数B
数B
！
単元：
#数Ⅰ#数と式#式の計算（整式・展開・因数分解）#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\frac{(9!)^2 - (8!)^2} {(9!)^2 + (8!)^2} $
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$\frac{(9!)^2 - (8!)^2} {(9!)^2 + (8!)^2} $
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福田の入試問題解説〜北海道大学2022年文系第２問〜数列の一般項の最小と部分和の最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ \left\{a_n\right\}をa_1=-15および\\
a_{n+1}=a_n+\frac{n}{5}-2 (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たす数列とする。\\
(1)a_nが最小となる自然数nを全て求めよ。\\
(2)\left\{a_n\right\}の一般項を求めよ。\\
(3)\sum_{k=1}^na_kが最小となる自然数nを全て求めよ。
\end{eqnarray}
2022北海道大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ \left\{a_n\right\}をa_1=-15および\\
a_{n+1}=a_n+\frac{n}{5}-2 (n=1,2,3,\ldots)\\
を満たす数列とする。\\
(1)a_nが最小となる自然数nを全て求めよ。\\
(2)\left\{a_n\right\}の一般項を求めよ。\\
(3)\sum_{k=1}^na_kが最小となる自然数nを全て求めよ。
\end{eqnarray}
2022北海道大学文系過去問
階乗に関する問題 巣鴨高校（改）
単元：
#数学(中学生)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$1!+2!+3!+4!+5!+\cdots +18!+19!+20!$
を計算した結果の下2ケタを求めよ。
巣鴨高等学校（改）
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$1!+2!+3!+4!+5!+\cdots +18!+19!+20!$
を計算した結果の下2ケタを求めよ。
巣鴨高等学校（改）
ざ・見掛け倒し
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}n^{2022}=$
$1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+$
$･･････+2021^{2022}+2022^{2022}$を13で割った余りを求めよ.
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$\displaystyle \sum_{n=1}^{2022}n^{2022}=$
$1^{2022}+2^{2022}+3^{2022}+$
$･･････+2021^{2022}+2022^{2022}$を13で割った余りを求めよ.
福田の数学〜京都大学2022年文系第２問〜条件を満たす経路の総数と漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 下図(※動画参照)の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って\\
頂点をn回移動する。すなわち、この移動経路\\
P_0 \to P_1 \to P_2 \to \ldots \to P_{n-1} \to P_n (ただしP_0=A)\\
において、P_0P_1,P_1P_2,\ldots,P_{n-1}P_nは全て辺であるとする。\\
また、同じ頂点を何度通ってよいものとする。このような移動経路で、終点P_nがA,B,Cの\\
いずれかとなるものの総数a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 下図(※動画参照)の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って\\
頂点をn回移動する。すなわち、この移動経路\\
P_0 \to P_1 \to P_2 \to \ldots \to P_{n-1} \to P_n (ただしP_0=A)\\
において、P_0P_1,P_1P_2,\ldots,P_{n-1}P_nは全て辺であるとする。\\
また、同じ頂点を何度通ってよいものとする。このような移動経路で、終点P_nがA,B,Cの\\
いずれかとなるものの総数a_nを求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学文系過去問
【高校数学】シグマの例題演習～文字の扱いが難しい～ 3-8.5【数学Ｂ】
東京大2022理系
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
数列｛$a_n$｝を次のように定める。
$a_1=1$ , $a_{n+1}={a_n}^2+1(n=1,2,3\cdots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)$a_n$が$a_k$の倍数となる必要十分条件をk,nを用いて示せ。(k,n:正の整数)
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。
2022東京大学理系
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数列｛$a_n$｝を次のように定める。
$a_1=1$ , $a_{n+1}={a_n}^2+1(n=1,2,3\cdots)$
(1)正の整数nが3の倍数のとき$a_n$は5の倍数となることを示せ。
(2)$a_n$が$a_k$の倍数となる必要十分条件をk,nを用いて示せ。(k,n:正の整数)
(3)$a_{2022}$と$(a_{8091})^2$の最大公約数を求めよ。
2022東京大学理系
福田の入試問題解説〜東京大学2022年文系第３問〜漸化式と最大公約数
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{3}}}\ 数列\left\{a_n\right\}を次のように定める。\\
a_1=4, a_{n+1}=a_n^2+n(n+2)\\
(1)a_{2022}を3で割った余りを求めよ。\\
(2)a_{2022},a_{2023},a_{2024}の最大公約数を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東京大学文系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large{\boxed{3}}}\ 数列\left\{a_n\right\}を次のように定める。\\
a_1=4, a_{n+1}=a_n^2+n(n+2)\\
(1)a_{2022}を3で割った余りを求めよ。\\
(2)a_{2022},a_{2023},a_{2024}の最大公約数を求めよ。
\end{eqnarray}
2022東京大学文系過去問
一橋大 漸化式
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#場合の数と確率#確率#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#一橋大学#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
同時に1個ずつ取り出して入れかえる.
n回後にAがA,Bである確率を求めよ.
2022一橋大過去問
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同時に1個ずつ取り出して入れかえる.
n回後にAがA,Bである確率を求めよ.
2022一橋大過去問
【高校数学】計算のテクニック～シグマの例題演習～ 3-8.5【数学Ｂ】
福田の数学〜京都大学2022年理系第6問〜漸化式の解法
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ 数列\left\{x_n\right\}, \left\{y_n\right\}を次の式\\
x_1=0, x_{n+1}=x_n+n+2\cos\frac{2\pi x_n}{3} (n=1,2,3,\ldots)\\
y_{3m+1}=3m, y_{3m+2}=3m+2, y_{3m+3}=3m+4 (m=0,1,2,3,\ldots)\\
により定める。このとき、数列\left\{x_n-y_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{6}}\ 数列\left\{x_n\right\}, \left\{y_n\right\}を次の式\\
x_1=0, x_{n+1}=x_n+n+2\cos\frac{2\pi x_n}{3} (n=1,2,3,\ldots)\\
y_{3m+1}=3m, y_{3m+2}=3m+2, y_{3m+3}=3m+4 (m=0,1,2,3,\ldots)\\
により定める。このとき、数列\left\{x_n-y_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2022京都大学理系過去問
福田の入試問題解説〜北海道大学2022年理系第２問〜ベクトルと漸化式
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#数列#平面上のベクトルと内積#漸化式#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#北海道大学#数B#数C
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ aはa≠1を満たす正の実数とする。xy平面上の点P_1,P_2,\ldots\ldots,P_n,\ldots\ldotsおよび\\
Q_1,Q_2,\ldots\ldots,Q_n,\ldots\ldotsが、すべての自然数nについて\\
\overrightarrow{ P_nP_{n+1} }=(1-a)\overrightarrow{ P_nQ_n }, \overrightarrow{ Q_nQ_{n+1} }=(0, \frac{a^{-n}}{1-a})\\
を満たしているとする。またP_nの座標を(x_n,y_n)とする。\\
(1)x_{n+2}をa, x_n, x_{n+1}で表せ。\\
(2)x_1=0, x_2=1のとき、数列\left\{x_n\right\}の一般項を求めよ。\\
(3)y_1=\frac{a}{(1-a)^2}, y_2-y_1=1のとき数列\left\{y_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2022北海道大学理系過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ aはa≠1を満たす正の実数とする。xy平面上の点P_1,P_2,\ldots\ldots,P_n,\ldots\ldotsおよび\\
Q_1,Q_2,\ldots\ldots,Q_n,\ldots\ldotsが、すべての自然数nについて\\
\overrightarrow{ P_nP_{n+1} }=(1-a)\overrightarrow{ P_nQ_n }, \overrightarrow{ Q_nQ_{n+1} }=(0, \frac{a^{-n}}{1-a})\\
を満たしているとする。またP_nの座標を(x_n,y_n)とする。\\
(1)x_{n+2}をa, x_n, x_{n+1}で表せ。\\
(2)x_1=0, x_2=1のとき、数列\left\{x_n\right\}の一般項を求めよ。\\
(3)y_1=\frac{a}{(1-a)^2}, y_2-y_1=1のとき数列\left\{y_n\right\}の一般項を求めよ。
\end{eqnarray}
2022北海道大学理系過去問
福田の数学〜慶應義塾大学2022年薬学部第２問〜二項定理と数列の部分和
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#式と証明#整式の除法・分数式・二項定理#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}の初項から第n項までの和S_n、数列\left\{b_n\right\}の初項から第n項までの和T_n\\
はそれぞれ\\
S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k, T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k\\
で表される。\\
(1)x \gt y \geqq 1を満たす自然数x,yについて、\\
{}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j, y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,\\
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },\\
p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
(2)a_2,b_4の値をそれぞれ求めるとa_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
(3)S_n,a_nをそれぞれnの式で表すと、S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }である。\\
(4)b_nをnの式で表すと、b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2022慶應義塾大学薬学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{2}}\ 数列\left\{a_n\right\}の初項から第n項までの和S_n、数列\left\{b_n\right\}の初項から第n項までの和T_n\\
はそれぞれ\\
S_n=\sum_{k=1}^n {}_n \mathrm{ C }_k, T_n=\sum_{k=1}^n k・{}_n \mathrm{ C }_k\\
で表される。\\
(1)x \gt y \geqq 1を満たす自然数x,yについて、\\
{}_x \mathrm{ C }_y={}_{x-1} \mathrm{ C }_y+{}_i \mathrm{ C }_j, y・{}_x \mathrm{ C }_y=x・{}_p \mathrm{ C }_q,\\
が成り立つ。i,j,p,qをそれぞれx,yを用いて表すと、i=\boxed{\ \ ス\ \ },j=\boxed{\ \ セ\ \ },\\
p=\boxed{\ \ ソ\ \ },q=\boxed{\ \ タ\ \ }である。\\
(2)a_2,b_4の値をそれぞれ求めるとa_2=\boxed{\ \ チ\ \ },b_4=\boxed{\ \ ツ\ \ }である。\\
(3)S_n,a_nをそれぞれnの式で表すと、S_n=\boxed{\ \ テ\ \ },a_n=\boxed{\ \ ト\ \ }である。\\
(4)b_nをnの式で表すと、b_n=\boxed{\ \ ナ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2022慶應義塾大学薬学部過去問
例の“あれ”を使うだけの問題
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ f(n)=\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{1}{4^n}+…+\dfrac{1}{2022^n}$
$ \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}f(n)=?$これを解け.
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$ f(n)=\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3^n}+\dfrac{1}{4^n}+…+\dfrac{1}{2022^n}$
$ \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}f(n)=?$これを解け.
2022都立入試 整数問題証明(11の倍数)
単元：
#数学(中学生)#数A#数Ⅱ#式と証明#整数の性質#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#恒等式・等式・不等式の証明#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#高校入試過去問(数学)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
2022都立入試 整数問題証明に関して解説していきます.
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2022都立入試 整数問題証明に関して解説していきます.
【高校数学】和の記号・シグマの公式の証明 3-8.5【数学Ｂ】
高校入試だけど確率漸化式！？西大和学園2022入試問題解説100問解説！！58問目
単元：
#数学(中学生)#中２数学#確率#数列#漸化式#高校入試過去問(数学)#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
正四面体の頂点を、点Pが1秒ごとに今ある頂点以外の頂点に等しい確率で移動する
点Pが最初に点Aにあるとき4秒後に点Aにある確率は？
＊図は動画内参照
2022西大和学園高等学校
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正四面体の頂点を、点Pが1秒ごとに今ある頂点以外の頂点に等しい確率で移動する
点Pが最初に点Aにあるとき4秒後に点Aにある確率は？
＊図は動画内参照
2022西大和学園高等学校
2022藤田医科大 等差数列の超基本問題
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
公差が０でない整数の等差数列$a_n$がある
$\sum_{ }^{ } a_n$はn=7で
最大値119 $a_n$を求めよ。
藤田医学科大学
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公差が０でない整数の等差数列$a_n$がある
$\sum_{ }^{ } a_n$はn=7で
最大値119 $a_n$を求めよ。
藤田医学科大学
Σ
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
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$\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
2022藤田医科大 出題意図は「瞬殺せよ」なのかな？
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#藤田医科大学#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$a_1=5,$
$a_{n+1}=3a_n+2$
$\displaystyle \frac{a_{16}-a_{13}}{a_{12}-a_9}$
の値を求めよ。
2022年藤田医科大学 過去問
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$a_1=5,$
$a_{n+1}=3a_n+2$
$\displaystyle \frac{a_{16}-a_{13}}{a_{12}-a_9}$
の値を求めよ。
2022年藤田医科大学 過去問
福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題3。確率分布、統計の問題。
単元：
#大学入試過去問(数学)#確率分布と統計的な推測#確率分布#統計的な推測#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}(1)A地区で保護されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが\\
25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫された\\
ジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが\\
200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは\\
二項分布B(400,0,\boxed{\ \ アイ\ \ })に従うから、Zの平均(期待値)は\boxed{\ \ ウエオ\ \ }である。\\
\\
(2)Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において\\
重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を\\
R=\frac{Z}{400}とする。このとき、Rの標準偏差は\sigma(R)=\boxed{\ \ カ\ \ }である。\\
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布\\
N(0,\boxed{\ \ アイ\ \ },(\boxed{\ \ カ\ \ })^2)に従う。\\
したがって、P(R \geqq x)=0.0465となるようなxの値は\boxed{\ \ キ\ \ }となる。\\
ただし、\boxed{\ \ キ\ \ }の計算においては\sqrt3=1.73とする。\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{3}{6400} ①\frac{\sqrt3}{4} ②\frac{\sqrt3}{80} ③\frac{3}{40}\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪0.209 ①0.251 ②0.286 ③0.395\\
\\
\\
(3)B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから\\
300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ\\
1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、X\\
の取り得る値xの範囲は100 \leqq x \leqq 300である。\\
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定の全てのジャガイモのうち、\\
重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは\\
Xの確率密度関数f(x)として適当な関数を定め、それを用いて割合を\\
見積もるという方針を立てた。\\
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出\\
したところ、重さの標本平均は180gであった。\\
図1(※動画参照)はこの標本のヒストグラムである。\\
\\
\\
花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ\\
一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数f(x)として、1次関数\\
f(x)=ax+b (100 \leqq x \leqq 300)\\
を考えることにした。ただし、100 \leqq x \leqq 300の範囲でf(x) \geqq 0とする。\\
このとき、P(100 \leqq X \leqq 300)=\boxed{\ \ ク\ \ }であることから\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }・10^4a+\boxed{\ \ コ\ \ }・10^2b=\boxed{\ \ ク\ \ } \ldots①\\
\\
である。\\
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように\\
確率密度関数を定める方法を用いることにした。\\
連続型確率変数Xの取り得る値xの範囲が100 \leqq x \leqq 300で、その\\
確率密度関数がf(x)のとき、Xの平均(期待値)mは\\
m=\int_{100}^{300}xf(x)dx\\
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から\\
m=\frac{26}{3}・10^5a+4・10^4b=180 \ldots②\\
となる。①と②により、確率密度関数は\\
f(x)=-\ \boxed{\ \ サ\ \ }・10^{-5}x+\boxed{\ \ シス\ \ }・10^{-3} \ldots③\\
と得られる。このようにして得られた③のf(x)は、100 \leqq x \leqq 300の範囲で\\
f(x) \geqq 0を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。\\
したがって、この花子さんお方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される\\
予定の全てのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは\boxed{\ \ セ\ \ }%\\
あると見積もることができる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪33 ①34 ②35 ③36
\end{eqnarray}
2022共通テスト数学過去問
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\begin{eqnarray}(1)A地区で保護されるジャガイモには1個の重さが200gを超えるものが\\
25%含まれることが経験的にわかっている。花子さんはA地区で収穫された\\
ジャガイモから400個を無作為に抽出し、重さを計測した。そのうち、重さが\\
200gを超えるジャガイモの個数を表す確率変数をZとする。このときZは\\
二項分布B(400,0,\boxed{\ \ アイ\ \ })に従うから、Zの平均(期待値)は\boxed{\ \ ウエオ\ \ }である。\\
\\
(2)Zを(1)の確率変数とし、A地区で収穫されたジャガイモ400個からなる標本において\\
重さが200gを超えていたジャガイモの標本における比率を\\
R=\frac{Z}{400}とする。このとき、Rの標準偏差は\sigma(R)=\boxed{\ \ カ\ \ }である。\\
標本の大きさ400は十分に大きいので、Rは近似的に正規分布\\
N(0,\boxed{\ \ アイ\ \ },(\boxed{\ \ カ\ \ })^2)に従う。\\
したがって、P(R \geqq x)=0.0465となるようなxの値は\boxed{\ \ キ\ \ }となる。\\
ただし、\boxed{\ \ キ\ \ }の計算においては\sqrt3=1.73とする。\\
\\
\\
\boxed{\ \ カ\ \ }の解答群\\
⓪\frac{3}{6400} ①\frac{\sqrt3}{4} ②\frac{\sqrt3}{80} ③\frac{3}{40}\\
\\
\\
\boxed{\ \ キ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪0.209 ①0.251 ②0.286 ③0.395\\
\\
\\
(3)B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ1個の重さは100gから\\
300gの間に分布している。B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモ\\
1個の重さを表す確率変数をXとするとき、Xは連続型確率変数であり、X\\
の取り得る値xの範囲は100 \leqq x \leqq 300である。\\
花子さんは、B地区で収穫され、出荷される予定の全てのジャガイモのうち、\\
重さが200g以上のものの割合を見積もりたいと考えた。そのために花子さんは\\
Xの確率密度関数f(x)として適当な関数を定め、それを用いて割合を\\
見積もるという方針を立てた。\\
B地区で収穫され、出荷される予定のジャガイモから206個を無作為に抽出\\
したところ、重さの標本平均は180gであった。\\
図1(※動画参照)はこの標本のヒストグラムである。\\
\\
\\
花子さんは図1のヒストグラムにおいて、重さxの増加とともに度数がほぼ\\
一定の割合で減少している傾向に着目し、Xの確率密度関数f(x)として、1次関数\\
f(x)=ax+b (100 \leqq x \leqq 300)\\
を考えることにした。ただし、100 \leqq x \leqq 300の範囲でf(x) \geqq 0とする。\\
このとき、P(100 \leqq X \leqq 300)=\boxed{\ \ ク\ \ }であることから\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }・10^4a+\boxed{\ \ コ\ \ }・10^2b=\boxed{\ \ ク\ \ } \ldots①\\
\\
である。\\
花子さんは、Xの平均(期待値)が重さの標本平均180gと等しくなるように\\
確率密度関数を定める方法を用いることにした。\\
連続型確率変数Xの取り得る値xの範囲が100 \leqq x \leqq 300で、その\\
確率密度関数がf(x)のとき、Xの平均(期待値)mは\\
m=\int_{100}^{300}xf(x)dx\\
で定義される。この定義と花子さんの採用した方法から\\
m=\frac{26}{3}・10^5a+4・10^4b=180 \ldots②\\
となる。①と②により、確率密度関数は\\
f(x)=-\ \boxed{\ \ サ\ \ }・10^{-5}x+\boxed{\ \ シス\ \ }・10^{-3} \ldots③\\
と得られる。このようにして得られた③のf(x)は、100 \leqq x \leqq 300の範囲で\\
f(x) \geqq 0を満たしており、確かに確率密度関数として適当である。\\
したがって、この花子さんお方針に基づくと、B地区で収穫され、出荷される\\
予定の全てのジャガイモのうち、重さが200g以上のものは\boxed{\ \ セ\ \ }%\\
あると見積もることができる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ セ\ \ }については、最も適当なものを、次の⓪～③のうちから一つ選べ。\\
⓪33 ①34 ②35 ③36
\end{eqnarray}
2022共通テスト数学過去問
福田の共通テスト直前演習〜2021年共通テスト数学ⅡB問題4。数列の問題。
単元：
#大学入試過去問(数学)#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#センター試験・共通テスト関連#共通テスト#数学(高校生)#数B
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい\\
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。\\
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ\\
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに\\
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩\\
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は\\
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に\\
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び\\
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転\\
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い\\
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。\\
x=a_nを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=b_nをそのときの歩\\
行者の位置とする。\\
\\
\\
(1) 花子さんと太郎さんは、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項を求めるために、歩行者\\
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標\\
平面上の点(x,y)で表すことにした。\\
a_1=2,b_1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転\\
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を\\
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき\\
の時刻と位置を表す点の座標は(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })である。よって\\
a_2=\boxed{\ \ イ\ \ }, b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
である。\\
\\
花子:数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項について考える前に、\\
(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })の求め方について整理してみようか。\\
太郎:花子さんはどうやって求めたの？\\
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと\\
を利用したよ。\\
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を\\
計算して求めることもできるね。\\
\\
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標\\
は(a_n,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は\\
(a_n,b_n)である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に\\
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、a_n,b_nを用いて、\\
(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })と表せる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪a_n ①b_n ②2a_n\\
③a_n+b_n ④2b_n ⑤3a_n\\
⑥2a_n+b_n ⑦a_n+2b_n ⑧3b_n\\
\\
以上から、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}について、自然数nに対して、関係式\\
a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ } \ldots①\\
b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ } \ldots②\\
が成り立つことが分かる。まず、b_1=2と②から\\
b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ } (n=1,2,3,\ldots)\\
を得る。この結果と、a_1=2および１から\\
a_n=\boxed{\ \ コ\ \ } (n=1,2,3,\ldots)\\
がわかる。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }, \boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪3^{n-1}+1 ①\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}\\
②3^{n-1}+n ③\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}\\
④3^{n-1}+n^2 ⑤\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}\\
⑥2・3^{n-1} ⑦\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}\\
⑧2・3^{n-1}+n-1 ⑨\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}\\
ⓐ2・3^{n-1}+n^2-1 ⓑ\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}\\
\\
\\
(2)歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく\\
回数は\boxed{\ \ サ\ \ }回である。また、\boxed{\ \ サ\ \ }回目に自転車が歩行者に追いつく\\
時刻は、x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2022共通テスト数学過去問
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\begin{eqnarray}
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返してい\\
る。歩行者と自転車の動きについて、数学的に考えてみよう。\\
自宅を原点とする数直線を考え、歩行者と自転車をその数直線上を動く点とみ\\
なす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置にあるということに\\
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。歩\\
行者は時刻0に自宅を出発し、正の向きに毎分1の速さで歩き始める。自転車は\\
時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に\\
追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び\\
正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転\\
車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追い\\
かける。これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。\\
x=a_nを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=b_nをそのときの歩\\
行者の位置とする。\\
\\
\\
(1) 花子さんと太郎さんは、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項を求めるために、歩行者\\
と自転車について、時刻において位置yにいることをOを原点とする座標\\
平面上の点(x,y)で表すことにした。\\
a_1=2,b_1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転\\
車の位置を表す点の座標は(2,0)であり、その時の時刻と歩行者の位置を\\
表す点の座標は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくとき\\
の時刻と位置を表す点の座標は(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })である。よって\\
a_2=\boxed{\ \ イ\ \ }, b_2=\boxed{\ \ ウ\ \ }\\
である。\\
\\
花子:数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}の一般項について考える前に、\\
(\boxed{\ \ ア\ \ },\boxed{\ \ ア\ \ })の求め方について整理してみようか。\\
太郎:花子さんはどうやって求めたの？\\
花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まっていくこと\\
を利用したよ。\\
太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を\\
計算して求めることもできるね。\\
\\
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車の位置を表す点の座標\\
は(a_n,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は\\
(a_n,b_n)である。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に\\
追いつくときの時刻と位置を表す点の座標は、a_n,b_nを用いて、\\
(\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ })と表せる。\\
\\
\\
\boxed{\ \ エ\ \ },\boxed{\ \ オ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪a_n ①b_n ②2a_n\\
③a_n+b_n ④2b_n ⑤3a_n\\
⑥2a_n+b_n ⑦a_n+2b_n ⑧3b_n\\
\\
以上から、数列\left\{a_n\right\}, \left\{b_n\right\}について、自然数nに対して、関係式\\
a_{n+1}=a_n+\boxed{\ \ カ\ \ }\ b_n+\boxed{\ \ キ\ \ } \ldots①\\
b_{n+1}=3b_n+\boxed{\ \ ク\ \ } \ldots②\\
が成り立つことが分かる。まず、b_1=2と②から\\
b_n=\boxed{\ \ ケ\ \ } (n=1,2,3,\ldots)\\
を得る。この結果と、a_1=2および１から\\
a_n=\boxed{\ \ コ\ \ } (n=1,2,3,\ldots)\\
がわかる。\\
\\
\boxed{\ \ ケ\ \ }, \boxed{\ \ コ\ \ }の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)\\
⓪3^{n-1}+1 ①\frac{1}{2}・3^n+\frac{1}{2}\\
②3^{n-1}+n ③\frac{1}{2}・3^n+n-\frac{1}{2}\\
④3^{n-1}+n^2 ⑤\frac{1}{2}・3^n+n^2-\frac{1}{2}\\
⑥2・3^{n-1} ⑦\frac{5}{2}・3^{n-1}-\frac{1}{2}\\
⑧2・3^{n-1}+n-1 ⑨\frac{5}{2}・3^{n-1}+n-\frac{3}{2}\\
ⓐ2・3^{n-1}+n^2-1 ⓑ\frac{5}{2}・3^{n-1}+n^2-\frac{3}{2}\\
\\
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(2)歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が装甲車に追いつく\\
回数は\boxed{\ \ サ\ \ }回である。また、\boxed{\ \ サ\ \ }回目に自転車が歩行者に追いつく\\
時刻は、x=\boxed{\ \ シスセ\ \ }\ である。
\end{eqnarray}
2022共通テスト数学過去問
無題
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$ax+by=4$
$ax^2+by^2=2$
$ax^3+by^3=6$
$ax^4+by^4=38$
$ax^5+by^5=\Box$
これを解け.
この動画を見る
$ax+by=4$
$ax^2+by^2=2$
$ax^3+by^3=6$
$ax^4+by^4=38$
$ax^5+by^5=\Box$
これを解け.
【高校数学】和の記号・シグマ～数列の和を丁寧に～ 3-8【数学Ｂ】
【数学B/数列】an+1=pan+q型の漸化式（特性方程式）
単元：
#数列#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次のように定義される数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
$a_1=2,$ $a_{n+1}=3a_n-2$
この動画を見る
次のように定義される数列{$a_n$}の一般項$a_n$を求めよ。
$a_1=2,$ $a_{n+1}=3a_n-2$
階乗に関する問題！！
【数学B/数列】漸化式の基本
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学(高校生)#数B
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次のように定義される数列${a_n}$の一般項$a_n$を求めよ。
（1）
$a_1=1,$ $a_{n+1}=a_n+3$
（2）
$a_1=2,$ $a_{n+1}=3a_n$
（3）
$a_1=-1,$ $a_{n+1}=a_n+6n-2$
（4）
$a_1=1,$ $a_{n+1}=a_n+2^{n-1}$
この動画を見る
次のように定義される数列${a_n}$の一般項$a_n$を求めよ。
（1）
$a_1=1,$ $a_{n+1}=a_n+3$
（2）
$a_1=2,$ $a_{n+1}=3a_n$
（3）
$a_1=-1,$ $a_{n+1}=a_n+6n-2$
（4）
$a_1=1,$ $a_{n+1}=a_n+2^{n-1}$
【数学B/数列】(等差数列)×(等比数列)型の数列の和
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の和$S$を求めよ。
$S=1・1+2・3+3・3^2+4・3^3+$
$…+n・3^{n-1}$
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次の和$S$を求めよ。
$S=1・1+2・3+3・3^2+4・3^3+$
$…+n・3^{n-1}$
【数学B/数列】部分分数分解を使った和の計算問題
単元：
#数列#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#数学(高校生)#数B
指導講師：
【ゼロから理解できる】高校数学・物理
問題文全文(内容文)：
次の和を求めよ。
$\displaystyle \frac{1}{1・3}+\displaystyle \frac{1}{3・5}+\displaystyle \frac{1}{5・7}+$
$…+\displaystyle \frac{1}{(2n-1)・(2n+1)}$
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次の和を求めよ。
$\displaystyle \frac{1}{1・3}+\displaystyle \frac{1}{3・5}+\displaystyle \frac{1}{5・7}+$
$…+\displaystyle \frac{1}{(2n-1)・(2n+1)}$