ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
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数学「大学入試良問集」【5−8 余事象の確率①】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#関西学院大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
偶数の目が出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$であるような、目の出方にかたよりのあるサイコロが2個あり、これらを同時に投げるゲームを行う。
、これらを同時に投げるゲームを行う。
両方とも偶数の目が出たら当たり、両方とも奇数の目が出たら大当たりとする。
このゲームを$n$回繰り返すとき、次の問いに答えよ。
（1）大当たりが少なくとも1回は出る確率を求めよ。
（2）当たりまたは大当たりが少なくとも1回は出る確率を求めよ。
（3）当たりと大当たりのいずれもが少なくとも1回は出る確率を求めよ
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偶数の目が出る確率が$\displaystyle \frac{2}{3}$であるような、目の出方にかたよりのあるサイコロが2個あり、これらを同時に投げるゲームを行う。
、これらを同時に投げるゲームを行う。
両方とも偶数の目が出たら当たり、両方とも奇数の目が出たら大当たりとする。
このゲームを$n$回繰り返すとき、次の問いに答えよ。
（1）大当たりが少なくとも1回は出る確率を求めよ。
（2）当たりまたは大当たりが少なくとも1回は出る確率を求めよ。
（3）当たりと大当たりのいずれもが少なくとも1回は出る確率を求めよ
数学「大学入試良問集」【5−7 条件付き確率】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋市立大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
甲、乙2人でそれぞれ勝つ確率が下の表で示されるゲームを続けて行う。
甲乙のどちらか一方が続けて2度ゲームに勝った時は試合を終了し、2度続けて勝ったものが勝者となる。
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 第1回目のゲーム & 甲が勝ったゲーム & 乙が勝ったゲーム \\
\hline
甲の勝つ確率 & \displaystyle \frac{2}{3} & \displaystyle \frac{2}{3} & \displaystyle \frac{1}{5} \\
\hline
乙の勝つゲーム & \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{4}{5}
\end{array}$
（1）
3回以内のゲームで試合が終了する確率を求めよ。
（2）
4回のゲームで試合が終了することが分かっている。
このとき、甲が勝者となっている確率を求めよ。
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甲、乙2人でそれぞれ勝つ確率が下の表で示されるゲームを続けて行う。
甲乙のどちらか一方が続けて2度ゲームに勝った時は試合を終了し、2度続けて勝ったものが勝者となる。
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
& 第1回目のゲーム & 甲が勝ったゲーム & 乙が勝ったゲーム \\
\hline
甲の勝つ確率 & \displaystyle \frac{2}{3} & \displaystyle \frac{2}{3} & \displaystyle \frac{1}{5} \\
\hline
乙の勝つゲーム & \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{1}{3} & \displaystyle \frac{4}{5}
\end{array}$
（1）
3回以内のゲームで試合が終了する確率を求めよ。
（2）
4回のゲームで試合が終了することが分かっている。
このとき、甲が勝者となっている確率を求めよ。
数学「大学入試良問集」【5−6 最大確率】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
サイコロを20個同時に投げたときに1の目が出たサイコロの個数を数える思考を考える。
この試行では1の目の出たサイコロの個数が[ ]である確率が一番大きくなる。
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サイコロを20個同時に投げたときに1の目が出たサイコロの個数を数える思考を考える。
この試行では1の目の出たサイコロの個数が[ ]である確率が一番大きくなる。
数学「大学入試良問集」【5−5 点の移動と確率】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋工業大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
座標平面上を点$P$が次の規則に従って動くとする。
1回サイコロを振るごとに
・１または2の目が出ると、$x$軸の正の方向に1進む。
・3または4の目が出ると、$y$軸の正の方向に1進む。
・5または6の目が出ると、直線$y=x$に関して対称な点に動く。
ただし、直線$y=x$上にある場合はその位置にとどまる。
点$P$は最初に原点にあるとする。
（1）
$A$回サイコロを振った後の点$P$が直線$y=x$上にある確率を求めよ。
（2）
$m$を$0 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする。
$n$回サイコロを振った後の点$P$が直線$x+y=m$上にある確率を求めよ。
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座標平面上を点$P$が次の規則に従って動くとする。
1回サイコロを振るごとに
・１または2の目が出ると、$x$軸の正の方向に1進む。
・3または4の目が出ると、$y$軸の正の方向に1進む。
・5または6の目が出ると、直線$y=x$に関して対称な点に動く。
ただし、直線$y=x$上にある場合はその位置にとどまる。
点$P$は最初に原点にあるとする。
（1）
$A$回サイコロを振った後の点$P$が直線$y=x$上にある確率を求めよ。
（2）
$m$を$0 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする。
$n$回サイコロを振った後の点$P$が直線$x+y=m$上にある確率を求めよ。
数学「大学入試良問集」【5−4 石の移動と確率】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#岐阜大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
正三角形の頂点を反時計回りに$A,B,C$と名付け、ある頂点に1つの石が置いてある。
次のゲームを行う。
袋の中に黒玉3個、白玉2個の計5個の球が入っている。
この袋の中を水に2個の球を取り出して元に戻す。
この1回の試行で、もし黒玉2個の場合は反時計回りに、白玉2個の場合は時計回りに隣の頂点に石を動かす。
ただし、白玉1個と黒玉1個の場合には動かさない。
このとき、以下の問いに答えよ。
（1）
1回の試行で、黒玉2個を取り出す確率と、白玉2個を取り出す確率を求めよ。
（2）
最初に石を置いた頂点を$A$とする。
4回の試行を続けた後、石が頂点$C$にある確率を求めよ。
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正三角形の頂点を反時計回りに$A,B,C$と名付け、ある頂点に1つの石が置いてある。
次のゲームを行う。
袋の中に黒玉3個、白玉2個の計5個の球が入っている。
この袋の中を水に2個の球を取り出して元に戻す。
この1回の試行で、もし黒玉2個の場合は反時計回りに、白玉2個の場合は時計回りに隣の頂点に石を動かす。
ただし、白玉1個と黒玉1個の場合には動かさない。
このとき、以下の問いに答えよ。
（1）
1回の試行で、黒玉2個を取り出す確率と、白玉2個を取り出す確率を求めよ。
（2）
最初に石を置いた頂点を$A$とする。
4回の試行を続けた後、石が頂点$C$にある確率を求めよ。
数学「大学入試良問集」【5−3 カードの並べ方と確率】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#埼玉医科大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$1$から$6$までの数字を書いた6枚のカードを左から右に1列に並べるとき、次のようにカードが並ぶ確率を求めよ。
（1）
$1,2,3$のカードのうちの2枚が両端に並ぶ
（2）
$1$のカードが$2$または$3$のカードの隣に並ぶ
（3）
$1$と$6$のカードの間に2枚以上のカードが並ぶ
（4）
任意のカードについて、そのカードより左側にあるカードのうち、奇数カードの枚数が、偶数カードの枚数より少なくないように並ぶ。
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$1$から$6$までの数字を書いた6枚のカードを左から右に1列に並べるとき、次のようにカードが並ぶ確率を求めよ。
（1）
$1,2,3$のカードのうちの2枚が両端に並ぶ
（2）
$1$のカードが$2$または$3$のカードの隣に並ぶ
（3）
$1$と$6$のカードの間に2枚以上のカードが並ぶ
（4）
任意のカードについて、そのカードより左側にあるカードのうち、奇数カードの枚数が、偶数カードの枚数より少なくないように並ぶ。
数学「大学入試良問集」【5−2 確率と円順列】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#大阪市立大学#大阪市立大学
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問題文全文(内容文)：
$n$を2以上とし、$n$組の夫婦が、$2n$人掛の円卓に着席するものとする。
着席位置を無作為に決めるとき、次の問いに答えよ。
（1）男女が交互に着席する確率を求めよ。
（2）どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ。
（3）男女が交互になり、かつ、どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ。
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$n$を2以上とし、$n$組の夫婦が、$2n$人掛の円卓に着席するものとする。
着席位置を無作為に決めるとき、次の問いに答えよ。
（1）男女が交互に着席する確率を求めよ。
（2）どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ。
（3）男女が交互になり、かつ、どの夫婦も隣り合わせに着席する確率を求めよ。
数学「大学入試良問集」【5−1 重複組み合わせ】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#浜松医科大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
1つのさいころを続けて5回投げて、出た目を順に$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$とする。
このとき、$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$と$x_3 \geqq x_4 \geqq x_5$,両不等式が同時に成り立つ確率を求めよ。
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1つのさいころを続けて5回投げて、出た目を順に$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$とする。
このとき、$x_1 \leqq x_2 \leqq x_3$と$x_3 \geqq x_4 \geqq x_5$,両不等式が同時に成り立つ確率を求めよ。
数学「大学入試良問集」【4−6 正七角形の対角線】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
正七角形について、以下の問いに答えよ。
（1）対角線の総数を求めよ。
（2）対角線を2本選ぶ組み合わせは何通りあるか答えよ。
（3）頂点を共有する2本の対角線は何組あるか答えよ。
（4）共有点をもたない2本の対角線は何組あるか答えよ。
（5）正七角形の内部で交わる2本の対角線は何組あるか答えよ。
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正七角形について、以下の問いに答えよ。
（1）対角線の総数を求めよ。
（2）対角線を2本選ぶ組み合わせは何通りあるか答えよ。
（3）頂点を共有する2本の対角線は何組あるか答えよ。
（4）共有点をもたない2本の対角線は何組あるか答えよ。
（5）正七角形の内部で交わる2本の対角線は何組あるか答えよ。
数学「大学入試良問集」【4−5 整数の個数】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#姫路工業大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
5桁の自然数$n$の万の位、千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ$a,b,c,d,e$とする。
次の各条件について、それを満たす$n$は、何個あるか。
（1）$a,b,c,d,e$が互いに異なる。
（2）$a \gt b$
（3）$a \lt b \lt c \lt d \lt e$
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5桁の自然数$n$の万の位、千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ$a,b,c,d,e$とする。
次の各条件について、それを満たす$n$は、何個あるか。
（1）$a,b,c,d,e$が互いに異なる。
（2）$a \gt b$
（3）$a \lt b \lt c \lt d \lt e$
数学「大学入試良問集」【4−4 組分け問題②】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋市立大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
次の各問いに答えよ。
（1）
白色、赤色、橙色、黄色、緑色、青色、藍色、紫色の同じ大きさの球が1個ずつ全部で8個ある。
これらの8個の球を2個1組として4つに分ける。
このような分け方は全部で何通りあるか。
（2）
（1）の8個の球にさらに同じ大きさの白色の球2個を付けくわえる。
これらの10個の球を2個1組として5つに分ける。
このような分け方は全部で何通りあるか。
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次の各問いに答えよ。
（1）
白色、赤色、橙色、黄色、緑色、青色、藍色、紫色の同じ大きさの球が1個ずつ全部で8個ある。
これらの8個の球を2個1組として4つに分ける。
このような分け方は全部で何通りあるか。
（2）
（1）の8個の球にさらに同じ大きさの白色の球2個を付けくわえる。
これらの10個の球を2個1組として5つに分ける。
このような分け方は全部で何通りあるか。
数学「大学入試良問集」【4−3 経路の問題】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$xy$平面上に$x=(k$は整数)または$y=l(l$は整数)で定義される碁盤の目のような街路がある。
4点$(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)$に障害物があって通れないとき、$(0,0)$と$(5,5)$を結ぶ最短経路は何通りあるか。
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$xy$平面上に$x=(k$は整数)または$y=l(l$は整数)で定義される碁盤の目のような街路がある。
4点$(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)$に障害物があって通れないとき、$(0,0)$と$(5,5)$を結ぶ最短経路は何通りあるか。
数学「大学入試良問集」【4−2 同じものを含む順列】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#同志社大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$a,a,b,b,c,d,e,f$の8文字をすべて並べて文字列をつくる。
文字$a$と文字$e$は母音字である。
（1）文字列は全部で何通りあるか。
（2）同じ文字が連続して並ばない文字列は何通りできるか。
（3）母音字が3つ連続して並ぶ文字列は何通りできるか。
（4）母音字が連続して並ばない文字列は何通りできるか。
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$a,a,b,b,c,d,e,f$の8文字をすべて並べて文字列をつくる。
文字$a$と文字$e$は母音字である。
（1）文字列は全部で何通りあるか。
（2）同じ文字が連続して並ばない文字列は何通りできるか。
（3）母音字が3つ連続して並ぶ文字列は何通りできるか。
（4）母音字が連続して並ばない文字列は何通りできるか。
数学「大学入試良問集」【4−1 組分け問題①】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#センター試験・共通テスト関連#センター試験#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。
ただし、各部屋は十分に大きく、定員については考慮しなくてよい。
（1）
7人を2つの部屋$A,B$に分ける。
（ⅰ）部屋$A$に3人、部屋$B$に4人となる分け方は全部で何通りあるか。
（ⅱ）どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
（ⅲ）（ⅱ）のうち、部屋$A$の人数が奇数である分け方は全部で何通りあるか。
（2）
4人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
（3）
大人4人、こども3人の計7人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
（ⅰ）どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
（ⅱ）（ⅱ）のうち、三つの部屋に子ども3人が1人ずつ入る分け方は全部で何通りあるか。
（ⅲ）どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
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何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。
ただし、各部屋は十分に大きく、定員については考慮しなくてよい。
（1）
7人を2つの部屋$A,B$に分ける。
（ⅰ）部屋$A$に3人、部屋$B$に4人となる分け方は全部で何通りあるか。
（ⅱ）どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
（ⅲ）（ⅱ）のうち、部屋$A$の人数が奇数である分け方は全部で何通りあるか。
（2）
4人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
どの部屋も1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
（3）
大人4人、こども3人の計7人を三つの部屋$A,B,C$に分ける。
（ⅰ）どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
（ⅱ）（ⅱ）のうち、三つの部屋に子ども3人が1人ずつ入る分け方は全部で何通りあるか。
（ⅲ）どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で何通りあるか。
数学「大学入試良問集」【3−6不定方程式②】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$3$以上$9999$以下の奇数$a$で、$a^2-a$が$10000$で割り切れるものをすべて求めよ。
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$3$以上$9999$以下の奇数$a$で、$a^2-a$が$10000$で割り切れるものをすべて求めよ。
数学「大学入試良問集」【3−5 ユークリッド互除法】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
（1）
自然数$a,b,c,d$に$\displaystyle \frac{b}{a}=\displaystyle \frac{c}{a}+d$の関係があるとき、$a$と$c$が互いに素であれば、$a$と$b$も互いに素であることを証明せよ。
（2）
任意の自然数$n$に対し、$28n+5$と$21n+4$は互いに素であることを証明せよ。
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（1）
自然数$a,b,c,d$に$\displaystyle \frac{b}{a}=\displaystyle \frac{c}{a}+d$の関係があるとき、$a$と$c$が互いに素であれば、$a$と$b$も互いに素であることを証明せよ。
（2）
任意の自然数$n$に対し、$28n+5$と$21n+4$は互いに素であることを証明せよ。
数学「大学入試良問集」【3−4 整数 n進法】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
7進法で表すと3けたとなる正の整数がある。
これを11進法で表すと、やはり3けたで、数字の順序がもととちょうど反対となる。
このような整数を10進法で表せ。
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7進法で表すと3けたとなる正の整数がある。
これを11進法で表すと、やはり3けたで、数字の順序がもととちょうど反対となる。
このような整数を10進法で表せ。
数学「大学入試良問集」【3−3 整数 余りによる分類②】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
（1）
$p,2p+1,4p+1$がいずれも素数であるような$p$をすべて求めよ。
（2）
$q,2q+1,4q-1,6q-1,8q+1$がいずれも素数であるような$q$をすべて求めよ。
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（1）
$p,2p+1,4p+1$がいずれも素数であるような$p$をすべて求めよ。
（2）
$q,2q+1,4q-1,6q-1,8q+1$がいずれも素数であるような$q$をすべて求めよ。
数学「大学入試良問集」【3−2 整数 余りによる分類①】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#関西大学
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問題文全文(内容文)：
$a,b,c$を正の整数とする。
（1）$a^2$を3で割った余りは0または1であることを示せ。
（2）$a^2+b^2=c^2$を満たすとき、$a,b,c$の積$abc$が3の倍数であることを示せ。
（3）$a^2+b^2=225$を満たす$a,b$の値を求めよ。
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$a,b,c$を正の整数とする。
（1）$a^2$を3で割った余りは0または1であることを示せ。
（2）$a^2+b^2=c^2$を満たすとき、$a,b,c$の積$abc$が3の倍数であることを示せ。
（3）$a^2+b^2=225$を満たす$a,b$の値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【3−1 整数 不定方程式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鳥取大学
指導講師：
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問題文全文(内容文)：
$p,q,r$は不等式$p \leqq q \leqq r$を満たす正の整数とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）
$\displaystyle \frac{1}{p}+\displaystyle \frac{1}{q}=1$を満たす$p,q$をすべて求めよ。
（2）
$\displaystyle \frac{1}{p}+\displaystyle \frac{1}{q}+\displaystyle \frac{1}{r}=1$を満たす$p,q,r$をすべて求めよ。
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$p,q,r$は不等式$p \leqq q \leqq r$を満たす正の整数とする。
このとき、次の各問いに答えよ。
（1）
$\displaystyle \frac{1}{p}+\displaystyle \frac{1}{q}=1$を満たす$p,q$をすべて求めよ。
（2）
$\displaystyle \frac{1}{p}+\displaystyle \frac{1}{q}+\displaystyle \frac{1}{r}=1$を満たす$p,q,r$をすべて求めよ。
数学「大学入試良問集」【2−6 相反方程式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
実数$x \neq 0$に対して$|x+\displaystyle \frac{1}{x}|$のとり得る値の範囲を求めよ。
（2）
$a,b$を実数の定数とする。
方程式$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$が実数解をもたないとき、点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ。
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次の問いに答えよ。
（1）
実数$x \neq 0$に対して$|x+\displaystyle \frac{1}{x}|$のとり得る値の範囲を求めよ。
（2）
$a,b$を実数の定数とする。
方程式$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$が実数解をもたないとき、点$(a,b)$の存在範囲を図示せよ。
数学「大学入試良問集」【2−5 相加平均・相乗平均】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
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問題文全文(内容文)：
以下の問いに答えよ。
（1）
正の実数$x,y$に対して
$\displaystyle \frac{y}{x}+\displaystyle \frac{x}{y} \geqq 2$
が成り立つことを示し、等号が成立するための条件を求めよ。
（2）
$n$を自然数とする。
$n$個の正の実数$a_1,a_2,・・・,a_n$に対して
$(a_1+・・・+a_n)\left[ \dfrac{ 1 }{ a_1 }+・・・+\displaystyle \frac{1}{a_n} \right] \geqq n^2$
が成り立つことを示し、等号が成立するための条件を求めよ。
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以下の問いに答えよ。
（1）
正の実数$x,y$に対して
$\displaystyle \frac{y}{x}+\displaystyle \frac{x}{y} \geqq 2$
が成り立つことを示し、等号が成立するための条件を求めよ。
（2）
$n$を自然数とする。
$n$個の正の実数$a_1,a_2,・・・,a_n$に対して
$(a_1+・・・+a_n)\left[ \dfrac{ 1 }{ a_1 }+・・・+\displaystyle \frac{1}{a_n} \right] \geqq n^2$
が成り立つことを示し、等号が成立するための条件を求めよ。
数学「大学入試良問集」【2−4 剰余の定理•商と余り】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#鹿児島大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
$x$の整式$p(x)$を$x-3$で割った余りは$2,(x-2)^2$で割った余りは$x+1$である。
$p(x)$を$(x-2)^2$で割った商は$q(x)$とするとき、$q(x)$を$x-3$で割った余りを求めよ。
（2）
$p(x)$は（1）と同じ条件を満たすものとする。
このとき、$xp(x)$を$(x-3)(x-2)^2$で割った余りを求めよ。
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次の問いに答えよ。
（1）
$x$の整式$p(x)$を$x-3$で割った余りは$2,(x-2)^2$で割った余りは$x+1$である。
$p(x)$を$(x-2)^2$で割った商は$q(x)$とするとき、$q(x)$を$x-3$で割った余りを求めよ。
（2）
$p(x)$は（1）と同じ条件を満たすものとする。
このとき、$xp(x)$を$(x-3)(x-2)^2$で割った余りを求めよ。
数学「大学入試良問集」【2−3 方程式と整数解】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#愛媛大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$p,q$を整数とし、$f(x)=x^2+px+q$とおく。
（1）
有理数$a$が方程式$f(x)=0$の一つの解ならば、$a$は整数であることを示せ。
（2）
$f(1)$も$f(2)$も$2$で割り切れないとき、方程式$f(x)=0$は整数の解を持たないことを示せ。
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$p,q$を整数とし、$f(x)=x^2+px+q$とおく。
（1）
有理数$a$が方程式$f(x)=0$の一つの解ならば、$a$は整数であることを示せ。
（2）
$f(1)$も$f(2)$も$2$で割り切れないとき、方程式$f(x)=0$は整数の解を持たないことを示せ。
数学「大学入試良問集」【2−2 高次方程式と解】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$\alpha=\displaystyle \frac{3+\sqrt{ 7 }\ i}{2}$とする。
ただし、$i$は虚数単位である。次の問いに答えよ。
（1）
$\alpha$を解にもつような2次方程式$x^2+px+q=0(p,q$は整数)を求めよ。
（2）
整数$a,b,c$を係数とする3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$について、解の1つは$\alpha$であり、また$0 \leqq x \leqq 1$の範囲に実数解を1つもつとする。
このような整数の組$(a,b,c)$を全て求めよ。
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$\alpha=\displaystyle \frac{3+\sqrt{ 7 }\ i}{2}$とする。
ただし、$i$は虚数単位である。次の問いに答えよ。
（1）
$\alpha$を解にもつような2次方程式$x^2+px+q=0(p,q$は整数)を求めよ。
（2）
整数$a,b,c$を係数とする3次方程式$x^3+ax^2+bx+c=0$について、解の1つは$\alpha$であり、また$0 \leqq x \leqq 1$の範囲に実数解を1つもつとする。
このような整数の組$(a,b,c)$を全て求めよ。
数学「大学入試良問集」【2−1 解と係数の関係】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#解と判別式・解と係数の関係#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
3方程式 $x^3-2x^2+3x-4=0$の3つの解を複素数の範囲で考え、それらを$\alpha,\beta,\gamma$とする。
以下の問いに答えよ。
（1）$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4$の値を求めよ。
（2）$\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$の値を求めよ。
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3方程式 $x^3-2x^2+3x-4=0$の3つの解を複素数の範囲で考え、それらを$\alpha,\beta,\gamma$とする。
以下の問いに答えよ。
（1）$\alpha^4+\beta^4+\gamma^4$の値を求めよ。
（2）$\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$の値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【1−3 背理法・対偶】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
（ⅰ）$\sqrt{ 2 }$が無理数であることを証明せよ。
（ⅱ）実数$a$が$a^3+\alpha+1=0$を満たすとき、$\alpha$が無理数であることを証明せよ。
（2）
（ⅰ）$n$を自然数とするとき、$n^3$が$3$の倍数ならば、$n$は$3$の倍数のなることを証明せよ。
（ⅱ）$\sqrt[ 3 ]{ 3 }$が無理数であることを証明せよ。
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次の問いに答えよ。
（1）
（ⅰ）$\sqrt{ 2 }$が無理数であることを証明せよ。
（ⅱ）実数$a$が$a^3+\alpha+1=0$を満たすとき、$\alpha$が無理数であることを証明せよ。
（2）
（ⅰ）$n$を自然数とするとき、$n^3$が$3$の倍数ならば、$n$は$3$の倍数のなることを証明せよ。
（ⅱ）$\sqrt[ 3 ]{ 3 }$が無理数であることを証明せよ。
合同式【高校数学ⅠA】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
【高校数学ⅠA】合同式の解説動画です
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数学「大学入試良問集」【1−2 数と式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#関西大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$x,y$を実数とする。
下の（1）、（2）の文中の□にあてはまるものを、次の（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）の中から選べ。
（ア）必要条件ではあるが、十分条件ではない
（イ）十分条件ではあるが、必要条件ではない
（ウ）必要十分条件である
（エ）必要条件でも、十分条件でもない
（1）$x^2+y^2 \lt 1$は、$-1 \lt x \lt $であるための□。
（2）$-1 \lt x \lt 1$かつ$-1 \lt y \lt 1$は$x^2+y^2 \lt 1$であるための□。
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$x,y$を実数とする。
下の（1）、（2）の文中の□にあてはまるものを、次の（ア）、（イ）、（ウ）、（エ）の中から選べ。
（ア）必要条件ではあるが、十分条件ではない
（イ）十分条件ではあるが、必要条件ではない
（ウ）必要十分条件である
（エ）必要条件でも、十分条件でもない
（1）$x^2+y^2 \lt 1$は、$-1 \lt x \lt $であるための□。
（2）$-1 \lt x \lt 1$かつ$-1 \lt y \lt 1$は$x^2+y^2 \lt 1$であるための□。
数学「大学入試良問集」【1−1 数と式】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の問いに答えよ。
（1）
$a^2+b^2+c^2=1$を満たす複素数$a,b,c$に対して、$x=a+b+c$とおく。
このとき、$ab+bc+ca$を$x$の2次式で表せ。
（2）
$a^2+b^2+c^2=1,\ a^3+b^3+c^3=0,\ abc=3$をすべて満たす複素数$a,b,c$に対して、$x=a+b+c$とおく。
このとき、$x^3-3x$の値を求めよ。
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次の問いに答えよ。
（1）
$a^2+b^2+c^2=1$を満たす複素数$a,b,c$に対して、$x=a+b+c$とおく。
このとき、$ab+bc+ca$を$x$の2次式で表せ。
（2）
$a^2+b^2+c^2=1,\ a^3+b^3+c^3=0,\ abc=3$をすべて満たす複素数$a,b,c$に対して、$x=a+b+c$とおく。
このとき、$x^3-3x$の値を求めよ。