図形と方程式
図形と方程式
福田の数学〜双曲線と直線の位置関係を考えよう〜明治大学2023年全学部統一Ⅲ第3問〜双曲線と直線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ 座標平面上の双曲線$x^2$-$4y^2$=5を$C$とおき、点(1,0)を通り傾き$m$が正となる直線を$l$とおく。$C$の漸近線は$y$=$\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}x$と$y$=$-\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}x$である。また、$l$と$C$の共有点がただ1つとなるのは、$m$が$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$または$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$ のときである。
$m$=$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$ならば$l$は$C$の接線となる。ここで$a$=$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$ とおく。$m$<$a$であるときに、$l$と$C$の共有点の$y$座標のうち最大のものを$y_m$とすれば、
$y_m$=$\displaystyle\frac{m}{\boxed{\ \ キ\ \ }-\boxed{\ \ ク\ \ }m^2}\left(-\boxed{\ \ ケ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }-\boxed{\ \ サシ\ \ }m^2}\right)$
となる。このとき、$\displaystyle\lim_{m \to a-0}y_m$=$\boxed{\ \ ス\ \ }$ が成り立つ。
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$\Large{\boxed{3}}$ 座標平面上の双曲線$x^2$-$4y^2$=5を$C$とおき、点(1,0)を通り傾き$m$が正となる直線を$l$とおく。$C$の漸近線は$y$=$\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}x$と$y$=$-\frac{\boxed{\ \ ア\ \ }}{\boxed{\ \ イ\ \ }}x$である。また、$l$と$C$の共有点がただ1つとなるのは、$m$が$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$または$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$ のときである。
$m$=$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$ならば$l$は$C$の接線となる。ここで$a$=$\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$ とおく。$m$<$a$であるときに、$l$と$C$の共有点の$y$座標のうち最大のものを$y_m$とすれば、
$y_m$=$\displaystyle\frac{m}{\boxed{\ \ キ\ \ }-\boxed{\ \ ク\ \ }m^2}\left(-\boxed{\ \ ケ\ \ }+\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }-\boxed{\ \ サシ\ \ }m^2}\right)$
となる。このとき、$\displaystyle\lim_{m \to a-0}y_m$=$\boxed{\ \ ス\ \ }$ が成り立つ。
数学どうにかしたい人へ
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です
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【わかりやすく】三角形の頂点Pの軌跡を求める問題（数学Ⅱ 図形と方程式）
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
2点$A(-2,0),B(3,0)$と点$P$を頂点とする$\triangle PAB$が$PA:PB=2:3$を満たしながら変化するとき、点$P$の軌跡を求めよ。
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2点$A(-2,0),B(3,0)$と点$P$を頂点とする$\triangle PAB$が$PA:PB=2:3$を満たしながら変化するとき、点$P$の軌跡を求めよ。
福田の数学〜早稲田大学2023年教育学部第4問〜円との最短距離が一定である点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標平面上の点(0,1)を中心として半径1の円を$C$とする。点P($x$,$y$)が$y$≧0の範囲にあり、PからCまでの最短距離は$ay$であるとする。ただし$a$は0＜$a$＜1を満たす定数である。このとき、次の問いに答えよ。
(1)点Pが円$C$の円周上または外部にあるとき、P($x$,$y$)が満たす方程式を求めよ。
(2)点Pが円$C$の円周上または内部にあるとき、P($x$,$y$)が満たす方程式を求めよ。
(3)$x$=$\displaystyle\frac{1}{2}$かつ0≦$y$≦2を満たす点P($x$,$y$)がちょうど3個存在するような定数$a$の範囲を求めよ。
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$\Large\boxed{4}$ 座標平面上の点(0,1)を中心として半径1の円を$C$とする。点P($x$,$y$)が$y$≧0の範囲にあり、PからCまでの最短距離は$ay$であるとする。ただし$a$は0＜$a$＜1を満たす定数である。このとき、次の問いに答えよ。
(1)点Pが円$C$の円周上または外部にあるとき、P($x$,$y$)が満たす方程式を求めよ。
(2)点Pが円$C$の円周上または内部にあるとき、P($x$,$y$)が満たす方程式を求めよ。
(3)$x$=$\displaystyle\frac{1}{2}$かつ0≦$y$≦2を満たす点P($x$,$y$)がちょうど3個存在するような定数$a$の範囲を求めよ。
【わかりやすく】直線に対して対象の点の座標を求めよう（数学Ⅱ 図形と方程式）
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
直線$y=x+3$に対して、点$A(-2,4)$と対称な点の座標を求めよ。
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直線$y=x+3$に対して、点$A(-2,4)$と対称な点の座標を求めよ。
【わかりやすく】軌跡の求め方をゼロから解説（数学Ⅱ 図形と方程式）
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
$y=2x^2$上を動く点$Q$と点$A(4.0)$を結ぶ線分$AQ$の中点$P$の軌跡を求めよ。
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$y=2x^2$上を動く点$Q$と点$A(4.0)$を結ぶ線分$AQ$の中点$P$の軌跡を求めよ。
福田の数学〜上智大学2023年TEAP利用型文系第4問(1)〜命題の真偽と領域
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large{\boxed{3}}$ (1)実数$x$, $y$に対する次の2つの条件を$p$, $q$を考える。ただし、$r$は正の定数である。
$p$：|$x+y$|≦3 かつ |$x-y$|≦3
$q$：$(x-1)^2$+$(y-1)^2$≦$r^2$
(i)命題「$p$ならば$q$」が真となるような$r$の最小値は$\sqrt{\boxed{\ \ メ\ \ }}$ である。
(ii)命題「$q$ならば$p$」が真となるような$r$の最大値は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ モ\ \ }}{\boxed{\ \ ヤ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ユ\ \ }}$ である。
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$\Large{\boxed{3}}$ (1)実数$x$, $y$に対する次の2つの条件を$p$, $q$を考える。ただし、$r$は正の定数である。
$p$：|$x+y$|≦3 かつ |$x-y$|≦3
$q$：$(x-1)^2$+$(y-1)^2$≦$r^2$
(i)命題「$p$ならば$q$」が真となるような$r$の最小値は$\sqrt{\boxed{\ \ メ\ \ }}$ である。
(ii)命題「$q$ならば$p$」が真となるような$r$の最大値は$\displaystyle\frac{\boxed{\ \ モ\ \ }}{\boxed{\ \ ヤ\ \ }}\sqrt{\boxed{\ \ ユ\ \ }}$ である。
福田の数学〜慶應義塾大学2023年理工学部第5問(1)〜複素数平面上の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ (1)$\alpha$を±1ではない複素数とする。複素数平面上で$\displaystyle\left|\frac{\alpha z+1}{z+\alpha}\right|$=2 を満たす点$z$全体からなる図形を$C$とする。$C$は$\alpha$が$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たすとき直線となり、$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たさないとき円となる。$\alpha$が$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たさないとき、円$C$の中心を$\alpha$を用いて表すと$\boxed{\ \ ツ\ \ }$となる。$\alpha$が$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たすとき、直線$C$上の点$z$のうち、
その絶対値が最小となるものを$\alpha$を用いて表すと$\boxed{\ \ テ\ \ }$となる。
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$\Large\boxed{5}$ (1)$\alpha$を±1ではない複素数とする。複素数平面上で$\displaystyle\left|\frac{\alpha z+1}{z+\alpha}\right|$=2 を満たす点$z$全体からなる図形を$C$とする。$C$は$\alpha$が$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たすとき直線となり、$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たさないとき円となる。$\alpha$が$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たさないとき、円$C$の中心を$\alpha$を用いて表すと$\boxed{\ \ ツ\ \ }$となる。$\alpha$が$\boxed{\ \ チ\ \ }$を満たすとき、直線$C$上の点$z$のうち、
その絶対値が最小となるものを$\alpha$を用いて表すと$\boxed{\ \ テ\ \ }$となる。
【短時間でマスター!!】不等式の領域の求め方を解説！(直線と円)〔現役講師解説、数学〕
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#軌跡と領域#数学(高校生)
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数学2B
次の領域を図示せよ。
①$2x+3y-12＜0$
②$x^2+y^2+2x-2y+1\leqq0$
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数学2B
次の領域を図示せよ。
①$2x+3y-12＜0$
②$x^2+y^2+2x-2y+1\leqq0$
福田の数学〜慶應義塾大学2023年理工学部第2問〜空間ベクトルと2直線から等距離にある点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#空間ベクトル#図形と方程式#軌跡と領域#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ $k$を正の実数とし、空間内に点O(0,0,0), A(4$k$, $-4k$, $-4\sqrt 2k$), B(7, 5, $-\sqrt 2$)をとる。点CはO, A, Bを含む平面上の点であり、OA=4BCで、四角形OACBはOAを底辺とする台形であるとする。
(1)$\cos\angle$AOB=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。台形OACBの面積を$k$を用いて表すと$\boxed{\ \ イ\ \ }$となる。
また、線分ACの長さを$k$を用いて表すと$\boxed{\ \ ウ\ \ }$となる。
(2)台形OACBが円に内接するとき、$k$=$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
(3)$k$=$\boxed{\ \ エ\ \ }$であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものとなる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものを$\alpha$とする。点Oから平面$\alpha$に下ろした垂線の長さは$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{2}$ $k$を正の実数とし、空間内に点O(0,0,0), A(4$k$, $-4k$, $-4\sqrt 2k$), B(7, 5, $-\sqrt 2$)をとる。点CはO, A, Bを含む平面上の点であり、OA=4BCで、四角形OACBはOAを底辺とする台形であるとする。
(1)$\cos\angle$AOB=$\boxed{\ \ ア\ \ }$である。台形OACBの面積を$k$を用いて表すと$\boxed{\ \ イ\ \ }$となる。
また、線分ACの長さを$k$を用いて表すと$\boxed{\ \ ウ\ \ }$となる。
(2)台形OACBが円に内接するとき、$k$=$\boxed{\ \ エ\ \ }$である。
(3)$k$=$\boxed{\ \ エ\ \ }$であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものとなる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものを$\alpha$とする。点Oから平面$\alpha$に下ろした垂線の長さは$\boxed{\ \ オ\ \ }$である。
【短時間でマスター!!】直線の方程式(平行と垂直)の求め方を解説！〔現役講師解説、数学〕
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数学2B
直線の方程式
並行と垂直の条件
①点$(1,-3)$を通り、直線$4x+5y=2$に平行な直線
②点$(0,1)$を通り、直線$y=-3x-1$に垂直な直線
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数学2B
直線の方程式
並行と垂直の条件
①点$(1,-3)$を通り、直線$4x+5y=2$に平行な直線
②点$(0,1)$を通り、直線$y=-3x-1$に垂直な直線
大学入試問題#614「これは、時間内で解くのは大変かもしれない」 立命館大学(2023) #曲線の長さ
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#立命館大学
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
次の曲線の長さ$L$を求めよ。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\cos^4\theta \\
y=\sin^4\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2})$
出典：2023年立命館大学 入試問題
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次の曲線の長さ$L$を求めよ。
$\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\cos^4\theta \\
y=\sin^4\theta
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}$
$(0 \leqq \theta \leqq \displaystyle \frac{\pi}{2})$
出典：2023年立命館大学 入試問題
【短時間でマスター!!】円の方程式(中心と半径)の求め方を解説！〔現役講師解説、数学〕
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#円と方程式#数学(高校生)
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数学2B
円の方程式
中心と半径の求め方について解説します。
次の方程式はどのような図形を表すか。
①$x^2+y^2+2y-3=0$
②$x^2+y^2+4x-6y-4=0$
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数学2B
円の方程式
中心と半径の求め方について解説します。
次の方程式はどのような図形を表すか。
①$x^2+y^2+2y-3=0$
②$x^2+y^2+4x-6y-4=0$
内角と外角 愛工大名電（愛知県）
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
正n角形の頂点における内角の大きさが外角の大きさより90°大きいときnの値を求めよ。
愛知工業大学名電高等学校
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正n角形の頂点における内角の大きさが外角の大きさより90°大きいときnの値を求めよ。
愛知工業大学名電高等学校
サッカーボールの頂点の個数は？ 共栄学園（東東京）
単元：
#数Ⅱ#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
12個の正五角形と20個の正六角形の合わせて32面からなる多面体
どの頂点にも1個の正五角形と2個の正六角形の面が集まっている
この多面体の頂点の個数は？
共栄学園高等学校
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12個の正五角形と20個の正六角形の合わせて32面からなる多面体
どの頂点にも1個の正五角形と2個の正六角形の面が集まっている
この多面体の頂点の個数は？
共栄学園高等学校
【数学】2022年度 第2回 K塾記述高2模試 全問解説（ベクトルはおまけ）、※修正箇所：問1(1)（概要欄へ）
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#複素数と方程式#図形と計量#式の計算（整式・展開・因数分解）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#2次方程式と2次不等式#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#確率#図形と方程式#三角関数#複素数#三角関数とグラフ#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
2022年度第2回全統記述高2模試全問解説動画です！
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2022年度第2回全統記述高2模試全問解説動画です！
内角を二等分する直線の式 立教新座
福田の数学〜千葉大学2023年第1問〜三角形の面積と軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#学校別大学入試過去問解説(数学)#千葉大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 座標平面上に点O(0,0), A(0,2), B($\sqrt 2$, 1)をとる。線分OA上に点O、点Aと異なる点P(0,$p$)をとり、線分BP上の点Qを、$\triangle$APQと$\triangle$OBQの面積が等しくなるようにとる。
(1)直線BPを表す方程式を求めよ。
(2)$\triangle$OBQの面積を$p$を用いて表せ。
(3)$p$が0＜$p$＜2の範囲を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。
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$\Large\boxed{1}$ 座標平面上に点O(0,0), A(0,2), B($\sqrt 2$, 1)をとる。線分OA上に点O、点Aと異なる点P(0,$p$)をとり、線分BP上の点Qを、$\triangle$APQと$\triangle$OBQの面積が等しくなるようにとる。
(1)直線BPを表す方程式を求めよ。
(2)$\triangle$OBQの面積を$p$を用いて表せ。
(3)$p$が0＜$p$＜2の範囲を動くとき、点Qの軌跡を求めよ。
福田の数学〜立教大学2023年経済学部第3問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ pを正の実数とする。Oを原点とする座標平面上の放物線C：$y$=$\frac{1}{4}x^2$上の点P$\left(p, \frac{1}{4}p^2\right)$における接線を$l$、Pを通り$x$軸に垂直な直線を$m$とする。また、$m$上の点Q$\left(p, -1\right)$を通り$l$に垂直な直線を$n$とし、$l$と$n$の交点をRとする。さらに、$l$に関してQと対称な点をSとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$l$の方程式を$p$を用いて表せ。
(2)$n$の方程式およびRの座標をそれぞれ$p$を用いて表せ。
(3)Sの座標を求めよ。
(4)$l$を対象軸として、$l$に関して$m$と対称な直線$m'$の方程式を$p$を用いて表せ。
また、$m'$とCの交点のうちPと異なる点をTとするとき、Tの$x$座標を$p$を用いて表せ。
(5)(4)のTに対して、線分ST、線分OSおよびCで囲まれた部分の面積を$p$を用いて表せ。
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$\Large\boxed{3}$ pを正の実数とする。Oを原点とする座標平面上の放物線C：$y$=$\frac{1}{4}x^2$上の点P$\left(p, \frac{1}{4}p^2\right)$における接線を$l$、Pを通り$x$軸に垂直な直線を$m$とする。また、$m$上の点Q$\left(p, -1\right)$を通り$l$に垂直な直線を$n$とし、$l$と$n$の交点をRとする。さらに、$l$に関してQと対称な点をSとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)$l$の方程式を$p$を用いて表せ。
(2)$n$の方程式およびRの座標をそれぞれ$p$を用いて表せ。
(3)Sの座標を求めよ。
(4)$l$を対象軸として、$l$に関して$m$と対称な直線$m'$の方程式を$p$を用いて表せ。
また、$m'$とCの交点のうちPと異なる点をTとするとき、Tの$x$座標を$p$を用いて表せ。
(5)(4)のTに対して、線分ST、線分OSおよびCで囲まれた部分の面積を$p$を用いて表せ。
【数Ⅱ】間違えやすい？ 点と直線の距離の公式の覚え方
単元：
#数Ⅱ#図形と方程式#点と直線#数学(高校生)
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
点と直線の距離の公式がどっちだっけ…となったとき、そんなときのための講義です。
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点と直線の距離の公式がどっちだっけ…となったとき、そんなときのための講義です。
慶應義塾大 直線の傾き
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#点と直線#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2016慶応義塾大学過去問題
aは整数、aの値は？
$f(x)=x^3-x^2-x+c$
$A(0,f(x)),B(a,f(a))$
直線ABと$x=\frac{a}{3}$におけるf(x)の接線が直交する。
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2016慶応義塾大学過去問題
aは整数、aの値は？
$f(x)=x^3-x^2-x+c$
$A(0,f(x)),B(a,f(a))$
直線ABと$x=\frac{a}{3}$におけるf(x)の接線が直交する。
福田の数学〜筑波大学2023年理系第6問〜複素数平面上の点の軌跡とアポロニウスの円
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数平面#図形と方程式#軌跡と領域#複素数平面#図形への応用#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{6}$ $i$を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。
(1)等式|$z$+2|=2|$z$-1| を満たす点$z$の全体が表す図形は円であることを示し、その中心と半径を求めよ。
(2)等式
$\left\{|z+2|-2|z-1|\right\}$$|z+6i|$=$3\left\{|z+2|-2|z-1|\right\}$$|z-2i|$
を満たす点$z$の全体が表す図形をSとする。このときSを複素数平面上に図示せよ。
(3)点$z$が(2)における図形S上を動くとき、$w$=$\frac{1}{z}$ で定義される点$w$が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
2023筑波大学理系過去問
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$\Large\boxed{6}$ $i$を虚数単位とする。複素数平面に関する以下の問いに答えよ。
(1)等式|$z$+2|=2|$z$-1| を満たす点$z$の全体が表す図形は円であることを示し、その中心と半径を求めよ。
(2)等式
$\left\{|z+2|-2|z-1|\right\}$$|z+6i|$=$3\left\{|z+2|-2|z-1|\right\}$$|z-2i|$
を満たす点$z$の全体が表す図形をSとする。このときSを複素数平面上に図示せよ。
(3)点$z$が(2)における図形S上を動くとき、$w$=$\frac{1}{z}$ で定義される点$w$が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
2023筑波大学理系過去問
福田の数学〜筑波大学2023年理系第1問〜３次関数の接線と三角形の面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#点と直線#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ 曲線C：$y$=$x$-$x^3$上の点A(1, 0)における接線を$l$とし、Cと$l$の共有点のうちAとは異なる点をBとする。また、-2＜$t$＜1とし、C上の点P($t$, $t$-$t^3$)をとる。さらに、三角形ABPの面積を$S(t)$とする。
(1)点Bの座標を求めよ。
(2)$S(t)$を求めよ。
(3)$t$が-2＜$t$＜1の範囲を動くとき、$S(t)$の最大値を求めよ。
2023筑波大学理系過去問
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$\Large\boxed{1}$ 曲線C：$y$=$x$-$x^3$上の点A(1, 0)における接線を$l$とし、Cと$l$の共有点のうちAとは異なる点をBとする。また、-2＜$t$＜1とし、C上の点P($t$, $t$-$t^3$)をとる。さらに、三角形ABPの面積を$S(t)$とする。
(1)点Bの座標を求めよ。
(2)$S(t)$を求めよ。
(3)$t$が-2＜$t$＜1の範囲を動くとき、$S(t)$の最大値を求めよ。
2023筑波大学理系過去問
福田の数学〜神戸大学2023年文系第3問〜２つの円の位置関係と共通弦
単元：
#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#筑波大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ aを正の実数とする。2つの円
$C_1$：$x^2$+$y^2$=$a$, $C_2$：$x^2$+$y^2$-$6x$-$4y$+3=0
が異なる2点A, Bで交わっているとする。直線ABが$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ($p$, 0), (0, $q$)とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ。
(2)$p$, $q$の値を$a$を用いて表せ。
(3)$p$, $q$の値が共に整数となるような$a$の値をすべて求めよ。
2023筑波大学理系過去問
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$\Large\boxed{3}$ aを正の実数とする。2つの円
$C_1$：$x^2$+$y^2$=$a$, $C_2$：$x^2$+$y^2$-$6x$-$4y$+3=0
が異なる2点A, Bで交わっているとする。直線ABが$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ($p$, 0), (0, $q$)とするとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ。
(2)$p$, $q$の値を$a$を用いて表せ。
(3)$p$, $q$の値が共に整数となるような$a$の値をすべて求めよ。
2023筑波大学理系過去問
福田の数学〜東北大学2023年文系第４問〜線分の通過範囲の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#面積、体積#東北大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 関数f(x)に対して、座標平面上の2つの点P(x, f(x)), Q(x+1, f(x)+1)を考える。実数xが0≦x≦2の範囲を動くとき、線分PQがつうかしてできる図形の面積をSとおく。以下の問いに答えよ。
(1)関数f(x)=-2|x-1|+2に 対して、Sの値を求めよ。
(2)関数f(x)=$\frac{1}{2}(x-1)^2$ に対して、曲線y=f(x)の接線で、傾きが1のものの方程式を求めよ。
(3)設問(2)の関数f(x)=$\frac{1}{2}(x-1)^2$ に対して、Sの値を求めよ。
2023東北大学文系過去問
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$\Large\boxed{4}$ 関数f(x)に対して、座標平面上の2つの点P(x, f(x)), Q(x+1, f(x)+1)を考える。実数xが0≦x≦2の範囲を動くとき、線分PQがつうかしてできる図形の面積をSとおく。以下の問いに答えよ。
(1)関数f(x)=-2|x-1|+2に 対して、Sの値を求めよ。
(2)関数f(x)=$\frac{1}{2}(x-1)^2$ に対して、曲線y=f(x)の接線で、傾きが1のものの方程式を求めよ。
(3)設問(2)の関数f(x)=$\frac{1}{2}(x-1)^2$ に対して、Sの値を求めよ。
2023東北大学文系過去問
福田の数学〜東北大学2023年理系第２問〜三角方程式の解の個数とその極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#円と方程式#三角関数とグラフ#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 関数f(x)=$\sin3x$+$\sin x$について、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)=0 を満たす正の実数$x$のうち、最小のものを求めよ。
(2)正の整数$m$に対して、f(x)=0を満たす正の実数$x$のうち、$m$以下のものの個数を$p(m)$とする。極限値$\displaystyle\lim_{m \to \infty}\frac{p(m)}{m}$ を求めよ。
2023東北大学理系過去問
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$\Large\boxed{2}$ 関数f(x)=$\sin3x$+$\sin x$について、以下の問いに答えよ。
(1)f(x)=0 を満たす正の実数$x$のうち、最小のものを求めよ。
(2)正の整数$m$に対して、f(x)=0を満たす正の実数$x$のうち、$m$以下のものの個数を$p(m)$とする。極限値$\displaystyle\lim_{m \to \infty}\frac{p(m)}{m}$ を求めよ。
2023東北大学理系過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第４問〜絶対値の付いた関数と領域における最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 関数f(x)をf(x)=$\frac{1}{2}$($x^2$-$x$-3|$x$|)で定める。以下に答えなさい。
(1)y=f(x)のグラフをかきなさい。
(2)曲線y=f(x)上の点A(-3, f(-3))を通り、点Aにおける接線に垂直な直線lの方程式はy=$\boxed{\ \ ニ\ \ }$である。また、曲線と直線lは2つの共有点をもつが点Aとは異なる共有点の座標は$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。さらに、曲線y=f(x)と直線lで囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ネ\ \ }$である。
(3)連立不等式y≧f(x), y≦f(-3)の表す領域をDとする。点(x,y)がこの領域Dを動くとき、x+yは(x,y)=$\boxed{\ \ ノ\ \ }$のとき最大値$\boxed{\ \ ハ\ \ }$をとり、
(x,y)=$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$のうち最小値$\boxed{\ \ フ\ \ }$をとる。
2023慶應義塾大学看護医療学部過去問
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$\Large\boxed{4}$ 関数f(x)をf(x)=$\frac{1}{2}$($x^2$-$x$-3|$x$|)で定める。以下に答えなさい。
(1)y=f(x)のグラフをかきなさい。
(2)曲線y=f(x)上の点A(-3, f(-3))を通り、点Aにおける接線に垂直な直線lの方程式はy=$\boxed{\ \ ニ\ \ }$である。また、曲線と直線lは2つの共有点をもつが点Aとは異なる共有点の座標は$\boxed{\ \ ヌ\ \ }$である。さらに、曲線y=f(x)と直線lで囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ネ\ \ }$である。
(3)連立不等式y≧f(x), y≦f(-3)の表す領域をDとする。点(x,y)がこの領域Dを動くとき、x+yは(x,y)=$\boxed{\ \ ノ\ \ }$のとき最大値$\boxed{\ \ ハ\ \ }$をとり、
(x,y)=$\boxed{\ \ ヒ\ \ }$のうち最小値$\boxed{\ \ フ\ \ }$をとる。
2023慶應義塾大学看護医療学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年看護医療学部第２問(1)〜三角方程式
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#三角関数#円と方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ (1)0≦x≦π のとき、$\sqrt3\sin x$+$\cos x$=$\sqrt2$を解くと$x$=$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
2023慶應義塾大学看護医療学部過去問
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$\Large\boxed{2}$ (1)0≦x≦π のとき、$\sqrt3\sin x$+$\cos x$=$\sqrt2$を解くと$x$=$\boxed{\ \ コ\ \ }$である。
2023慶應義塾大学看護医療学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第4問PART1〜円に内接する円の性質
単元：
#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#複素数平面#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#図形と方程式#円と方程式#微分とその応用#複素数平面#図形への応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 座標平面において原点Oを中心とする半径1の円を$C_1$とし、$C_1$の内部にある第1象限の点Pの極座標を(r, θ)とする。さらに点Pを中心とする円$C_2$が$C_1$上の点Qにおいて$C_1$に内接し、x軸上の点Rにおいてx軸に接しているとする。
また、極座標が(1, π)である$C_1$上の点をAとし、直線AQのy切片をtとする。
(1)rをθの式で表すとr=$\boxed{\ \ あ\ \ }$となり、tの式で表すとr=$\boxed{\ \ い\ \ }$となる。
(2)円$C_2$と同じ半径をもち、x軸に関して円$C_2$と対称な位置にある円$C'_2$の中心P'とする。三角形POP'の面積はθ=$\boxed{\ \ う\ \ }$のとき最大値$\boxed{\ \ え\ \ }$をとる。θ=$\boxed{\ \ う\ \ }$は条件t=$\boxed{\ \ お\ \ }$と同値である。
(3)円$C_1$に内接し、円$C_2$と$C'_2$の両方に外接する円のうち大きい方を$C_3$とする。円$C_3$の半径bをtの式で表すとb=$\boxed{\ \ か\ \ }$となる。
(4)3つの円$C_2$, $C'_2$, $C_3$の周の長さの和はθ=$\boxed{\ \ き\ \ }$の最大値$\boxed{\ \ く\ \ }$をとる。
2023慶應義塾大学看護医療学部過去問
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$\Large\boxed{4}$ 座標平面において原点Oを中心とする半径1の円を$C_1$とし、$C_1$の内部にある第1象限の点Pの極座標を(r, θ)とする。さらに点Pを中心とする円$C_2$が$C_1$上の点Qにおいて$C_1$に内接し、x軸上の点Rにおいてx軸に接しているとする。
また、極座標が(1, π)である$C_1$上の点をAとし、直線AQのy切片をtとする。
(1)rをθの式で表すとr=$\boxed{\ \ あ\ \ }$となり、tの式で表すとr=$\boxed{\ \ い\ \ }$となる。
(2)円$C_2$と同じ半径をもち、x軸に関して円$C_2$と対称な位置にある円$C'_2$の中心P'とする。三角形POP'の面積はθ=$\boxed{\ \ う\ \ }$のとき最大値$\boxed{\ \ え\ \ }$をとる。θ=$\boxed{\ \ う\ \ }$は条件t=$\boxed{\ \ お\ \ }$と同値である。
(3)円$C_1$に内接し、円$C_2$と$C'_2$の両方に外接する円のうち大きい方を$C_3$とする。円$C_3$の半径bをtの式で表すとb=$\boxed{\ \ か\ \ }$となる。
(4)3つの円$C_2$, $C'_2$, $C_3$の周の長さの和はθ=$\boxed{\ \ き\ \ }$の最大値$\boxed{\ \ く\ \ }$をとる。
2023慶應義塾大学看護医療学部過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2023年医学部第３問〜接線が作る三角形
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#数A#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形の性質#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#図形と方程式#微分法と積分法#軌跡と領域#接線と増減表・最大値・最小値#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$\left(a_1, \frac{1}{a_1^2}\right)$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$\left(a_2, \frac{1}{a_2^2}\right)$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$\left(a_3, \frac{1}{a_3^2}\right)$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$\left(a_n, \frac{1}{a_n^2}\right)$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$\left(a_{n+1}, \frac{1}{a_{n+1}^2}\right)$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ う\ \ }$である。無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1A_2A_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{\ \ お\ \ }$となる。
(4)三角形$A_1A_2A_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{\ \ か\ \ }$＜$a_1$＜$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(5)x軸上に2点$A'_1$($a_1$, 0), $A'_2$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1A_2A'_2A'_1$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3A_2$と$A_2A_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{\ \ く\ \ }$：$\boxed{\ \ け\ \ }$である。ただし、$\boxed{\ \ く\ \ }$と$\boxed{\ \ け\ \ }$は互いに素な自然数である。
2023慶應義塾大学医学部過去問
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$\Large\boxed{3}$ 座標平面上の曲線y=$\frac{1}{x^2}$ (x $\ne$ 0)をCとする。$a_1$を正の実数とし、点$A_1$$\left(a_1, \frac{1}{a_1^2}\right)$におけるCの接線を$l_1$とする。$l_1$とCの交点で$A_1$と異なるものを$A_2$$\left(a_2, \frac{1}{a_2^2}\right)$とする。次に点$A_2$におけるCの接線を$l_2$とCの交点で$A_2$と異なるものを$A_3$$\left(a_3, \frac{1}{a_3^2}\right)$とする。以下、同様にしてn=3,4,5,...に対して、$A_n$$\left(a_n, \frac{1}{a_n^2}\right)$におけるCの接線を$l_n$とし、$l_n$とCの交点で$A_n$と異なるものを$A_{n+1}$$\left(a_{n+1}, \frac{1}{a_{n+1}^2}\right)$とする。
(1)$\frac{a_2}{a_1}$=$\boxed{\ \ あ\ \ }$であり、$\frac{a_3}{a_1}$=$\boxed{\ \ い\ \ }$である。
(2)$a_n$を$a_1$で表すと$a_n$=$\boxed{\ \ う\ \ }$である。無限級数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$の和をTを$a_1$を用いて表すとT=$\boxed{\ \ え\ \ }$である。
(3)$a_1$を正の実数すべてにわたって動かすとき、三角形$A_1A_2A_3$の重心が描く軌跡の方程式をy=f(x)の形で求めるとf(x)=$\boxed{\ \ お\ \ }$となる。
(4)三角形$A_1A_2A_3$が鋭角三角形になるための条件は$\boxed{\ \ か\ \ }$＜$a_1$＜$\boxed{\ \ き\ \ }$である。
(5)x軸上に2点$A'_1$($a_1$, 0), $A'_2$($a_2$, 0)をとり、台形$A_1A_2A'_2A'_1$の面積を$S_1$とする。また、点$A_1$から点$A_3$にいたる曲線Cの部分、および線分$A_3A_2$と$A_2A_1$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする。このとき、$S_1$：$S_2$=$\boxed{\ \ く\ \ }$：$\boxed{\ \ け\ \ }$である。ただし、$\boxed{\ \ く\ \ }$と$\boxed{\ \ け\ \ }$は互いに素な自然数である。
2023慶應義塾大学医学部過去問