数A
数A
福田のおもしろ数学521〜不定方程式の整数解を求める2つの方法
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x^2+2xy+y=49$
を満たす正の整数の組
$(x,y)$をすべて求めよ。
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$x^2+2xy+y=49$
を満たす正の整数の組
$(x,y)$をすべて求めよ。
福田の数学〜立教大学2025理学部第1問(4)〜確率の基本的な性質
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(4)箱の中に緑色のカードが$5$枚、
黄色のカードが$4$枚、赤色のカードが$3$枚
入っている。
箱から無作為にカードを$3$枚取り出すとき、
$3$枚とも同じ色である確率は$\boxed{オ}$、
$3$枚の色がすべて異なる確率は$\boxed{カ}$、
$2$枚が同じ色であり、かつ、
残りの$1$枚が他の$2$枚と異なる色である確率は
$\boxed{キ}$である。
$2025$年立教大学理学部過去問題
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$\boxed{1}$
(4)箱の中に緑色のカードが$5$枚、
黄色のカードが$4$枚、赤色のカードが$3$枚
入っている。
箱から無作為にカードを$3$枚取り出すとき、
$3$枚とも同じ色である確率は$\boxed{オ}$、
$3$枚の色がすべて異なる確率は$\boxed{カ}$、
$2$枚が同じ色であり、かつ、
残りの$1$枚が他の$2$枚と異なる色である確率は
$\boxed{キ}$である。
$2025$年立教大学理学部過去問題
福田のおもしろ数学512〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$m^n-n^m=3$を満たす正の整数の組
$(m,n)$をすべて求めて下さい。
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$m^n-n^m=3$を満たす正の整数の組
$(m,n)$をすべて求めて下さい。
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(2)〜順列と確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)赤玉$3$個と白玉$4$個を無作為に$1$列に
並べるとき、
白玉が両端にある確率は$\boxed{イ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)赤玉$3$個と白玉$4$個を無作為に$1$列に
並べるとき、
白玉が両端にある確率は$\boxed{イ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学507〜三角形の面がm個ありどの頂点にも4本の辺が集まる多面体
単元：
#数A#図形の性質#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
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ある凸多面体において、
三角形の面が$m$枚あり、
(他の形の面も含まれている可能性がある)
すべての頂点にはちょうど$4$枚の辺が集まって
いるとする。
このとき、$m$の最小値を求めて下さい。
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第3問〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#場合の数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$2$枚の硬貨を同時に投げることを試行という。
各回の試行において、座標平面上の点$P$は
次の$(A),(B),(C)$に従って座標平面を移動する。
$(A)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、表が$2$枚出れば
$(x+1,y+\sqrt3)$に移動する。
$(B)$ 点$P$が$(x,y)$にあるとき、裏が$2$枚出れば
$(x+1,y-\sqrt3)$に移動する。
$(C)$点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
表と裏が$1$枚ずつ出れば
$(x-2,y)$に移動する。
例えば、点$P$が$(1,\sqrt3)$にあるとき、
裏が$2$枚出れば、点$P$は$(2,0)$に移動する。
(1)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$3$回目の試行後原点にある確率は
$\dfrac{\boxed{ア}}{\boxed{イウ}}$である。
(2)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$3$回目の試行前に$y$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{エ}}{\boxed{オ}}$
(3)$1$回目の試行前に原点がある点$P$が、
$5$回目の試行前に$x$軸上にある確率は
$\dfrac{\boxed{カキ}}{\boxed{クケコ}}$である。
(4)$1$回目の試行前に原点にある点$P$が、
$5$回目の試行後に$x$軸上にあるとき。
$8$回目の試行後に円$x^2+y^2=4$上にある
条件付き確率は$\dfrac{\boxed{サシ}}{\boxed{スセソ}}$である。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
【図形問題？いや、文字式だ…！】文字式：名古屋国際高等学校～全国入試問題解法
単元：
#算数(中学受験)#整数の性質#平面図形#文字と式
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
3つの図形がある。図形量を用いて、与えられた式の値を求める。
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3つの図形がある。図形量を用いて、与えられた式の値を求める。
integer problem : Shirotan's cute kawaii math show
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
高校入試から見た数学の世界「全部入試問題」by しろたん
問題文全文(内容文)：
整数ｘに６を加えると整数ｍの平方数
ｘから１７を引くと整数ｎの平方 ｍ、ｎ、ｘはいくつ？
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整数ｘに６を加えると整数ｍの平方数
ｘから１７を引くと整数ｎの平方 ｍ、ｎ、ｘはいくつ？
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第1問(1)〜三角形の面積と線分の長さ
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(1)$\sin \alpha=\dfrac{3}{5},\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$とする。
座標平面上の$4$点$O,A,B,C$を、
$O(0,0),A(5,0),B(5\cos\alpha,5\sin\alpha),$
$C(5\cos3\alpha,5\sin3\alpha)$とする。
(a)$\triangle OAB$の面積は$\dfrac{\boxed{アイ}}{\boxed{ウ}}$、
辺$AB$の長さは$\sqrt{\boxed{エオ}}$である。
(b)$\triangle OBC$の面積は$\boxed{カキ}$、辺$AB$の長さは$\boxed{ク}$である。
(c)線分$AC$の長さは$\dfrac{\boxed{ケコ}}{\boxed{サ}}\sqrt{\boxed{シス}}$
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025理系第4問〜コインを裏返す操作の確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
コイン$①,\cdots,⑥$が下図のようにマス目の中に
置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び、
選んだコインはそのままにし、
そのコインのあるマス目と
辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す
操作を考える。
例えば、①を選べば、②,④を裏返し、
②を選べば、①,③,⑤を繰り返す。
最初はすべてのコインが
表向きに置かれていたとする。
正の整数$n$に対し、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きである確率$p_n$とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)$p_2$を求めよ。
(2)コイン$①,\cdots,⑥$をグループ$A,B$に
分けることによって、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きであるための必要十分条件を
次の形に表すことができる。
図は動画内参照
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
コイン$①,\cdots,⑥$が下図のようにマス目の中に
置かれている。
これらのコインから無作為にひとつを選び、
選んだコインはそのままにし、
そのコインのあるマス目と
辺を共有して隣接するマス目のコインを裏返す
操作を考える。
例えば、①を選べば、②,④を裏返し、
②を選べば、①,③,⑤を繰り返す。
最初はすべてのコインが
表向きに置かれていたとする。
正の整数$n$に対し、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きである確率$p_n$とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)$p_2$を求めよ。
(2)コイン$①,\cdots,⑥$をグループ$A,B$に
分けることによって、
$n$回目の操作終了時点ですべてのコインが
裏向きであるための必要十分条件を
次の形に表すことができる。
図は動画内参照
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025理系第2問〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
整数$a,b,c$に対し次の条件を考える。
(＊)$ a\geqq b \geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$
以下の問いに答えよ。
(1)$c=24,25,26$それぞれの場合に
条件(＊)をみたす
整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
(2)$p$は$3$以上の素数、$n$は正の整数、
$c=4p^{2n}$とする。
このとき、条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$を
すべて求めよ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
整数$a,b,c$に対し次の条件を考える。
(＊)$ a\geqq b \geqq 0$かつ$a^2-b^2=c$
以下の問いに答えよ。
(1)$c=24,25,26$それぞれの場合に
条件(＊)をみたす
整数の組$(a,b)$をすべて求めよ。
(2)$p$は$3$以上の素数、$n$は正の整数、
$c=4p^{2n}$とする。
このとき、条件(＊)をみたす整数の組$(a,b)$を
すべて求めよ。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田のおもしろ数学497〜gcdとlcmを使った方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
正の整数$a,b$が次の式を満たしている。
$ab=gcd(a,b)+Icm(a,b)$
このような$(a,b)$の組をすべて求めて下さい。
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数、
$Icm(a,b)$は$a,b$の最小公倍数とする。
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正の整数$a,b$が次の式を満たしている。
$ab=gcd(a,b)+Icm(a,b)$
このような$(a,b)$の組をすべて求めて下さい。
$gcd(a,b)$は$a,b$の最大公約数、
$Icm(a,b)$は$a,b$の最小公倍数とする。
福田の数学〜東京科学大学(旧・東京工業大学)2025理系第3問〜確率漸化式と無限級数の和
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京工業大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
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$\boxed{3}$
$0\lt p\lt 1$とする。
表が出る確率が$p$、裏が出る確率が$1-p$である
$1$枚のコインを使って次のゲームを行う。
・ゲームの開始時点で点数は$0$点
・コインを投げ続け、表が出るごとに$1$点加算し、
裏が出たときは点数はそのまま
・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了。
$0$以上の整数$n$に対し、ゲームが終わったときに
$n$点となっている確率を$Q_n$とする。
(1)$Q_1,Q_2$を$p$を用いて表せ。
(2)$Q_2$を$n$と$p$を用いて表せ。
(3)$0\lt x\lt 1$を満たす実数$x$に対して次式が
成り立つことを示せ。
$\dfrac{1}{(1-x)^2}=\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}(n+1)x^n$
必要ならば$0\lt x \lt 1$のとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty} nx^n=0$であることを
証明なしで使ってもよい。
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} nQn$を$p$を用いて表せ。
$2025$年東京科学大学(旧・東京工業大学)
理系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第5問〜確率漸化式と条件付き確率
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
$5$点$A,B,C,D$が
下図のように線分で結ばれている。
点$P_1,P_2,P_3,\cdots $を次のように定めていく。
$P_1$を$A$とする。
正の整数$n$に対して、$P_n$を端点とする線分を
ひとつ無作為にえらび、その線分の$P_n$とは
異なる端点$P_{n+1}$とする。
(1)$P_n$が$A$または$B$である確率$p_n$を求めよ。
(2)$P_n$が$A$または$B$であるとき、
$k=1,2,\cdots ,n$のいずれに対しても$P_k=E$とは
ならない条件付き確率$q_n$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{5}$
$5$点$A,B,C,D$が
下図のように線分で結ばれている。
点$P_1,P_2,P_3,\cdots $を次のように定めていく。
$P_1$を$A$とする。
正の整数$n$に対して、$P_n$を端点とする線分を
ひとつ無作為にえらび、その線分の$P_n$とは
異なる端点$P_{n+1}$とする。
(1)$P_n$が$A$または$B$である確率$p_n$を求めよ。
(2)$P_n$が$A$または$B$であるとき、
$k=1,2,\cdots ,n$のいずれに対しても$P_k=E$とは
ならない条件付き確率$q_n$を求めよ。
図は動画内参照
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田のおもしろ数学492〜不定方程式の整数解
単元：
#数A#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$(x+y)^x-x^y$
を満たす正の整数$x,y$をすべて求めて下さい。
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$(x+y)^x-x^y$
を満たす正の整数$x,y$をすべて求めて下さい。
【保存版】素因数分解のやり方
福田の数学〜一橋大学2025文系第1問〜正の約数の個数と関数の最大値
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
正の整数$n$に対し、$n$の正の約数の個数を
$d(n)$とする。
たとえば、$6$の正の約数は$1,2,3,6$の$4$個なので、
$d(6)=4$である。また、
$f(n)=\dfrac{d(n)}{\sqrt n}$
とする。
(1)$f(2025)$を求めよ。
(2)素数$p$と正の整数$k$の組で
$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ。
(3)$f(n)$の最大値と、そのときの$n$を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第4問〜放物線と接線の囲む面積と内積の最小値
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{4}$
$k$を実数の定数とし、
座標平面上に$2$点$A(1,-3),B(-1,k)$をとる。
また、放物線$y=x^2$を$C$とする。
以下に答えなさい。
(1)点$A$から曲線$C$に引いた$2$本の接線のうち、
傾きが正の接線を$\ell_1$とし、
傾きが負の接線を$\ell_2$とするとき、
直線$\ell_1$の方程式は$y=\boxed{テ}$であり、
直線$\ell_2$の方程式は$y=\boxed{ト}$である。
また、$2$直線$\ell_1,\ell_2$のなす角を$\theta$とすると、
$\tan\theta=\boxed{ナ}$である。
ただし、$0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$とする。
さらに、曲線$C$と$2$直線$\ell_1,\ell_2$で囲まれた
図形の面積は$\boxed{ニ}$である。
(2)点$P$が曲線$C$全体を動くときの
$\overrightarrow{PA}･\overrightarrow{PB}$の最小値を$m$とする。
このとき、$m$を$k$を用いて表すと、
$k\geqq \boxed{ヌ}$のときは$m=\boxed{ネ}$であり、
$k\lt \boxed{ヌ}$のときは、$m=\boxed{ノ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学485〜三角形の内部の点から下ろした垂線の長さと最小値
単元：
#数A#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\triangle ABC$の内部の点$P$から辺$BC,CA,AB$へ
下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。
$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$
を最小とする$P$を決定せよ。
図は動画内参照
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$\triangle ABC$の内部の点$P$から辺$BC,CA,AB$へ
下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とする。
$\dfrac{BC}{PD}+\dfrac{CA}{PE}+\dfrac{AB}{PF}$
を最小とする$P$を決定せよ。
図は動画内参照
福田のおもしろ数学483〜直角に曲がった廊下を曲がれる棒の長さの最大値
単元：
#数Ⅰ#数A#図形の性質#図形と計量#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
棒を水平に持って、幅$a$の廊下から、
それに直角な幅$b$の廊下に曲がりたい。
これが可能であるための
棒の長さの最大値を求めて下さい。
図は動画内参照
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棒を水平に持って、幅$a$の廊下から、
それに直角な幅$b$の廊下に曲がりたい。
これが可能であるための
棒の長さの最大値を求めて下さい。
図は動画内参照
【数B】【数列】自然数の式の証明2 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$n$は整数とする。
(1)連続する2個の整数には、必ず$2$の倍数が含まれることを利用して、 $n^2+3n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2)連続する3個の整数には、必ず$3$の倍数が含まれることを利用して、 $4n^3+3n^2+2n$が$3$の倍数であることを証明せよ。
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$n$は整数とする。
(1)連続する2個の整数には、必ず$2$の倍数が含まれることを利用して、 $n^2+3n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2)連続する3個の整数には、必ず$3$の倍数が含まれることを利用して、 $4n^3+3n^2+2n$が$3$の倍数であることを証明せよ。
【数B】【数列】自然数の式の証明1 ※問題文は概要欄
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
(1) 整数$n$を$2$で割った余りで分類することで、$3n^2-n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2) 整数$n$を$3$で割った余りで分類することで、 $n^3-n+9$が$3$の倍数であることを証明せよ。
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(1) 整数$n$を$2$で割った余りで分類することで、$3n^2-n$が$2$の倍数であることを証明せよ。
(2) 整数$n$を$3$で割った余りで分類することで、 $n^3-n+9$が$3$の倍数であることを証明せよ。
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第1問(3)〜反復試行の確率と条件付き確率
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(3)さいころを$6$回続けて投げる。
$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は
$\boxed{ウ}$である。
また、$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき、
その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{1}$
(3)さいころを$6$回続けて投げる。
$3$の倍数の目が出る回数が$2$になる確率は
$\boxed{ウ}$である。
また、$3$の倍数の目が出た回数が$2$であったとき、
その$2$回が続けて起こる条件付き確率は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
福田のおもしろ数学479〜ちょうど9回でゲームが終了する確率
単元：
#数A#場合の数と確率#確率#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
コインを投げて表が出れば$1$点獲得し、裏が出たら
$2$点を失う。
コインを繰り返し投げて、持ち点が$1$点以下になれば
終了するゲームをする。
最初$10$点をもち、ゲームを始めて$9$回目にゲームが
終了する確率を求めて下さい。
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コインを投げて表が出れば$1$点獲得し、裏が出たら
$2$点を失う。
コインを繰り返し投げて、持ち点が$1$点以下になれば
終了するゲームをする。
最初$10$点をもち、ゲームを始めて$9$回目にゲームが
終了する確率を求めて下さい。
福田の数学〜早稲田大学理工学部2025第4問〜4つの互いに外接する球面の中心が作る四面体の体積
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#図形の性質#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#学校別大学入試過去問解説(数学)#体積・表面積・回転体・水量・変化のグラフ#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
空間内に原点$O$を中心とする半径$r$の球面$S$がある。
さらに、半径が$1,2,3$の球面$S_1,S_2,S_3$があり、
これら$4$つの球面のうち
どの$2$つの球面も互いに外接している。
$S_1,S_2,S_3$中心を順に$P_1,P_2,P_3$とし、
$O,P_1,P_2,P_3$は同一平面上にないとする。
さらに、球面$S$が球面$S_1,S_2,S_3$と
接する$3$つの点と、
$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3})$
により定まる点$Q$は、同一平面上にあるとする。
次の問いに答えよ。
(1)$r$の値を求めよ。
(2)四面体$OP_1P_2P_3$の体積を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
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$\boxed{4}$
空間内に原点$O$を中心とする半径$r$の球面$S$がある。
さらに、半径が$1,2,3$の球面$S_1,S_2,S_3$があり、
これら$4$つの球面のうち
どの$2$つの球面も互いに外接している。
$S_1,S_2,S_3$中心を順に$P_1,P_2,P_3$とし、
$O,P_1,P_2,P_3$は同一平面上にないとする。
さらに、球面$S$が球面$S_1,S_2,S_3$と
接する$3$つの点と、
$\overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OP_1}+\overrightarrow{OP_2}+\overrightarrow{OP_3})$
により定まる点$Q$は、同一平面上にあるとする。
次の問いに答えよ。
(1)$r$の値を求めよ。
(2)四面体$OP_1P_2P_3$の体積を求めよ。
$2025$年早稲田大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第3問〜確率漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。
(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。
(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、
$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$
という関係式が成立する。
また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。
ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。
(3)関係式
$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$
を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。
(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{3}$
点$P, Q$を数直線の原点におき、
$1$個のさいころを投げて
出た目に応じて$P, Q$を動かす。
偶数の目が出たときは$P$を正の向きに$1$だけ動かし、
$5$または$6$の目が出たときは
$Q$を正の向きに$1$だけ動かす。
たとえば、$6$の目が出たときは$P, Q$をともに
正の向きに$1$だけ動かす。
$P$と$Q$の距離が初めて$2$となるまで
さいころを投げ続けることとし、
$P$と$Q$の距離が$2$となったら、
それ以降はさいころを投げない。
$n$回さいころを投げて$P$と$Q$の距離が
$2$となる確率を$p_n$とする。
(1)$P_2 = \boxed{シ}$である。
(2)$n$回さいころを投げて、
$P$が$Q$よりも正の向きに
$1$だけ進んでいる確率を$x_n$、
$P$と$Q$が同じ位置にある確率を$y_n$、
$Q$が$P$よりも正の向きに$1$だけ進んでいる確率を
$z_n$とすると、
$y_{n+1}=\boxed{ス}x_n+\boxed{セ}y_n+\boxed{ソ}z_n$
という関係式が成立する。
また、$x_n=\boxed{タ}z_n$が成り立つ。
ただし、$\boxed{ス}$～$\boxed{タ}$には数を記入すること。
(3)関係式
$z_{n+1}+\alpha y_{n+1}=\beta(z_n+\alpha y_n)$
を満たす定数の組$(\alpha,\beta)$は$\boxed{チ}$と$\boxed{ツ}$の$2$組ある。
(4)$p_n$を$n$を用いて表すと$p_n=\boxed{テ}$となる。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田のおもしろ数学471〜整数が整数で割りきれる条件
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$n$は正の整数とする。
$2025n+510$は$20n+2$で割り切れる。
このような$n$をすべて求めよ。
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$n$は正の整数とする。
$2025n+510$は$20n+2$で割り切れる。
このような$n$をすべて求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学理工学部2025第1問(2)〜6または8または9で割り切れる数の個数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(2)$n$を自然数とする。
$1$から$n$までの自然数の中で$6$または$8$または
$9$で割り切れるものの個数を$a_n$で表す。
このとき、$a_{30}=\boxed{ウ}$となる。
また、$a_n=1000$を満たす最大の$n$は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
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$\boxed{1}$
(2)$n$を自然数とする。
$1$から$n$までの自然数の中で$6$または$8$または
$9$で割り切れるものの個数を$a_n$で表す。
このとき、$a_{30}=\boxed{ウ}$となる。
また、$a_n=1000$を満たす最大の$n$は$\boxed{エ}$である。
$2025$年慶應義塾大学理工学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学薬学部2025第4問〜確率と期待値と無限級数
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
当たりくじが$3$本入っている$9$本のくじがある。
このくじを無作為に$1$本引き、
当たりくじかどうかを確認してから元に戻す試行を、
当たりくじが出るまで繰り返す。
当たりくじが出たときのみ得点を得ることができ、
$n$回目にの試行で当たりくじが出た場合、
得られる得点は$50n$点とする。
$n$回目に得られる得点の期待値を$E_n$とする。
ただし、$n$は自然数とする。
(1)$5$回目までに当たりくじが出る確率は$\boxed{ノ}$である。
(2)$\dfrac{E_n}{E_{n+1}}=\dfrac{10}{7}$であるとき、$n=\boxed{ハ}$である。
(3)$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{E_n}{E_{n+1}}$を求めると$\boxed{ヒ}$である。
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}E_k$を$n$の式で表すと$\boxed{フ}$であり、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}E_k$を求めると$\boxed{ヘ}$である。
ただし、$\vert r \vert \lt 1$を満たす実数$r$に対し、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n \times r^n=0$が
成り立つこととする。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
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$\boxed{4}$
当たりくじが$3$本入っている$9$本のくじがある。
このくじを無作為に$1$本引き、
当たりくじかどうかを確認してから元に戻す試行を、
当たりくじが出るまで繰り返す。
当たりくじが出たときのみ得点を得ることができ、
$n$回目にの試行で当たりくじが出た場合、
得られる得点は$50n$点とする。
$n$回目に得られる得点の期待値を$E_n$とする。
ただし、$n$は自然数とする。
(1)$5$回目までに当たりくじが出る確率は$\boxed{ノ}$である。
(2)$\dfrac{E_n}{E_{n+1}}=\dfrac{10}{7}$であるとき、$n=\boxed{ハ}$である。
(3)$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{E_n}{E_{n+1}}$を求めると$\boxed{ヒ}$である。
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}E_k$を$n$の式で表すと$\boxed{フ}$であり、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}E_k$を求めると$\boxed{ヘ}$である。
ただし、$\vert r \vert \lt 1$を満たす実数$r$に対し、
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n \times r^n=0$が
成り立つこととする。
$2025$年慶應義塾大学薬学部過去問題
福田のおもしろ数学462〜2n+1角形の頂点と辺に異なる整数を割り当てて辺上の合計を等しくする方法
単元：
#数A#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$2n+1$個の頂点をもつ多角形がある。
この多角形の頂点と辺の中点に数
$1,2,3,\cdots,4n+2$をすべて使用してラベルをつけ、
各辺に割り当てられた
$3$つの数の和が等しくなるようにせよ。
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$2n+1$個の頂点をもつ多角形がある。
この多角形の頂点と辺の中点に数
$1,2,3,\cdots,4n+2$をすべて使用してラベルをつけ、
各辺に割り当てられた
$3$つの数の和が等しくなるようにせよ。