複素数平面

【数C】【複素数平面】高次方程式3 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
方程式

z^{6} + z^{3} + 1 = 0

の解を求めよ｡ただし､解は極形式のままでよい｡

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【数C】【複素数平面】高次方程式2 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数

z

が､

z + \frac{1}{z} = 2 \cos θ

を満たすとき､次の問いに答えよ｡
(1)

z

を

θ

を用いて表せ｡
(2)

n

が自然数のとき､等式､

z^{n} + \frac{1}{z^{n}} = 2 \cos n θ

が成り立つことを示せ｡

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【数C】【複素数平面】高次方程式1 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

n

を自然数とし、

α = \cos \frac{π}{n} + i \sin \frac{π}{n}

とする。次の問いに答えよ。
(1)

1 + α + α^{2} + \dots \dots + α^{2 n - 1}

の値を求めよ。
(2)

z^{2 n} = 1

の解は

1, α, α^{2}, \dots \dots, α^{2 n - 1}

であることを示せ。

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【数C】【複素数平面】ド・モアブルの定理2 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

n

が､

a_{n} = (\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2})^{2 n}

が実数となる最小の自然数であるとき､

a_{n}

の値を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】ド・モアブルの定理1 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

n

が自然数のとき､

(\frac{1 + i}{\sqrt{2}})^{n} - (\frac{1 - i}{\sqrt{2}})^{n}

の値を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】複素数平面の対称移動 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上で

O (0) ､ A (- 1 + \sqrt{3} i)

とする｡点

z

を直線

OA

に関して対称移動した点を

w

とするとき､

w

を

z

を用いて表せ｡

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【数C】【複素数平面】複素数平面の回転 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
座標平面上の点

P (x, y)

を原点を中心として

θ

だけ回転した点を

Q

とするとき､

Q

の座標を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】複素数の回転と三角形 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数平面上の3点O(0),A(2-i),Bについて､次の条件を満たしているとき､
点Bを表す複素数を求めよ｡
(1)△OABが正三角形となる｡(2)△OABがBを直角の頂点とする二等辺三角形になる｡

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【数C】【複素数平面】極形式から三角比の値を求める ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

1 + i

､

\sqrt{3} + i

を極形式で表すことにより､

c o s \frac{5 π}{12}

と

s i n \frac{5 π}{12}

の値を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】極形式で表す ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
次の複素数を極形式で表せ｡ただし､偏角θは0≦θ＜2πとする｡

(1)

\frac{4 + 3 i}{1 + 7 i}

(2)

\sqrt{3} + \frac{1 - i}{1 + i}

(3)

ｰ 4 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})

(4)

c o s \frac{2 π}{3} ｰ i s i n \frac{2 π}{3}

(5)

2 (s i n \frac{π}{3} + i c o s \frac{π}{3})

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【数C】【複素数平面】複素数の大きさ・対称式の利用 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

α, β

は複素数とする｡

| α | = | β | = 1, α + β + 1 = 0

のとき､

α^{2} + β^{2}

の値を求めよ｡

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【数C】【複素数平面】複素数の大きさと式変形 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

| z | = 3

かつ

| z - 2 | = 4

を満たす複素数

z

について､次の値を求めよ｡
(1)

z \bar{z}

(2)

z + \bar{z}

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【数C】【複素数平面】複素数の大きさ ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

z = 2 - i

のとき、

| z + \frac{1}{z} |^{2}

の値を求めよ。

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【数C】【複素数平面】実数であることの証明 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
α、βを複素数とし、α≠０とするとき、次のことを証明せよ。
αβが実数　⇔　β＝kαとなる実数ｋがある

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【数C】【複素数平面】基本公式と式変形 ※問題文は概要欄

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

教材： #4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#複素数平面

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
複素数

z

が

3 z + \bar{z} = 2 - 2 i

を満たすとき、以下の問いに答えよ。

（１）

3 \bar{z} + z

を求めよ。

（２）

z

を求めよ。

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福田の数学〜名古屋大学2024年理系第2問〜3次方程式の共通解と複素数平面

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

c

を1より大きい実数とする。また、

i

を虚数単位として、

α

=

\frac{1 - i}{\sqrt{2}}

　とおく。
複素数

z

に対して、

P (z)

=

z^{3}

－

3 z^{2}

+

(c + 2) z

－

c

,　

Q (z)

=

- α^{7} z^{3}

+

3 α^{6} z^{2}

+

(c + 2) α z

－

c

と定める。
(1)方程式

P (z)

=0を満たす複素数

z

をすべて求め、それらを複素数平面上に図示せよ。
(2)方程式

Q (z)

=0を満たす複素数

z

のうち実部が最大のものを求めよ。
(3)複素数

z

についての2つの方程式

P (z)

=0,　

Q (z)

=0が共通解

β

を持つとする。そのときの

c

の値と

β

を求めよ。

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福田の数学〜東京工業大学2024年理系第5問〜2次方程式の解が1のn乗根である条件

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

整数の組(

a

,

b

)に対して2次式

f (x)

=

x^{2}

+

a x

+

b

を考える。方程式

f (x)

=0 の複素数の範囲のすべての解

α

に対して

α^{n}

=1 となる正の整数

n

が存在するような組(

a

,

b

)をすべて求めよ。

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札幌医科大　2024 複素数の方程式

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
x>0,y≠0
z=x+yi

z^{3} = {\overset{―}{z}}^{2}

のときxを求めよ

2024札幌医科大過去問

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【数ⅢC】複素数平面の基本⑦内分点、外分点、重心を考える

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

A (- 3 + 2 i), B (4 - 8 i)

のとき線分ABの中点、3:1に内分、外分する点を表す複素数を求めよ

α = 0, β = 2 + 3 i, γ = 1 + 6 i

の3点で表される三角形の重心を表す複素数を求めよ

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福田の数学〜格子点の個数を数えるコツ〜北里大学2023年医学部第1問(1)〜複素数平面上の円の内部にある格子点

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
( 1 ) 8 の 6 乗根のうち、実部が正で虚部が負である複素数をzとする。このとき、

ア

であり、

z + z^{5} = イ

。複素数平面において、点zを中心とする円Cが実軸と2点a,bで交わり、

| a - b | = \sqrt{30}

を満たしている。このとき、円Cの半径 r は

r = ウ

である。また、円Cの内部にある複素数のうち、実部、虚部ともに 0 以上の整数であるものの個数は

エ

である。

2023北里大学医過去問

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高校数学：数学検定準1級1次:問題3,4 :ベクトルの内積、複素数平面絶対値と角度

単元： #数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#平面上のベクトル#複素数平面#平面上のベクトルと内積#複素数平面#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数C

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
問題３　３つの単位ベクトル

\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}

が2

\vec{a} + 3 \vec{b} + 4 \vec{c} = \vec{0}

を満たすとき、

\vec{a}

と

\vec{c}

の内積

\vec{a} ・ \vec{c}

を求めなさい。
ただし、

\vec{0}

は零ベクトルを表します。

問題４　複素数

z ＝ － 2 － i

について、次の問いに答えなさい。ただし、iは虚数単位を表します。
　　　①　zの絶対値を求めなさい。
　　　②　zの偏角を

θ

とします。このとき、

s i n 4 θ

の値を求めなさい。

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虚数の3乗根　島根大

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#島根大学#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

z^{3} = i

島根大過去問

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数学どうにかしたい人へ

単元： #数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ

指導講師：カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】

問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です

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10次方程式の解

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\frac{x^{11} - 1}{x - 1} = 0

の解の1つをαとする.

(1 - α) (1 - α^{2}) (1 - α^{3}) \dots (1 - α^{10})

の値を求めよ.

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福島大　複素数の基本問題

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{rcl} 2023 福 島 大 \\ Z = 1 + \sqrt{3} i の 時 \\ 1 + Z + Z^{2} + Z^{3} + Z^{4} + Z^{5} \end{array}

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大学入試問題#625「根性がためされている」　横浜市立大学医学部(2005)　#複素数

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#横浜市立大学

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

Z

：複素数

Z^{6} + Z^{3} + 1 = 0

のとき、

| Z + \frac{1 + i}{\sqrt{2}} |^{2} + | Z - \frac{1 + i}{\sqrt{2}} |^{2}

の値を求めよ

出典：2005年横浜市立大学　入試問題

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福田の数学〜早稲田大学2023年教育学部第1問(3)〜連立漸化式と複素数平面

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#数列#漸化式#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

x_{0} = 0, y_{0} = - 1

のとき、非負整数

n ≧ 0

に対して、

x_{n + 1} = (\cos \frac{3 π}{11}) x_{n} - (\sin \frac{3 π}{11)} y_{n}

y_{n + 1} = (\cos \frac{3 π}{11}) x_{n} + (\sin \frac{3 π}{11)} y_{n}

のとき、

x_{n}

が最小となる最初のnを求めよ。

2023早稲田大学教育学部過去問

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山口大　１の十乗根の問題

単元： #大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山口大学#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：

\begin{array}{rcl} 2023 山 口 大 \\ 2 Z^{4} + (1 - \sqrt{5}) Z^{2} + 2 = 0 \\ ① Z^{10} = 1 を 示 せ \\ ② Z + Z^{3} + Z^{5} + Z^{7} + Z^{9} の 値 \\ ③ \cos \frac{π}{5} \cos \frac{2 π}{5} = \frac{1}{4} を 示 せ \end{array}

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横浜市立（医・理）

単元： #複素数平面#複素数平面#数学(高校生)#数C

指導講師：鈴木貫太郎

問題文全文(内容文)：
2023横浜市立(医・理)

Z^{4} = Z^{2} - 1 を み た す Z^{40} + 2 Z^{10} + \frac{1}{Z^{20}}

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福田の数学〜中央大学2023年理工学部第１問〜複素数平面と確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#複素数平面#確率#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

さいころを2回ふって出た目の数を順に

a

,

b

とし、複素数

α

,

β

を

α

=

\cos \frac{a π}{3}

+

i \sin \frac{a π}{3}

,　

β

=

\cos \frac{b π}{3}

+

i \sin \frac{b π}{3}

と定める(

i

は虚数単位)。また、

α

－

β

の絶対値を

d

=|

α

－

β

|とおく。
(1)

d

のとりうる値は、小さいものから順に0,

ア

,

イ

,

ウ

である。

d

=0,

ア

,

イ

,

ウ

が成り立つ確率はそれぞれ

エ

,

オ

,

カ

,

キ

である。
(2)

α

－

β

が実数となる確率は

ク

であり、

α

－

β

が実数という条件の下で

d

＜

ウ

が成り立つ条件付き確率は

ケ

である。
(3)

α^{2}

=

β^{3}

という条件の下で

α + β

の虚部が正となる条件付き確率は

コ

である。

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 複素数平面

【数C】【複素数平面】高次方程式3 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】高次方程式2 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】高次方程式1 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】ド・モアブルの定理2 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】ド・モアブルの定理1 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数平面の対称移動 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数平面の回転 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数の回転と三角形 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】 極形式から三角比の値を求める ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】 極形式で表す ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数の大きさ・対称式の利用 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数の大きさと式変形 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】複素数の大きさ ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】実数であることの証明 ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】基本公式と式変形 ※問題文は概要欄

福田の数学〜名古屋大学2024年理系第2問〜3次方程式の共通解と複素数平面

福田の数学〜東京工業大学2024年理系第5問〜2次方程式の解が1のn乗根である条件

札幌医科大 2024 複素数の方程式

【数ⅢC】複素数平面の基本⑦内分点、外分点、重心を考える

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高校数学：数学検定準1級1次:問題3,4 :ベクトルの内積、複素数平面絶対値と角度

虚数の3乗根 島根大

数学どうにかしたい人へ

10次方程式の解

福島大 複素数の基本問題

大学入試問題#625「根性がためされている」 横浜市立大学医学部(2005) #複素数

福田の数学〜早稲田大学2023年教育学部第1問(3)〜連立漸化式と複素数平面

山口大 １の十乗根の問題

横浜市立（医・理）

福田の数学〜中央大学2023年理工学部第１問〜複素数平面と確率

【数C】【複素数平面】極形式から三角比の値を求める ※問題文は概要欄

【数C】【複素数平面】極形式で表す ※問題文は概要欄

札幌医科大　2024 複素数の方程式

虚数の3乗根　島根大

福島大　複素数の基本問題

大学入試問題#625「根性がためされている」　横浜市立大学医学部(2005)　#複素数

山口大　１の十乗根の問題