数学(高校生)
数学(高校生)
福田のおもしろ数学541〜条件付き不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x,y,z$は
$x+y+z \geqq xyz$
を満たす非負実数とするとき
$x^2+y^2+z^2 \geqq xyz$
を証明して下さい。
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$x,y,z$は
$x+y+z \geqq xyz$
を満たす非負実数とするとき
$x^2+y^2+z^2 \geqq xyz$
を証明して下さい。
福田の数学〜九州大学2025理系第1問〜平面に垂直なベクトルの絶対値の最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を
通る平面を$\alpha$とする。
点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と
$xy$平面との交点を$Q$とする。
(1)点$Q$の座標を求めよ。
(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの
$OQ$の最小値が$1$以下となるような
$a,b$の条件を求めよ。
ただし、$O$は原点である。
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
座標空間内の$3$点$A(1,1,-5),B(-1,-1,7),C(1,-1,3)$を
通る平面を$\alpha$とする。
点$P(a,b,t)$を通り$\alpha$に垂直な直線と
$xy$平面との交点を$Q$とする。
(1)点$Q$の座標を求めよ。
(2)$t$がすべての実数値をとって変化するときの
$OQ$の最小値が$1$以下となるような
$a,b$の条件を求めよ。
ただし、$O$は原点である。
$2025$年九州大学理系過去問題
福田のおもしろ数学540〜二項係数の2乗の和
単元：
#数Ⅱ#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${{}_n \mathrm{ C }_0}^2+{{}_n \mathrm{ C }_1}^2+{{}_n \mathrm{ C }_2}^2+\cdots + {{}_n \mathrm{ C }_n}^2=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$
を証明してください。
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${{}_n \mathrm{ C }_0}^2+{{}_n \mathrm{ C }_1}^2+{{}_n \mathrm{ C }_2}^2+\cdots + {{}_n \mathrm{ C }_n}^2=\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}$
を証明してください。
福田の数学〜神戸大学2025文系第3問〜単位円周上の2点と確率
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#三角関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき、
出た目の数を順に$a,b$とおく。
座標平面上の$2$点$A,B$を
$A\left(\cos \dfrac{a}{6}\pi,\sin\dfrac{a}{6}\pi\right),\quad B\left(\cos \dfrac{b+6}{6}\pi,\sin\dfrac{b+6}{6}\pi\right)$
とし、原点を$O$とする。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$O,A,B$が一直線上にある確率を求めよ。
(2)$3$点$O,A,B$が一直線上になく、かつ
三角形$OAB$の面積が$\dfrac{1}{4}$以下である
確率を求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$1$より
大きい確率を求めよ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
$1$個のさいころを$2$回続けて投げるとき、
出た目の数を順に$a,b$とおく。
座標平面上の$2$点$A,B$を
$A\left(\cos \dfrac{a}{6}\pi,\sin\dfrac{a}{6}\pi\right),\quad B\left(\cos \dfrac{b+6}{6}\pi,\sin\dfrac{b+6}{6}\pi\right)$
とし、原点を$O$とする。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$O,A,B$が一直線上にある確率を求めよ。
(2)$3$点$O,A,B$が一直線上になく、かつ
三角形$OAB$の面積が$\dfrac{1}{4}$以下である
確率を求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$1$より
大きい確率を求めよ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
【数Ⅲ】【関数と極限】数列｛(x/x²+2p)^n｝がすべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。ただし、p＞0とする。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列｛$\dfrac{x}{x²+2p}^n$｝が
すべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。
ただし、p＞0とする。
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数列｛$\dfrac{x}{x²+2p}^n$｝が
すべての実数xに対して収束するとき、pの値の範囲を求めよ。
ただし、p＞0とする。
【数Ⅲ】【関数と極限】rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。(1) ｒ＞0のとき｛1/2+r^n｝(2) ｒ≠±1のとき｛r^n+2/r^n-1｝(3) ｒ≠0のとき｛1/r^n｝
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) ｒ＞0のとき｛$\dfrac{1}{2+r^n}$｝
(2) ｒ≠±1のとき｛$\dfrac{r^n+2}{r^n-1}$｝
(3) ｒ≠0のとき｛$\dfrac{1}{r^n}$｝
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rは定数とする。次の数列の極限を調べよ。
(1) ｒ＞0のとき｛$\dfrac{1}{2+r^n}$｝
(2) ｒ≠±1のとき｛$\dfrac{r^n+2}{r^n-1}$｝
(3) ｒ≠0のとき｛$\dfrac{1}{r^n}$｝
【数Ⅲ】【関数と極限】次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。(1) ｛(x/1+2x)^n｝(2) ｛x(x²-5x+5)^n-1｝
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。
(1) ｛ $\dfrac{x}{1+2x}^n$ }
(2) ｛ $x(x²-5x+5)^{n-1}$ ｝
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次の数列が収束するような実数ｘの値の範囲を極限を求めよ。
(1) ｛ $\dfrac{x}{1+2x}^n$ }
(2) ｛ $x(x²-5x+5)^{n-1}$ ｝
福田のおもしろ数学539〜部分和がすべて正になるような数列を作れるか
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
総和が$1$である$2025$個の整数が円形に
並んでいる。
ある整数から出発して反時計回りでこれらの
整数を一列に並べ$a_1,a_2,a_3,\cdots, a_{2025}$とする。
これらの部分和$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (n=1,2,\cdots ,2025)$
がすべて正となるようにできるか？
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総和が$1$である$2025$個の整数が円形に
並んでいる。
ある整数から出発して反時計回りでこれらの
整数を一列に並べ$a_1,a_2,a_3,\cdots, a_{2025}$とする。
これらの部分和$S_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (n=1,2,\cdots ,2025)$
がすべて正となるようにできるか？
福田の数学〜神戸大学2025文系第2問〜小数部分と命題の証明
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
実数$a$に対して、
$a$を超えない最大の整数を$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \lt n+1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$a_n$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めたものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$b_m \neq b_n$であることを示せ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
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$\boxed{2}$
実数$a$に対して、
$a$を超えない最大の整数を$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$a_n \lt n+1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$a_n$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めたものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$b_m \neq b_n$であることを示せ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
福田のおもしろ数学538〜数列の一般項を1つの式で表す
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数列
$1,1,2,2,3,3,4,4,\cdots $
の一般項を$1$つの式で表せ。
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数列
$1,1,2,2,3,3,4,4,\cdots $
の一般項を$1$つの式で表せ。
福田の数学〜神戸大学2025文系第1問〜3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$a$を実数とする。
$f(x)=2x^3+ax^2-1$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)方程式$f(x)=0$は$x=-1$に解にもつとする。
このとき、$a$の値を求め、
方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ。
(2)$a$の値を(1)で求めたものとする。
関数$f(x)$の極限を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解を
もつような$a$の値の範囲を求めよ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
$a$を実数とする。
$f(x)=2x^3+ax^2-1$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)方程式$f(x)=0$は$x=-1$に解にもつとする。
このとき、$a$の値を求め、
方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ。
(2)$a$の値を(1)で求めたものとする。
関数$f(x)$の極限を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解を
もつような$a$の値の範囲を求めよ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
福田のおもしろ数学537〜2変数関数の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$xy-x^3\tan \dfrac{1}{x}+y^2=0$のとき、
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{y}{x}$を求めよ。
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$xy-x^3\tan \dfrac{1}{x}+y^2=0$のとき、
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{y}{x}$を求めよ。
福田の数学〜神戸大学2025理系第5問〜連続と微分可能と曲線の長さ
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
連続関数$f(x)$は$x \geqq 0$で$f(x) \geqq 0$を満たし、
$x \gt 0$で微分可能であり、その導関数$f'(x)$は
連続であるとする。
$t \geqq 1$を満たす$t$に対して、
$y=f(x) \ (1\leqq x \leqq t)$で表される曲線の長さを
$h(t)$とし、$t=1$のときは$h(1)=0$とする。
以下の問いに答えよ。
(1)$t\gt 1$とする。
開区間$(1,t)$で常に$f(x)-xf'(x)=0$が成り立つならば、
閉区間$[1,t]$で$\dfrac{f(x)}{x}$は定数であることを示せ。
(2)$t\geqq 1$を満たす任意の$t$に対して、
$g(t)=h(t)+2$が成り立つとする。
このとき、$f(1)$の値を求めよ。
また、$t\geqq 1$のとき$f(t)$を$t$を用いて表せ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
連続関数$f(x)$は$x \geqq 0$で$f(x) \geqq 0$を満たし、
$x \gt 0$で微分可能であり、その導関数$f'(x)$は
連続であるとする。
$t \geqq 1$を満たす$t$に対して、
$y=f(x) \ (1\leqq x \leqq t)$で表される曲線の長さを
$h(t)$とし、$t=1$のときは$h(1)=0$とする。
以下の問いに答えよ。
(1)$t\gt 1$とする。
開区間$(1,t)$で常に$f(x)-xf'(x)=0$が成り立つならば、
閉区間$[1,t]$で$\dfrac{f(x)}{x}$は定数であることを示せ。
(2)$t\geqq 1$を満たす任意の$t$に対して、
$g(t)=h(t)+2$が成り立つとする。
このとき、$f(1)$の値を求めよ。
また、$t\geqq 1$のとき$f(t)$を$t$を用いて表せ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
【数B】【数列】初項4、公差５の等差数列{a_n}と、初項８，公差7の等差数列{b_n}について、これら2つの数列に共通に含まれている項を、順に並べてできる数列{c_n}の一般項を求めよ。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
初項4、公差５の等差数列${a_n}$と、初項８，公差7の等差数列${b_n}$について、これら2つの数列に共通に含まれている項を、順に並べてできる数列${c_n}$の一般項を求めよ。
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初項4、公差５の等差数列${a_n}$と、初項８，公差7の等差数列${b_n}$について、これら2つの数列に共通に含まれている項を、順に並べてできる数列${c_n}$の一般項を求めよ。
【数B】【数列】初項a、公差dである等差数列の初項から第n項までの和をSnとする。m≠nであって、Sm=Snならば、Sn+m=0であることを証明せよ。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
初項a、公差dである等差数列の初項から第n項までの和をSnとする。m≠nであって、$S_m=S_n$ならば、$S_{n+m}$=0であることを証明せよ。
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初項a、公差dである等差数列の初項から第n項までの和をSnとする。m≠nであって、$S_m=S_n$ならば、$S_{n+m}$=0であることを証明せよ。
【数B】【数列】a、bは、正の整数でa＜bとする。aとbの間にあって、5を分母とするすべての分数(整数を除く)の和を求めよ。
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#中高教材#数列
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
a、bは、正の整数でa＜bとする。aとbの間にあって、5を分母とするすべての分数(整数を除く)の和を求めよ。
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a、bは、正の整数でa＜bとする。aとbの間にあって、5を分母とするすべての分数(整数を除く)の和を求めよ。
福田のおもしろ数学536〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{508}{y^2}=\dfrac{z}{509}$
を満たす正の整数の組
$(x,y,z)$をすべて求めよ。
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$\dfrac{13}{x^2}+\dfrac{508}{y^2}=\dfrac{z}{509}$
を満たす正の整数の組
$(x,y,z)$をすべて求めよ。
福田の数学〜神戸大学2025理系第4問〜空間ベクトルと三角形の面積の最小
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#空間ベクトル#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$s,t$を実数とする。座標空間に$3$点
$A(-4,-1,0),B(-3,0,-1),P(s,t,-2s+t-1)$がある。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$A,B,P$は一直線上にないことを示せ。
(2)点$P$から直線$AB$に下ろした垂線を$PH$とする。
点$H$の座標を$s$を用いて表せ。
(3)$s,t$が変化するとき、
三角形$ABP$の面積の最小値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$s,t$を実数とする。座標空間に$3$点
$A(-4,-1,0),B(-3,0,-1),P(s,t,-2s+t-1)$がある。
以下の問いに答えよ。
(1)$3$点$A,B,P$は一直線上にないことを示せ。
(2)点$P$から直線$AB$に下ろした垂線を$PH$とする。
点$H$の座標を$s$を用いて表せ。
(3)$s,t$が変化するとき、
三角形$ABP$の面積の最小値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田のおもしろ数学535〜1分チャレンジ！分数の計算
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{20262025^2}{20262024^2+20262026^2-2}$
を計算して下さい。
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$\dfrac{20262025^2}{20262024^2+20262026^2-2}$
を計算して下さい。
福田の数学〜神戸大学2025理系第3問〜媒介変数表示で表された曲線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
媒介変数$\theta$を用いて
$x=\sin\theta,y=\cos\theta + \vert \sin\theta \vert \quad (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
(2)曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
媒介変数$\theta$を用いて
$x=\sin\theta,y=\cos\theta + \vert \sin\theta \vert \quad (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
(2)曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
【数Ⅲ】【関数と極限】初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、
初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
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初項1、公比1/7の無限等比級数の和Sと、初項から第n項までの部分和Snとの差が、
初めて1/1000より小さくなるようなnの値を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
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第2項が3である無限等比級数が収束し、その和が-4であるとき、初項と公比を求めよ。
【数Ⅲ】【関数と極限】a₁=1/35、1/an+₁=1/an +8n+20によって定められる数列｛an｝について、次の問いに答えよ。(1) anをnの式で表せ。(2) 無限級数Σanの和を求めよ。
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
数列 $\{a_n\}$ は以下のように定められる数列について、次の問いに答えよ
$a_1 = \frac{1}{35}$,$\quad \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 8n + 20 \quad$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$
(1)$a_n$を$n$ の式で表せ。
(2)無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。
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数列 $\{a_n\}$ は以下のように定められる数列について、次の問いに答えよ
$a_1 = \frac{1}{35}$,$\quad \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + 8n + 20 \quad$ $(n = 1, 2, 3, \ldots)$
(1)$a_n$を$n$ の式で表せ。
(2)無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。
福田のおもしろ数学534〜不等式の証明
単元：
#数Ⅱ#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$a,b$が正の実数のとき
$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{{b}{a}}\leqq \sqrt[3]{2(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}$
を証明して下さい。
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$a,b$が正の実数のとき
$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}+\sqrt[3]{{b}{a}}\leqq \sqrt[3]{2(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)}$
を証明して下さい。
福田の数学〜神戸大学2025理系第2問〜整数部分と小数部分
単元：
#数Ⅰ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
実数$a$に対して、$a$を超えない最大の整数を
$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}-n$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$0\lt a_n \lt 1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$\left(3n-\dfrac{1}{a_n}\right)$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めるものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$a_m+b_n \neq 1$であることを示せ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
実数$a$に対して、$a$を超えない最大の整数を
$k$とするとき、
$a-k$を$a$の小数部分という。
$n$を自然数とし、$a_n=\sqrt{n^2+1}-n$とおく。
以下の問いに答えよ。
(1)$0\lt a_n \lt 1$が成り立つことを示せ。
(2)$b_n$を$\left(3n-\dfrac{1}{a_n}\right)$の小数部分とする。
$b_n$を$n$を用いて表せ。
(3)$b_n$を(2)で定めるものとする。
$m,n$を異なる$2$つの自然数とするとき、
$a_m+b_n \neq 1$であることを示せ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
【最優先】数学で真っ先に終わらせろ！成績が上がる単元【完全版まとめ】
単元：
#その他#その他#その他#数学(高校生)#その他
指導講師：
篠原好【京大模試全国一位の勉強法】
問題文全文(内容文)：
【最優先】数学で真っ先に終わらせろ！成績が上がる単元を解説していきます。【完全版まとめ】
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【最優先】数学で真っ先に終わらせろ！成績が上がる単元を解説していきます。【完全版まとめ】
福田のおもしろ数学533〜凸四角形の性質に関する証明
単元：
#数A#数Ⅱ#図形の性質#式と証明#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#恒等式・等式・不等式の証明#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
凸四角形$ABCD$において
$\angle CBD = 2\angle ADB,\angle ABD = 2\angle CDB,AB=CB$
のとき、
$AD=CD$を証明して下さい。
図は動画内参照
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凸四角形$ABCD$において
$\angle CBD = 2\angle ADB,\angle ABD = 2\angle CDB,AB=CB$
のとき、
$AD=CD$を証明して下さい。
図は動画内参照
福田の数学〜神戸大学2025理系第1問〜曲線と直線の共有点の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$k$を実数とする。
$f(x)$と$g(x)$を
$f(x) = \vert x^3-x \vert,\quad g(x)=k(x+1)$
とおき、曲線$y=f(x)$を$C$、
直線$y=g(x)$を$\ell$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
ただし、関数$f(x)$の極大値を調べる必要はない。
(2)曲線$C$と直線$\ell$がちょうど$4$つの
共有点をもつような$k$の値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
$k$を実数とする。
$f(x)$と$g(x)$を
$f(x) = \vert x^3-x \vert,\quad g(x)=k(x+1)$
とおき、曲線$y=f(x)$を$C$、
直線$y=g(x)$を$\ell$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
ただし、関数$f(x)$の極大値を調べる必要はない。
(2)曲線$C$と直線$\ell$がちょうど$4$つの
共有点をもつような$k$の値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
【数Ⅲ】【関数と極限】次の無限級数の収束、発散について調べ、収束する場合は、その和を求めよ。(1) 2 + 2/1+2 + 2/1+2+3 +・・・+ 2/1+2+3+…+n +・・・他
単元：
#関数と極限#数列の極限#数学(高校生)#数Ⅲ
教材：
#4S数学#4S数学ⅢのB問題解説#中高教材#極限
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の無限級数の収束・発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
(1)$2+\frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \frac{2}{1+2+3+4} + \cdots$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3+5} + \frac{1}{3+5+7} + \cdots + \frac{1}{3+5+7+\cdots+(2n+1)} + \cdots$
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次の無限級数の収束・発散について調べ，収束する場合はその和を求めよ。
(1)$2+\frac{2}{1+2} + \frac{2}{1+2+3} + \frac{2}{1+2+3+4} + \cdots$
(2)$\frac{1}{3} + \frac{1}{3+5} + \frac{1}{3+5+7} + \cdots + \frac{1}{3+5+7+\cdots+(2n+1)} + \cdots$
福田のおもしろ数学532〜「∞ー∞」型の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{x\to 1} \left(\dfrac{2025}{1-x^{2025}}-\dfrac{1521}{1-x^{1521}}\right)$
を求めて下さい。
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$\displaystyle \lim_{x\to 1} \left(\dfrac{2025}{1-x^{2025}}-\dfrac{1521}{1-x^{1521}}\right)$
を求めて下さい。