早稲田大学
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福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題062〜早稲田大学2019年度人間科学部第１問〜球面と平面の交わりの円周上の点
単元：
#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$ 3点A(2,1,7), B(2,5,5), C(5,3,5)を含む平面α上を動く点Pがある。
この点Pは、原点O(0,0,0)との距離OP≦7√2 を満たすように動く。このとき、平面α上
でPが動きうる領域の面積は$\boxed{\ \ ツ\ \ }\pi$ である。また、点Q(16, 10, 6)と
点Pの距離PQの最小値は$\boxed{\ \ テ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。
2019早稲田大学人間科学部過去問
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$\boxed{5}$ 3点A(2,1,7), B(2,5,5), C(5,3,5)を含む平面α上を動く点Pがある。
この点Pは、原点O(0,0,0)との距離OP≦7√2 を満たすように動く。このとき、平面α上
でPが動きうる領域の面積は$\boxed{\ \ ツ\ \ }\pi$ である。また、点Q(16, 10, 6)と
点Pの距離PQの最小値は$\boxed{\ \ テ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ ト\ \ }}$である。
2019早稲田大学人間科学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題061〜早稲田大学2019年度社会科学部第１問〜円の通過範囲と放物線と円の位置関係
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。
2019早稲田大学社会科学部過去問
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$\Large{\boxed{1}}$ $k$を実数とする。座標平面において方程式
$x^2+y^2+x+(2k+1)y+k^2+1=0$
の表す図形$C$を考える。次の問いに答えよ。
(1)$C$が円であるような$k$の値の範囲を求めよ。ただし、点も円とみなすものとする。
(2)$k$が変化するとき、$C$が通る点($x,y$)の存在領域を座標平面上に図示せよ。
(3)(2)で求めた領域の境界線と(1)で求めた円が共有点をもたないような、$k$の値の
範囲を求めよ。
2019早稲田大学社会科学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題060〜早稲田大学2019年度教育学部第３問〜区分求積と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#積分とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ (1)m,nを自然数とし、$n \geqq 2$とする。このとき、
$\log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right) \lt \displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k} \lt \log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)+\displaystyle\frac{n}{m(m+n)}$
を証明せよ。ただし、$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{m+1}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{m+n-1}$とする。
(2)2以上の自然数$n$に対して
$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n+k)(n+1-k)}$
$b_n=\displaystyle\frac{\log n}{n}$
とおく。$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ。
2019早稲田大学教育学部過去問
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$\Large{\boxed{3}}$ (1)m,nを自然数とし、$n \geqq 2$とする。このとき、
$\log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right) \lt \displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k} \lt \log\left(1+\displaystyle\frac{n}{m}\right)+\displaystyle\frac{n}{m(m+n)}$
を証明せよ。ただし、$\displaystyle\sum_{k=m}^{m+n-1}\displaystyle\frac{1}{k}=\displaystyle\frac{1}{m}+\displaystyle\frac{1}{m+1}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{m+n-1}$とする。
(2)2以上の自然数$n$に対して
$a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2n+k)(n+1-k)}$
$b_n=\displaystyle\frac{\log n}{n}$
とおく。$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}$を求めよ。
2019早稲田大学教育学部過去問
大学入試問題#416「工夫して計算」 早稲田大学2008 #式変形
単元：
#大学入試過去問(数学)#複素数平面#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$x$：実数
$x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=52$を満たすとき
$x^4+\displaystyle \frac{1}{x^4}$の値を求めよ
出典：2008年早稲田大学 入試問題
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$x$：実数
$x^3+\displaystyle \frac{1}{x^3}=52$を満たすとき
$x^4+\displaystyle \frac{1}{x^4}$の値を求めよ
出典：2008年早稲田大学 入試問題
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題049〜早稲田大学2019年度商学部第２問〜折れ線の長さの最小値問題
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#円と方程式#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面上において、放物線$y=x^2$上の点をP、円$(x-3)^2+(y-1)^2=1$上の
点をQ、直線$y=x-4$上の点をRとする。次の設問に答えよ。
(1)QR の最小値を求めよ。
(2)PR+QR の最小値を求めよ。
2019早稲田大学商学部過去問
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座標平面上において、放物線$y=x^2$上の点をP、円$(x-3)^2+(y-1)^2=1$上の
点をQ、直線$y=x-4$上の点をRとする。次の設問に答えよ。
(1)QR の最小値を求めよ。
(2)PR+QR の最小値を求めよ。
2019早稲田大学商学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題048〜早稲田大学2019年度商学部第１問(1)〜2変数の三角関数の最大最小問題
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
(1)$\alpha,\beta$を実数とする。
$2\cos\alpha\sin\beta+3\sin\alpha\sin\beta+4\cos\beta$
の最小値は$\boxed{ア}$である。
2019早稲田大学商学部過去問
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(1)$\alpha,\beta$を実数とする。
$2\cos\alpha\sin\beta+3\sin\alpha\sin\beta+4\cos\beta$
の最小値は$\boxed{ア}$である。
2019早稲田大学商学部過去問
福田の1.5倍速演習〜合格する重要問題039〜早稲田大学2019年度理工学部第２問〜正n角形の周の長さと極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
nは3以上の自然数とする。面積1の正n角形$P_n$を考え、その周の
長さを$L_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$(L_n)^2$を求めよ。
(2)$\lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ。
(3)$n \lt k$ならば$(L_n)^2 \gt (L_k)^2$となることを示せ。
2019早稲田大学理工学部過去問
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nは3以上の自然数とする。面積1の正n角形$P_n$を考え、その周の
長さを$L_n$とする。次の問いに答えよ。
(1)$(L_n)^2$を求めよ。
(2)$\lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ。
(3)$n \lt k$ならば$(L_n)^2 \gt (L_k)^2$となることを示せ。
2019早稲田大学理工学部過去問
東大医学部ベテランちが5浪TAWASHIに早稲田の数学の問題を解説
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#三角関数とグラフ#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
Morite2 English Channel
問題文全文(内容文)：
東大医学部のベテランちさんが、TAWASHIさんに早稲田大学の数学入試を解説します。
問題の解き方を理解しましょう！
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東大医学部のベテランちさんが、TAWASHIさんに早稲田大学の数学入試を解説します。
問題の解き方を理解しましょう！
大学入試問題#306 早稲田大学2013 #定積分
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{\sqrt{ 1-x^2 }}{1+x}dx$
出典：2013年早稲田大学 入試問題
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$\displaystyle \int_{0}^{1}\displaystyle \frac{\sqrt{ 1-x^2 }}{1+x}dx$
出典：2013年早稲田大学 入試問題
大学入試問題#304 早稲田大学2010 #区分求積法 #極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \frac{1}{n}\sqrt[ n ]{ (n+1)(n+2)-(n+n) }$
出典：2010年早稲田大学 入試問題
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$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\displaystyle \frac{1}{n}\sqrt[ n ]{ (n+1)(n+2)-(n+n) }$
出典：2010年早稲田大学 入試問題
福田の数学〜早稲田大学2022年社会科学部第３問〜整式の割り算の余りの問題
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#複素数と方程式#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#整式の除法・分数式・二項定理#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
整式$P(x)$を$x-1$で割ると1余り、$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余る。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$P(x)$を$x+1$で割った時の余りを求めよ。
(2)$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割った時の余りを求めよ。
(3)$P(x)$を$(x-1)(x+1)^2$で割った時の余りを求めよ。
2022早稲田大学社会科学部過去問
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整式$P(x)$を$x-1$で割ると1余り、$(x+1)^2$で割ると$3x+2$余る。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$P(x)$を$x+1$で割った時の余りを求めよ。
(2)$P(x)$を$(x-1)(x+1)$で割った時の余りを求めよ。
(3)$P(x)$を$(x-1)(x+1)^2$で割った時の余りを求めよ。
2022早稲田大学社会科学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年社会科学部第２問〜平面幾何と３次関数の増減
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$AB=AC=1,\ BC=a$の二等辺三角形$ABC$の内接円を$I$、外接円を$O$とする。
ただし、$0 \lt a \lt \sqrt2$ である。また、三角形$ABC$と円$I$の3つの接点を頂点とする
三角形を$T$、3点$A,\ B,\ C$で円$O$に外接する三角形を$U$とする。次の問いに答えよ。
(1)三角形$T$の、$BC$に平行な辺の長さ$t$を$a$で表せ。
(2)三角形$U$の、$BC$に平行な辺の長さ$u$を$a$で表せ。
(3)$\frac{t}{u}=p$とする。$p$が最大となる$a$の値と、そのときの$p$の値を求めよ。
2022早稲田大学社会科学部過去問
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$AB=AC=1,\ BC=a$の二等辺三角形$ABC$の内接円を$I$、外接円を$O$とする。
ただし、$0 \lt a \lt \sqrt2$ である。また、三角形$ABC$と円$I$の3つの接点を頂点とする
三角形を$T$、3点$A,\ B,\ C$で円$O$に外接する三角形を$U$とする。次の問いに答えよ。
(1)三角形$T$の、$BC$に平行な辺の長さ$t$を$a$で表せ。
(2)三角形$U$の、$BC$に平行な辺の長さ$u$を$a$で表せ。
(3)$\frac{t}{u}=p$とする。$p$が最大となる$a$の値と、そのときの$p$の値を求めよ。
2022早稲田大学社会科学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年社会科学部第１問〜条件付き確率と大小比較
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
ある国の国民がある病気に罹患している確率を$p$とする。
その病気の検査において、罹患者が陽性と判定される確率を$q$,
非罹患者が陽性と判定される確率を$r$とする。ただし$0 \lt p \lt 1,\ 0 \lt r \lt q$である。
さらに、検査で陽性と判定された人が罹患している確率を$s$とする。次の問いに答えよ。
(1)$s$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ。
(2)$k$回すべて陽性と判定されれば最終的に陽性と判断される場合、最終的に陽性
と判断された人が罹患している確率を$a_k$とする。$a_k$を$p,q,r,k$を用いて表せ。
(3)$k$回のうち1回でも陽性と判定されれば最終的に陽性と判断される場合、
最終的に陽性と判断された人が罹患している確率を$b_k$とする。$b_k$を$p,q,r,k$を用いて表せ。
(4)$s,\ a_2,\ b_2$の大小関係を示せ。
2022早稲田大学社会科学部過去問
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ある国の国民がある病気に罹患している確率を$p$とする。
その病気の検査において、罹患者が陽性と判定される確率を$q$,
非罹患者が陽性と判定される確率を$r$とする。ただし$0 \lt p \lt 1,\ 0 \lt r \lt q$である。
さらに、検査で陽性と判定された人が罹患している確率を$s$とする。次の問いに答えよ。
(1)$s$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ。
(2)$k$回すべて陽性と判定されれば最終的に陽性と判断される場合、最終的に陽性
と判断された人が罹患している確率を$a_k$とする。$a_k$を$p,q,r,k$を用いて表せ。
(3)$k$回のうち1回でも陽性と判定されれば最終的に陽性と判断される場合、
最終的に陽性と判断された人が罹患している確率を$b_k$とする。$b_k$を$p,q,r,k$を用いて表せ。
(4)$s,\ a_2,\ b_2$の大小関係を示せ。
2022早稲田大学社会科学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第３問〜空間図形の計量
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#図形と方程式#三角関数#円と方程式#加法定理とその応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標空間において、2つの円$C_1,\ C_2$を
$C_1=\left\{(x,y,0)\ | \ x^2+y^2=1\right\},\ C_2=\left\{(0,y,z)\ | \ (y-1)^2+z^2=1\right\}$
とする。次の設問に答えよ。
(1)$C_1$上の2点と$C_2$上の点(0,1,1)を頂点とする正三角形を考える。
このような正三角形の一辺の長さをすべて求めよ。
(2)すべての頂点がC_1∪C_2上にある正四面体を考える。
このような正四面体の一辺の長さをすべて求めよ。
2022早稲田大学商学部過去問
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座標空間において、2つの円$C_1,\ C_2$を
$C_1=\left\{(x,y,0)\ | \ x^2+y^2=1\right\},\ C_2=\left\{(0,y,z)\ | \ (y-1)^2+z^2=1\right\}$
とする。次の設問に答えよ。
(1)$C_1$上の2点と$C_2$上の点(0,1,1)を頂点とする正三角形を考える。
このような正三角形の一辺の長さをすべて求めよ。
(2)すべての頂点がC_1∪C_2上にある正四面体を考える。
このような正四面体の一辺の長さをすべて求めよ。
2022早稲田大学商学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第２問〜ベクトルに序列を定義して数える
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#空間ベクトル#場合の数#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
空間ベクトルに対し、次の関係を定める。
$\overrightarrow{ a }=(a_1,a_2,a_3)$と$\overrightarrow{ b }=(b_1,b_2,b_3)$が、
次の$(\textrm{i}),(\textrm{ii}),(\textrm{iii})$のいずれかを
満たしているとき$\overrightarrow{ a }$は$\overrightarrow{ b }$より前であるといい、
$\overrightarrow{ a }≺ \overrightarrow{ b }$と表す。
$(\textrm{i})a_1 \lt b_1\ \ \ (\textrm{ii})a_1=b_1$かつ
$a_2 \lt b_2\ \ \ (\textrm{iii})a_1=b_1$かつ$a_2=b_2$かつ$a_3 \lt b_3$
空間ベクトルの集合$P=\left{{(x,y,z) | x,y,zは0以上7以下の整数\right}$の要素を
前から順に$\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }$とする。
ここで、mはPに含まれる要素の総数を表す。
つまり、$P=\left\{\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }\right\}$であり、
$\overrightarrow{ p_n }≺ \overrightarrow{ p_{n+1} }(n=1,2,\ldots,m-1)$
を満たしている。次の各設問に答えよ。
(1)$\overrightarrow{ p_{67} }$を求めよ。
(2)集合$\left\{n\ \ \ | \ \overrightarrow{ p_n }∟(1,0,-2)\right\}$の要素のうちで最大のものを求めよ。
2022早稲田大学商学部過去問
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空間ベクトルに対し、次の関係を定める。
$\overrightarrow{ a }=(a_1,a_2,a_3)$と$\overrightarrow{ b }=(b_1,b_2,b_3)$が、
次の$(\textrm{i}),(\textrm{ii}),(\textrm{iii})$のいずれかを
満たしているとき$\overrightarrow{ a }$は$\overrightarrow{ b }$より前であるといい、
$\overrightarrow{ a }≺ \overrightarrow{ b }$と表す。
$(\textrm{i})a_1 \lt b_1\ \ \ (\textrm{ii})a_1=b_1$かつ
$a_2 \lt b_2\ \ \ (\textrm{iii})a_1=b_1$かつ$a_2=b_2$かつ$a_3 \lt b_3$
空間ベクトルの集合$P=\left{{(x,y,z) | x,y,zは0以上7以下の整数\right}$の要素を
前から順に$\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }$とする。
ここで、mはPに含まれる要素の総数を表す。
つまり、$P=\left\{\overrightarrow{ p_1 },\overrightarrow{ p_2 },\ldots,\overrightarrow{ p_m }\right\}$であり、
$\overrightarrow{ p_n }≺ \overrightarrow{ p_{n+1} }(n=1,2,\ldots,m-1)$
を満たしている。次の各設問に答えよ。
(1)$\overrightarrow{ p_{67} }$を求めよ。
(2)集合$\left\{n\ \ \ | \ \overrightarrow{ p_n }∟(1,0,-2)\right\}$の要素のうちで最大のものを求めよ。
2022早稲田大学商学部過去問
大学入試問題#285 早稲田大学(2013) #解と係数の関係
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$k$：実数
直線$l:y-2=k(x-1)$
放物線$C:y=x^2$
で囲まれる図形の面積の最小値とそのときの$k$の値を求めよ。
出典：2013年早稲田大学 入試問題
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$k$：実数
直線$l:y-2=k(x-1)$
放物線$C:y=x^2$
で囲まれる図形の面積の最小値とそのときの$k$の値を求めよ。
出典：2013年早稲田大学 入試問題
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(4)〜３次関数のグラフの回転と面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(4)3次関数f(x)は、x=1で極大値5をとり、x=2で極小値4をとる。
関数$f(x)(x \geqq 0)$のグラフを、原点を中心に時計回りに
θ回転して得られる図形を$C(θ)$とする。
ただし、$0 \lt θ \lt \pi$とする。$C(θ)$と$x$軸の共有点が相異なる3点であるとき、
それらを$x$座標の小さい順に$P_θ,Q_θ,R_θ$とする。線分$Q_θR_θ$と$C(θ)$で
囲まれた部分の面積が$\frac{81}{32}$であるとき、$Q_θ$の$x$座標は$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(4)3次関数f(x)は、x=1で極大値5をとり、x=2で極小値4をとる。
関数$f(x)(x \geqq 0)$のグラフを、原点を中心に時計回りに
θ回転して得られる図形を$C(θ)$とする。
ただし、$0 \lt θ \lt \pi$とする。$C(θ)$と$x$軸の共有点が相異なる3点であるとき、
それらを$x$座標の小さい順に$P_θ,Q_θ,R_θ$とする。線分$Q_θR_θ$と$C(θ)$で
囲まれた部分の面積が$\frac{81}{32}$であるとき、$Q_θ$の$x$座標は$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(3)〜漸化式で与えられた数列の項の値
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(3)$a$を実数とする。
数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている。
$(\textrm{i})a_1=a$
$(\textrm{ii})a_{n+1}=a_n^2-2a_n-3(n=1,2,3,\ldots)$
このとき、すべての正の整数$n$に対して、$a_n \leqq 10$となるような
$a$の最小値は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(3)$a$を実数とする。
数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている。
$(\textrm{i})a_1=a$
$(\textrm{ii})a_{n+1}=a_n^2-2a_n-3(n=1,2,3,\ldots)$
このとき、すべての正の整数$n$に対して、$a_n \leqq 10$となるような
$a$の最小値は$\boxed{\ \ ウ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
大学入試問題#283 早稲田大学(2013) #整数問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$5 \leqq p$：素数
$p^3$を$p-4$で割った余りが4のとき$p$の値を求めよ。
出典：2013年早稲田大学 入試問題
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$5 \leqq p$：素数
$p^3$を$p-4$で割った余りが4のとき$p$の値を求めよ。
出典：2013年早稲田大学 入試問題
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(2)〜対称式と最大値
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#数と式#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(2)実数$x,y$が$x^2+y^2\leqq 3$を満たしているとき、
$x-y-xy$の最大値は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(2)実数$x,y$が$x^2+y^2\leqq 3$を満たしているとき、
$x-y-xy$の最大値は$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年商学部第１問(1)〜漸化式の解法
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#数列#漸化式#数学的帰納法#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(1)数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている。
$(\textrm{i})a_1=a_2=4$
$(\textrm{ii})a_{n+2}=a_n^{\log_2a_{n+1}} (n=1,2,3,\ldots)$
このとき、$\log_2(\log_2a_{10})=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(1)数列$\left\{a_n\right\}$が次の条件を満たしている。
$(\textrm{i})a_1=a_2=4$
$(\textrm{ii})a_{n+2}=a_n^{\log_2a_{n+1}} (n=1,2,3,\ldots)$
このとき、$\log_2(\log_2a_{10})=\boxed{\ \ ア\ \ }$である。
2022早稲田大学商学部過去問
大学入試問題#255 早稲田大学(2011) #整数問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$a,b$：整数
$2a+3b=42$をみたすとき$ab$の最大値を求めよ。
出典：2011年早稲田大学 入試問題
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$a,b$：整数
$2a+3b=42$をみたすとき$ab$の最大値を求めよ。
出典：2011年早稲田大学 入試問題
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第４問〜３次関数の増減と３次方程式の解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#指数関数と対数関数#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{4}}$自然数$a,b$に対し、3次関数$f_{a,b}(x),g_{a,b}(x)$を
$f_{a,b}(x)=x^3+3ax^2+3bx+8$
$g_{a,b}(x)=8x^3+3bx^2+3ax+1$
で定める。次の問いに答えよ。
(1)次の条件$(\textrm{I})(\textrm{II})$の両方を満たす自然数の組(a,b)
で$a+b \leqq 9$となるものを全て求めよ。
$(\textrm{I})f_{a,b}(x)$が極値をもつ
$(\textrm{II})g_{a,b}(x)$が極値をもつ
(2)3次方程式$f_{a,b}(x)=0$の3つの解が$\alpha,\beta,\gamma$であるとき
3次方程式$g_{a,b}(x)=0$の解を$\alpha,\beta,\gamma$で表せ。
(3)次の条件$(\textrm{III})$を満たす自然数の組$(a,b)$で$a+b \leqq 9$となるものを全て求めよ。
$(\textrm{III})$3次方程式$f_{a,b}(x)=0$が相異なる3つの実数解をもつ。
2022早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{4}}$自然数$a,b$に対し、3次関数$f_{a,b}(x),g_{a,b}(x)$を
$f_{a,b}(x)=x^3+3ax^2+3bx+8$
$g_{a,b}(x)=8x^3+3bx^2+3ax+1$
で定める。次の問いに答えよ。
(1)次の条件$(\textrm{I})(\textrm{II})$の両方を満たす自然数の組(a,b)
で$a+b \leqq 9$となるものを全て求めよ。
$(\textrm{I})f_{a,b}(x)$が極値をもつ
$(\textrm{II})g_{a,b}(x)$が極値をもつ
(2)3次方程式$f_{a,b}(x)=0$の3つの解が$\alpha,\beta,\gamma$であるとき
3次方程式$g_{a,b}(x)=0$の解を$\alpha,\beta,\gamma$で表せ。
(3)次の条件$(\textrm{III})$を満たす自然数の組$(a,b)$で$a+b \leqq 9$となるものを全て求めよ。
$(\textrm{III})$3次方程式$f_{a,b}(x)=0$が相異なる3つの実数解をもつ。
2022早稲田大学教育学部過去問
絶対に取りたい整数問題！分からない時はとにかく実験あるのみ【早稲田大学】【数学 入試問題】
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#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
数学・算数の楽しさを思い出した / Ken
問題文全文(内容文)：
$n^2+1,2n^2+3,6n^2+5$がすべて素数となる自然数$n$は$n=1,2$のみであることを示せ。
早稲田大過去問
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$n^2+1,2n^2+3,6n^2+5$がすべて素数となる自然数$n$は$n=1,2$のみであることを示せ。
早稲田大過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第３問〜円の外接円の半径と円周上の点と原点の距離の最大最小
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#図形と方程式#点と直線#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{3}}\ O(0,0),\ A(0,1),\ B(p,q)$を座標平面上の点とし、pは0でないとする。
AとBを通る直線をlとおく。Oを中心としlに接する円の面積を$D_1$で表す。
また、3点O,A,Bを通る円周で囲まれる円の面積を$D_2$とおく。次の問いに答えよ。
(1)$D_1$を$p,q$を使って表せ。
(2)点$(2,2\sqrt3)$を中心とする半径1の円周をCとする。点BがC上を動くときの
$D_1$と$D_2$の積$D_1D_2$の最小値と最大値を求めよ。
2022早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{3}}\ O(0,0),\ A(0,1),\ B(p,q)$を座標平面上の点とし、pは0でないとする。
AとBを通る直線をlとおく。Oを中心としlに接する円の面積を$D_1$で表す。
また、3点O,A,Bを通る円周で囲まれる円の面積を$D_2$とおく。次の問いに答えよ。
(1)$D_1$を$p,q$を使って表せ。
(2)点$(2,2\sqrt3)$を中心とする半径1の円周をCとする。点BがC上を動くときの
$D_1$と$D_2$の積$D_1D_2$の最小値と最大値を求めよ。
2022早稲田大学教育学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第２問〜サイコロの目の積の約数の個数と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#整数の性質#確率#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{2}}$サイコロをn回投げて出た目の積をSとする。Sの正の約数の個数がk個となる
確率を$P_k$とする。次の問いに答えよ。
(1)$P_3$を$n$の式で表せ。
(1)$P_4$を$n$の式で表せ。
2022早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{2}}$サイコロをn回投げて出た目の積をSとする。Sの正の約数の個数がk個となる
確率を$P_k$とする。次の問いに答えよ。
(1)$P_3$を$n$の式で表せ。
(1)$P_4$を$n$の式で表せ。
2022早稲田大学教育学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第１問(4)〜無限級数の和と部分分数分解
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#関数と極限#数列の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(4)次の無限級数の和は自然数となる。その自然数を求めよ。
$\sum_{n=6}^{\infty}\frac{1800}{(n-5)(n-4)(n-1)n}$
2022早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(4)次の無限級数の和は自然数となる。その自然数を求めよ。
$\sum_{n=6}^{\infty}\frac{1800}{(n-5)(n-4)(n-1)n}$
2022早稲田大学教育学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第１問(3)〜四面体と四面体の共通部分の切り口の面積
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と計量#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(3)座標空間内の4点$(2,0,0),\ (-1,\sqrt3,0),\ (-1,-\sqrt3,0),\ (0,0,2)$を頂点と
する四面体をP、4点$(-2,0,1),\ (1,-\sqrt3,1),\ (1,\sqrt3,1),\ (0,0,-1)$を頂点
とする四面体をQとする。RをPとQの共通部分とする。Rを平面$z=\frac{1}{3}$で
切ったときの切り口の面積を求めよ。
2022早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(3)座標空間内の4点$(2,0,0),\ (-1,\sqrt3,0),\ (-1,-\sqrt3,0),\ (0,0,2)$を頂点と
する四面体をP、4点$(-2,0,1),\ (1,-\sqrt3,1),\ (1,\sqrt3,1),\ (0,0,-1)$を頂点
とする四面体をQとする。RをPとQの共通部分とする。Rを平面$z=\frac{1}{3}$で
切ったときの切り口の面積を求めよ。
2022早稲田大学教育学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第１問(2)〜定積分で表された関数
単元：
#大学入試過去問(数学)#積分とその応用#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}\ (2)t \geqq 0$に対して
$f(t)=2\pi\int_0^{2t}|x-t|\cos(2\pi x)dx-t\sin(4\pi t)$
と定義する。このとき、
$f(t)=0$
を満たすtのうち、閉区間[0,1]に属する相異なるものはいくつあるか
早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{1}}\ (2)t \geqq 0$に対して
$f(t)=2\pi\int_0^{2t}|x-t|\cos(2\pi x)dx-t\sin(4\pi t)$
と定義する。このとき、
$f(t)=0$
を満たすtのうち、閉区間[0,1]に属する相異なるものはいくつあるか
早稲田大学教育学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2022年教育学部第１問(1)〜空間ベクトルと球面の方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#空間ベクトル#図形と方程式#円と方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\large\boxed{1}}$(1)座標空間内に3点A$(2,0,0),\ B(0,4,0),\ C(0,0,8)$をとる。
2つのベクトル$\overrightarrow{ AP }$と$\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }$の内積が0となるような点$P(x,y,z)$
のうち、$|\overrightarrow{ AP }$|が最大となる点Pの座標を求めよ。
2022早稲田大学教育学部過去問
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${\large\boxed{1}}$(1)座標空間内に3点A$(2,0,0),\ B(0,4,0),\ C(0,0,8)$をとる。
2つのベクトル$\overrightarrow{ AP }$と$\overrightarrow{ BP }+\overrightarrow{ CP }$の内積が0となるような点$P(x,y,z)$
のうち、$|\overrightarrow{ AP }$|が最大となる点Pの座標を求めよ。
2022早稲田大学教育学部過去問