問題文全文(内容文)：
$y=kx$と$y=|x^2-2x|$とで囲まれる2つの部分の面積が等しい$k$の値を求めよ$(0 \gt k \gt 2)$

出典：2009年富山県立大学　過去問

問題文全文(内容文)：
首都圏有名私立大学入試数学解説アプリの紹介動画です

問題文全文(内容文)：
$C_{n+1}=8C_n-7$
数列$C_1,C_2,C_3,…$の中に素数の項が1つだけあるような$C_1$を2つ求めよ
$(C_1$自然数$)$

出典：2009年東京工業大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$13^{(13^{13})}$を$11$で割った余りを求めよ

問題文全文(内容文)：
$S_n=2a_n^2+\displaystyle \frac{1}{2}a_n-\displaystyle \frac{3}{2}$

すべての項は同符号
一般項を求めよ

出典：2001年早稲田大学 政治経済学部　過去問

問題文全文(内容文)：
$x^{2020}$を$x^4+x^3+x^2+x+1$で割った余りを求めよ

問題文全文(内容文)：
$-90^{ \circ } \lt \theta \lt 90^{ \circ }$
$(\sin \theta)x^2+2(\cos2\theta)x+cos2\theta=0$が少なくとも1つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めよ

出典：2001年早稲田大学 政治経済学部　過去問

問題文全文(内容文)：
$(x+1)^{2020}$を$x^3+x^2+x+1$で割った余りを求めよ

問題文全文(内容文)：
「指定校推薦で上智大学に合格したAくん」にお話を聞いています。

問題文全文(内容文)：
$x^4-x^3+x^2-(a+2)x-a-3=0$が虚軸上の解をもつ実数$a$を求めよ

出典：2001年京都大学 大学院文学研究科　過去問

問題文全文(内容文)：
$(2x^3+x^2+1)^3$を$x^2-x+1$で割った余りを求めよ

出典：中部大学経営情報学部　過去問

問題文全文(内容文)：
次の方程式や不等式を解け。
（1）$x^2-(a+1)x+a=0$
（2）$x^2-(a+1)x+a \lt 0$
（3）$ax^2-4ax-5a \lt 0$
（4）$x^2-3ax+2a^2+a-1 \gt 0$

問題文全文(内容文)：
$a$自然数
$a^2+2$が$2a+1$の倍数となる$a$の値を求めよ

出典：つくば国際大学　過去問

問題文全文(内容文)：
等差数列

例1
5, 8, 11, 14, 17, -...と並んでいる。

(1) 20番目の数はいくつ?

(2)65は何番目の数?

(3)20日までの数を全部たすと いいくつになる?

問題文全文(内容文)：
$A,B$対決　$(0 \lt P \lt 1)$
$A$が勝つ確率$P$
$B$が勝つ確率$1-P$

（1）
先に3勝したほうを勝者とする
$A$が勝者となる確率を求めよ

（2）
勝ち数の差が2になったとき終了
$2n$回以内に$A$が勝つ確率$P_n$

出典：2001年信州大学医学部　過去問

問題文全文(内容文)：
宝くじを買ったときの当選金の期待値は？
（詳細は動画内参照）

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
ある市の市立図書館の利用状況について調査を行った。

(1)ある高校の生徒720人全員を対象に、ある1週間に市立図書館で借りた本の
冊数について調査を行った。
その結果、1冊も借りなかった生徒が612人、1冊借りた生徒が54人、
2冊借りた生徒が36人であり、3冊借りた生徒が18人であった。
4冊以上借りた生徒はいなかった。

この高校の生徒から1人を無作為に選んだ時、その生徒が借りた本の冊数
を表す確率変数を$X$とする。

このとき、$X$の平均(期待値)は$E(X)=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}$であり、$X^2$の平均は
$E(X^2)=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$である。よって、$X$の標準偏差は
$\sigma(X)=\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\displaystyle$ である。

(2)市内の高校生全員を母集団とし、ある1週間に市立図書館を利用した生徒の
割合(母比率)を$p$とする。この母集団から600人を無作為に選んだ時、その
1週間に市立図書館を利用した生徒の数を確率変数$Y$で表す。

$p=0.4$のとき、$Y$の平均は$E(Y)=\boxed{\ \ キクケ\ \ }$、標準偏差は$\sigma(Y)=\boxed{\ \ コサ\ \ }$
になる。ここで、$Z=\displaystyle \frac{Y-\boxed{\ \ キクケ\ \ }}{\boxed{\ \ コサ\ \ }}\displaystyle$ とおくと、標本数600は
十分に大きいので、$Z$は近似的に標準正規分布に従う。このことを利用して、
$Y$が215以下となる確率を求めると、その確率は$0.\boxed{\ \ シス\ \ }$になる。

また、$p=0.2$のとき、$Y$の平均は$\boxed{\ \ キクケ\ \ }$の$\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ セ\ \ }}$倍、
標準偏差は$\boxed{\ \ コサ\ \ }$の$\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ソ\ \ }}}{3}$倍である。

(3)市立図書館に利用者登録のある高校生全員を母集団とする。1回あたりの
利用時間(分)を表す確率変数を$W$とし、$W$は母平均$m$,母標準偏差30の分布
に従うとする。この母集団から大きさ$n$の標本$W_1,W_2,\ldots,W_n$を無作為に
抽出した。
利用時間が60分をどの程度超えるかについて調査するために
$U_1=W_1-60,　U_2=W_2-60,　\ldots,　U_n=W_n-60$
とおくと、確率変数$U_1,U_2, \cdots, U_n$の平均と標準偏差はそれぞれ
$E(U_1)=E(U_2)=\cdots=E(U_n)$$=m-\boxed{\ \ タチ\ \ }$
$\sigma(U_1)=\sigma(U_2)=\cdots=\sigma(U_n)$$=\boxed{\ \ ツテ\ \ }$
である。

ここで、$t=m-60$として、$t$に対する信頼度95％の信頼区間を求めよう。
この母集団から無作為抽出された100人の生徒に対して$U_1,U_2, \cdots,U_m$の
値を調べたところ、その標本平均の値が50分であった。標本数は十分大きい
ことを利用して、この信頼区間を求めると
$\boxed{\ \ トナ\ \ }.\boxed{\ \ ニ\ \ } \leqq t \leqq \boxed{\ \ ヌネ\ \ }.\boxed{\ \ ノ\ \ }$
になる。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$(\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }+i}{1+\sqrt{ 3 }i})^{10}=a_1+a_2i$

$(\displaystyle \frac{\sqrt{ 3 }-i}{1-\sqrt{ 3 }i})^{10}=b_1+b_2i$

（1）
$a_1,a_2,b_1,b_2$を求めよ

（2）
$A(a_1,a_2)$　$B(b_1,b_2)$
$\triangle OAB$の面積を求めよ

出典：2001年東京都立大学　過去問

問題文全文(内容文)：
三角関数のグラフの裏技紹介動画です

問題文全文(内容文)：
実数$x,y$
$x+y,xy$はともに偶数

（1）
$x^n+y^n$は偶数であることを示せ
$(n$自然数$)$

（2）
整数以外の$(x,y)$を1つ例示せよ

出典：岐阜大学　過去問

問題文全文(内容文)：
$\alpha=\sqrt{ 5 }-1+\sqrt{ 10+2\sqrt{ 5 } }i$
$\beta=-\sqrt{ 5 }-1+\sqrt{ 10-2\sqrt{ 5 } }i$

（1）
$\alpha,\beta$の両方を解にもつ実数係数の4次方程式を求めよ

（2）
$\beta^5$の値を求めよ

出典：1999年九州大学　過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第5問}$
$\triangle ABC$において、辺$BC$を$7:1$に内分する点を$D$とし、辺$AC$を$7:1$に
内分する点を$E$とする。線分$AD$と線分$BE$の交点を$F$とし、直線$CF$
と辺$AB$の交点を$G$とすると

$\displaystyle \frac{GB}{AG}=\boxed{\ \ ア\ \ },　\displaystyle \frac{FD}{AF}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ イ\ \ }}{\boxed{\ \ ウ\ \ }},$$　\displaystyle \frac{FC}{GF}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ エ\ \ }}{\boxed{\ \ オ\ \ }}$

である。したがって

$\displaystyle \frac{\triangle CDGの面積}{\triangle BFGの面積}=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ カ\ \ }}{\boxed{\ \ キク\ \ }}\displaystyle$

となる。

4点$B,D,F,G$が同一円周上にあり、かつ$FD=1$のとき

$AB=\boxed{\ \ ケコ\ \ }$

である。さらに、$AE=3\sqrt7$とするとき、$AE・AC=\boxed{\ \ サシ\ \ }$であり

$\angle AEG=\boxed{\ \ ス\ \ }$

である。$\boxed{\ \ ス\ \ }$に当てはまるものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。
⓪$\angle BGE$
①$\angle ADB$
②$\angle ABC$
③$\angle BAD$

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$x^3-3x^2-27x-27=0$の3つの解を$\alpha,\beta,\gamma$
$A_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n$

（1）
$A_{n+3}$を$A_{n+2},A_{n+1},A_n$で表せ

（2）
$A_n$は$3^n$の倍数であることを示せ

出典： 福島県立医科大学　過去問

問題文全文(内容文)：
「2020年センター試験の塾生の結果」についての報告です。

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
点$O$を原点とする座標空間に2点
$A(3,　3,　-6),$　$B(2+2\sqrt3,$　$2-2\sqrt3,　-4)$
をとる。3点$O,A,B$の定める平面を$\alpha$とする。また、$\alpha$に含まれる点$C$は

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC },$　$\overrightarrow{ OB }・\overrightarrow{ OC }=24$　$\cdots$①

を満たすとする。

(1)　$|\overrightarrow{ OA }|=\boxed{\ \ ア\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ イ\ \ }},$　$|\overrightarrow{ OB }|=\boxed{\ \ ウ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$\overrightarrow{ OA }・\overrightarrow{ OB }=\boxed{\ \ オカ\ \ }$である。

(2)点$C$は平面$\alpha$上にあるので、実数$s,$　$t$を用いて、$\overrightarrow{ OC }=s\ \overrightarrow{ OA }+t\ \overrightarrow{ OB }$と
表すことができる。このとき、①から$s=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キク\ \ }}{\boxed{\ \ ケ\ \ }},$　$t=\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
したがって、$|\overrightarrow{ OC }|=\boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}$である。

(3)$\overrightarrow{ CB }=\left(\boxed{\ \ ス\ \ },　\boxed{\ \ セ\ \ },　\boxed{\ \ ソタ\ \ }\right)$である。したがって、平面$\alpha$上の
四角形$OABC$は$\boxed{\ \ チ\ \ }$。
$\boxed{\ \ チ\ \ }$に当てはまるものを、次の⓪～④のうちから一つ選べ。
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

⓪正方形である
①正方形ではないが、長方形である
②長方形ではないが、平行四辺形である
③平行四辺形ではないが、台形である
④台形ではない

$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OC }$であるので、四角形$OABC$の面積は$\boxed{\ \ ツテ\ \ }$である。

(4)$\overrightarrow{ OA } \bot \overrightarrow{ OD },$　$\overrightarrow{ OC }・\overrightarrow{ OD }=2\sqrt6$かつ$z$座標が1であるような点$D$の座標は
$(\boxed{\ \ ト\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ナ\ \ }}}{\boxed{\ \ ニ\ \ }},$$　\boxed{\ \ ヌ\ \ }+\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ネ\ \ }}}{\boxed{\ \ ノ\ \ }},　1)$
である。このとき$\angle COD=\boxed{\ \ ハヒ\ \ }°$である。
3点$O,C,D$の定める平面を$\beta$とする。$\alpha$と$\beta$は垂直であるので、三角形
$ABC$を底面とする四面体$DABC$の高さは$\sqrt{\boxed{\ \ フ\ \ }}$である。したがって、
四面体$DABC$の体積は$\boxed{\ \ ヘ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ホ\ \ }}$　である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第4問}$
(1)$x$を循環小数$2.\dot3\dot6$とする。すなわち

$x=2.363636\cdots$

とする。このとき

$100×x-x=236.\dot3\dot6-2.\dot3\dot6$

であるから、$x$を分数で表すと

$x=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ アイ\ \ }}{\boxed{\ \ ウエ\ \ }}$

である。

(2)有理数$y$は、7進法で表すと、二つの数字の並び$ab$が繰り返し現れる循環小数
$2.\dot a\dot b_{(7)}$になるとする。ただし、$a,$　$b$は$0$以上$6$以下の異なる整数である。
このとき
$49×y-y=2ab.\dot a\dot b_{(7)}-2.\dot a\dot b_{(7)}$
であるから

$y=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ オカ\ \ }+7×a+b}{\boxed{\ \ キク\ \ }}$

と表せる。
$(\textrm{i})y$が、分子が奇数で分母が$4$である分数で表されるのは
$y=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ケ\ \ }}{4}$　または　$y=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ コサ\ \ }}{4}$
のときである。$y=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ コサ\ \ }}{4}$のときは、$7×a+b=\boxed{\ \ シス\ \ }$であるから
$a=\boxed{\ \ セ\ \ },$　$b=\boxed{\ \ ソ\ \ }$
である。

$(\textrm{ii})y-2$は、分子が$1$で分母が$2$以上の整数である分数で表されるとする。
このような$y$の個数は、全部で$\boxed{\ \ タ\ \ }$個である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
$x^{100}$を$x^2+x+1$で割った商の$x^{95},x^{88},x^{33}$の係数、および余りを求めよ

出典：産業能率大学　過去問

問題文全文(内容文)：
【数学III】複素数平面のイメージ・ニュアンス解説動画です

問題文全文(内容文)：
${\large第3問}$
数列$\left\{a_n\right\}$は、初項$a_1$が$0$であり、$n=1,2,3,\cdots$のとき次の漸化式を
満たすものとする。
$a_{n+1}=$$\displaystyle \frac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-$$(n+1)(n+2)\}$　$\cdots$①

(1)$a_2=\boxed{\ \ ア\ \ }$　である。

(2)$b_n=\displaystyle \frac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$とおき、数列$\left\{b_n\right\}$の一般項を求めよう。
$\left\{b_n\right\}$の初項$b_1$は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。①の両辺を$3^{n+1}(n+2)(n+3)$で
割ると
$b_{n+1}=b_n$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ウ\ \ }}{\left(n+\boxed{\ \ エ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ オ\ \ }\right)}$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$

を得る。ただし、$\boxed{\ \ エ\ \ } \lt \boxed{\ \ オ\ \ }$とする。

したがって

$b_{n+1}-b_n=$$\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{n+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$-\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{n+1}$
である。

$n$を2以上の自然数とするとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ エ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ キ\ \ }}{k+\boxed{\ \ オ\ \ }}\right)$$=\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ ク\ \ }}\left(\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ケ\ \ }}{n+\boxed{\ \ コ\ \ }}\right)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^{k+1}=$$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ サ\ \ }}{\boxed{\ \ シ\ \ }}-\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が成り立つことを利用すると

$b_n=\displaystyle \frac{n-\boxed{\ \ ソ\ \ }}{\boxed{\ \ タ\ \ }\left(n+\boxed{\ \ チ\ \ }\right)}$$+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ス\ \ }}{\boxed{\ \ セ\ \ }}\left(\displaystyle \frac{1}{\boxed{\ \ カ\ \ }}\right)^n$

が得られる。これは$n=1$のときも成り立つ。

(3)(2)により、$\left\{a_n\right\}$の一般項は
$a_n=\boxed{\ \ ツ\ \ }^{n-\boxed{テ}}\left(n^2-\boxed{\ \ ト\ \ }\right)+$$\displaystyle \frac{\left(n+\boxed{\ \ ナ\ \ }\right)\left(n+\boxed{\ \ ニ\ \ }\right)}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$

で与えられる。ただし、$\boxed{\ \ ナ\ \ } \lt \boxed{\ \ ニ\ \ }$とする。
このことから、すべての自然数$n$について、
$a_n$は整数となることが分かる。

(4)$k$を自然数とする。$a_{3k},a_{3k+1},a_{3k+2}$で割った余りはそれぞれ
$\boxed{\ \ ネ\ \ },$　$\boxed{\ \ ノ\ \ },$　$\boxed{\ \ ハ\ \ }$である。また、$\left\{a_n\right\}$の初項から
第2020項までの和を$3$で割った余りは$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$である。

2020センター試験過去問

問題文全文(内容文)：
${\large第2問}$
$a \gt 0$とし、$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$　とおく。座標平面上で、放物線
$y=x^2+2x+1$　を$C,$放物線$y=f(x)$を$D$とする。また、$l$を$C$と$D$の両方に
接する直線とする。

(1)lの方程式を求めよう。
$l$と$C$は点$(t,$　$t^2+2t+1)$において接するとすると、$l$の方程式は
$y=\left(\boxed{\ \ ア\ \ }\ t+\boxed{\ \ イ\ \ }\right)\ x$$-t^2+\boxed{\ \ ウ\ \ }$　$\cdots$①
である。また、$l$と$D$は点$(s,$　$f(s))$において接するとすると、$l$の方程式は
$y=\left(\boxed{\ \ エ\ \ }\ s-\boxed{\ \ オ\ \ }\ +\boxed{\ \ カ\ \ }\right)\ x$$-s^2+\boxed{\ \ キ\ \ }\ a^2+\boxed{\ \ ク\ \ }$　$\cdots$②

である。ここで、①と②は同じ直線を表しているので、$t=\boxed{\ \ ケ\ \ },$
$s=\boxed{\ \ コ\ \ }\ a$が成り立つ。
したがって、$l$の方程式は$y=\boxed{\ \ サ\ \ }\ x+\boxed{\ \ シ\ \ }$である。

(2)二つの放物線$C,D$の交点のx座標は$\boxed{\ \ ス\ \ }$である。
$C$と直線$\ t,$および直線$x=\boxed{\ \ ス\ \ }$で囲まれた図形の面積を$S$とすると
$S=\displaystyle \frac{a^{\boxed{セ}}}{\boxed{\ \ ソ\ \ }}$である。

(3)$a \geqq \displaystyle \frac{1}{2}$とする。二つの放物線$C,D$と直線$l$で囲まれた図形の中で
$0 \leqq x \leqq 1$を満たす部分の面積$T$は、$a \gt \boxed{\ \ タ\ \ }$のとき、$a$の値によらず
$T=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ チ\ \ }}{\boxed{\ \ ツ\ \ }}$
であり、$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \boxed{\ \ タ\ \ }$のとき
$T=-\boxed{\ \ テ\ \ }\ a^3+\boxed{\ \ ト\ \ }\ a^2$$-\boxed{\ \ ナ\ \ }\ a+\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ニ\ \ }}{\boxed{\ \ ヌ\ \ }}$
である。

(4)次に、(2),(3)で定めた$S,T$に対して、$U=2T-3S$とおく。$a$が
$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \boxed{\ \ タ\ \ }$の範囲を動くとき、$Uはa=\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ネ\ \ }}{\boxed{\ \ ノ\ \ }}$で
最大値$\displaystyle \frac{\boxed{\ \ ハ\ \ }}{\boxed{\ \ ヒフ\ \ }}$をとる。

2020センター試験過去問