積分とその応用

【数Ⅲ-177(最終回)】速度と道のり②(平面運動編)

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり②・平面運動編)

ポイント
平面上を運動する点

P

の座標

(x, y)

が、時刻

t

の関数

x = f (t)

、

y = g (t)

で表されるとき、点

P

が時刻

t = a

から

t = b

までの間に通過する道のり

S

は

S =

①

②
平面上を動く点

P

の時刻における座標

(x, y)

が

x = t - \sin t

、

y = 1 - \cos t

で与えられている。
このとき、

t = 0

から

t = π

までの間に点

P

の動いた道のりを求めよ。

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【数Ⅲ-176】速度と道のり①(直線運動編)

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(速度と道のり①・直線運動編)

ポイント
数直線上を運動する点Pの速度

v

が時刻

t

の関数

v = f (t)

で表されるとき、

t = a

から

t = b

までのPの位置の変化

S

、Pの道のり

l

は

位置の変化

S =

①
道のり

l =

➁

Q

x

軸上を運動する点の、時刻

t

における位置を

f (t)

、速度を

v (t)

とすると、

v (t) = 4 t - t^{2}

と表されるという。

f (1) = 5

のとき、次の問いに答えよ。
③時刻

t

における位置

f (t)

を求めよ。
④

t = 2

から

t = 5

までに点が動いた道のりを求めよ。

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練習問題１（数検準1級、教員採用試験　レベル）

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#不定積分#その他#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
(1)

\int \frac{x}{c o s^{2} x} d x

(2)

\int \frac{x}{s i n^{2} x} d x

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12愛知県教員採用試験（数学：3番　ひたすら積分）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

C_{1} : y = a x^{3}

と

C_{2} : y = l o g x

は接する。

C_{1}, C_{2}

とx軸で囲まれた図形のx軸中心の回転体の体積Vを求めよ。

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09神奈川県教員採用試験（数学：4番　単なる積分）

単元： #積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

π \int_{0}^{\frac{π}{2}} s i n (π c o s x) s i n 2 x d x

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13愛知県教員採用試験（数学：7番　微積）

単元： #積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \int_{0}^{x} 6 t + 2 d t + \int_{0}^{a} f (t) d t

f (0) = a (> 0)

aの値を求めよ

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重積分⑧-3【一般の変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\iint_{D} e^{- (x + y)^{2}} d x d y

D : x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ 1

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重積分⑧-2【一般の変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\iint_{D} (x + y) d x d y

D : 0 ≦ y + 2 x ≦ 2

,

0 ≦ y - 2 x ≦ 2

＊図は動画内参照

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重積分⑧-1【一般の変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#図形と方程式#円と方程式#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
楕円面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

で囲まれる立体の体積Vを求めよ

(a, b, c > 0)

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16兵庫県教員採用試験（数学：3番　微積）

単元： #積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

直線

l_{1} : y = k x + 2 k

が曲線

C : y = x^{3} - 3 x + 2

の変曲点を通るとき、

l_{1}

とCで囲まれた面積を求めよ。

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13愛知県教員採用試験（数学：5番　微積）

単元： #微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

F (x) = \int_{π - x}^{π + x} t s i n t d t

(0 ≦ x ≦ 2 π)

F(x)の最小値を求めよ。

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10大阪府教員採用試験（数学：2番　微積）意外と沼にハマりがち

単元： #数Ⅱ#指数関数と対数関数#対数関数#積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

f (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}

f(α)=f(β) , 0 < α < β　のとき

\int_{α}^{β} \frac{x}{1 + x^{2}} d x = l o g_{β}

を示せ

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重積分⑦-4【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\iint_{D} (4 - x^{2} - y^{2}) d x d y

D : x^{2} + (y - 1)^{2} ≦ 1

,

y ≦ x

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【数Ⅲ-175】曲線の長さ②(媒介変数表示編)

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(曲線の長さ②・媒介変数表示編)

ポイント
曲線

x = f (t)

、

y = g (t) (a ≦ t ≦ b)

の長さ

L

は　

L =

①

②曲線

x = a \cos^{3} θ 、 y = a \sin^{3} θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

の長さを求めよ。
ただし

a > 0

とする。

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重積分⑦-3【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\iint_{D} \frac{x}{y \sqrt{1 + x^{2} + y^{2}}} d x d y

D : 0 ≦ x ≦ y

,

\frac{1}{2} ≦ x^{2} + y^{2} ≦ 1

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重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#積分とその応用#2次曲線#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 a^{2}

,

z ≧ 0

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

,

z ≧ 0

xy平面 (a>0)で囲まれた体積Vを求めよ。

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重積分⑦-1【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

単元： #大学入試過去問(数学)#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学検定#数学検定1級#数学(高校生)#数Ⅲ#高専(高等専門学校)

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
変数変換(極座標)

x = r c o s θ

y = r s i n θ

\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D} f (r c o s θ, r s i n θ) r d r d θ

(1)

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y

D : 4 ≦ x^{2} + y^{2} ≦ 9

(2)

\iint_{D} s i n \sqrt{x^{2} + y^{2}} d x d y

D : x^{2} + y^{2} ≦ x^{2}

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【数Ⅲ-174】曲線の長さ①(基本編)

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(曲線の長さ①・基本編)

ポイント
曲線

y = f (x) a ≦ x ≦ b

の長さ

L

は

L =

①

②

y = x \sqrt{x} (0 ≦ x ≦ \frac{4}{3})

の長さを求めよ。

③

y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{4} \log x (1 ≦ x ≦ e)

の長さを求めよ。

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【数Ⅲ-173】積分と体積④(媒介変数表示編)

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積④・媒介変数表示編)

①

0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

の区間において、
曲線

x = \sin θ, y ＝ \sin 2 θ

と

x

軸で囲まれた図形を、

x

軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ。

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17愛知県教員採用試験（数学：10-(2)　x軸回転体）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

10

(2)
図形

C : x^{2} + (y - 3)^{2} ≦ 4

をx軸を中心にした回転体の体積Vを求めよ。

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重積分③【積分領域の工夫】（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
ex1

\iint_{D} x^{2} y d x d y

D : x ≧ 0, y ≧ 0, x^{2} + y^{2} ≦ 1

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【数Ⅲ-172】積分と体積③(放物線と直線編)

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積③・放物線と直線編)

Q
次の放物線と直線とで囲まれた図形を、

x

軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ。
①放物線

y = - x^{2} + 3 x

、直線

y = x

②放物線

y = x^{2} - 2 x

、直線

y = - x + 2

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14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) 　y軸回転体・バームクーヘン積分　）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

-(6)

y = - x^{2} + 4

とx軸で囲まれた部分をy軸を中心とした回転体の体積Vを求めよ。

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11神奈川県教員採用試験（数学：11番　重積分）

単元： #積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

11

D = {(x, y) | x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ 1}

\iint_{D} x^{2} + y^{2} d x d y

を求めよ。

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15神奈川県教員採用試験（数学：10番　定積分）

単元： #積分とその応用#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

10

\int_{0}^{2} x^{3} \sqrt{4 - x^{2}} d x

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13神奈川県教員採用試験（数学：11番　曲線の長さ）

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

11

曲線

6 y^{2} = x (2 - x)^{2}

(0 ≦ x ≦ 2)

の長さlを求めよ。

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円周率πが無理数であることの証明（数III）

単元： #関数と極限#積分とその応用#数列の極限#不定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：
定理(1947,IvanNiren)
πは無理数である

補題1　

^{\forall} a \in R

,

lim_{n \to \infty} \frac{a^{n}}{n!} = 0

(n \in N)

補題2

f (x) = \frac{1}{n!} p^{n} x^{n} (π - x)^{n}

(p, n \in N)

nが十分大きいとき

0 < \int_{0}^{π} f (x) d x < 1

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18愛知県教員採用試験（数学：9番　微分と曲線の長さ）

単元： #微分とその応用#積分とその応用#微分法#定積分#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

x = \sqrt{3} t^{2}, y = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t

(0 ≦ t ≦ 1)

(1)

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

(2)曲線の長さl

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14東京都教員採用試験（数学：1-6番　区分求積法）

単元： #積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

(6)

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k}{n^{2} + k^{2}}

\int_{0}^{1} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n})

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【数Ⅲ-171】積分と体積②(断面積編)

単元： #積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：とある男が授業をしてみた

問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(積分と体積②、断面積編)

ポイント
座標が

x

の点を通る

x

軸に垂直な平面による立体の切り口の面積を

S (x)

とするとき、
2平面

x = a

、

x = b

の間にある立体の体積

V

は

V =

①。

②

x y

平面上に2点P

(x, 0)

、Q

(x, \sin x)

をとり、PQを斜辺とする直角二等辺三角形PQRを、

x

軸に垂直な平面上に図のようにつくる。
Pが

x

軸上を原点oから点A

(π, 0)

まで動くとき、この直角二等辺三角形が通過してできる立体の体積を求めよ。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 積分とその応用

【数Ⅲ-177(最終回)】速度と道のり②(平面運動編)

【数Ⅲ-176】速度と道のり①(直線運動編)

練習問題１（数検準1級、教員採用試験 レベル）

12愛知県教員採用試験（数学：3番 ひたすら積分）

09神奈川県教員採用試験（数学：4番 単なる積分）

13愛知県教員採用試験（数学：7番 微積）

重積分⑧-3【一般の変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑧-2【一般の変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑧-1【一般の変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

16兵庫県教員採用試験（数学：3番 微積）

13愛知県教員採用試験（数学：5番 微積）

10大阪府教員採用試験（数学：2番 微積）意外と沼にハマりがち

重積分⑦-4【極座標による変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

【数Ⅲ-175】曲線の長さ②(媒介変数表示編)

重積分⑦-3【極座標による変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑦-1【極座標による変数変換】（高専数学 微積II，数検1級1次解析対応）

【数Ⅲ-174】曲線の長さ①(基本編)

【数Ⅲ-173】積分と体積④(媒介変数表示編)

17愛知県教員採用試験（数学：10-(2) x軸回転体）

重積分③【積分領域の工夫】（高専数学 微積II，数学検定1級解析）

【数Ⅲ-172】積分と体積③(放物線と直線編)

14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) y軸回転体・バームクーヘン積分 ）

11神奈川県教員採用試験（数学：11番 重積分）

15神奈川県教員採用試験（数学：10番 定積分）

13神奈川県教員採用試験（数学：11番 曲線の長さ）

円周率πが無理数であることの証明（数III）

18愛知県教員採用試験（数学：9番 微分と曲線の長さ）

14東京都教員採用試験（数学：1-6番 区分求積法）

【数Ⅲ-171】積分と体積②(断面積編)

練習問題１（数検準1級、教員採用試験　レベル）

12愛知県教員採用試験（数学：3番　ひたすら積分）

09神奈川県教員採用試験（数学：4番　単なる積分）

13愛知県教員採用試験（数学：7番　微積）

重積分⑧-3【一般の変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑧-2【一般の変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑧-1【一般の変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

16兵庫県教員採用試験（数学：3番　微積）

13愛知県教員採用試験（数学：5番　微積）

10大阪府教員採用試験（数学：2番　微積）意外と沼にハマりがち

重積分⑦-4【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑦-3【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑦-2【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

重積分⑦-1【極座標による変数変換】（高専数学　微積II，数検1級1次解析対応）

17愛知県教員採用試験（数学：10-(2)　x軸回転体）

重積分③【積分領域の工夫】（高専数学　微積II，数学検定1級解析）

14奈良県教員採用試験（数学：2-(6) 　y軸回転体・バームクーヘン積分　）

11神奈川県教員採用試験（数学：11番　重積分）

15神奈川県教員採用試験（数学：10番　定積分）

13神奈川県教員採用試験（数学：11番　曲線の長さ）

18愛知県教員採用試験（数学：9番　微分と曲線の長さ）

14東京都教員採用試験（数学：1-6番　区分求積法）