数Ⅲ
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【高校数学】名古屋大学2024年の手強い積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分82日目~47都道府県制覇への道~【㉕愛知】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【名古屋大学 2024】
袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p(0≦p≦1)$とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$をおく。
(1) $n≧2$に対して、$f(1), f(2)$を求めよ。
(2) $k=1,2, ･･････,n$に対して、等式
$\displaystyle f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$
を示せ。
(3) 自然数$k$に対して、定積分
$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{2}}x^k(1-x)^k dx$
を求めよ。
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【名古屋大学 2024】
袋の中にいくつかの赤玉と白玉が入っている。すべての玉に対する赤玉の割合を$p(0≦p≦1)$とする。袋から無作為に玉を一つ取り出して袋に戻す試行を行う。試行を$n$回行うとき、赤玉を$k$回以上取り出す確率を$f(k)$をおく。
(1) $n≧2$に対して、$f(1), f(2)$を求めよ。
(2) $k=1,2, ･･････,n$に対して、等式
$\displaystyle f(k)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}\int_0^px^{k-1}(1-x)^{n-k}dx$
を示せ。
(3) 自然数$k$に対して、定積分
$\displaystyle I=\int_0^{\frac{1}{2}}x^k(1-x)^k dx$
を求めよ。
【高校数学】ワイエルシュトラス置換って何!?毎日積分81日目~47都道府県制覇への道~【㉔三重】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#三重大学#数Ⅲ
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【三重大学 2009】
$\displaystyle \int_\frac{π}{3}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{1+sinθ-cosθ}dθ$
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【三重大学 2009】
$\displaystyle \int_\frac{π}{3}^{\frac{π}{2}}\frac{1}{1+sinθ-cosθ}dθ$
【高校数学】滋賀医科大学2023年の積分の問題をその場で解説しながら解いてみた！毎日積分80日目~47都道府県制覇への道~【㉓滋賀】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#滋賀医科大学#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【滋賀医科大学 2023】
実数全体を定義域とする微分可能な関数$f(x)$は、常に$f(x)＞0$であり、等式
$\displaystyle f(x)=1+\int_0^x e^t(1+t)f(t)dt$
を満たしている。
(1) $f(0)$を求めよ。
(2) $logf(x)$の導関数$(logf(x))’$を求めよ。
(3) 関数$f(x)$を求めよ。
(4) 方程式$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け。
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【滋賀医科大学 2023】
実数全体を定義域とする微分可能な関数$f(x)$は、常に$f(x)＞0$であり、等式
$\displaystyle f(x)=1+\int_0^x e^t(1+t)f(t)dt$
を満たしている。
(1) $f(0)$を求めよ。
(2) $logf(x)$の導関数$(logf(x))’$を求めよ。
(3) 関数$f(x)$を求めよ。
(4) 方程式$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}$を解け。
【高校数学】毎日積分78日目~47都道府県制覇への道~【㉑奈良】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#奈良教育大学#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【奈良教育大学 2023】
以下の問いに答えよ。
(1) 次の関数の導関数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
(i) $log|x+\sqrt{1+x^2}|$
(ii) $\displaystyle \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2}+log|x+\sqrt{1+x^2}|)$
(2)次の等式を示せ。
$\displaystyle \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{cos^3x}{\sqrt{1+sin^2x}}dx=\frac{1}{2}\{3log(1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\}$
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【奈良教育大学 2023】
以下の問いに答えよ。
(1) 次の関数の導関数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
(i) $log|x+\sqrt{1+x^2}|$
(ii) $\displaystyle \frac{1}{2}(x\sqrt{1+x^2}+log|x+\sqrt{1+x^2}|)$
(2)次の等式を示せ。
$\displaystyle \int_0^{\frac{π}{2}}\frac{cos^3x}{\sqrt{1+sin^2x}}dx=\frac{1}{2}\{3log(1+\sqrt{2})-\sqrt{2}\}$
【高校数学】毎日積分77日目~47都道府県制覇への道~【⑳和歌山】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#和歌山大学#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【和歌山大学 2023】
次の問いに答えよ。ただし、$\sqrt{3}＞1.73$である。
(1)$ x=tant$の時,$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$を$cost$を用いて表せ。
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}}\frac{1}{1+x^2}dx$を求めよ。
(3) すべての実数$x$に対して、$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}≧1+ax^2$が成り立つような実数$a$の最大値を求めよ。
(4) 円周率は$3.07$より大きいことを示せ。
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【和歌山大学 2023】
次の問いに答えよ。ただし、$\sqrt{3}＞1.73$である。
(1)$ x=tant$の時,$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}$を$cost$を用いて表せ。
(2) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}}\frac{1}{1+x^2}dx$を求めよ。
(3) すべての実数$x$に対して、$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}≧1+ax^2$が成り立つような実数$a$の最大値を求めよ。
(4) 円周率は$3.07$より大きいことを示せ。
【高校数学】19回目にして遂に計算ミス発生!?毎日積分76日目~47都道府県制覇への道~【⑲大阪】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【大阪大学 2023】
$n$を$2$以上の自然数とする。
(1) $0≦x≦1$の時、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle \frac{1}{2}x^n≦(-1)^n\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^n(-1)^{k-1}\}≦x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}$
(2) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}$とするとき、次の極限値を求めよ。
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (-1)^nn(a_n-log2)$
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【大阪大学 2023】
$n$を$2$以上の自然数とする。
(1) $0≦x≦1$の時、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\displaystyle \frac{1}{2}x^n≦(-1)^n\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^n(-1)^{k-1}\}≦x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}$
(2) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}$とするとき、次の極限値を求めよ。
$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (-1)^nn(a_n-log2)$
【高校数学】毎日積分75日目~47都道府県制覇への道~【⑱兵庫】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【神戸大学 2023】
媒介変数表示
$\displaystyle x=sint, y=cos(t-\frac{π}{6})sint (0≦t≦π)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問に答えよ。
(1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=0$ または $\displaystyle \frac{dy}{dt}=0$となる$t$の値を求めよ。
(2) $C$の概形を$xy$平面上に描け。
(3) $C$の$y≦0$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
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【神戸大学 2023】
媒介変数表示
$\displaystyle x=sint, y=cos(t-\frac{π}{6})sint (0≦t≦π)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問に答えよ。
(1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=0$ または $\displaystyle \frac{dy}{dt}=0$となる$t$の値を求めよ。
(2) $C$の概形を$xy$平面上に描け。
(3) $C$の$y≦0$の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
【高校数学】毎日積分74日目~47都道府県制覇への道~【九州~四国・中国地方総集編】【毎日17時投稿】
【高校数学】毎日積分73日目~47都道府県制覇への道~【⑰岡山】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#岡山大学#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【岡山大学 2023】
$a＜0,b＞0$とする。２つの曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2+1}$と$D:y=ax^2+b$がある。いま、$x＞0$で$C$と$D$が共有点をもち、その点における２つの曲線の接線が一致しているとする。その共有点の$x$座標を$t$とし、$D$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする。以下の問いに答えよ。
(1) $D$と$x$軸の交点の$x$座標を$±p$とし、$p＞0$とする。$S$を$a$と$p$を用いて表せ。
(2) $a,b$を$t$を用いて表せ。
(3) $S$を$t$を用いて表せ。
(4) $t＞0$の範囲で$S$が最大となるような$D$の方程式を求めよ。
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【岡山大学 2023】
$a＜0,b＞0$とする。２つの曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x^2+1}$と$D:y=ax^2+b$がある。いま、$x＞0$で$C$と$D$が共有点をもち、その点における２つの曲線の接線が一致しているとする。その共有点の$x$座標を$t$とし、$D$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする。以下の問いに答えよ。
(1) $D$と$x$軸の交点の$x$座標を$±p$とし、$p＞0$とする。$S$を$a$と$p$を用いて表せ。
(2) $a,b$を$t$を用いて表せ。
(3) $S$を$t$を用いて表せ。
(4) $t＞0$の範囲で$S$が最大となるような$D$の方程式を求めよ。
【高校数学】毎日積分72日目~47都道府県制覇への道~【⑯鳥取】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鳥取大学#数Ⅲ
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問題文全文(内容文)：
【鳥取大学 2023】
負でない整数$n=0,1,2,･･･$と正の実数$x＞0$に対し、
$\displaystyle I_n=\frac{1}{n!}\int_0^xt^ne^{-t}dt$
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $I_0,I_1$を求めよ。
(2) $n=1,2,3,･･･$に対し、$I_n$と$I_{n-1}$の関係式を求めよ。
(3) $I_n(n=0,1,2,･･･)$を求めよ。
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【鳥取大学 2023】
負でない整数$n=0,1,2,･･･$と正の実数$x＞0$に対し、
$\displaystyle I_n=\frac{1}{n!}\int_0^xt^ne^{-t}dt$
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) $I_0,I_1$を求めよ。
(2) $n=1,2,3,･･･$に対し、$I_n$と$I_{n-1}$の関係式を求めよ。
(3) $I_n(n=0,1,2,･･･)$を求めよ。
【高校数学】毎日積分71日目~47都道府県制覇への道~【⑮広島】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#広島大学#数Ⅲ
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【広島大学 2023】
関数$\displaystyle f(x)=log\frac{3x+3}{x^2+3}$について、次の問いに答えよ。
(1) $y=f(x)$のグラフの概形をかけ。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(2) $s$を定数とするとき、次の$x$についての方程式(*)の異なる実数解の個数を調べよ。
(*) $f(x)=s$
(3) 定積分$\displaystyle\int_0^3\frac{2x^2}{x^2+3}dx$の値を求めよ。
(4) (2)の(*)が実数解をもつ$s$に対して、(2)の(*)の実数解のうち最大のものから最小のものを引いた差を$g(s)$とする。ただし、(2)の(*)の実数解が一つだけであるときには$g(s)=0$とする。関数$f(x)$の最大値を$α$とおくとき、定積分$\displaystyle\int_0^αg(s)ds$の値を求めよ。
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【広島大学 2023】
関数$\displaystyle f(x)=log\frac{3x+3}{x^2+3}$について、次の問いに答えよ。
(1) $y=f(x)$のグラフの概形をかけ。ただし、グラフの凹凸は調べなくてよい。
(2) $s$を定数とするとき、次の$x$についての方程式(*)の異なる実数解の個数を調べよ。
(*) $f(x)=s$
(3) 定積分$\displaystyle\int_0^3\frac{2x^2}{x^2+3}dx$の値を求めよ。
(4) (2)の(*)が実数解をもつ$s$に対して、(2)の(*)の実数解のうち最大のものから最小のものを引いた差を$g(s)$とする。ただし、(2)の(*)の実数解が一つだけであるときには$g(s)=0$とする。関数$f(x)$の最大値を$α$とおくとき、定積分$\displaystyle\int_0^αg(s)ds$の値を求めよ。
【高校数学】毎日積分70日目~47都道府県制覇への道~【⑭島根】【毎日17時投稿】
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#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#島根大学#数Ⅲ
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【島根大学 2023】
$a$を実数の定数、$n$を自然数とし、関数$f(x)$を$f(x)=1-ax^n$と定める。次の問いに答えよ。
(1) $\displaystyle \frac{n+5}{n+2}≦2$を示せ。
(2) $\displaystyle \int_0^1xf(x)dx≦\frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2$を示せ。
(3) (2)の不等式において、等号が成立するときの$a$と$n$の値を求めよ。
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【島根大学 2023】
$a$を実数の定数、$n$を自然数とし、関数$f(x)$を$f(x)=1-ax^n$と定める。次の問いに答えよ。
(1) $\displaystyle \frac{n+5}{n+2}≦2$を示せ。
(2) $\displaystyle \int_0^1xf(x)dx≦\frac{2}{3}(\int_0^1f(x)dx)^2$を示せ。
(3) (2)の不等式において、等号が成立するときの$a$と$n$の値を求めよ。
【高校数学】毎日積分69日目~47都道府県制覇への道~【⑬山口】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山口大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
【山口大学 2023】
座標平面上で、不等式
$\displaystyle \frac{1}{4}x^2-2≦y≦0またはx^2+y^2≦4$
の表す領域を$D_1$とし、不等式
$y＞\sqrt{3}xかつx^2+y^2＜2$
の表す領域を$D_2$とし、不等式
$y＞-\sqrt{3}xかつx^2+y^2＜2$
の表す領域を$D_3$とする。また、$D_2$と$D_3$の和集合を$X$とし、$D_1$から$X$を除いた領域を$Y$とする。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)領域$D_1$を図示しなさい。
(2)領域$D_1$の面積を求めさない。
(3)領域$Y$を図示しなさい。
(4)領域$Y$の面積を求めなさい。
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【山口大学 2023】
座標平面上で、不等式
$\displaystyle \frac{1}{4}x^2-2≦y≦0またはx^2+y^2≦4$
の表す領域を$D_1$とし、不等式
$y＞\sqrt{3}xかつx^2+y^2＜2$
の表す領域を$D_2$とし、不等式
$y＞-\sqrt{3}xかつx^2+y^2＜2$
の表す領域を$D_3$とする。また、$D_2$と$D_3$の和集合を$X$とし、$D_1$から$X$を除いた領域を$Y$とする。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)領域$D_1$を図示しなさい。
(2)領域$D_1$の面積を求めさない。
(3)領域$Y$を図示しなさい。
(4)領域$Y$の面積を求めなさい。
福田の数学〜慶應義塾大学2024年理工学部第1問(2)〜漸化式とはさみうちの原理
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#大学入試過去問(数学)#漸化式#関数と極限#数列の極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
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関数f(x)は実数全体で定義されており、$x\leqq 2$において
$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}x\leqq f(x)\leqq 2-x$
を満たしているものとする。数列{$a_{ n }$}は漸化式
$a_{ n+1 }=a_{ n }+f(a_{ n })$
を満たしているものとする。
(i)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、すべての自然数nに対して、$a_{ 1 } \leqq a_{ n }\leqq2$となる事を証明しなさい。
(ii)$a_{ 1 } \leqq 2$ならば、$a_{ 1 }$の値によらず$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 2$となる事を証明しなさい。
【高校数学】毎日積分68日目~47都道府県制覇への道~【⑫香川】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#香川大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$-1＜x＜1$を定義域とする関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x^2}$について、次の問に答えよ。
(1)原点から曲線$C:y=f(x)$に引いた2本の接線それぞれの方程式を求めよ。
(2)$C$と(1)の2本の接線で囲まれてできる図形$D$の面積を求めよ。
(3)$D$を$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
【香川大学 2023】
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$-1＜x＜1$を定義域とする関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x^2}$について、次の問に答えよ。
(1)原点から曲線$C:y=f(x)$に引いた2本の接線それぞれの方程式を求めよ。
(2)$C$と(1)の2本の接線で囲まれてできる図形$D$の面積を求めよ。
(3)$D$を$y$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
【香川大学 2023】
【高校数学】毎日積分67日目~47都道府県制覇への道~【⑪徳島】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#徳島大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x-1}{x^2+2x+2}$とする。
(1)$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)$および$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)$を求めよ。
(2)導関数$f'(x)$を求めよ。
(3)関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【徳島大学 2023】
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$\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-x-1}{x^2+2x+2}$とする。
(1)$\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)$および$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x)$を求めよ。
(2)導関数$f'(x)$を求めよ。
(3)関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ。
(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
【徳島大学 2023】
【高校数学】毎日積分66日目~47都道府県制覇への道~【⑩愛媛】【毎日17時投稿】
単元：
#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#愛媛大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}(x+tanx)dx=[オ]$であり、$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}|x+tanx|dx=[カ]$である。
関数$f(x)=x,g(x)=2xsinx$について、$f'(0)=1$であり、$g'(0)=[キ]$である。また、$0≦x≦\frac{π}{6}$において、直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は[ク]である。
【愛媛大学 2023】
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$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}(x+tanx)dx=[オ]$であり、$\int_{-\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}|x+tanx|dx=[カ]$である。
関数$f(x)=x,g(x)=2xsinx$について、$f'(0)=1$であり、$g'(0)=[キ]$である。また、$0≦x≦\frac{π}{6}$において、直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積は[ク]である。
【愛媛大学 2023】
【高校数学】毎日積分65日目~47都道府県制覇への道~【⑨高知(高知大学)】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高知大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1)すべての実数$x$に対して
$sin3x=3sinx-4sin^3x$
$cos3x=-3cosx+4cos^3x$
が成り立つことを、加法定理と2倍角の公式を用いて示せ。
(2)実数$θ$を、$\displaystyle\frac{π}{3}＜θ＜\frac{π}{2}$と$cos3θ=\displaystyle-\frac{11}{16}$を同時に満たすものとする。このとき、$cosθ$を求めよ。
(3)(2)の$θ$に対して、定積分$\displaystyle\int_0^θsin^5xdx$を求めよ。
【高知大学 2023】
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(1)すべての実数$x$に対して
$sin3x=3sinx-4sin^3x$
$cos3x=-3cosx+4cos^3x$
が成り立つことを、加法定理と2倍角の公式を用いて示せ。
(2)実数$θ$を、$\displaystyle\frac{π}{3}＜θ＜\frac{π}{2}$と$cos3θ=\displaystyle-\frac{11}{16}$を同時に満たすものとする。このとき、$cosθ$を求めよ。
(3)(2)の$θ$に対して、定積分$\displaystyle\int_0^θsin^5xdx$を求めよ。
【高知大学 2023】
【高校数学】毎日積分64日目~47都道府県制覇への道~【⑧福岡】【毎日17時投稿】
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#積分とその応用#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$xy$平面上の曲線$C$を、媒介変数tを用いて次のように定める。
$x=t+2\sin^{2t}, y=t+\sin t (0\lt t\lt \pi)$
以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$に接する直線のうち$y$軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線$C$のうち$y≦x$の領域にある部分と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ。
【九州大学 2023】
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$xy$平面上の曲線$C$を、媒介変数tを用いて次のように定める。
$x=t+2\sin^{2t}, y=t+\sin t (0\lt t\lt \pi)$
以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$に接する直線のうち$y$軸と平行なものがいくつあるか求めよ。
(2)曲線$C$のうち$y≦x$の領域にある部分と直線$y=x$で囲まれた図形の面積を求めよ。
【九州大学 2023】
【高校数学】毎日積分63日目~47都道府県制覇への道~【⑦佐賀】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#佐賀大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の問に答えよ。
(1)等式$(\tan\theta)’=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$を示せ。また、定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$の値を求めよ。
(2)等式$\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\cosθ}{1-\sin\theta}=\dfrac{2}{\cos\theta}$を示せ。また、定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$の値を求めよ。
(3)定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta$の値を求めよ。
【佐賀大学 2023】
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次の問に答えよ。
(1)等式$(\tan\theta)’=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$を示せ。また、定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$の値を求めよ。
(2)等式$\dfrac{\cos\theta}{1+\sin\theta}+\dfrac{\cosθ}{1-\sin\theta}=\dfrac{2}{\cos\theta}$を示せ。また、定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos\theta}d\theta$の値を求めよ。
(3)定積分$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\dfrac{1}{\cos^3\theta}d\theta$の値を求めよ。
【佐賀大学 2023】
【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$y=\sqrt{x+2}$
(2)$y＝\sqrt{-3x-6}$
(3)$y＝-\sqrt{7-4x}$
(4)$y＝-\sqrt{\dfrac{1}{2}x-3}$
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次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$y=\sqrt{x+2}$
(2)$y＝\sqrt{-3x-6}$
(3)$y＝-\sqrt{7-4x}$
(4)$y＝-\sqrt{\dfrac{1}{2}x-3}$
【高校数学】無理関数のグラフの裏ワザ！例題もあるよ！
単元：
#関数と極限#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$ y＝\sqrt{x＋2}$
(2)$ y＝\sqrt{ー3x－6}$
(3)$ y＝－\sqrt{7－4x}$
(4)$ y＝－\sqrt{\frac{1}{2}x－3}$
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次の無理関数のグラフをかけ。
(1)$ y＝\sqrt{x＋2}$
(2)$ y＝\sqrt{ー3x－6}$
(3)$ y＝－\sqrt{7－4x}$
(4)$ y＝－\sqrt{\frac{1}{2}x－3}$
【高校数学】毎日積分62日目~47都道府県制覇への道~【⑥長崎】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#長崎大学#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$ a,b$を定数とする。すべての実数$x$で連続な関数$f(x)$について、等式
$\displaystyle\int_a^bf(x)dx = \displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx$
が成り立つことを証明せよ。また、定積分$\displaystyle\int_1^2\frac{x^2}{x^2+(3-x)^2}dx$を求めよ。
【長崎大学 2023】
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$ a,b$を定数とする。すべての実数$x$で連続な関数$f(x)$について、等式
$\displaystyle\int_a^bf(x)dx = \displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx$
が成り立つことを証明せよ。また、定積分$\displaystyle\int_1^2\frac{x^2}{x^2+(3-x)^2}dx$を求めよ。
【長崎大学 2023】
福田の数学〜東京大学2018年理系第3問〜軌跡と領域そして極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#関数と極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
放物線$y=x^2$のうち$-1 \leqq x \leqq 1$を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき$\overrightarrow{ OR }=\displaystyle \frac{1}{k}\overrightarrow{ OP }+k\overrightarrow{ OQ }$を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および$\displaystyle \lim_{ k \to +0 } S(k) ,\displaystyle \lim_{ k \to \infty }S(k)$を求めよ。
2018東京大学理系過去問
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放物線$y=x^2$のうち$-1 \leqq x \leqq 1$を満たす部分をCとする。座標平面上の原点Ｏと点A(1,0)を考える。Ｋ＞０を実数とする。点ＰがＣの上を動き、天Ｑが線分ＯＡ上を動くとき$\overrightarrow{ OR }=\displaystyle \frac{1}{k}\overrightarrow{ OP }+k\overrightarrow{ OQ }$を満たす点Ｒが動く領域の面積をＳ(k)とする。
Ｓ(k)および$\displaystyle \lim_{ k \to +0 } S(k) ,\displaystyle \lim_{ k \to \infty }S(k)$を求めよ。
2018東京大学理系過去問
【高校数学】毎日積分61日目~47都道府県制覇への道~【⑤大分】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大分大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線$C$を媒介変数$θ$を用いて
$\begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned}
x=3cosθ \\
y=sin2θ
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$
$(0≦θ≦π/2)$
と表す。
(1)曲線$C$上の点で、$y$座標の値が最大となる点の座標$(x,y)$を求めなさい。また、曲線$C$上の点で、$y$座標の値が最小となる点の座標$(x,y)$をすべて求めなさい。
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい。
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めなさい。
【大分大学 2023】
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曲線$C$を媒介変数$θ$を用いて
$\begin{equation}
\left\{ \,
\begin{aligned}
x=3cosθ \\
y=sin2θ
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$
$(0≦θ≦π/2)$
と表す。
(1)曲線$C$上の点で、$y$座標の値が最大となる点の座標$(x,y)$を求めなさい。また、曲線$C$上の点で、$y$座標の値が最小となる点の座標$(x,y)$をすべて求めなさい。
(2)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい。
(3)曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積$V$を求めなさい。
【大分大学 2023】
高校数学：数学検定準1級1次：問題6,7 双曲線の焦点、関数の極限
単元：
#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上の曲線#関数と極限#2次曲線#関数の極限#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
xy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$
の焦点の座標を求めなさい。
次の極限値を求めなさい。
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 }\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1}$
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xy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=-1$
の焦点の座標を求めなさい。
次の極限値を求めなさい。
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 }\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{\sqrt[ 3 ]{ x }-1}$
【高校数学】毎日積分60日目~47都道府県制覇への道~【④熊本】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#熊本大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{t}}4tx(1-tx^2)e^{-tx^2}logxdx$の値を$t$を用いて表せ。
【熊本大学 2023】
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定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{t}}4tx(1-tx^2)e^{-tx^2}logxdx$の値を$t$を用いて表せ。
【熊本大学 2023】
【高校数学】毎日積分59日目~47都道府県制覇への道~【③宮崎】【毎日17時投稿】
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#宮崎大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}$および座標平面上の原点$O$を通る曲線$C:y=f(x)$について、次の各問に答えよ。
(1)$f(x)$の導関数$f'(x)$および第2次導関数$f''(x)$を求めよ。
(2)直線$y=ax$が曲線$C$に$O$で接するときの定数$a$の値を求めよ。また、このとき、$x ＞0$において、$ax＞f(x)$が成り立つことを示せ。
(3)関数$f(x)$の増減、極値、曲線$C$の凹凸、変曲点および漸近線を調べて、曲線$C$の概形をかけ。
(4)(2)で求めた$a$の値に対し、曲線$C$と直線$y=ax$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
【宮崎大学 2023】
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関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}$および座標平面上の原点$O$を通る曲線$C:y=f(x)$について、次の各問に答えよ。
(1)$f(x)$の導関数$f'(x)$および第2次導関数$f''(x)$を求めよ。
(2)直線$y=ax$が曲線$C$に$O$で接するときの定数$a$の値を求めよ。また、このとき、$x ＞0$において、$ax＞f(x)$が成り立つことを示せ。
(3)関数$f(x)$の増減、極値、曲線$C$の凹凸、変曲点および漸近線を調べて、曲線$C$の概形をかけ。
(4)(2)で求めた$a$の値に対し、曲線$C$と直線$y=ax$および直線$x=\sqrt{3}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ。
【宮崎大学 2023】
福田の数学〜東京大学2018年理系第1問〜関数の増減と極限の計算
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
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$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
【高校数学】分数関数と一次関数の不等式をグラフを使わない裏ワザ！②
単元：
#関数と極限#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の不等式を解け。
$\displaystyle\frac{2x}{x+1}≧x+6$
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次の不等式を解け。
$\displaystyle\frac{2x}{x+1}≧x+6$