学校別大学入試過去問解説(数学)

福田のわかった数学〜高校２年生061〜対称式と領域(3)

単元： #数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次方程式と2次不等式#図形と方程式#微分法と積分法#軌跡と領域#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：
数学

II

　対称式と領域(3)
実数

x, y

が

x^{2} + x y + y^{2} = 6

を
満たしながら動くとき

x^{2} y + x y^{2} - x^{2} - 2 x y - y^{2} + x + y

の取り得る値の範囲を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−24 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#奈良教育大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

x y z

空間の

x y

平面上に曲線

C : y = x^{2}, z = 0

　直線

l : y = x + a, z = 0 (a ≦ 1)

がある。
いま

C

と

l

の交点を

P, Q

とし、線分

P Q

を底辺とする正三角形

P Q R

を

x y

平面に垂直に作る。
直線

l

を

a = 1

から

C

に接するまで動かすとき、この三角形が通過してできる立体の体積

V

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−23 空間図形の断面積と体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京学芸大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
図のような1辺の長さ

a

の立方体

A B C D - E F G H

がある。
線分

A F, B G, C H, D E

上にそれぞれ動点

P, Q, R, S

があり、頂点

A, B, C, D

を同時に出発して同じ速さで頂点

F, G, H, E

まで動く。
このとき、四角形

P Q R S

が通過してできる立体の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−22 積分と不等式・無限級数の良問】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#山形大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して

S (x) = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} x^{2 k - 2}, R (x) = \frac{(- 1)^{n} x^{2 n}}{1 + x^{2}}

とする。
さらに

f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

とする。このとき、次の問いに答えよ。
（1）等式

\frac{0}{1} S (x) d x = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k - 1} \frac{1}{2 k - 1}

が成り立つことを示せ。
（2）定積分

\int_{0}^{1} f (x) d x

の値を求めよ。
（3）等式

S (x) = f (x) - R (x)

が成り立つことを示せ。
（4）不等式

| \int_{0}^{1} R (x) d x | ≦ \frac{1}{2 n + 1}

が成り立つことを示せ。
（5）無限階級

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ・ ・ ・

の和を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−21 定積分関数の超良問（面積）】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x)

を

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t^{2}} d t

で定める。
（1）

y = f (x)

の

x = 1

における法線の方程式を求めよ。
（2）（1）で求めた法線と

x

軸および

y = f (x)

のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−20 媒介変数のグラフと曲線の長さ、面積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東邦大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：

r

を正の定数とする。

x y

平面上を時刻

t = 0

から

t = π

まで運動する点

P (x, y)

の座標が

x = 2 r (t - \sin t \cos t), y = 2 r \sin^{2} t

であるとき、以下の問いに答えよ。
（1）
点

P

が描く曲線の概形を、

x y

平面上にかけ。

（2）
点

P

が時刻

t = 0

から

t = π

までに動く道のり

S

は、

S = \int_{0}^{π} \sqrt{{[\frac{d x}{d t}]}^{2} + {[\frac{d y}{d t}]}^{2}} d t

で与えられる。
このとき、

S

の値を求めよ。

（3）点

P

が描く曲線と

x

軸で囲まれた部分を、

x

軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−19 定積分で示された関数の最大最小】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#中京大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
関数

f (x) = \int_{0}^{x} (x \cos t - \sin t) d t (0 ≦ x ≦ 2 π)

について次の問いに答えよ。
（1）

f (x)

を微分せよ。
（2）

f (x)

の最大値と最小値、およびそのときの

x

の値を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−18 円をy軸回転させた回転体の体積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#高知大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
図形

C : y^{2} + (x - 1)^{2} ≦ 4

を

y

軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−17 こぼれた水の体積と定積分】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
水を満たした半径2の半球体の容器がある。
これを静かに

α^{\circ}

傾けたとき、水面が

h

だけ下がり、こぼれ出た水の量と容器に残った水の量の比が

11 : 5

になった。

h

と

α

を求めよ。

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数学「大学入試良問集」【19−16 x軸・y軸回転体の体積の求め方】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#富山県立大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
双曲線

x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1

と

2

直線

y = 3, y = - 3

で囲まれた部分を、

x

軸、

y

軸のまわりに1回転してできる立体の体積を、それぞれ

V_{1}, V_{2}

とする。

\frac{V_{1}}{V_{2}}

を求めよ。

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第１問(3)〜九九の表の平均と分散

単元： #数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#データの分析#データの分析#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(3)九九の表(1の段から9の段まで)に現れる81個の数の平均値

シ ス

であり、
分散は小数第一位を四捨五入して整数で求めると

セ ソ タ

である。

2021明治大学全統過去問

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第１問(2)〜位置ベクトルと面積比

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数C

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(2)三角形ABC内に点Pがあり、

3 \vec{P A} + 5 \vec{P B} + 7 \vec{P C} = \vec{0}

のとき、

\vec{A P} = \frac{カ}{キ} \vec{A B} + \frac{ク}{ケ コ} \vec{A C}

となるので、

△ P A B : △ P B C : △ P C A = サ

である。

サ

の解答群

⓪ 1 : 1 : 1 ① 3 : 5 : 7 ② 5 : 7 : 3 ③ 7 : 3 : 5 ④ 9 : 25 : 49

⑤ 25 : 49 : 9 ⑥ 49 : 9 : 25 ⑦ \frac{1}{3} : \frac{1}{5} : \frac{1}{7} ⑧ \frac{1}{5} : \frac{1}{7} : \frac{1}{3} ⑨ \frac{1}{7} : \frac{1}{3} : \frac{1}{5}

2021明治大学全統過去問

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数学「大学入試良問集」【19−15 ガウス記号と極限・区分求積法】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
実数

x

に対して、

x

を越えない最大の整数を

[x]

で表す。

n

を正の整数とし、

a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{[\sqrt{2 n^{2} - k^{2}}]}{n^{2}}

とおく。
このとき、

lim_{n \to \infty} a_{n}

を求めよ。

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【理数個別の過去問解説】2004年度京都大学数学第3問解説

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
京都大学(文系)2004年(第3問)

△ O A B

において、

a = O A 、 b = O B

とし、

| a | = 3, | b | = 5, c o s ∠ A O B = \frac{3}{5}

とする。このとき、

∠ A O B

の二等分線とBを中心とする半径

\sqrt{10}

の円との交点の、Oを原点とする位置ベクトルを、a, bを用いて表せ。

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福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試IⅡAB第１問(1)〜連立型の漸化式

単元： #大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数B

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

(1)数列

{a_{n}}, {b_{n}}

について次の条件が与えられている。

{\begin{matrix} a_{n + 1} = 7 a_{n} - 10 b_{n} \\ b_{n + 1} = 2 a_{n} - 2 b_{n} \end{matrix} (n = 1, 2, 3, \dots)

ただし、

a_{1} = 11, b_{1} = 4

とする。このとき、

{\begin{matrix} c_{n} = a_{n} - 2 b_{n} \\ d_{n} = 2 a_{n} - 5 b_{n} \end{matrix} (n = 1, 2, 3, \dots)

とおくと、

c_{n} = ア^{n}, d_{n} = イ^{n}

であり、これより

{a_{n}}, {b_{n}}

の一般項は

{\begin{matrix} a_{n} = ウ ・ ア^{n} - エ ・ イ^{n} \\ b_{n} = オ ・ ア^{n} - イ^{n} \end{matrix}

である。

2021明治大学全統過去問

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【数C】平面ベクトル：角の二等分線上の位置ベクトル（神戸大学）

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
平面上に原点Oから出る、相異なる2本の半直線OX、OY（∠XOY＜180°）上にそれぞれOと異なる2点A,Bをとる。
(1)a=OA, b=OBとする。点Cが∠XOYの二等分線上にあるとき、OCを実数t（t≧0）とa, bで表せ。
(2)∠XOYの二等分線と∠XABの二等分線の交点をPとする。OA=2, B=3, AB=4のとき、OPをa, bで表せ。

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数学「大学入試良問集」【19−14 サイクロイドと接線・面積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#武蔵工業大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
サイクロイド

x = θ - \sin θ, y = 1 - \cos θ (0 ≦ θ ≦ 2 π)

次の各問いに答えよ。

（1）

C

上の点

[\frac{π}{2} - 1, 1]

における接線

l

の方程式を求めよ。
（2）接線

l

と

y

軸および

C

で囲まれた部分の面積を求めよ。

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福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第５問〜絶対値の付いた関数と面積の最大最小

単元： #大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

5

tを

0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}

を満たす定数とする。関数

f (x) = | \sin x - \sin t | (0 ≦ x ≦ π)

について、以下の問いに答えよ。
(1)

t = \frac{π}{6}

のとき

y = f (x) (0 ≦ x ≦ π)

のグラフを描け。

(2)

y = f (x) (0 ≦ x ≦ π)

のグラフとx軸、y軸および直線

x = π

で囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。

(3)tが

≦ t ≦ \frac{π}{2}

の範囲を動くときのSの最大値と最小値を求めよ。

2021青山学院大学理工学部過去問

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数学「大学入試良問集」【19−13媒介変数表示のグラフと面積】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪府立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
媒介変数

t

を用いて

x = 1 - \cos t, y = 1 + t \sin t + \cos t (0 ≦ t ≦ π)

と表される座標平面上の曲線を

C

とする。
このとき、次の各問いに答えよ。

（1）

y

の最大値と最小値を求めよ。
（2）曲線

C, x

軸および

y

軸で囲まれる部分の面積

S

を求めよ。

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【数Ⅱ】微分法と積分法：一橋大学1989年　角度の最大

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

C ： y = x^{3}

上の点

P (a, a^{3}) （ a > 0 ）

における接線をlとし、lが再びCと交わる点をQとする。また、QにおけるCの接線をmとし、lとmがなす角を

θ (0 < θ < \frac{π}{2})

とする。
(1)

\tan θ

をaを用いて表せ。
(2)aが正の実数値をとりながら変化するとき、

θ

を最大にするaの値、および、そのときの

\tan θ

の値を求めよう。

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福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第４問〜複素数平面上の点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

複素数平面上の点zが

z + \bar{z} = 2

を満たしながら動くとき、以下の問いに答えよ。
(1)点z全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(2)

w = (2 + i) z

　で定まる点w全体が描く図形を調べよう。

(a) w

の実部をu、虚部をvとして

w = u + v i

と表すとき、u,vが満たす方程式
を求めよ。

(b)

点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(3)

w = z^{2}

で定まる点w全体が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

2021青山学院大学理工学部過去問

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【数Ⅱ】等式の証明：解と係数の関係の利用（防衛大学校）

単元： #大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#防衛大学校#数学(高校生)

指導講師：理数個別チャンネル

問題文全文(内容文)：

a \neq b, b \neq c, c \neq a

のとき、

a, b, c

が

\frac{a^{3} + 2 a}{a + 1} = \frac{b^{3} + 2 b}{b + 1} = \frac{c^{3} + 2 c}{c + 1} = k

を満たすならば、次の各等式が成り立つことを証明せよ。
(1)

a + b + c = 0

。
(2)

k = a b c

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数学「大学入試良問集」【19−12 (sinx)^nの積分と漸化式の作成】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪府立大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
自然数

n

に対して、定積分

I_{n}

を

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{n} x d x

で定める。

n ≧ 3

のとき、

I_{n}

を

I_{n - 2}

と

n

を用いて表せ。
また、

I_{2} ・ I_{4}

の値を求めよ。

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福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第３問〜領域における最大最小

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

　連立方程式

{\begin{matrix} 0 ≦ y ≦ 6 \\ y ≧ - x + 7 \\ y ≦ - 2 x + 14 \end{matrix}

の表す領域をDとする。
(1)領域Dを図示せよ。
(2)点

(x, y)

が領域Dを動くとき、

3 x + 2 y

の最大値と最小値を求めよ。
(3)点

(x, y)

が領域Dを動くとき、

x^{2} - 6 x + 2 y

の最大値と最小値を求めよ。

2021青山学院大学理工学部過去問

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数学「大学入試良問集」【19−11 面積の極限とネイピア数】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#京都産業大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
曲線

C : y = \frac{1}{x} (x > 0)

を考える。
また、

n = 1, 2, 3, ・ ・ ・

と正の実数

t

に対し、曲線

C_{n} : y = - \frac{n}{x} + t (x > 0)

を考える。
次の各問いに答えよ。

（1）

C

と

C_{n}

が1点

P (a, b)

で交わり、

P

における

C

と

C_{n}

の接線が直行するとき、

a

と

t

を

n

を用いて表せ。

（2）
（1）のとき、曲線

C_{n}

と

P

における

C

の接線、および

x

軸とで囲まれる図形の面積

S_{n}

を求めよ。

（3）

lim_{n \to \infty} S_{n}

を求めよ。

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福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第２問〜平面ベクトルとベクトル方程式

単元： #大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数C#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

2

　平面上に3点O,A,Bがあり、

| \vec{O A} | = | \sqrt{2} \vec{O A} + \vec{O B} | = | 2 \sqrt{2} \vec{O A} + \vec{O B} | = 1

を満たしている。

(1)

| \vec{O B} | = \sqrt{ア}

(2)

\cos ∠ A O B = \frac{イ ウ \sqrt{エ オ}}{カ キ}

(3)実数s,tが

s ≧ 0, t ≧ 0, s + 2 t ≦ 1

を満たしながら変化するとき、

\vec{O P} = s \vec{O A} + t \vec{O B}

で定まる点Pの存在する範囲の面積は

\frac{\sqrt{ク}}{ケ}

である。

2021青山学院大学理工学部過去問

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福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第１問〜さいころの目の最大最小の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#青山学院大学

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

1

1個のさいころを4回投げるとき、出た目の最小値をm、最大値をMとする。
(1)

m ≧ 2

となる確率は

\frac{ア イ ウ}{エ オ カ キ}

であり、

m = 1

となる確率は

\frac{ク ケ コ}{サ シ ス セ}

である。
(2)

m ≧ 2

かつ

M ≦ 5

となる確率は

\frac{ソ タ}{チ ツ}

であり、

m ≧ 2

かつ

M = 6

となる確率は

\frac{テ ト}{ナ ニ ヌ}

である。

(3)

m = 1

かつ

M = 6

となる確率は

\frac{ネ ノ ハ}{ヒ フ ヘ}

である。

2021青山学院大学理工学部過去問

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数学「大学入試良問集」【19−10 指数関数の微分と面積の最大最小】を宇宙一わかりやすく

単元： #大学入試過去問(数学)#積分とその応用#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#同志社大学

指導講師：ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル

問題文全文(内容文)：
定数

a (1 < a < 2)

に対して、曲線

y = a^{x}

上の点

(t, a^{t}) (0 ≦ t ≦ 1)

における接線を

l

とする。
次の問いに答えよ。

（1）
接線

l

の方程式を求めよ。
また、

l

と

y

軸の交点を

(0, b (t))

とし、

b (t)

の最小値を

a

で表せ。

（2）
接線

l

と

x

軸および2直線

x = 0, x = 1

で囲まれた台形の面積

S (t)

を求めよ。

（3）

S (t)

の最大値を

a

で表せ。

（4）

S (t)

の最小値を

a

で表せ。

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福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用理系第４問〜楕円と弦の中点の軌跡

単元： #数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

4

Oを原点とする座標平面において、楕円

D : \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1

　上に異なる2点

P_{1}, P_{2}

がある。

P_{1}

における接線

l_{1}

と

P_{2}

における接線

l_{2}

の交点を

Q (a, b)

とし、線分

P_{1} P_{2}

の
中点をRとする。

(1)

P_{1}

の座標を

(x_{1}, y_{1})

とするとき、

l_{1}

の方程式は

x_{1} x + チ y_{1} y + ツ = 0

と表される。

(2)直線

P_{1} P_{2}

の方程式は、a,bを用いて

a x + テ b y + ト = 0

と表される。

(3)3点O,R,Qは一直線上にあって

\vec{O R} = \frac{ナ}{a^{2} + ニ b^{2}} \vec{O Q}

が成り立つ。

(4)

l_{1}

と

l_{2}

のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、

l_{1}

と

l_{2}

の傾きは
tの方程式

(a^{2} + ヌ) t^{2} + ネ a b t + (b^{2} + ノ) = 0

　の解である。

(5)

l_{1}

と

l_{2}

が直交しながら

P_{1}, P_{2}

が動くとする。

(i) Q

の軌跡の方程式を求めよ。　　　

(ii) R

のy座標の最大値を求めよ。

(iii) R

の軌跡の概形を描け。

2021上智大学理系過去問

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福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用理系第３問〜複雑な試行の確率

単元： #数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)

指導講師：福田次郎

問題文全文(内容文)：

3

南北方向にm区画、東西方向にn区画に区切られた長方形の土地がある。
この土地のそれぞれの区画にm種類の作物を1種類ずつ植える。ただし、南北方向に
は同じ種類の作物が植えられている区画はないようにする。このとき、東西方向に
隣り合う区画に同じ種類の作物が植えられている場合には、それらの区画は連結
した1個の畑とみなすとする。例えば、南北方向に3区画、東西方向に5区画で、
A,B,C3種類の作物を次のように植えた場合、畑が11個とみなす。
(1)

m = 3

の時を考える。

n = 1

ならば、畑の数は常に3個で、1通りある。

n = 2

ならば、畑の数は3個、5個、6個で3通りある。

n = 3

ならば、畑の数は

ク

通りある。

n = 10

ならば、畑の数は

ケ

通りある。
(2)

m = 3

で

n = 3

のとき、畑の数が8個になる植え方は

コ

通りある。
(3)

m = 6

のときを考える。各列の南北方向の6区画に作物を植える植え方は6!通り
あるが、それらすべてが等確率になるように植えることにする。

n = 2

のとき、
畑が8個である確率は

\frac{サ}{シ}

であり、畑が9個である確率は

\frac{ス}{セ}

であり、
畑が10個である確率は

\frac{ソ}{タ}

である。

n = 3

のとき、
畑が10個である確率をpとすると

け

である。

け

の選択肢:

(a) p ≧ \frac{1}{100} (b) \frac{1}{200} ≦ p < \frac{1}{100} (c) \frac{1}{500} ≦ p < \frac{1}{200}

(d) \frac{1}{1000} ≦ p < \frac{1}{500} (e) \frac{1}{2000} ≦ p < \frac{1}{1000} (f) \frac{1}{5000} ≦ p < \frac{1}{2000}

(g) \frac{1}{10000} ≦ p < \frac{1}{5000} (h) p < \frac{1}{10000}

2021上智大学理系過去問

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