数C
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【数C】【空間ベクトル】平行六面体ABCD-EFGHにおいて、次の等式が成り立つことを示せ。(1) AG-BH=DF-CE(2) 3BH+2DF=2AG+3CE+2BC
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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平行六面体ABCD-EFGHにおいて、次の等式が成り立つことを示せ。
(1) AG-BH=DF-CE
(2) 3BH+2DF=2AG+3CE+2BC
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平行六面体ABCD-EFGHにおいて、次の等式が成り立つことを示せ。
(1) AG-BH=DF-CE
(2) 3BH+2DF=2AG+3CE+2BC
【数C】【空間ベクトル】四面体OABCの辺OA,OB,OCを1:1,2:1,3:1に内分する点を、P,Q,Rとする。点Cと重心Gを通る直線が平面OABと交わる点をHとする。OHをa、bを用いて表せ
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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問題文全文(内容文)：
四面体OABCの辺OA,OB,OCをそれぞれ1:1,2:1,3:1に内分する点を、順にP,Q,Rとする。点Cと△PQRの重心Gを通る直線が平面OABと交わる点をHとする。OA=a、OB=bとするとき、OHをa、bを用いて表せ。
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四面体OABCの辺OA,OB,OCをそれぞれ1:1,2:1,3:1に内分する点を、順にP,Q,Rとする。点Cと△PQRの重心Gを通る直線が平面OABと交わる点をHとする。OA=a、OB=bとするとき、OHをa、bを用いて表せ。
【数C】【空間ベクトル】四面体OABCにおいて、△ABCの重心をG、辺OAの中点をMとし、OGと△MBCの交点をHとすると、OH:OG=3:4であることを示せ
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体OABCにおいて、△ABCの重心をG、辺OAの中点をMとし、OGと△MBCの交点をHとすると、OH:OG=3:4であることを示せ
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四面体OABCにおいて、△ABCの重心をG、辺OAの中点をMとし、OGと△MBCの交点をHとすると、OH:OG=3:4であることを示せ
【数C】【空間ベクトル】四面体OABCの辺OAの中点をM,辺BCを2:1に内分する点をQ、線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。OPをa、b、cを用いて表せ
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体OABCの辺OAの中点をM,辺BCを2:1に内分する点をQ、線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。OA=a、OB=b、OC=cとするとき、OPをa、b、cを用いて表せ
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四面体OABCの辺OAの中点をM,辺BCを2:1に内分する点をQ、線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。OA=a、OB=b、OC=cとするとき、OPをa、b、cを用いて表せ
【数C】【空間ベクトル】四面体OABCの辺OA,OCの中点をそれぞれL,Mとし、辺OBを2:1に外分する点をNとする。直線ABとLN,BCとMNの交点をそれぞれR,Sとする。RS∥LMであることを示せ
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体OABCの辺OA,OCの中点を、それぞれL,Mとし、辺OBを2:1に外分する点をNとする。直線ABとLN,BCとMNの交点をそれぞれR,Sとする。また、OA＝a、OB＝b、OC＝cとする。(1) ORをa、bを用いて表せ。また、OSをb、cを用いて表せ。(2) RS∥LMであることを示せ。
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四面体OABCの辺OA,OCの中点を、それぞれL,Mとし、辺OBを2:1に外分する点をNとする。直線ABとLN,BCとMNの交点をそれぞれR,Sとする。また、OA＝a、OB＝b、OC＝cとする。(1) ORをa、bを用いて表せ。また、OSをb、cを用いて表せ。(2) RS∥LMであることを示せ。
【数C】【空間ベクトル】平行六面体OADB-CEGFにおいて、線分OA,OB,GE,GF,OCの中点をそれぞれP,Q,R,S,Tとし重心をGとする。四角形PRSQは平行四辺形であることを示せ。
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
線分OA,OB,OCを3辺とする平行六面体OADB-CEGFにおいて、線分OA,OB,GE,GF,OCの中点をそれぞれP,Q,R,S,Tとし、△ABCの重心をGとする。
(1) 四角形PRSQは平行四辺形であることを示せ。
(2) 3点T,H,Dは一直線上にあることを示し、TH:HDを求めよ
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線分OA,OB,OCを3辺とする平行六面体OADB-CEGFにおいて、線分OA,OB,GE,GF,OCの中点をそれぞれP,Q,R,S,Tとし、△ABCの重心をGとする。
(1) 四角形PRSQは平行四辺形であることを示せ。
(2) 3点T,H,Dは一直線上にあることを示し、TH:HDを求めよ
【数C】【空間ベクトル】2点A(2,-1,3)、B(-1,4,1)を通る直線が、yz平面と交わる点Pの座標を求めよ
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2点A(2,-1,3)、B(-1,4,1)を通る直線が、yz平面と交わる点Pの座標を求めよ
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2点A(2,-1,3)、B(-1,4,1)を通る直線が、yz平面と交わる点Pの座標を求めよ
【数C】【空間ベクトル】四面体ABCDに対して,等式AP+3BP+4CP+8DP=0を満たす点Pはどのような位置にあるか｡
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体ABCDに対して,等式$\overrightarrow{ AP }+3\overrightarrow{ BP }+4\overrightarrow{ CP }+8\overrightarrow{ DP }=\overrightarrow{ 0 }$を満たす点Pはどのような位置にあるか｡
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四面体ABCDに対して,等式$\overrightarrow{ AP }+3\overrightarrow{ BP }+4\overrightarrow{ CP }+8\overrightarrow{ DP }=\overrightarrow{ 0 }$を満たす点Pはどのような位置にあるか｡
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第5問〜鋭角三角形の条件と垂心の位置ベクトル
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#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$\triangle OAB$は鋭角三角形であり、
$\vert \overrightarrow{OA}\vert=4,\vert \overrightarrow{OB}\vert=3$
を満たしている。
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=k$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$のとり得る値の範囲を求めよ。
上で与えた$\triangle OAB$の頂点$A,B$から
それぞれの対辺に下ろした$2$本の垂線の交点
を$H$とし、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$C$とする。
(2)$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$および$k$を用いて表せ。
(3)$3$点$O,H,C$が同一直線上にあるとき、
$k$の値と$\dfrac{OH}{OC}$を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
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$\boxed{5}$
$\triangle OAB$は鋭角三角形であり、
$\vert \overrightarrow{OA}\vert=4,\vert \overrightarrow{OB}\vert=3$
を満たしている。
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=k$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)$k$のとり得る値の範囲を求めよ。
上で与えた$\triangle OAB$の頂点$A,B$から
それぞれの対辺に下ろした$2$本の垂線の交点
を$H$とし、辺$AB$を$2:1$に内分する点を$C$とする。
(2)$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$および$k$を用いて表せ。
(3)$3$点$O,H,C$が同一直線上にあるとき、
$k$の値と$\dfrac{OH}{OC}$を求めよ。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
【数C】【空間ベクトル】四面体において､△ABC､△ACD,△ADB,△BCDの重心をそれぞれG,H,I,Jとする｡4つの線分DG,BH,CI,AJをそれぞれ3:1に内分する点は一致することを証明せよ
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#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
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理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
4点A,B,C,Dを頂点とする四面体において､△ABC､△ACD,△ADB,△BCDの重心をそれぞれG,H,I,Jとする｡このとき､4つの線分DG,BH,CI,AJをそれぞれ3:1に内分する点は一致することを証明せよ｡
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4点A,B,C,Dを頂点とする四面体において､△ABC､△ACD,△ADB,△BCDの重心をそれぞれG,H,I,Jとする｡このとき､4つの線分DG,BH,CI,AJをそれぞれ3:1に内分する点は一致することを証明せよ｡
【数C】【空間ベクトル】四面体ABCDにおいて､辺AB,CB,AD,CDを1:2に内分する点を,それぞれP,Q,R,Sとするとき,四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ｡
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
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#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
四面体ABCDにおいて､辺AB,CB,AD,CDを1:2に内分する点を,それぞれP,Q,R,Sとするとき,四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ｡
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四面体ABCDにおいて､辺AB,CB,AD,CDを1:2に内分する点を,それぞれP,Q,R,Sとするとき,四角形PQRSは平行四辺形であることを示せ｡
福田の数学〜青山学院大学2025理工学部第2問〜虚数係数の2次方程式の解と正方形の頂点
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#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$i$を虚数単位とする。
複素数$z$についての方程式
$z^2-4iz=4\sqrt3 i \ \cdots (＊)$
の$2$つの解を$\alpha,\beta(\vert \alpha \vert \lt \vert \beta \vert )$とし、
$\alpha,\beta$が表す複素数平面上の点を
それぞれ$A,B$とする。
(1)方程式$(＊)$は
$(z-\boxed{ア}i)^2=\boxed{イ} \left(\cos \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi+i\sin\dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi\right) \qquad \left(0\leqq \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi \lt 2\pi \right)$
と表せるので
$\alpha=-\sqrt{\boxed{オ}}+\left(\boxed{カ}-\sqrt{\boxed{キ}}\right)i$である。
(2)線分$AB$の長さは$\boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}$である。
また、線分$AB$を対角線とする正方形の
残りの$2$頂点を表す複素数は
$-\sqrt{\boxed{コ}}+\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$と
$\sqrt{\boxed{コ}}-\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$である。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
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$\boxed{2}$
$i$を虚数単位とする。
複素数$z$についての方程式
$z^2-4iz=4\sqrt3 i \ \cdots (＊)$
の$2$つの解を$\alpha,\beta(\vert \alpha \vert \lt \vert \beta \vert )$とし、
$\alpha,\beta$が表す複素数平面上の点を
それぞれ$A,B$とする。
(1)方程式$(＊)$は
$(z-\boxed{ア}i)^2=\boxed{イ} \left(\cos \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi+i\sin\dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi\right) \qquad \left(0\leqq \dfrac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}\pi \lt 2\pi \right)$
と表せるので
$\alpha=-\sqrt{\boxed{オ}}+\left(\boxed{カ}-\sqrt{\boxed{キ}}\right)i$である。
(2)線分$AB$の長さは$\boxed{ク}\sqrt{\boxed{ケ}}$である。
また、線分$AB$を対角線とする正方形の
残りの$2$頂点を表す複素数は
$-\sqrt{\boxed{コ}}+\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$と
$\sqrt{\boxed{コ}}-\left(\boxed{サ}+\sqrt{\boxed{シ}}\right)i$である。
$2025$年青山学院大学理工学部過去問題
【数C】【空間ベクトル】a,b,cに対して、|a|=6,|c|=1,aとbのなす角は60°またaとc,bとc,a+b+cと2a-5bのなす角はいずれも90°である。この時|b|,|a+b+c|を求めよ
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
空間の3つのベクトルa,b,cに対して、|a|=6,|c|=1,aとbのなす角は60°,またaとc,bとc,a+b+cと2a-5bのなす角は,いずれも90°である。この時、|b|,|a+b+c|を求めよ。
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空間の3つのベクトルa,b,cに対して、|a|=6,|c|=1,aとbのなす角は60°,またaとc,bとc,a+b+cと2a-5bのなす角は,いずれも90°である。この時、|b|,|a+b+c|を求めよ。
福田のおもしろ数学568〜平面上の任意の点が2つの有理点を結んだ直線上にあるか
単元：
#平面上のベクトル#平面上の曲線#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y$座標がともに有理数である平面上の点を
有理点と呼ぶ。
平面上のすべての点は$2$つの有理点で定める
直線上に必ず存在するだろうか？
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$x,y$座標がともに有理数である平面上の点を
有理点と呼ぶ。
平面上のすべての点は$2$つの有理点で定める
直線上に必ず存在するだろうか？
【数C】【空間ベクトル】大きさが2で,x軸の正の向きとなす角が45°、y軸の正の向きとなす角が60°であるような空間ベクトルを成分表示せよ。また,そのベクトルがz軸の正の向きとなす角は何度か。
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
大きさが2で,x軸の正の向きとなす角が45°、y軸の正の向きとなす角が60°であるような空間ベクトルを成分表示せよ。また,そのベクトルがz軸の正の向きとなす角は何度か。
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大きさが2で,x軸の正の向きとなす角が45°、y軸の正の向きとなす角が60°であるような空間ベクトルを成分表示せよ。また,そのベクトルがz軸の正の向きとなす角は何度か。
【数C】【空間ベクトル】△ABCについて,cosAの値と面積Sを求めよ(1) A(-2,1,3)、B(-3,1,4)、C(-3,3,5)(2) A(2,-1,2)、B(-1,1,2)、C(2,1,1)
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の3点を頂点とする△ABCについて,cosAの値と△ABCの面積Sを求めよ。
(1) A(-2,1,3)、B(-3,1,4)、C(-3,3,5)
(2) A(2,-1,2)、B(-1,1,2)、C(2,1,1)
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次の3点を頂点とする△ABCについて,cosAの値と△ABCの面積Sを求めよ。
(1) A(-2,1,3)、B(-3,1,4)、C(-3,3,5)
(2) A(2,-1,2)、B(-1,1,2)、C(2,1,1)
福田の数学〜早稲田大学2025教育学部第1問(2)〜三角形の外心と垂心と点の回転
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)座標平面上の$3$点
$A(1,0),B(0,-1),C(-1,1)$を
頂点とする三角形$ABC$を考える。
三角形$ABC$をその外心を中心として反時計回りに
$\dfrac{\pi}{3}$だけ回転することで得られる三角形の
垂心の座標を求めよ。
なお、三角形の$3$頂点から対辺または
その延長に下ろした$3$本の垂線は一点で交わり、
その交点を三角形の垂心という。
$2025$年早稲田大学教育学部第1問過去問題
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$\boxed{1}$
(2)座標平面上の$3$点
$A(1,0),B(0,-1),C(-1,1)$を
頂点とする三角形$ABC$を考える。
三角形$ABC$をその外心を中心として反時計回りに
$\dfrac{\pi}{3}$だけ回転することで得られる三角形の
垂心の座標を求めよ。
なお、三角形の$3$頂点から対辺または
その延長に下ろした$3$本の垂線は一点で交わり、
その交点を三角形の垂心という。
$2025$年早稲田大学教育学部第1問過去問題
【数C】【空間ベクトル】平行六面体ABCD-EFGHにおいて、AC=a、AF=AF=b、AH=cとするとき、AGをa,b,cを用いて表せ
単元：
#空間ベクトル#空間ベクトル#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#空間ベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
平行六面体 $\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において、
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{a},\overrightarrow{\mathrm{AF}} = \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AH}} = \vec{c}$ とするとき、
$\overrightarrow{\mathrm{AG}} $ を $\vec{a}, \vec{b},\vec{c}$ を用いて表せ。
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平行六面体 $\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において、
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{a},\overrightarrow{\mathrm{AF}} = \vec{b}, \overrightarrow{\mathrm{AH}} = \vec{c}$ とするとき、
$\overrightarrow{\mathrm{AG}} $ を $\vec{a}, \vec{b},\vec{c}$ を用いて表せ。
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2025医学部第4問〜複素数の絶対値の取りうる値の範囲
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$z$は実数ではない複素数で、
$z+\dfrac{1}{z-1}$が正の実数となるものとする。
このとき、
$ \left \vert \dfrac{1}{z-1}-\dfrac{z- \overline{z}}{2}+1 \right \vert $がとりうる値の
範囲を求めよ。
ただし、$\overline{z}$は$z$に共役な複素数とする。
$2025$年東京慈恵会医科大学医学部過去問題
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$\boxed{4}$
$z$は実数ではない複素数で、
$z+\dfrac{1}{z-1}$が正の実数となるものとする。
このとき、
$ \left \vert \dfrac{1}{z-1}-\dfrac{z- \overline{z}}{2}+1 \right \vert $がとりうる値の
範囲を求めよ。
ただし、$\overline{z}$は$z$に共役な複素数とする。
$2025$年東京慈恵会医科大学医学部過去問題
福田の数学〜東京慈恵会医科大学2025医学部第3問〜双曲線が表す領域と素数の性質
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#東京慈恵会医科大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
自然数$p$は$2$以上の定数とする。
$xy$平面上で不等式$x^2-py^2 \geqq -1$の表す領域
を$D$とする。
自然数$r$は、円$(x-p)^2+y^2=r$が領域$D$に
含まれるような最大のものとするとき、
次の問いに答えよ。
(1)$r$を$p$を用いて表せ。
(2) (1)のもとで、関係式$(x-p)^2+y^2=r$をみたす
互いに異なる素数の組$(x,y,p)$のうち、
$p$の値が最小となるものを求めよ。
$2025$年東京慈恵会医科大学医学部過去問題
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$\boxed{3}$
自然数$p$は$2$以上の定数とする。
$xy$平面上で不等式$x^2-py^2 \geqq -1$の表す領域
を$D$とする。
自然数$r$は、円$(x-p)^2+y^2=r$が領域$D$に
含まれるような最大のものとするとき、
次の問いに答えよ。
(1)$r$を$p$を用いて表せ。
(2) (1)のもとで、関係式$(x-p)^2+y^2=r$をみたす
互いに異なる素数の組$(x,y,p)$のうち、
$p$の値が最小となるものを求めよ。
$2025$年東京慈恵会医科大学医学部過去問題
福田の数学〜早稲田大学2025人間科学部第3問〜外心と内心の位置ベクトル
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
(1)$\triangle ABC$において$AB=6,AC=4,$
$\cos A=\dfrac{1}{4}$とする。
$\triangle ABC$の外心を$H$とし、直線$AH$が
$\triangle ABC$の外接円と交わる点のうち、
点$A$とは異なる点を$P$とする。
このとき、$\overrightarrow{AP}=\dfrac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}\overrightarrow{AC}$である。
(2)$\triangle ABC$において$AB=5,AC=6,$
$\cos A=\dfrac{1}{5}$とする。
$\triangle ABC$の内心を$K$とし、
直線$AK$が$\triangle ABC$の内接円と
交わる点のうち、点$A$に近いほうの点を
$Q$とする。
このとき、$\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\boxed{チ}-\sqrt{\boxed{ツ}}}{\boxed{テ}}\overrightarrow{AK}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
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$\boxed{3}$
(1)$\triangle ABC$において$AB=6,AC=4,$
$\cos A=\dfrac{1}{4}$とする。
$\triangle ABC$の外心を$H$とし、直線$AH$が
$\triangle ABC$の外接円と交わる点のうち、
点$A$とは異なる点を$P$とする。
このとき、$\overrightarrow{AP}=\dfrac{\boxed{ス}}{\boxed{セ}}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\boxed{ソ}}{\boxed{タ}}\overrightarrow{AC}$である。
(2)$\triangle ABC$において$AB=5,AC=6,$
$\cos A=\dfrac{1}{5}$とする。
$\triangle ABC$の内心を$K$とし、
直線$AK$が$\triangle ABC$の内接円と
交わる点のうち、点$A$に近いほうの点を
$Q$とする。
このとき、$\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\boxed{チ}-\sqrt{\boxed{ツ}}}{\boxed{テ}}\overrightarrow{AK}$である。
$2025$年早稲田大学人間科学部過去問題
福田の数学〜九州大学2025文系第2問〜円周上の2点との距離の2乗の和の最大値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#三角関数#三角関数とグラフ#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
半径$1$の円周$C$上の$2$点$A,B$は
$AB=\sqrt3$をみたすとする。
点$P$が円周$C$上を動くとき、
$AP^2+BP^2$の最大値を求めよ。
$2025$年九州大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
半径$1$の円周$C$上の$2$点$A,B$は
$AB=\sqrt3$をみたすとする。
点$P$が円周$C$上を動くとき、
$AP^2+BP^2$の最大値を求めよ。
$2025$年九州大学文系過去問題
【数C】【ベクトルの内積】a，bはベクトルを表す。a≠0，b≠0とする。(1) |a+tb|を最小にする実数tの値t_0と，その時の最小値mを,|a|，|b|,a･bを用いて表せ。他1題
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\vec{a} \ne \vec{0}, \vec{b} \ne \vec{0}$ とする。
(1) $|\vec{a} + t \vec{b}|$ を最小にする実数 $t$ の値 $t_0$ と、
そのときの最小値 $m$ を、$|\vec{a}| , |\vec{b}| , \vec{a} + \vec{b}$ を用いて表せ。
(2) 更に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行でないとき、
$\vec{a} + t_0 \vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直であることを示せ。
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$\vec{a} \ne \vec{0}, \vec{b} \ne \vec{0}$ とする。
(1) $|\vec{a} + t \vec{b}|$ を最小にする実数 $t$ の値 $t_0$ と、
そのときの最小値 $m$ を、$|\vec{a}| , |\vec{b}| , \vec{a} + \vec{b}$ を用いて表せ。
(2) 更に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行でないとき、
$\vec{a} + t_0 \vec{b}$ と $\vec{b}$ は垂直であることを示せ。
【数C】【ベクトルの内積】x，yはベクトルを表す。|x-y|＝1，|2y-x|＝2，(x-y)⊥(2y-x)とする(1)x，yの大きさを求めよ(2)xとyのなす角をθとするとき，cosθの値を求めよ
単元：
#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#数学(高校生)#数C
教材：
#4S数学#中高教材#4S数学CのB問題解説#平面上のベクトル
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$|\vec{x}-\vec{y}| = 1 , |2 \vec{y} - \vec{x}| = 2 , (\vec{x} - \vec{y}) \perp (2 \vec{y} - \vec{x})$ とする。
(1) $\vec{x} , \vec{y}$ の大きさを求めよ。
(2) $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。
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$|\vec{x}-\vec{y}| = 1 , |2 \vec{y} - \vec{x}| = 2 , (\vec{x} - \vec{y}) \perp (2 \vec{y} - \vec{x})$ とする。
(1) $\vec{x} , \vec{y}$ の大きさを求めよ。
(2) $\vec{x}$ と $\vec{y}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。
福田の数学〜九州大学2025理系第1問〜平面に垂直なベクトルの絶対値の最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を
通る平面を$\alpha$とする。
点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と
$xy$平面との交点を$Q$とする。
(1)点$Q$の座標を求めよ。
(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの
$OQ$の最小値が$1$以下となるような
$a,b$の条件を求めよ。
ただし、$O$は原点である。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を
通る平面を$\alpha$とする。
点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と
$xy$平面との交点を$Q$とする。
(1)点$Q$の座標を求めよ。
(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの
$OQ$の最小値が$1$以下となるような
$a,b$の条件を求めよ。
ただし、$O$は原点である。
$2025$年九州大学理系過去問題
福田の数学〜神戸大学2025理系第4問〜空間ベクトルと三角形の面積の最小
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$s,t$を実数とする。座標空間に$3$点
$A(-4,-1,0),B(-3,0,-1),P(s,t,-2s+t-1)$がある。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$A,B,P$は一直線上にないことを示せ。
(2)点$P$から直線$AB$に下ろした垂線を$PH$とする。
点$H$の座標を$s$を用いて表せ。
(3)$s,t$が変化するとき、
三角形$ABP$の面積の最小値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$s,t$を実数とする。座標空間に$3$点
$A(-4,-1,0),B(-3,0,-1),P(s,t,-2s+t-1)$がある。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$A,B,P$は一直線上にないことを示せ。
(2)点$P$から直線$AB$に下ろした垂線を$PH$とする。
点$H$の座標を$s$を用いて表せ。
(3)$s,t$が変化するとき、
三角形$ABP$の面積の最小値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田の数学〜神戸大学2025理系第3問〜媒介変数表示で表された曲線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
媒介変数$\theta$を用いて
$x=\sin\theta,y=\cos\theta + \vert \sin\theta \vert \quad (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
(2)曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
媒介変数$\theta$を用いて
$x=\sin\theta,y=\cos\theta + \vert \sin\theta \vert \quad (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
(2)曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田のおもしろ数学528〜平面幾何の証明
単元：
#複素数平面#図形への応用#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
平行四辺形$ABCD$と内部の点$O$において
$\alpha+\beta=180°$のとき
$\angle OBC=\angle ODC$
を証明せよ。
図は動画内参照
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平行四辺形$ABCD$と内部の点$O$において
$\alpha+\beta=180°$のとき
$\angle OBC=\angle ODC$
を証明せよ。
図は動画内参照
福田の数学〜大阪大学2025理系第3問〜空間図形と最大最小の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#微分法と積分法#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
座標空間に$3$点$O(0,0,0),A(0,1,1),B(x,y,0)$がある。
$\angle OAP=30°$かつ$y\geqq 0$を満たすように
点$P$が動くとき、
$(x+1)(y+1)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
座標空間に$3$点$O(0,0,0),A(0,1,1),B(x,y,0)$がある。
$\angle OAP=30°$かつ$y\geqq 0$を満たすように
点$P$が動くとき、
$(x+1)(y+1)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田の数学〜大阪大学2025理系第1問〜平面図形とベクトルの証明
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
平面上の三角形$OAB$を考える。
$\angle AOB$は鋭角、$OA=3,OB=t$とする。
また、点$A$から直線$OB$に下ろした垂線と
直線$OB$の交点を$C$とし、$OC=1$とする。
線分$AB$を$2:1$に内分する点を$P$、点$A$から
直線$OP$に下ろした垂線と直線$OB$との交点を
$R$とする。
(1)内積$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OB}$を$t$を用いて表せ。
(2)線分$OR$の長さを$t$を用いて表せ。
(3)線分$OB$の中点を$M$とする。
点$R$が線分$MB$上にあるとき、
$t$のとりうる値の範囲を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
平面上の三角形$OAB$を考える。
$\angle AOB$は鋭角、$OA=3,OB=t$とする。
また、点$A$から直線$OB$に下ろした垂線と
直線$OB$の交点を$C$とし、$OC=1$とする。
線分$AB$を$2:1$に内分する点を$P$、点$A$から
直線$OP$に下ろした垂線と直線$OB$との交点を
$R$とする。
(1)内積$\overrightarrow{OA}･\overrightarrow{OB}$を$t$を用いて表せ。
(2)線分$OR$の長さを$t$を用いて表せ。
(3)線分$OB$の中点を$M$とする。
点$R$が線分$MB$上にあるとき、
$t$のとりうる値の範囲を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題