lim_{(x \to \pi)}\frac{sinx}{x^2-\pi^2}$
この動画を見る
関西医科大学過去問題
$\displaystyle\lim_{(x \to \pi)}\frac{sinx}{x^2-\pi^2}$
【演習編！】演習で無限等比級数の知識をどう使う？！【数学III】
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
(1)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2}(\frac{5}{4})^{n-1}$
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n-3^{n+1}}{3^{2n}}$
この動画を見る
(1)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2}(\frac{5}{4})^{n-1}$
(2)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n-3^{n+1}}{3^{2n}}$
福田の数学〜九州大学2023年理系第2問〜数列の収束発散の判定
単元：
#数列#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $\alpha$を実数とする。数列$\left\{a_n\right\}$が
$a_1$=$\alpha$, $a_{n+1}$=|$a_n$-1|+$a_n$-1 (n=1,2,3,...)
で定められるとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$≦1のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
(2)$\alpha$＞2のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
(3)1＜$\alpha$＜$\frac{3}{2}$のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
(4)$\frac{3}{2}≦\alpha$＜2のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
2023九州大学理系過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{2}$ $\alpha$を実数とする。数列$\left\{a_n\right\}$が
$a_1$=$\alpha$, $a_{n+1}$=|$a_n$-1|+$a_n$-1 (n=1,2,3,...)
で定められるとき、以下の問いに答えよ。
(1)$\alpha$≦1のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
(2)$\alpha$＞2のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
(3)1＜$\alpha$＜$\frac{3}{2}$のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
(4)$\frac{3}{2}≦\alpha$＜2のとき、数列$\left\{a_n\right\}$の収束、発散を調べよ。
2023九州大学理系過去問
産業医科大 区分求積法を使わなくても出せるよ
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#積分とその応用#数列の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B#数Ⅲ#産業医科大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{1^4+2^4+3^4+････+n^4}{n^5}$
これを求めよ。
産業医科大過去問
この動画を見る
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\dfrac{1^4+2^4+3^4+････+n^4}{n^5}$
これを求めよ。
産業医科大過去問
早稲田大 みんな大好きBBB
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{i=6}^{\infty} \dfrac{1800}{(n-5)(n-4)(n-1)n}$
これを求めよ。
この動画を見る
$\displaystyle \sum_{i=6}^{\infty} \dfrac{1800}{(n-5)(n-4)(n-1)n}$
これを求めよ。
【等比数列の極限！】無限等比級数の基礎と求め方を解説！【数学III】
福田の数学〜東北大学2023年理系第２問〜三角方程式の解の個数とその極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#円と方程式#三角関数とグラフ#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 関数f(x)=$\sin3x$+$\sin x$について、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)=0 を満たす正の実数$x$のうち、最小のものを求めよ。
(2)正の整数$m$に対して、f(x)=0を満たす正の実数$x$のうち、$m$以下のものの個数を$p(m)$とする。極限値$\displaystyle\lim_{m \to \infty}\frac{p(m)}{m}$ を求めよ。
2023東北大学理系過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{2}$ 関数f(x)=$\sin3x$+$\sin x$について、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)=0 を満たす正の実数$x$のうち、最小のものを求めよ。
(2)正の整数$m$に対して、f(x)=0を満たす正の実数$x$のうち、$m$以下のものの個数を$p(m)$とする。極限値$\displaystyle\lim_{m \to \infty}\frac{p(m)}{m}$ を求めよ。
2023東北大学理系過去問
【和の極限】無限級数の基礎と求め方を解説！【数学III】
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第３問〜接線が作る三角形
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#図形と方程式#微分法と積分法#軌跡と領域#接線と増減表・最大値・最小値#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$\left(a_1, \frac{1}{a_1^2}\right)$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$\left(a_2, \frac{1}{a_2^2}\right)$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$\left(a_3, \frac{1}{a_3^2}\right)$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$\left(a_n, \frac{1}{a_n^2}\right)$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$\left(a_{n+1}, \frac{1}{a_{n+1}^2}\right)$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ う\ \ }$である。無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1A_2A_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{\ \ お\ \ }$となる。
(4)三角形$A_1A_2A_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{\ \ か\ \ }$＜$a_1$＜$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(5)x軸上に2点$A'_1$($a_1$, 0), $A'_2$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1A_2A'_2A'_1$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3A_2$と$A_2A_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{\ \ く\ \ }$：$\boxed{\ \ け\ \ }$である。ただし、$\boxed{\ \ く\ \ }$と$\boxed{\ \ け\ \ }$は互いに素な自然数である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$\left(a_1, \frac{1}{a_1^2}\right)$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$\left(a_2, \frac{1}{a_2^2}\right)$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$\left(a_3, \frac{1}{a_3^2}\right)$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$\left(a_n, \frac{1}{a_n^2}\right)$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$\left(a_{n+1}, \frac{1}{a_{n+1}^2}\right)$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ う\ \ }$である。無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1A_2A_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{\ \ お\ \ }$となる。
(4)三角形$A_1A_2A_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{\ \ か\ \ }$＜$a_1$＜$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(5)x軸上に2点$A'_1$($a_1$, 0), $A'_2$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1A_2A'_2A'_1$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3A_2$と$A_2A_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{\ \ く\ \ }$：$\boxed{\ \ け\ \ }$である。ただし、$\boxed{\ \ く\ \ }$と$\boxed{\ \ け\ \ }$は互いに素な自然数である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
【極限の応用！】特殊な関数の極限の求め方を解説！【数学III】
福田の数学〜早稲田大学2023年理工学部第３問〜逆関数とで囲まれる面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 実数xに対して関数f(x)をf(x)=$e^{x-2}$で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=$\log x$+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ$C_1$,$C_2$とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと$C_1$が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと$C_1$との2つの交点のx座標を$\alpha$, $\beta$とする。ただし$\alpha$＜$\beta$とする。
直線y=xと$C_1$,$C_2$をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を(3)の$\alpha$と$\beta$の多項式で表せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{3}$ 実数xに対して関数f(x)をf(x)=$e^{x-2}$で定め、正の実数xに対して関数g(x)をg(x)=$\log x$+2で定める。またy=f(x), y=g(x)のグラフをそれぞれ$C_1$,$C_2$とする。以下の問いに答えよ。
(1)f(x)とg(x)がそれぞれ互いの逆関数であることを示せ。
(2)直線y=xと$C_1$が2点で交わることを示せ。ただし、必要なら2＜e＜3を証明しないで用いてよい。
(3)直線y=xと$C_1$との2つの交点のx座標を$\alpha$, $\beta$とする。ただし$\alpha$＜$\beta$とする。
直線y=xと$C_1$,$C_2$をすべて同じxy平面上に図示せよ。
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を(3)の$\alpha$と$\beta$の多項式で表せ。
2023早稲田大学理工学部過去問
目で見てわかる収束の値
単元：
#関数と極限#数列の極限#関数の極限#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{4^4}+･･････+\dfrac{1}{4^n}
これは収束する値か?$
この動画を見る
$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\dfrac{1}{4^4}+･･････+\dfrac{1}{4^n}
これは収束する値か?$
【何かを理解!!】極限を解説！
福田の数学〜北海道大学2023年理系第５問〜中間値の定理と関数の増減PART1
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ a,bを$a^2$+$b^2$＜1をみたす正の実数とする。また、座標平面上で原点を中心とする半径1の円をCとし、Cの内部にある2点A(a,0), B(0,b)を考える。
0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$に対してC上の点P($\cos\theta$, $\sin\theta$)を考え、PにおけるCの接線に関してBと対称な点をDとおく。
(1)f(θ)=ab$\cos2\theta$+a$\sin\theta$-b$\cos\theta$とおく。方程式f(θ)=0の解が0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$の範囲に少なくとも1つ存在することを示せ。
(2)Dの座標をa, $\theta$を用いて表せ。
(3)θが0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき、3点A,P,Dが同一直線上にあるようなθは少なくとも1つ存在することを示せ。また、このようなθはただ1つであることを示せ。
2023北海道大学理系過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{5}$ a,bを$a^2$+$b^2$＜1をみたす正の実数とする。また、座標平面上で原点を中心とする半径1の円をCとし、Cの内部にある2点A(a,0), B(0,b)を考える。
0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$に対してC上の点P($\cos\theta$, $\sin\theta$)を考え、PにおけるCの接線に関してBと対称な点をDとおく。
(1)f(θ)=ab$\cos2\theta$+a$\sin\theta$-b$\cos\theta$とおく。方程式f(θ)=0の解が0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$の範囲に少なくとも1つ存在することを示せ。
(2)Dの座標をa, $\theta$を用いて表せ。
(3)θが0＜θ＜$\frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき、3点A,P,Dが同一直線上にあるようなθは少なくとも1つ存在することを示せ。また、このようなθはただ1つであることを示せ。
2023北海道大学理系過去問
福田の数学〜北海道大学2023年理系第１問〜複素数平面上の図形の列
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#関数と極限#複素数平面#図形への応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 複素数平面上における図形$C_1$, $C_2$, ...,$C_n$, ...は次の条件(A)と(B)を満たすとする。ただし、$i$は虚数単位とする。
(A)$C_1$は原点Oを中心とする半径2の円である。
(B)自然数nに対して、zが$C_n$上を動くとき2w=z+1+$i$で定まるwの描く図形が$C_{n+1}$である。
(1)すべての自然数nに対して、$C_n$は円であることを示し、その中心を表す複素数$\alpha_n$と半径$r_n$を求めよ。
(2)$C_n$上の点とOとの距離の最小値を$d_n$とする。このとき、$d_n$を求めよ。
また、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}d_n$を求めよ。
2023北海道大学理系過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{1}$ 複素数平面上における図形$C_1$, $C_2$, ...,$C_n$, ...は次の条件(A)と(B)を満たすとする。ただし、$i$は虚数単位とする。
(A)$C_1$は原点Oを中心とする半径2の円である。
(B)自然数nに対して、zが$C_n$上を動くとき2w=z+1+$i$で定まるwの描く図形が$C_{n+1}$である。
(1)すべての自然数nに対して、$C_n$は円であることを示し、その中心を表す複素数$\alpha_n$と半径$r_n$を求めよ。
(2)$C_n$上の点とOとの距離の最小値を$d_n$とする。このとき、$d_n$を求めよ。
また、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}d_n$を求めよ。
2023北海道大学理系過去問
福田の数学〜大阪大学2023年理系第１問〜不等式の証明と極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ nを2以上の自然数とする。
(1)0≦x≦1のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{1}{2}x^2$≦$\displaystyle(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum\_{k=2}^n(-x)^{k-1}\right\}$≦$x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}$
(2)$a_n$=$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ とするとき、次の極限値を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(-1)^nn(a_n-\log 2)$
2023大阪大学理系過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{5}$ nを2以上の自然数とする。
(1)0≦x≦1のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\frac{1}{2}x^2$≦$\displaystyle(-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum\_{k=2}^n(-x)^{k-1}\right\}$≦$x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}$
(2)$a_n$=$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}$ とするとき、次の極限値を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(-1)^nn(a_n-\log 2)$
2023大阪大学理系過去問
【数Ⅲ】関数の極限：極限で表された関数のグラフ（関数の連続性の問題）
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学Ⅲ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$y=\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$
この関数の連続性を調べ、グラフを描け。
（出典）数研出版４STEP数学Ⅲ
定期テスト対策にどうぞ！
この動画を見る
$y=\displaystyle \lim_{ n \to ∞ } \frac{x^{2n+1}}{1+x^{2n}}$
この関数の連続性を調べ、グラフを描け。
（出典）数研出版４STEP数学Ⅲ
定期テスト対策にどうぞ！
【数Ⅲ】極限：無限等比級数の図形への応用問題
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#サクシード#サクシード数学Ⅲ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平面上で、点Pが原点Oを出発してx軸方向の正の向きに1だけ進み、次にy軸の正の向きに$\dfrac{3}{4}$だけ進み、次にx軸の負の向きに$\left(\dfrac{3}{4}\right)^2$だけ進み、次にy軸の負の向きに$\left(\dfrac{3}{4}\right)^3$だけ進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近付いていく点の座標を求めよ。
この動画を見る
平面上で、点Pが原点Oを出発してx軸方向の正の向きに1だけ進み、次にy軸の正の向きに$\dfrac{3}{4}$だけ進み、次にx軸の負の向きに$\left(\dfrac{3}{4}\right)^2$だけ進み、次にy軸の負の向きに$\left(\dfrac{3}{4}\right)^3$だけ進む。以下、このような運動を限りなく続けるとき、点Pが近付いていく点の座標を求めよ。
【数Ⅲ】極限：無限等比級数で表された関数のグラフの問題
単元：
#関数と極限#関数の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#サクシード#サクシード数学Ⅲ#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+… $
について$y=f(x)$のグラフを書け
この動画を見る
$f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+… $
について$y=f(x)$のグラフを書け
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2023年医学部第２問〜定積分で表された関数と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式
$f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{n}\int_0^xf(t)dt$
を満たし、関数g(x)は$g(x)$=$ae^{-\frac{x}{n}}+a$とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=$e^{-\frac{x}{n}}f(x)$とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とするとき、
極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n^3}$ を求めよ。
2023東京慈恵会医科大学医学部過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{2}$ nを自然数、aを正の定数とする。関数f(x)は等式
$f(x)=x+\displaystyle\frac{1}{n}\int_0^xf(t)dt$
を満たし、関数g(x)は$g(x)$=$ae^{-\frac{x}{n}}+a$とする。2つの曲線y=f(x)とy=g(x)はある1点を共有し、その点における2つの接線が直交するとき、次の問いに答えよ。ただし、eは自然対数の底とする。
(1)h(x)=$e^{-\frac{x}{n}}f(x)$とおくとき、導関数h'(x)とh(x)を求めよ。
(2)aをnを用いて表せ。
(3)2つの曲線y=f(x), y=g(x)とy軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とするとき、
極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n^3}$ を求めよ。
2023東京慈恵会医科大学医学部過去問
極限の難問！答えは予測できるが・・・【一橋大学】【数学 入試問題】
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty }(\cos^2 \sqrt{x+1}+\sin^2\sqrt{x})$を求めよ。
この動画を見る
$\displaystyle \lim_{ x \to \infty }(\cos^2 \sqrt{x+1}+\sin^2\sqrt{x})$を求めよ。
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題090〜名古屋大学2018年度理系第１問〜定積分と不等式と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 自然数nに対し、定積分$I_n$=$\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx$を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$I_n$+$I_{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(2)0≦$I_{n+1}$≦$I_n$≦$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}nI_n$ を求めよ。
(4)$S_n$=$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{2k}$ とする。このとき(1), (2)を用いて$\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n$ を求めよ。
2018名古屋大学理系過去問
この動画を見る
$\Large\boxed{1}$ 自然数nに対し、定積分$I_n$=$\displaystyle\int_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx$を考える。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$I_n$+$I_{n+2}$=$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(2)0≦$I_{n+1}$≦$I_n$≦$\frac{1}{n+1}$を示せ。
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}nI_n$ を求めよ。
(4)$S_n$=$\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{2k}$ とする。このとき(1), (2)を用いて$\displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n$ を求めよ。
2018名古屋大学理系過去問