大阪大学

福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

単元： #数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#大阪大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

素数を小さい順に並べて得られる数列を

p_{1}

,

p_{2}

, ...,

p_{n}

, ...
とする。
(1)

p_{15}

の値を求めよ。
(2)

n

≧12のとき、不等式

p_{n}

>

3 n

が成り立つことを示せ。

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福田の数学〜大阪大学2024年文系第1問〜絶対値付き放物線と直線で囲まれた2つの面積が等しい条件

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

曲線

y

=|

x^{2} - 1

|を

C

、直線

y

=

2 a (x + 1)

を

l

とする。ただし、

a

は0<

a

<1を満たす実数とする。
(1)曲線

C

と直線

l

の共有点の座標を全て求めよ。
(2)曲線

C

と直線

l

で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる

a

の値を求めよ。

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福田の数学〜大阪大学2024年理系第4問〜回転体の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

a

>1とする。

x y

平面において、点(

a

, 0)を中心とする半径1の円を

C

とする。
(1)円

C

の

x

≧

a

の部分と

y

軸および2直線

y

=1,

y

=-1で囲まれた図形を

y

軸のまわりに1回転してできる回転体の体積

V_{1}

を求めよ。
(2)円

C

で囲まれた部分を

y

軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を

V_{2}

とする。(1)における

V_{1}

について、

V_{1}

=

2 V_{2}

となる

a

の値を求めよ。

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福田の数学〜大阪大学2024年理系第3問〜ねじれの位置にある2直線に直交する直線が1本しかない証明

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

空間内の2直線

l

,

m

はねじれの位置にあるとする。

l

と

m

の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。

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福田の数学〜大阪大学2024年理系第2問〜複素数の表す領域

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

α

,

β

を複素数とし、複素数

z

に対して

f (z)

=

z

+

α z

+

β

とおく。

α

,

β

は
|

f (z)

－3|≦1　かつ　|

f (i)

－1|≦3
を満たしながら動く。ただし、

i

は虚数単位である。
(1)

f (1 + i)

がとりうる値の範囲を求め、複素数平面上に図示せよ。
(2)

f (1 + i)

=0であるとき、

α

,

β

の値を求めよ。

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福田の数学〜大阪大学2024年理系第1問〜方程式の解と極限

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

自然数

n

に対して、関数

f_{n} (x)

を

f_{n} (x)

=1－

\frac{1}{2} e^{n x}

+

\cos \frac{x}{3}

　(

x

≧0)
で定める。ただし、

e

は自然対数の底である。
(1)方程式

f_{n} (x)

=0は、ただ1つの実数解をもつことを示せ。
(2)(1)における実数解を

a_{n}

とおくとき、極限値

lim_{n \to \infty} a_{n}

　を求めよ。
(3)極限値

lim_{n \to \infty} n a_{n}

　を求めよ。

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【高校数学】19回目にして遂に計算ミス発生!?毎日積分76日目~47都道府県制覇への道~【⑲大阪】【毎日17時投稿】

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
【大阪大学 2023】

n

を

2

以上の自然数とする。
(1)

0 ≦ x ≦ 1

の時、次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{1}{2} x^{n} ≦ (- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - \sum_{k = 2}^{n} (- 1)^{k - 1}} ≦ x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}

(2)

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k}

とするとき、次の極限値を求めよ。

lim_{n \to \infty} (- 1)^{n} n (a_{n} - l o g 2)

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動く２点の距離の最小値【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

C_{1} : x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1, C_{2} : y = 2 a x - 3 a

点Pが

C_{1}

,点Qが

C_{2}

上を動く。
線分 PQ の長さの最小値をαを用いて表せ。

大阪大学過去問

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（誘導あり）ゴリゴリの計算問題【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

f (x) = 2 \log (1 + e^{x}) - x - \log 2

のとき

\int_{0}^{\log 2} (x - \log 2) e^{- f (x)} d x

を求めよ

大阪大過去問

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微分の超頻出の問題！どこで最大値を取るかしっかり考えよう【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
正の実数a,xに対して,

y=

(\log_{\frac{1}{2}} x)^{3}

+

a (\log_{\sqrt{2}} x) (\log_{4} x^{3})

とする。

(1)t=

\log_{2} x

とするとき,yをa,tを用いて表せ。

(2)xが

\frac{1}{2}

≦x≦8の範囲を動くとき,yの最大値Mをaを用いて表せ。

大阪大過去問

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意外と差がつく？しっかりと取りたい問題です【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#三角関数#解と判別式・解と係数の関係#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
a,bを実数とする。θについての方程式

\cos 2 θ = a s i n θ + b

が実数解をもつような点(a,b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ。

大阪大過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年文系第２問〜対数関数と３次関数の最大

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

正の実数a, xに対して
y=

(\log_{\frac{1}{2}} x)^{3}

+

a \log_{\sqrt{2}} x

(\log_{4} x^{3})

とする。
(1)t=

\log_{2} x

とするとき、yをa, tを用いて表せ。
(2)xが

\frac{1}{2}

≦x≦8の範囲を動くとき、yの最大値Mをaを用いて表せ。

2023大阪大学文系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年文系第１問〜三角方程式と解の存在範囲

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#図形と方程式#三角関数#円と方程式#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a,bを実数とする。θについての方程式

\cos 2 θ = a \sin θ + b

が実数解をもつような点(a,b)の存在範囲を座標平面上に図示せよ

2023大阪大学文系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第５問〜確率漸化式と整数の性質

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#確率#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

1個のさいころをn回投げて、k回目に出た目を

a_{k}

とする。

b_{n}

を

b_{n}

=

\sum_{k = 1}^{n} a_{1}^{n - k} a_{k}

により定義し、b_nが7の倍数とする確率を

p_{n}

とする。
(1)

p_{1}

,

p_{2}

を求めよ。
(2)数列

{p_{n}}

の一般項を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第４問〜空間ベクトルと軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
a,b を

a^{2} + b^{2} > 1

かつ b≠0 をみたす実数の定数とする。
座標空間のA (a,0,b) と点 P(x, y, 0) をとる。
点O(0, 0, 0) を通り直線APと垂直な平面をαとし、平面と直線AP との交点をQとする。

(\vec{A P} ・ \vec{A O})^{2} = | \vec{A P} |^{2} | \vec{A Q} |^{2}

が成り立つことを示せ。

| \vec{O Q} |^{2} = 1

をみたすように点P(x,y,0) が xy平面上を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第３問〜三角方程式の解の個数

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

Pを座標平面上の点とし、点Pの座標を(a,b)とする。-π≦t≦πの範囲にある実数tのうち、曲線y=

\cos x

上の点(t,

\cos t

)における接線が点Pを通るという条件をみたすものの個数をN(P)とする。N(P)=4かつ0＜a＜πをみたすような点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。

2023大阪大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第２問〜ベクトルと領域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

平面上の3点O,A,Bが
|2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

|=|

\vec{O A}

+2

\vec{O B}

|=1　かつ　(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)・(

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)=

\frac{1}{3}

を満たすとする。
(1)(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)・(

\vec{O A}

+2

\vec{O B}

)を求めよ。
(2)平面上の点Pが
|

\vec{O P}

ー(

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)|≦

\frac{1}{3}

　かつ　

\vec{O P}

・(2

\vec{O A}

+

\vec{O B}

)≦

\frac{1}{3}

を満たすように動くとき、|

\vec{O P}

|の最大値と最小値を求めよ。

2023大阪大学理系過去問

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第１問〜不等式の証明と極限

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#関数と極限#微分とその応用#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

nを2以上の自然数とする。
(1)0≦x≦1のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{1}{2} x^{2}

≦

(- 1)^{n} {\frac{1}{x + 1} - 1 - \sum_{k = 2}^{n} (- x)^{k - 1}}

≦

x^{n} - \frac{1}{2} x^{n + 1}

(2)

a_{n}

=

\sum_{k = 1}^{n} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k}

　とするとき、次の極限値を求めよ。

lim_{n \to \infty} (- 1)^{n} n (a_{n} - \log 2)

2023大阪大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題091〜大阪大学2018年度理系第１問〜不等式の証明と関数の値域

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

次の問に答えよ。
(1)x＞0の範囲で不等式
x-

\frac{x^{2}}{2}

＜

\log (1 + x)

＜

\frac{x}{\sqrt{1 + x}}

が成り立つことを示せ。
(2)xがx＞0の範囲を動くとき、
y=

\frac{1}{\log (1 + x)}

-

\frac{1}{x}

のとりうる値の範囲を求めよ。

2018大阪大学理系過去問

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指数・対数 × 整数問題！落としたくない問題です【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
連立方程式

\begin{array}{r} {\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 43 \\ \log_{2} x - \log_{3} y = 1 \end{cases} \end{array}

を考える。

(1)この連立方程式を満たす自然数

x, y

の組を求めよ。
(2)この連立方程式を満たす正の実数

x, y

は、(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ。

大阪大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題055〜大阪大学2017年度理系第５問〜回転体と回転体の交わりの部分の体積

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

　xy平面上で放物線y=

x^{2}

と直線y=2で囲まれた図形を、y軸のまわりに1回転してできる回転体をLとおく。回転体Lに含まれる点のうち、xy平面上の直線x=1からの距離が1以下のもの全体がつくる立体をMとおく。
(1)

t

を

0 ≦ t ≦ 2

を満たす実数とする。xy平面上の点(0,

t

)を通り、
y軸に直交する平面によるMの切り口の面積を

S (t)

とする。

t = (2 \cos θ)^{2}

(\frac{π}{4} ≦ θ ≦ \frac{π}{2})

のとき、

S (t)

を

θ

を用いて表せ。
(2)Mの体積Vを求めよ。

2017大阪大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題054〜大阪大学2017年度文系第１問〜放物線とx軸で囲まれた面積

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

b, c

を実数、

q

を正の実数とする。放物線

P : y = - x^{2} + b x + c

の頂点の

y

座標が

q

のとき、放物線

P

と

x

軸で囲まれた部分の面積

S

を

q

を用いて表せ。

2017大阪大学文系過去問

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３通りで解説！xとyを「あれ」に・・・【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
実数

x, y

が

| x | ≦ 1

と

| y | ≦ 1

を満たすとき,不等式

0 ≦ x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 2 x y \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}

≦ 1

が成り立つことを示せ。

大阪大過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題025〜大阪大学2016年度理系数学第３問〜回転体の体積

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
座標平面において、原点Oを中心とする半径rの円と放物線

y = \sqrt{2} (x - 1)^{2}

は、ただ1つの共有点(a,b)をもつとする。
(1)a,b,rの値をそれぞれ求めよ。
(2)連立不等式

a ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ \sqrt{2} (x - 1)^{2}, x^{2} + y^{2} ≧ r^{2}

の表す領域をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。

2016大阪大学理系過去問

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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題007〜大阪大学2015年文系数学第１問〜不等式の証明

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#式と証明#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#三角関数#恒等式・等式・不等式の証明#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
実数x,yが

| x | ≦ 1

と

| y | ≦ 1

を満たすとき、不等式

0 ≦ x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 2 x y \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}} ≦ 1

が成り立つことを示せ。

2015大阪大学文系過去問

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数Ⅱ微分の良問です【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

点 (0, 1) を 通 り 曲 線

y=x^3-ax^2

に 接 す る 直 線 が ち ょ う ど 2 本 存 在 す る と き, 実 数

a$の値と2本の接線の方程式を求めよ。

大阪大過去問

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数Ⅱ微分の良問です【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

点 (0, 1) を 通 り 曲 線

y=x^3-ax^2

に 接 す る 直 線 が ち ょ う ど 2 本 存 在 す る と き, 実 数

a$の値と2本の接線の方程式を求めよ。

大阪大過去問

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大学入試問題#345「とりあえず第一感は置換積分っぽい」　大阪大学改 2010　#定積分

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ますただ

問題文全文(内容文)：

\int_{- 1}^{1} (\frac{e^{x}}{1 + e^{x}})^{2} d x

出典：2010年大阪大学　入試問題

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対数の良問！値を上手く自分で評価できるかがポイント【大阪大学】【数学入試問題】

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：
自然数m,nと

0 < a \frac{2}{3}

が成り立つことを示せ。

大阪大過去問

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阪大の証明問題！解けますか？【数学入試問題】【大阪大学理系】

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：数学・算数の楽しさを思い出した / Ken

問題文全文(内容文)：

n

を2以上の自然数とする。三角形

A B C

において,辺

A B

の長さを

c

,辺

C A

の長さを

b

で表す。

∠ A C B = n ∠ A B C

であるとき,

c < n b

を示せ。

大阪大理系過去問

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<img src="https://kaiketsu-db.net/wp-content/uploads/2021/11/112-book-morph-outline.gif" alt="" data-eio="l"> 大阪大学

福田の数学〜大阪大学2024年文系第3問〜素数を小さい順に並べた数列の特徴

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福田の数学〜大阪大学2023年理系第５問〜確率漸化式と整数の性質

福田の数学〜大阪大学2023年理系第４問〜空間ベクトルと軌跡

福田の数学〜大阪大学2023年理系第３問〜三角方程式の解の個数

福田の数学〜大阪大学2023年理系第２問〜ベクトルと領域

福田の数学〜大阪大学2023年理系第１問〜不等式の証明と極限

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題091〜大阪大学2018年度理系第１問〜不等式の証明と関数の値域

指数・対数 × 整数問題！落としたくない問題です【大阪大学】【数学 入試問題】

福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題055〜大阪大学2017年度理系第５問〜回転体と回転体の交わりの部分の体積

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