微分法と積分法
微分法と積分法
福田のおもしろ数学542〜定積分の値の評価
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#不定積分・定積分#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\dfrac{1}{3}\lt \displaystyle \int_{0}^{1}x^{(\sin x+\cos x)^2}dx \lt \dfrac{1}{2}$
を証明して下さい。
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$\dfrac{1}{3}\lt \displaystyle \int_{0}^{1}x^{(\sin x+\cos x)^2}dx \lt \dfrac{1}{2}$
を証明して下さい。
福田の数学〜九州大学2025理系第2問〜定積分の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#九州大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
以下の問いに答えよ。
(1)$y=\tan x$とするとき、
$\dfrac{dy}{dx}$を$y$の整式で表せ。
(2)次の定積分を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^4x-\tan^2 x-2}{\tan^2x-4}dx$
$2025$年九州大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
以下の問いに答えよ。
(1)$y=\tan x$とするとき、
$\dfrac{dy}{dx}$を$y$の整式で表せ。
(2)次の定積分を求めよ。
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{\tan^4x-\tan^2 x-2}{\tan^2x-4}dx$
$2025$年九州大学理系過去問題
福田の数学〜神戸大学2025文系第1問〜3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$a$を実数とする。
$f(x)=2x^3+ax^2-1$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)方程式$f(x)=0$は$x=-1$に解にもつとする。
このとき、$a$の値を求め、
方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ。
(2)$a$の値を(1)で求めたものとする。
関数$f(x)$の極限を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解を
もつような$a$の値の範囲を求めよ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
$a$を実数とする。
$f(x)=2x^3+ax^2-1$とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1)方程式$f(x)=0$は$x=-1$に解にもつとする。
このとき、$a$の値を求め、
方程式$f(x)=0$の解をすべて求めよ。
(2)$a$の値を(1)で求めたものとする。
関数$f(x)$の極限を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解を
もつような$a$の値の範囲を求めよ。
$2025$年神戸大学文系過去問題
福田のおもしろ数学537〜2変数関数の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$xy-x^3\tan \dfrac{1}{x}+y^2=0$のとき、
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{y}{x}$を求めよ。
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$xy-x^3\tan \dfrac{1}{x}+y^2=0$のとき、
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{y}{x}$を求めよ。
福田の数学〜神戸大学2025理系第5問〜連続と微分可能と曲線の長さ
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{5}$
連続関数$f(x)$は$x \geqq 0$で$f(x) \geqq 0$を満たし、
$x \gt 0$で微分可能であり、その導関数$f'(x)$は
連続であるとする。
$t \geqq 1$を満たす$t$に対して、
$y=f(x) \ (1\leqq x \leqq t)$で表される曲線の長さを
$h(t)$とし、$t=1$のときは$h(1)=0$とする。
以下の問いに答えよ。
(1)$t\gt 1$とする。
開区間$(1,t)$で常に$f(x)-xf'(x)=0$が成り立つならば、
閉区間$[1,t]$で$\dfrac{f(x)}{x}$は定数であることを示せ。
(2)$t\geqq 1$を満たす任意の$t$に対して、
$g(t)=h(t)+2$が成り立つとする。
このとき、$f(1)$の値を求めよ。
また、$t\geqq 1$のとき$f(t)$を$t$を用いて表せ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{5}$
連続関数$f(x)$は$x \geqq 0$で$f(x) \geqq 0$を満たし、
$x \gt 0$で微分可能であり、その導関数$f'(x)$は
連続であるとする。
$t \geqq 1$を満たす$t$に対して、
$y=f(x) \ (1\leqq x \leqq t)$で表される曲線の長さを
$h(t)$とし、$t=1$のときは$h(1)=0$とする。
以下の問いに答えよ。
(1)$t\gt 1$とする。
開区間$(1,t)$で常に$f(x)-xf'(x)=0$が成り立つならば、
閉区間$[1,t]$で$\dfrac{f(x)}{x}$は定数であることを示せ。
(2)$t\geqq 1$を満たす任意の$t$に対して、
$g(t)=h(t)+2$が成り立つとする。
このとき、$f(1)$の値を求めよ。
また、$t\geqq 1$のとき$f(t)$を$t$を用いて表せ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田の数学〜神戸大学2025理系第3問〜媒介変数表示で表された曲線
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
媒介変数$\theta$を用いて
$x=\sin\theta,y=\cos\theta + \vert \sin\theta \vert \quad (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
(2)曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
媒介変数$\theta$を用いて
$x=\sin\theta,y=\cos\theta + \vert \sin\theta \vert \quad (0\leqq \theta \leqq 2\pi)$
で表される曲線を$C$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
(2)曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田の数学〜神戸大学2025理系第1問〜曲線と直線の共有点の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#神戸大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
$k$を実数とする。
$f(x)$と$g(x)$を
$f(x) = \vert x^3-x \vert,\quad g(x)=k(x+1)$
とおき、曲線$y=f(x)$を$C$、
直線$y=g(x)$を$\ell$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
ただし、関数$f(x)$の極大値を調べる必要はない。
(2)曲線$C$と直線$\ell$がちょうど$4$つの
共有点をもつような$k$の値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
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$\boxed{1}$
$k$を実数とする。
$f(x)$と$g(x)$を
$f(x) = \vert x^3-x \vert,\quad g(x)=k(x+1)$
とおき、曲線$y=f(x)$を$C$、
直線$y=g(x)$を$\ell$とする。以下の問いに答えよ。
(1)曲線$C$の概形をかけ。
ただし、関数$f(x)$の極大値を調べる必要はない。
(2)曲線$C$と直線$\ell$がちょうど$4$つの
共有点をもつような$k$の値を求めよ。
$2025$年神戸大学理系過去問題
福田のおもしろ数学532〜「∞ー∞」型の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \lim_{x\to 1} \left(\dfrac{2025}{1-x^{2025}}-\dfrac{1521}{1-x^{1521}}\right)$
を求めて下さい。
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$\displaystyle \lim_{x\to 1} \left(\dfrac{2025}{1-x^{2025}}-\dfrac{1521}{1-x^{1521}}\right)$
を求めて下さい。
福田の数学〜大阪大学2025文系第3問〜放物線と接線が作る面積の最大値
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
座標平面において、$y=x^2-1$で表される放物線を
$C$とする。
$C$上の点$P$における$C$の接線を$\ell$とする。
ただし、点$P$は$y$軸上にはないものとする。
$O$を原点とし、放物線$C$と線分$OP$をよび
$y$軸で囲まれた図形の面積を$S$、
放物線$C$と接線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の
面積を$T$とする。
$S-T$の最大値を求めよ。
$2025$年大阪大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
座標平面において、$y=x^2-1$で表される放物線を
$C$とする。
$C$上の点$P$における$C$の接線を$\ell$とする。
ただし、点$P$は$y$軸上にはないものとする。
$O$を原点とし、放物線$C$と線分$OP$をよび
$y$軸で囲まれた図形の面積を$S$、
放物線$C$と接線$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の
面積を$T$とする。
$S-T$の最大値を求めよ。
$2025$年大阪大学文系過去問題
福田の数学〜大阪大学2025理系第3問〜空間図形と最大最小の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#微分法と積分法#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
座標空間に$3$点$O(0,0,0),A(0,1,1),B(x,y,0)$がある。
$\angle OAP=30°$かつ$y\geqq 0$を満たすように
点$P$が動くとき、
$(x+1)(y+1)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
座標空間に$3$点$O(0,0,0),A(0,1,1),B(x,y,0)$がある。
$\angle OAP=30°$かつ$y\geqq 0$を満たすように
点$P$が動くとき、
$(x+1)(y+1)$の最大値と最小値を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田の数学〜大阪大学2025理系第2問〜3次関数の極値と変曲点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#大阪大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
$p$と$m$を実数とし、
関数$f(x)=x^3+3px^2+3mx$は
$x=\alpha$で極大値をとり、
$x=\beta$で極小値をとるとする。
(1)$f(\alpha)-f(\beta)$を$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$p$と$m$が$f(\alpha)-f(\beta)=4$を
満たしながら動くとき、
曲線$y=f(x)$の変曲点の軌跡を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
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$\boxed{2}$
$p$と$m$を実数とし、
関数$f(x)=x^3+3px^2+3mx$は
$x=\alpha$で極大値をとり、
$x=\beta$で極小値をとるとする。
(1)$f(\alpha)-f(\beta)$を$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$p$と$m$が$f(\alpha)-f(\beta)=4$を
満たしながら動くとき、
曲線$y=f(x)$の変曲点の軌跡を求めよ。
$2025$年大阪大学理系過去問題
福田のおもしろ数学524〜無限級数の和
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^2}{3^k}$を求めて下さい。
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$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k^2}{3^k}$を求めて下さい。
福田のおもしろ数学518〜積分で表された関数の導関数
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#不定積分・定積分#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x-t)dt$
の導関数を求めよ。
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$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x-t)dt$
の導関数を求めよ。
福田の数学〜立教大学2025経済学部第3問〜3次関数のグラフと直線の共有点の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
$k$を実数とする。
$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+1$に対して、
座標平面上の曲線$C$を$C:y=f(x)$とする。
また、$C$上の点$P(1,1)$を通り、
傾きが$k$である直線を$\ell$とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ。
(2)$f(x)$の導関数$f'(x)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極値を求めよ。
また、そのときの$x$の値を求めよ。
(4)$\ell$と$C$がちょうど$2$個の共有点を
もつような$k$の値を求めよ。
(5)$\ell$と$C$が異なる$3$個の共有点をもつような
$k$の値の範囲を求めよ。
(6)(5)のとき、異なる$3$個の共有点の$y$座標を
小さい方から順に$y_1,y_2,y_3$とする。
このとき、
比の等式$(y_2-y_1):(y_3-y_2)=1:2$を
満たすような$k$の値を求めよ。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{3}$
$k$を実数とする。
$3$次関数$f(x)=x^3-x^2+1$に対して、
座標平面上の曲線$C$を$C:y=f(x)$とする。
また、$C$上の点$P(1,1)$を通り、
傾きが$k$である直線を$\ell$とする。
このとき、次の問いに答えよ。
(1)$\ell$の方程式を$k$を用いて表せ。
(2)$f(x)$の導関数$f'(x)$を求めよ。
(3)$f(x)$の極値を求めよ。
また、そのときの$x$の値を求めよ。
(4)$\ell$と$C$がちょうど$2$個の共有点を
もつような$k$の値を求めよ。
(5)$\ell$と$C$が異なる$3$個の共有点をもつような
$k$の値の範囲を求めよ。
(6)(5)のとき、異なる$3$個の共有点の$y$座標を
小さい方から順に$y_1,y_2,y_3$とする。
このとき、
比の等式$(y_2-y_1):(y_3-y_2)=1:2$を
満たすような$k$の値を求めよ。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜立教大学2025経済学部第1問(5)〜絶対値の付いた関数の定積分の計算
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#立教大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
(5)定積分$\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\vert x-1 \vert dx$
の値は$\boxed{キ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
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$\boxed{1}$
(5)定積分$\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\vert x-1 \vert dx$
の値は$\boxed{キ}$である。
$2025$年立教大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第6問〜放物線と直線で囲まれた図形の面積
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{6}$
$C$を$y=3x^2$で定まる曲線とし、
$C$上に異なる$2$点$A(a,3a^2)$
$B(b,3b^2)$をとる。ただし、$a\lt b$とする。
(1)$C$と直線$AB$で囲まれた図形の面積$S$を、
$a$と$b$を用いて表せ。
ただし、積分を用いて計算し、
積分の計算過程も書くこと。
(2)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
(1)で求めた面積$S$の取りうる値の最大値$T$を
求めよ。
(3)$2$点$A,B$間の距離が$3$のとき、
直線$AB$は点$(0,7)$を通らないことを示せ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学2025経済学部第4問〜指数不等式と対数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#微分法と積分法#指数関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
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$\boxed{4}$
$p$を正の実数、$m$を自然数とし、
曲線$y=-x^2$上の点$(-p,-p^2)$における
接線と直線$y=2m$の交点を$P_m$とする。
$P_m$の$x$座標が$1$以下となる$m$の最大値を
$N$とする。
(1)$P_m$の$x$座標を、$p$と$m$を用いて表せ。
(2)$N=40$が成り立つ$p$の範囲を求めよ。
以下、$n$を自然数とし、
$a=3n\log_3 6-\log_2+n$とする。
(3)$3^a$は$2$以上の自然数である。
$3^a$の素因数分解を、$n$を用いて書け。
(4)$p=3^a$のとき、$N\lt 2^{1000}$となる
自然数$n$の最大値を求めよ。
なお、必要があれば$1.58 \lt \log_2 3 \lt 1.50$を用いよ。
$2025$年慶應義塾大学経済学部過去問題
福田のおもしろ数学506〜相加平均と相乗平均の商の極限
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
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自然数$n+1,n+2,\cdots,n+n$の
相加平均を$A_n$、相乗平均を$B_n$とするとき
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{B_n}$
を求めて下さい。
福田の数学〜名古屋大学2025文系第1問〜放物線が囲む部分の面積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
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$\boxed{1}$
実数$b,c$に対し、
放物線$y=f(x)=x^2+bx+c$が
$2$点$(p,0),(q,0)$を通ると仮定する(ただし$p\gt q$)。
また、条件$0\lt t \leqq 1$を満たす実数$t$に対し
実数$r,s$を次のように定める。
$r=\dfrac{1+t}{2}p+\dfrac{1-t}{2}q,s=\dfrac{1-t}{2}p+\dfrac{1+t}{2}q$
以下の問いに答えよ。
(1)$q-s,r-p,s+r,s-r$のそれぞれを
$b,c,t$で用いて表せ。
(2)$sr$および$s^2+r^2$を$b,c,t$を用いて表せ。
(3)放物線$y=f(x)$、直線$x=r,x=s$および
$x$軸が囲む領域の面積を$b,c,t$を用いて表せ。
$2025$年名古屋大学文系過去問題
福田の数学〜名古屋大学2025理系第3問〜球の通過範囲の体積
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#名古屋大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
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$\boxed{3}$
以下の問いに答えよ。
(1)実数$r,\alpha$は$0\lt r \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xy$平面内で、点$(1,0)$を中心にもつ半径$r$の
円周およびその内部を$C$とする。
$C$を原点$(0,0)$を中心に反時計回りに角度$\alpha$だけ
回転させるとき、$C$が通過する領域の面積を求めよ。
(2)実数$R,\alpha$は$0\lt R \leqq 1,0\leqq \alpha \lt \pi$をみたすとする。
$xyz$空間内で、点$(1,0,0)$を中心にもつ半径$R$の
球面およびその内部を$B$とする。
$B$を$z$軸のまわりに角度$\alpha$だけ回転させるとき、
$B$が通過する領域の体積を求めよ。
ただし、回転の向きは回転後の$B$の中心が
$(\cos \alpha,\sin \alpha,0)$になるように選ぶものとする。
$2025$年名古屋大学理系過去問題
福田の数学〜一橋大学2025文系第3問〜定積分で表された方程式の解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#不定積分・定積分#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
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$\boxed{3}$
等式
$6\displaystyle \int_{0}^{2} \vert x^2-a \vert dx-a^2-2a+k$
が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような
実数$k$の範囲を求めよ。
$2025$年一橋大学文系過去問題
福田の数学〜慶應義塾大学看護医療学部2025第2問(1)〜極形式とド・モアブルの定理
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
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$\boxed{2}$
(1)$x^3-3x^2+6x-4=0$の解で
虚部が正であるものを$\omega$としたとき、
$\omega$の絶対値は$\vert \omega \vert=\boxed{キ}$であり、
偏角$\theta$は$\theta=\boxed{ク}$である。
ただし、$0\leqq \theta \lt 2\pi$とする。
また、$\omega^{10} =\boxed{ケ}+\boxed{コ}i$である。
ただし、$\boxed{ケ},\boxed{コ}$は実数とする。
$2025$年慶應義塾大学看護医療学部過去問題
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積和の最小値 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。
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0＜t＜1とする。放物線y=x²と直線lが点T(t,t²)で接している。このとき、放物線と直線l、x軸、直線x=1で囲まれた2つの図形の面積の和をSとする。Sの最小値を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の相等 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。
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0＜a＜1とする。曲線y=x³-x²と直線y=a²(x-1)で囲まれた2つの図形の面積が等しくなるような定数aを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²
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次の曲線や直線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
(1)y=-x³+3x，y=x
(2)y=x³-6x²，y=x²
【数Ⅱ】【微分法と積分法】3次関数と接線で囲まれた図形の面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
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曲線y=x³-5x²+5x+8と、その曲線上の点(3,5)のおける接線で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】軌跡と面積 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。
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1辺の長さが1の正方形OABCがある。点Pを正方形OABCの周および内部を動く点とし、点Pから辺OAに下した垂線をPHとする。点PがCP=PHを満たしながら動くとき、点Pの描く曲線と辺OA，AB，COで囲まれた部分の図形の面積を求めよ。
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積の最小値 ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
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福田の数学〜東北大学2025理系第4問〜2曲線の相接と面積の極限
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#平均変化率・極限・導関数#関数と極限#関数の極限#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
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$\boxed{4}$
$n$を正の整数、$a$を正の実数とし、
関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める。
$f(x)=n\log x,\quad g(x)=ax^n$
また、曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち、
その共有点における
$2$つの曲線の接線が一致しているとする。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1)$a$の値を求めよ。
(2)この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積
$S_n$を求めよ。
(3)$\quad $(2)で求めた$S_n$に対し、極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$を求めよ。
$2025$年東北大学理系過去問題
【数Ⅱ】【微分法と積分法】面積から直線を求める ※問題文は概要欄
単元：
#数Ⅱ#微分法と積分法#面積、体積#数学(高校生)
教材：
#4S数学#4S数学Ⅱ＋BのB問題解説（新課程2022年以降）#微分法と積分法#中高教材
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が$\frac{32}{3}$である。この直線の方程式を求めよ。
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原点を通る直線と、曲線y=x²-2xで囲まれた図形の面積が$\frac{32}{3}$である。この直線の方程式を求めよ。