平面上の曲線
平面上の曲線
【数Ⅲ】2次曲線：極方程式をゼロからはじめましょう
【数Ⅲ】極座標をゼロから始めましょう
【数Ⅲ】2次曲線：極座標をゼロから始めましょう
座標平面上の平行四辺形 令和4年度 2022 入試問題100題解説97問目！ 愛知県
単元：
#数Ⅰ#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上の曲線#図形と計量#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
四角形ABCDが平行四辺形のとき点Dのx座標は？
＊図は動画内参照
2022愛知県
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四角形ABCDが平行四辺形のとき点Dのx座標は？
＊図は動画内参照
2022愛知県
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2022年医学部第４問〜複素数平面と図形
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#平面上の曲線#複素数平面#方べきの定理と２つの円の関係#図形と方程式#点と直線#2次曲線#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、w=z+\frac{2}{z}\\
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、\\
境界線は含まない)に定点\alphaをとり、\alphaを通る直線lがCと交わる2点を\beta_1,\beta_2とする。\\
このとき、次の問いに答えよ。ただしiは虚数単位とする。\\
(1)w=u+vi(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。\\
(2)点\alphaを固定したままlを動かすとき、積|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|が最大となる\\
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
\end{eqnarray}
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}}\ 複素数平面上の点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、w=z+\frac{2}{z}\\
で表される点wの描く図形をCとする。Cで囲まれた部分の内部(ただし、\\
境界線は含まない)に定点\alphaをとり、\alphaを通る直線lがCと交わる2点を\beta_1,\beta_2とする。\\
このとき、次の問いに答えよ。ただしiは虚数単位とする。\\
(1)w=u+vi(u,vは実数)とするとき、uとvの間に成り立つ関係式を求めよ。\\
(2)点\alphaを固定したままlを動かすとき、積|\beta_1-\alpha|・|\beta_2-\alpha|が最大となる\\
ようなlはどのような直線のときか調べよ。
\end{eqnarray}
2022東京慈恵会医科大学医学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系087〜グラフを描こう(9)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(9)\hspace{50pt}\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t\cos t-\sin t\\
y=t\sin t+\cos t\\
\end{array}
\right. (0 \leqq t \leqq 2\pi)\\
\\
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(9)\hspace{50pt}\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t\cos t-\sin t\\
y=t\sin t+\cos t\\
\end{array}
\right. (0 \leqq t \leqq 2\pi)\\
\\
のグラフを描け。ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系086〜グラフを描こう(8)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(8)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^3-3t^2\\
y=t^2-2t
\end{array}
\right. のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(8)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^3-3t^2\\
y=t^2-2t
\end{array}
\right. のグラフを描け。\\
\\
ただし凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校３年生理系085〜グラフを描こう(7)媒介変数表示のグラフ
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(7)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right. (-2 \leqq t \leqq 1)\\
\\
のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} グラフを描こう(7)\\
\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=t^2+1\\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right. (-2 \leqq t \leqq 1)\\
\\
のグラフを描け。
凹凸は調べなくてよい。
\end{eqnarray}
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第４問〜極方程式と曲線で囲まれた面積
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\ \theta)を考える。\\
k \gt 0として、極方程式\\
r(\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta})^2=k (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})\\
で表される曲線をC(k)とする。曲線C(k)上の点を直交座標(x,\ y)で表せばxの\\
とりうる値の範囲は、\boxed{\ \ ア\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
曲線C(k)とx軸、y軸で囲まれた図形の面積をS(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \\
でなる。直交座標が(\frac{k}{4},\ \frac{k}{4})である曲線\ C(k)上の点Aにおける曲線C(k)の接線l\\
の方程式は、y=\boxed{\ \ エ\ \ }となる。曲線\ C(k)と直線l、およびx軸で囲まれた\\
図形の面積をT(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ オ\ \ }\ T(k)が成り立つ。0 \lt m \lt nを\\
満たす実数m,nに対して、S(n)-S(m)がT(n)と等しくなるのは、\\
\\
\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ \ \ }}\ のときである。\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }\ 、\boxed{\ \ ウ\ \ }の解答群\\
⓪\sqrt k ①k ②k^2 ③\frac{\sqrt 2}{2} ④\frac{\sqrt 2}{3} \\
⑤\frac{k}{2} ⑥\frac{k}{3} ⑦\frac{k^2}{4} ⑧\frac{k^2}{5} ⑨\frac{k^2}{6} \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪x+\frac{k}{2} ①x+\frac{k}{4} ②-x+\frac{k}{2} ③-x+\frac{k}{4} ④2x-\frac{k}{2} \\
⑤2x-\frac{k}{4} ⑥2x-\frac{3k}{4} ⑦-2x+\frac{k}{2} ⑧-2x+\frac{k}{4} ⑨-2x+\frac{3k}{4}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 座標平面の原点Oを極、x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\ \theta)を考える。\\
k \gt 0として、極方程式\\
r(\sqrt{\cos\theta}+\sqrt{\sin\theta})^2=k (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})\\
で表される曲線をC(k)とする。曲線C(k)上の点を直交座標(x,\ y)で表せばxの\\
とりうる値の範囲は、\boxed{\ \ ア\ \ } \leqq x \leqq \boxed{\ \ イ\ \ }\ である。\\
曲線C(k)とx軸、y軸で囲まれた図形の面積をS(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ ウ\ \ }\ \\
でなる。直交座標が(\frac{k}{4},\ \frac{k}{4})である曲線\ C(k)上の点Aにおける曲線C(k)の接線l\\
の方程式は、y=\boxed{\ \ エ\ \ }となる。曲線\ C(k)と直線l、およびx軸で囲まれた\\
図形の面積をT(k)とおけば、S(k)=\boxed{\ \ オ\ \ }\ T(k)が成り立つ。0 \lt m \lt nを\\
満たす実数m,nに対して、S(n)-S(m)がT(n)と等しくなるのは、\\
\\
\frac{m^2}{n^2}=\frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キ \ \ }}\ のときである。\\
\\
\boxed{\ \ イ\ \ }\ 、\boxed{\ \ ウ\ \ }の解答群\\
⓪\sqrt k ①k ②k^2 ③\frac{\sqrt 2}{2} ④\frac{\sqrt 2}{3} \\
⑤\frac{k}{2} ⑥\frac{k}{3} ⑦\frac{k^2}{4} ⑧\frac{k^2}{5} ⑨\frac{k^2}{6} \\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ }\ の解答群\\
⓪x+\frac{k}{2} ①x+\frac{k}{4} ②-x+\frac{k}{2} ③-x+\frac{k}{4} ④2x-\frac{k}{2} \\
⑤2x-\frac{k}{4} ⑥2x-\frac{3k}{4} ⑦-2x+\frac{k}{2} ⑧-2x+\frac{k}{4} ⑨-2x+\frac{3k}{4}
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第２問(1)〜楕円と複素数平面
単元：
#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#2次曲線#複素数平面#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)\ 座標平面において、点(-1,\ 0)からの距離と点(1,\ 0)からの距離の和が4\\
である点は方程式\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1\ で表される曲線C上にある。点(x,\ y)\\
が曲線C上を動くとき、点(x,\ y)と点(-1,\ 0)の距離をdとおけば、dの最小値\\
は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }、最大値は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ となる。複素数zが|z|+|z-4|=8を満たすとき、\\
|z|のとりうる範囲は\ \boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}} (1)\ 座標平面において、点(-1,\ 0)からの距離と点(1,\ 0)からの距離の和が4\\
である点は方程式\frac{x^2}{\boxed{\ \ ア\ \ }}+\frac{y^2}{\boxed{\ \ イ\ \ }}=1\ で表される曲線C上にある。点(x,\ y)\\
が曲線C上を動くとき、点(x,\ y)と点(-1,\ 0)の距離をdとおけば、dの最小値\\
は\ \boxed{\ \ ウ\ \ }、最大値は\ \boxed{\ \ エ\ \ }\ となる。複素数zが|z|+|z-4|=8を満たすとき、\\
|z|のとりうる範囲は\ \boxed{\ \ オ\ \ } \leqq |z| \leqq \boxed{\ \ カ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2021明治大学全統過去問
福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用理系第４問〜楕円と弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} Oを原点とする座標平面において、楕円D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上に異なる2点P_1,P_2\\
がある。P_1における接線l_1とP_2における接線l_2の交点をQ(a,\ b)とし、線分P_1P_2の\\
中点をRとする。\\
\\
(1)P_1の座標を(x_1,\ y_1)とするとき、l_1の方程式はx_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0\\
と表される。\\
\\
(2)直線P_1P_2の方程式は、a,bを用いてax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0と表される。\\
\\
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }が成り立つ。\\
\\
(4)l_1とl_2のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、l_1とl_2の傾きは\\
tの方程式(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0 の解である。\\
\\
(5)l_1とl_2が直交しながらP_1,P_2が動くとする。\\
(\textrm{i})Qの軌跡の方程式を求めよ。 (\textrm{ii})Rのy座標の最大値を求めよ。\\
(\textrm{iii})Rの軌跡の概形を描け。
\end{eqnarray}
2021上智大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} Oを原点とする座標平面において、楕円D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上に異なる2点P_1,P_2\\
がある。P_1における接線l_1とP_2における接線l_2の交点をQ(a,\ b)とし、線分P_1P_2の\\
中点をRとする。\\
\\
(1)P_1の座標を(x_1,\ y_1)とするとき、l_1の方程式はx_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0\\
と表される。\\
\\
(2)直線P_1P_2の方程式は、a,bを用いてax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0と表される。\\
\\
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }が成り立つ。\\
\\
(4)l_1とl_2のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、l_1とl_2の傾きは\\
tの方程式(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0 の解である。\\
\\
(5)l_1とl_2が直交しながらP_1,P_2が動くとする。\\
(\textrm{i})Qの軌跡の方程式を求めよ。 (\textrm{ii})Rのy座標の最大値を求めよ。\\
(\textrm{iii})Rの軌跡の概形を描け。
\end{eqnarray}
2021上智大学理系過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系070〜接線(2)媒介変数表示の接線
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 接線(2) 媒介変数表示の接線\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right. \\
\\
で表される曲線の\theta=\frac{3\pi}{2}のときの点Pにおける接線を求めよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 接線(2) 媒介変数表示の接線\\
\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right. \\
\\
で表される曲線の\theta=\frac{3\pi}{2}のときの点Pにおける接線を求めよ。
\end{eqnarray}
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 媒介変数表示\\
x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1\\
で表される図形Cを考える。\\
\\
(1)Cは頂点(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })、焦点(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })、\\
漸近線y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }をもつ双曲線である。\\
(2)双曲線Cと直線x=4は、2点(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})\\
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} 媒介変数表示\\
x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1\\
で表される図形Cを考える。\\
\\
(1)Cは頂点(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })、焦点(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })、\\
漸近線y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }をもつ双曲線である。\\
(2)双曲線Cと直線x=4は、2点(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})\\
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系058〜微分(3)媒介変数表示の微分
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数列\textrm{III} 微分(3) 媒介変数表示\\
x=a(\theta-\sin\theta), y=a(1-\cos\theta)のとき、\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\thetaで表せ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数列\textrm{III} 微分(3) 媒介変数表示\\
x=a(\theta-\sin\theta), y=a(1-\cos\theta)のとき、\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}を\thetaで表せ。
\end{eqnarray}
【数Ⅲ】式と曲線：楕円の基礎
福田のわかった数学〜高校２年生042〜軌跡(9)媒介変数表示の軌跡(2)
単元：
#数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(9) 媒介変数表示(2)\\
tが実数値をとって変化するとき、\\
x=\frac{t^2-1}{t^2+1} y=\frac{2t}{t^2+1}\\
はどんな曲線を表すか。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(9) 媒介変数表示(2)\\
tが実数値をとって変化するとき、\\
x=\frac{t^2-1}{t^2+1} y=\frac{2t}{t^2+1}\\
はどんな曲線を表すか。
\end{eqnarray}
福田のわかった数学〜高校２年生041〜軌跡(8)媒介変数表示の軌跡(1)
単元：
#数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(8) 媒介変数表示(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
x=2\cos\theta+\sin\theta\\
y=\cos\theta-2\sin\theta
\end{array}\right.
(0 \leqq \theta \leqq \pi)\\
を満たす(x,y)の軌跡を図示せよ。\\
また、0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\piのときはどうか。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{II} 軌跡(8) 媒介変数表示(1)\\
\left\{\begin{array}{1}
x=2\cos\theta+\sin\theta\\
y=\cos\theta-2\sin\theta
\end{array}\right.
(0 \leqq \theta \leqq \pi)\\
を満たす(x,y)の軌跡を図示せよ。\\
また、0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\piのときはどうか。
\end{eqnarray}
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第３問〜見上げる角が等しい点の軌跡と２次曲線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 水平な平面上の異なる2点A(0,1),Q(x,y)にそれぞれ高さh \gt 0,g \gt 0の塔が\\
平面に垂直に立っている。この平面上にあってA,Qとは異なる点Pから2つの\\
塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、h ≠ gとする。\\
\\
(1)点Qの座標が(T,1) (ただしT \gt 0)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しく\\
なるような点Pは、中心の座標が(\boxed{\ \ (あ)\ \ },\boxed{\ \ (い)\ \ })、半径が\boxed{\ \ (う)\ \ }の円周上にある。\\
\\
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、y軸上にあるものが\\
ただ1つあるとする。このときhとgの間には不等式\boxed{\ \ (え)\ \ }が成り立ち、\\
点Q(x,y)は2直線y=\boxed{\ \ (お)\ \ }, y=\boxed{\ \ (か)\ \ }のいずれかの上にある。\\
\\
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、x軸上にあるものが\\
ただ1つであるとする。このとき点Q(x,y)は方程式\\
\boxed{\ \ (き)\ \ }x^2+\boxed{\ \ (く)\ \ }x+\boxed{\ \ (け)\ \ }y^2+\boxed{\ \ (こ)\ \ }y=1\\
で表される2次曲線上Cの上にある。Cが楕円であるのはhとgの間に不等式\boxed{\ \ (さ)\ \ }\\
が成り立つときであり、そのときCの2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (し)\ \ },\boxed{\ \ (す)\ \ }),\\
(\boxed{\ \ (せ)\ \ },\boxed{\ \ (そ)\ \ })である。\boxed{\ \ (さ)\ \ }が成り立たないときCは双曲線となり、\\
その2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (た)\ \ },\boxed{\ \ (ち)\ \ }),(\boxed{\ \ (つ)\ \ },\boxed{\ \ (て)\ \ })である。\\
さらに\frac{h}{g}=\boxed{\ \ (と)\ \ }のときCは直角双曲線となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{3}} 水平な平面上の異なる2点A(0,1),Q(x,y)にそれぞれ高さh \gt 0,g \gt 0の塔が\\
平面に垂直に立っている。この平面上にあってA,Qとは異なる点Pから2つの\\
塔の先端を見上げる角度が等しくなる状況を考える。ただし、h ≠ gとする。\\
\\
(1)点Qの座標が(T,1) (ただしT \gt 0)のとき、2つの塔を見上げる角度が等しく\\
なるような点Pは、中心の座標が(\boxed{\ \ (あ)\ \ },\boxed{\ \ (い)\ \ })、半径が\boxed{\ \ (う)\ \ }の円周上にある。\\
\\
(2)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、y軸上にあるものが\\
ただ1つあるとする。このときhとgの間には不等式\boxed{\ \ (え)\ \ }が成り立ち、\\
点Q(x,y)は2直線y=\boxed{\ \ (お)\ \ }, y=\boxed{\ \ (か)\ \ }のいずれかの上にある。\\
\\
(3)2つの塔を見上げる角度が等しくなるような点Pのうち、x軸上にあるものが\\
ただ1つであるとする。このとき点Q(x,y)は方程式\\
\boxed{\ \ (き)\ \ }x^2+\boxed{\ \ (く)\ \ }x+\boxed{\ \ (け)\ \ }y^2+\boxed{\ \ (こ)\ \ }y=1\\
で表される2次曲線上Cの上にある。Cが楕円であるのはhとgの間に不等式\boxed{\ \ (さ)\ \ }\\
が成り立つときであり、そのときCの2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (し)\ \ },\boxed{\ \ (す)\ \ }),\\
(\boxed{\ \ (せ)\ \ },\boxed{\ \ (そ)\ \ })である。\boxed{\ \ (さ)\ \ }が成り立たないときCは双曲線となり、\\
その2つの焦点の座標は(\boxed{\ \ (た)\ \ },\boxed{\ \ (ち)\ \ }),(\boxed{\ \ (つ)\ \ },\boxed{\ \ (て)\ \ })である。\\
さらに\frac{h}{g}=\boxed{\ \ (と)\ \ }のときCは直角双曲線となる。
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2021年人間科学部第７問〜双曲線と図形問題
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と計量#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{7}} 原点をOとする座標平面上で、2点(\sqrt5,0),(-\sqrt5,0)を焦点とし、2点A(1,0),A'(-1,0)を\\
頂点とする双曲線をHとする。Hの方程式を\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1と表すとき、a^2=\boxed{\ \ ネ\ \ },\ b^2=\boxed{\ \ ノ\ \ }\\
である。双曲線Hの漸近線のうち、傾きが正であるものの方程式はy=\boxed{\ \ ハ\ \ }xである。\\
点P(p,q)は双曲線Hの第1象限の部分を動く点とする。点Pからx軸に下ろした垂線の足をQ、\\
直線PQと双曲線Hの漸近線との交点のうち、第1象限にあるものをRとする。点Pにおける\\
Hの接線と直線x=1との交点をMとし、直線OMと直線APとの交点をNとする。三角形OQR\\
の面積をS、三角形OANの面積をTとするとき、\frac{T}{S}は、p=\boxed{\ \ ヒ\ \ }のとき、最大値\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}をとる。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学人間科学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{7}} 原点をOとする座標平面上で、2点(\sqrt5,0),(-\sqrt5,0)を焦点とし、2点A(1,0),A'(-1,0)を\\
頂点とする双曲線をHとする。Hの方程式を\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1と表すとき、a^2=\boxed{\ \ ネ\ \ },\ b^2=\boxed{\ \ ノ\ \ }\\
である。双曲線Hの漸近線のうち、傾きが正であるものの方程式はy=\boxed{\ \ ハ\ \ }xである。\\
点P(p,q)は双曲線Hの第1象限の部分を動く点とする。点Pからx軸に下ろした垂線の足をQ、\\
直線PQと双曲線Hの漸近線との交点のうち、第1象限にあるものをRとする。点Pにおける\\
Hの接線と直線x=1との交点をMとし、直線OMと直線APとの交点をNとする。三角形OQR\\
の面積をS、三角形OANの面積をTとするとき、\frac{T}{S}は、p=\boxed{\ \ ヒ\ \ }のとき、最大値\frac{\boxed{\ \ フ\ \ }}{\boxed{\ \ ヘ\ \ }}をとる。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学人間科学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2021年社会科学部第１問〜三角関数で表された点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} a,bを定数とし、関数f(x)=x^2+ax+b とする。方程式f(x)=0の2つの解\alpha,\beta\\
が次式で与えられている。\\
\alpha=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}, \beta=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\\
ここで\thetaは、0 \lt \theta \lt \piの定数である。次の問いに答えよ。\\
(1)a,bを\thetaを用いて表せ。\\
(2)\thetaが0 \lt \theta \piで変化するとき、放物線y=f(x)の頂点の軌跡を求めよ。\\
(3)\int_0^{2\sin\theta}f(x)dx=0 となる\thetaの値を全て求めよ。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学社会科学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} a,bを定数とし、関数f(x)=x^2+ax+b とする。方程式f(x)=0の2つの解\alpha,\beta\\
が次式で与えられている。\\
\alpha=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}, \beta=\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\\
ここで\thetaは、0 \lt \theta \lt \piの定数である。次の問いに答えよ。\\
(1)a,bを\thetaを用いて表せ。\\
(2)\thetaが0 \lt \theta \piで変化するとき、放物線y=f(x)の頂点の軌跡を求めよ。\\
(3)\int_0^{2\sin\theta}f(x)dx=0 となる\thetaの値を全て求めよ。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学社会科学部過去問
東大 座標上の鋭角三角形
単元：
#数A#図形の性質#平面上の曲線#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$a,b$は実数であり,$b\neq 0$である.
$O(0,0).P(1,0),Q(a,b)$
(1)$\triangle OPQ$が鋭角三角形になる$a,b$の条件を不等式で表せ.
(2)$m,n$整数,$a,b$は(1)の条件を満たすとき,$(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2 \geqq 0$を示せ.
1998東大過去問
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$a,b$は実数であり,$b\neq 0$である.
$O(0,0).P(1,0),Q(a,b)$
(1)$\triangle OPQ$が鋭角三角形になる$a,b$の条件を不等式で表せ.
(2)$m,n$整数,$a,b$は(1)の条件を満たすとき,$(m+na)^2-(m+na)+n^2b^2 \geqq 0$を示せ.
1998東大過去問
【数Ⅲ】2次曲線：点Pが円x²+y²=4上を動く。yだけを1／2した点Qの軌跡を求めよ。
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
点Pが円$x²+y²=4$上を動く。yだけを$\dfrac{1}{2}$した点Qの軌跡を求めよ。
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点Pが円$x²+y²=4$上を動く。yだけを$\dfrac{1}{2}$した点Qの軌跡を求めよ。
【数学Ⅲ】二次曲線（式と曲線）～まとめ・イメージ・公式の意味～
単元：
#平面上の曲線#2次曲線#数学(高校生)#数C
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
【数学Ⅲ】二次曲線（式と曲線）まとめ動画です
-----------------
$y^2=8x$のグラフ $y^2=3x$のグラフを描け
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【数学Ⅲ】二次曲線（式と曲線）まとめ動画です
-----------------
$y^2=8x$のグラフ $y^2=3x$のグラフを描け
名古屋大 双曲線 東大大学院数学科卒 杉山さん
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#2次曲線#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学#数C
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \frac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}$
$a \gt 0,a \neq 1$
（1）
$f(x)$のとりうる範囲を求めよ
（2）
$f(x)-bx=0$が解をもつ条件を求めよ
出典：1994年名古屋大学 過去問
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$f(x)=\displaystyle \frac{a^x+a^{-x}}{a^x-a^{-x}}$
$a \gt 0,a \neq 1$
（1）
$f(x)$のとりうる範囲を求めよ
（2）
$f(x)-bx=0$が解をもつ条件を求めよ
出典：1994年名古屋大学 過去問
群馬大 複素数 Mathematics Japanese university entrance exam
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#平面上の曲線#複素数#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#群馬大学
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$z=\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }-1}{2}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }+1}{2}i$
（1）
$\displaystyle \frac{z}{1+i}$を$a+bi$の形で表せ
（2）
$z$を極形式で表せ
（3）
$z^{12}$を求めよ
出典：2004年国立大学法人群馬大学 過去問
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$z=\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }-1}{2}+\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }+1}{2}i$
（1）
$\displaystyle \frac{z}{1+i}$を$a+bi$の形で表せ
（2）
$z$を極形式で表せ
（3）
$z^{12}$を求めよ
出典：2004年国立大学法人群馬大学 過去問
福田の一夜漬け数学〜図形と方程式〜軌跡(3)媒介変数表示の点、高校2年生
単元：
#数Ⅱ#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 次の媒介変数表示で表された点$P(x,y)$の軌跡を求めよ。
(1)$x=\displaystyle \frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt2},$ $y=\displaystyle \frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt2}$ ($\theta$は任意の実数)
(2)$x=\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2},$ $y=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}$ ($t$は任意の実数)
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${\Large\boxed{1}}$ 次の媒介変数表示で表された点$P(x,y)$の軌跡を求めよ。
(1)$x=\displaystyle \frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt2},$ $y=\displaystyle \frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt2}$ ($\theta$は任意の実数)
(2)$x=\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2},$ $y=\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}$ ($t$は任意の実数)
福田の一夜漬け数学〜積分・面積と体積、媒介変数表示(1)〜受験編
単元：
#平面上の曲線#積分とその応用#定積分#面積・体積・長さ・速度#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\theta-\sin\theta \\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$で表される曲線をCとする。
(1)Cとx軸で囲まれる部分の領域をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(2)Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=t^2+1 \\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}(-2 \leqq t \leqq 1)$で表される曲線とx軸で囲まれた面積を求めよ。
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$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\theta-\sin\theta \\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$で表される曲線をCとする。
(1)Cとx軸で囲まれる部分の領域をDとする。Dの面積Sを求めよ。
(2)Dをx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=t^2+1 \\
y=2-t-t^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}(-2 \leqq t \leqq 1)$で表される曲線とx軸で囲まれた面積を求めよ。