微分とその応用
微分とその応用
#京都大学1965#微分_28#元高校教員
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#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x^3}$において
$f'(1)$を定義に従って求めよ。
出典：1965年京都大学
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$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x^3}$において
$f'(1)$を定義に従って求めよ。
出典：1965年京都大学
大学入試問題#917「さすがに落とせん」
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#学校別大学入試過去問解説(数学)#京都大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\sqrt{ 1+x+x^2 }$
$x=1$における微分係数を定義に従って求めよ
出典：1965年京都大学
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$\sqrt{ 1+x+x^2 }$
$x=1$における微分係数を定義に従って求めよ
出典：1965年京都大学
福田のおもしろ数学169〜log x/xの極限
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}$=0 を証明せよ。
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$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x}$=0 を証明せよ。
福田の数学〜九州大学2024年理系第5問〜定積分で定義された数列の極限
単元：
#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#数列の極限#微分法#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
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$\Large\boxed{5}$ 自然数$m$, $n$に対して
$I(m,n)$=$\displaystyle\int_1^ex^me^x(\log x)^ndx$
とする。以下の問いに答えよ。
(1)$I(m+1,n+1)$を$I(m,n+1)$, $I(m,n)$, $m$, $n$を用いて表せ。
(2)すべての自然数$m$に対して、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}I(m,n)$=0 が成り立つことを示せ。
高校数学：数学検定準1級2次：問題7 関数の増減と変曲点
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#数学検定・数学甲子園・数学オリンピック等#微分とその応用#微分法#数学検定#数学検定準1級#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) $f(x)$の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) $xy$平面における曲線$y＝f(x)$は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
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$f(x)＝\displaystyle \frac{2x－1}{x^2－x＋1}$
について、次の問いに答えなさい。
(1) $f(x)$の増減を調べ、その極値を求めなさい。また、極値をとるときのxの値も求めなさい。
(2) $xy$平面における曲線$y＝f(x)$は３個の変曲点をもちます(このことを証明する必要はありません)。これらの変曲点の座標をすべて求めなさい。
福田の数学〜東京大学2018年理系第1問〜関数の増減と極限の計算
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#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
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$f(x)=\dfrac{x}{\sin x}+\cos x (0 \lt x \lt \pi)$のぞうげんひょうを作り、$x→+0,x→\pi-0$のときの極限を調べよ。
2018東京大学理過去問
福田のおもしろ数学037〜相加相乗平均の罠〜2変数関数の最小値
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#数Ⅰ#２次関数#式と証明#恒等式・等式・不等式の証明#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$x>1,y>1$のとき、
$x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}$の最小値を求めよ
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$x>1,y>1$のとき、
$x+y+\frac{2}{x+y}+\frac{1}{2xy}$の最小値を求めよ
福田の数学〜3次方程式の解の存在範囲に関する問題〜東京大学2018年文系第3問〜関数の増減と方程式の解
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#大学入試過去問(数学)#平面上のベクトル#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
a>0とし、f(x)=$x^3-3a^2x$とおく。
( 1 )x$ \geqq 1$でf(x)が単調に増加するための aについての条件を求めよ。
( 2 )次の 2 条件を満たす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件 1 :方程式f(x)=bは相異なる 3 実数解をもつ。
条件 2 :さらに方程式f(x)=bの解を$\alpha<\beta<\gamma$とすると、β ＞ 1 である。
2018東京大学文過去問
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a>0とし、f(x)=$x^3-3a^2x$とおく。
( 1 )x$ \geqq 1$でf(x)が単調に増加するための aについての条件を求めよ。
( 2 )次の 2 条件を満たす点(a,b)の動きうる範囲を求め、座標平面上に図示せよ。
条件 1 :方程式f(x)=bは相異なる 3 実数解をもつ。
条件 2 :さらに方程式f(x)=bの解を$\alpha<\beta<\gamma$とすると、β ＞ 1 である。
2018東京大学文過去問
福田の数学〜複数の絶対値に対応できるか〜東京大学2018年文系第1問(1)〜絶対値を含む関数の最小
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#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東京大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
座標平面上に放物線 C を$y=x^2-3x+4$ で定め、領域Dを$y \geqq x^2-3x+4$で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
(1) 放物線 C 上を動く点 A と直線l, m の距離をそれぞれL,M とする。$\sqrt{ \mathstrut L } + \sqrt{ \mathstrut M }$が最小値をとるときの点 A の座標を求めよ。
2018東京大学文過去問
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座標平面上に放物線 C を$y=x^2-3x+4$ で定め、領域Dを$y \geqq x^2-3x+4$で定める。原点を通る 2 直線l, m は C に接する。
(1) 放物線 C 上を動く点 A と直線l, m の距離をそれぞれL,M とする。$\sqrt{ \mathstrut L } + \sqrt{ \mathstrut M }$が最小値をとるときの点 A の座標を求めよ。
2018東京大学文過去問
福田の数学〜この関数にピンときたら大正解〜北里大学2023年医学部第2問〜関数の増減と方程式の実数解の個数
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#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#北里大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=2^x-x^2$について考える。必要ならば、$0.6 \lt \log 2 \lt 0.7,-0.4 \lt \log(\log2) \lt -0.3を用いてよい。
(1)$f(x)$は区間 $x \geqq 4$で増加することを示せ。
(2)方程式$f'(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(4)方程式$f(x)=0$の実数解のうち、最小のものをpとする。この時、曲線$y=f(x)の$x \leq 0$の部分、放物線$y=-x^2+\dfrac{2}{\log2}x$、および２つの直線$x=p,x=0$で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023北里大学医過去問
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関数$f(x)=2^x-x^2$について考える。必要ならば、$0.6 \lt \log 2 \lt 0.7,-0.4 \lt \log(\log2) \lt -0.3を用いてよい。
(1)$f(x)$は区間 $x \geqq 4$で増加することを示せ。
(2)方程式$f'(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(3)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ。
(4)方程式$f(x)=0$の実数解のうち、最小のものをpとする。この時、曲線$y=f(x)の$x \leq 0$の部分、放物線$y=-x^2+\dfrac{2}{\log2}x$、および２つの直線$x=p,x=0$で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023北里大学医過去問
【演習！】不等式の証明での微分の使い方について解説しました！【数学III】
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ
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$x≧0$をみたす全ての実数$x$について
$x-\frac{x^3}{6}≦\sin x$
が成り立つことを示せ
数学どうにかしたい人へ
単元：
#数Ⅰ#数A#数Ⅱ#数と式#２次関数#場合の数と確率#図形の性質#式と証明#複素数と方程式#平面上のベクトル#空間ベクトル#平面上の曲線#複素数平面#図形と計量#データの分析#式の計算（整式・展開・因数分解）#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#一次不等式（不等式・絶対値のある方程式・不等式）#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#2次方程式と2次不等式#2次関数とグラフ#三角比（三角比・拡張・相互関係・単位円）#三角比への応用（正弦・余弦・面積）#データの分析#整数の性質#場合の数#確率#三角形の辺の比（内分・外分・二等分線）#内心・外心・重心とチェバ・メネラウス#周角と円に内接する四角形・円と接線・接弦定理#方べきの定理と２つの円の関係#約数・倍数・整数の割り算と余り・合同式#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#図形と方程式#三角関数#指数関数と対数関数#微分法と積分法#整式の除法・分数式・二項定理#恒等式・等式・不等式の証明#複素数#解と判別式・解と係数の関係#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#円と方程式#軌跡と領域#三角関数とグラフ#加法定理とその応用#指数関数#対数関数#平均変化率・極限・導関数#接線と増減表・最大値・最小値#数列#確率分布と統計的な推測#平面上のベクトルと内積#ベクトルと平面図形、ベクトル方程式#空間ベクトル#数列とその和（等差・等比・階差・Σ）#漸化式#数学的帰納法#確率分布#統計的な推測#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#2次曲線#複素数平面#図形への応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#数列の極限#関数の極限#微分法#色々な関数の導関数#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#不定積分#定積分#面積・体積・長さ・速度#空間における垂直と平行と多面体（オイラーの法則）#不定積分・定積分#面積、体積#媒介変数表示と極座標#速度と近似式#数学(高校生)#数B#数C#数Ⅲ
指導講師：
カサニマロ【べんとう・ふきのとうの授業動画】
問題文全文(内容文)：
数学が共通テストのみの人の勉強法紹介動画です
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福田の数学〜絞り込めればなんとかなる！〜明治大学2023年全学部統一ⅠⅡＡＢ第1問(4)〜不等式を満たす自然数解
単元：
#数A#大学入試過去問(数学)#整数の性質#ユークリッド互除法と不定方程式・Ｎ進法#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#明治大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
自然数$m,n$があり、$1\lt m\lt n$とする。
$\displaystyle (m+\frac{1}{n})(n+\frac{1}{m})\leqq 12$
を満たす$(m,n)$を求めよ。
2023明治大学過去問
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自然数$m,n$があり、$1\lt m\lt n$とする。
$\displaystyle (m+\frac{1}{n})(n+\frac{1}{m})\leqq 12$
を満たす$(m,n)$を求めよ。
2023明治大学過去問
【割り算の微分】商の微分の導出について解説しました！【数学III】
【積の微分】積の微分の導出について解説しました！【数学III】
【微分の使い方】微分を用いたグラフの描き方を解説しました！【数学III】
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
$y=-x^3+6x^2-9x+2$のグラフを描け。
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$y=-x^3+6x^2-9x+2$のグラフを描け。
【短時間でマスター!!】円の接線の求め方を解説！〔現役講師解説、数学〕
単元：
#微分とその応用#接線と法線・平均値の定理#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
3rd School
問題文全文(内容文)：
数学2B
円の接線の求め方を解説します。
点A$(3.1)$から円$x^2+y^2=2$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
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数学2B
円の接線の求め方を解説します。
点A$(3.1)$から円$x^2+y^2=2$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。
関数はパターンだ！！宮崎学園 （宮崎）
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
点Dの座標は？
＊図は動画内参照
宮崎学園高等学校
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点Dの座標は？
＊図は動画内参照
宮崎学園高等学校
関数はパターンだ！！北陸高校（福井県）
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
数学を数楽に
問題文全文(内容文)：
△OAB=△PAB
S=？（S>2）
＊図は動画内参照
北陸（改）
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△OAB=△PAB
S=？（S>2）
＊図は動画内参照
北陸（改）
【微分の定義は？！】微分の定義をイメージで解説しました！【数学III】
福田の数学〜立教大学2023年理学部第1問(2)〜極値をとる条件
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#立教大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ (2)関数$f(t)$=$a\cos^3t$+$\cos^2t$が$t$=$\frac{\pi}{4}$で極値をとるとき、$a$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
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$\Large\boxed{1}$ (2)関数$f(t)$=$a\cos^3t$+$\cos^2t$が$t$=$\frac{\pi}{4}$で極値をとるとき、$a$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$である。
福田の数学〜筑波大学2023年理系第5問〜関数の増減と極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#関数（分数関数・無理関数・逆関数と合成関数）#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#筑波大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ $f(x)$=$x^{-2}e^x$ ($x$＞0)とし、曲線$y$=$f(x)$をCとする。また$h$を正の実数とする。さらに、正の実数$t$に対して、曲線C、2直線$x$=$t$, $x$=$t$+$h$、および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする。
(1)$g'(t)$を求めよ。
(2)$g(t)$を最小にする$t$がただ1つ存在することを示し、その$t$を$h$を用いて表せ。
(3)(2)で得られた$t$を$t(h)$とする。このとき極限値$\displaystyle\lim_{h \to +0}t(h)$を求めよ。
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$\Large\boxed{5}$ $f(x)$=$x^{-2}e^x$ ($x$＞0)とし、曲線$y$=$f(x)$をCとする。また$h$を正の実数とする。さらに、正の実数$t$に対して、曲線C、2直線$x$=$t$, $x$=$t$+$h$、および$x$軸で囲まれた図形の面積を$g(t)$とする。
(1)$g'(t)$を求めよ。
(2)$g(t)$を最小にする$t$がただ1つ存在することを示し、その$t$を$h$を用いて表せ。
(3)(2)で得られた$t$を$t(h)$とする。このとき極限値$\displaystyle\lim_{h \to +0}t(h)$を求めよ。
福田の数学〜神戸大学2023年理系第5問〜媒介変数表示で表された曲線と面積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#面積・体積・長さ・速度#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#神戸大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$ (0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
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$\Large\boxed{5}$ 媒介変数表示
$x$=$\sin t$, $y$=$\cos(t-\frac{\pi}{6})\sin t$ (0≦$t$≦$\pi$)
で表される曲線をCとする。以下の問いに答えよ。
(1)$\frac{dx}{dt}$=0 または $\frac{dy}{dt}$=0 となる$t$の値を求めよ。
(2)Cの概形を$xy$平面上に描け。
(3)Cの$y$≦0 の部分と$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
2023神戸大学理系過去問
福田の数学〜九州大学2023年理系第4問〜加法定理が成り立つ関数を調べるPART2
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#九州大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=0, $g'(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f'(x)$=$-g(x)$, $g'(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=a, $g'(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$, $q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $g(x)$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f'(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p'(0)$=0, $q'(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る関数を求めよ。
2023九州大学理系過去問
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$\Large\boxed{4}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=0, $g'(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f'(x)$=$-g(x)$, $g'(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=a, $g'(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$, $q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $g(x)$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f'(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p'(0)$=0, $q'(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る関数を求めよ。
2023九州大学理系過去問
福田の数学〜九州大学2023年理系第4問〜加法定理が成り立つ関数を調べるPART1
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#三角関数#微分法と積分法#加法定理とその応用#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#九州大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{4}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=0, $g'(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f'(x)$=$-g(x)$, $g'(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=a, $g'(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$, $q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $g(x)$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f'(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p'(0)$=0, $q'(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る関数を求めよ。
2023九州大学理系過去問
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$\Large\boxed{4}$ 以下の文章を読んで後の問いに答えよ。
三角関数$\cos x$, $\sin x$については加法定理が成立するが、逆に加法定理を満たす関数はどのようなものがあるだろうか。実数全体を定義域とする実数値関数$f(x)$, $g(x)$が以下の条件を満たすとする。
(A)すべてのx, yについて$f(x+y)$=$f(x)$$f(y)$-$g(x)$$g(y)$
(B)すべてのx, yについて$g(x+y)$=$f(x)$$g(y)$+$g(x)$$f(y)$
(C)$f(0)$$\ne$0
(D)$f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=0, $g'(0)$=1
条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0 がわかる。以上のことから$f(x)$, $g(x)$はすべてのxの値で微分可能で、$f'(x)$=$-g(x)$, $g'(x)$=$f(x)$が成立することが示される。上のことから$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 であることが、実部と虚部を調べることによりわかる。ただし$i$は虚数単位である。よって条件(A), (B), (C), (D)を満たす関数は三角関数$f(x)$=$\cos x$, $g(x)$=$\sin x$であることが示される。
さらに、a, bを実数でb≠0とする。このとき条件(D)をより一般的な(D)', $f(x)$, $g(x)$はx=0で微分可能で$f'(0)$=a, $g'(0)$=b
におきかえて、条件(A), (B), (C), (D)'を満たす$f(x)$, $g(x)$はどのような関数になるか考えてみる。この場合でも、条件(A), (B), (C)から$f(0)$=1, $g(0)$=0が上と同様にわかる。ここで
$p(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}f(\frac{x}{b})$, $q(x)$=$e^{-\frac{a}{b}x}g(\frac{x}{b})$
とおくと、条件(A), (B), (C), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされる。すると前半の議論により、$p(x)$, $q(x)$がまず求まり、このことを用いると$f(x)$=$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $g(x)$=$\boxed{\ \ イ\ \ }$が得られる。
(1)下線部①について、$f(0)$=1, $g(0)$=0であることを示せ。
(2)下線部②について、$f(x)$がすべてのxの値で微分可能な関数であり、
$f'(x)$=$-g(x)$となることを示せ。
(3)下線部③について、下線部①、下線部②の事実を用いることにより、
$\left\{f(x)+ig(x)\right\}$$(\cos x-i\sin x)$=1 となることを示せ。
(4)下線部④について、条件(B), (D)において、$f(x)$を$p(x)$に、$g(x)$を$q(x)$におきかえた条件が満たされることを示せ。つまり$p(x)$を$q(x)$が、
(B)すべてのx, yについて、$q(x+y)$=$p(x)$$q(y)$+$q(x)$$p(y)$
(D)$p(x)$, $q(x)$はx=0 で微分可能で$p'(0)$=0, $q'(0)$=1
を満たすことを示せ。また空欄$\boxed{\ \ ア\ \ }$, $\boxed{\ \ イ\ \ }$に入る関数を求めよ。
2023九州大学理系過去問
福田の数学〜名古屋大学2023年文系第1問〜3次関数と2次関数のグラフ
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#2次関数とグラフ#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{1}$ aを実数とし、2つの関数$f(x)=x^3-(a+2)x^2+2a+1 $と$g(x)$=$-x^2+1$ を考える。
(1)$f(x)$-$g(x)$ を因数分解せよ。
(2)y=$f(x)$とy=$g(x)$のグラフの共有点が2個であるようなaを求めよ。
(3)aは(2)の条件を満たし、さらに$f(x)$の極大値は1よりも大きいとする。
y=$f(x)$とy=$g(x)$のグラフを同じ座標平面に図示せよ。
2023名古屋大学文系過去問
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$\Large\boxed{1}$ aを実数とし、2つの関数$f(x)=x^3-(a+2)x^2+2a+1 $と$g(x)$=$-x^2+1$ を考える。
(1)$f(x)$-$g(x)$ を因数分解せよ。
(2)y=$f(x)$とy=$g(x)$のグラフの共有点が2個であるようなaを求めよ。
(3)aは(2)の条件を満たし、さらに$f(x)$の極大値は1よりも大きいとする。
y=$f(x)$とy=$g(x)$のグラフを同じ座標平面に図示せよ。
2023名古屋大学文系過去問
福田の数学〜名古屋大学2023年理系第３問〜方程式の負の実数解の個数
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#複素数と方程式#微分法と積分法#剰余の定理・因数定理・組み立て除法と高次方程式#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ (1)方程式$e^x$=$\frac{2x^3}{x-1}$ の負の実数解の個数を求めよ。
(2)$y$=$x(x^2-3)$と$y$=$e^x$のグラフの$x$＜0における共有点の個数を求めよ。
(3)$a$を正の実数とし、関数$f(x)$=$x(x^2-a)$を考える。$y$=$f(x)$と$y$=$e^x$のグラフの$x$＜0における共有点は1個のみであるとする。このような$a$がただ1つ存在することを示せ。
2023名古屋大学理系過去問
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$\Large\boxed{3}$ (1)方程式$e^x$=$\frac{2x^3}{x-1}$ の負の実数解の個数を求めよ。
(2)$y$=$x(x^2-3)$と$y$=$e^x$のグラフの$x$＜0における共有点の個数を求めよ。
(3)$a$を正の実数とし、関数$f(x)$=$x(x^2-a)$を考える。$y$=$f(x)$と$y$=$e^x$のグラフの$x$＜0における共有点は1個のみであるとする。このような$a$がただ1つ存在することを示せ。
2023名古屋大学理系過去問
福田の数学〜名古屋大学2023年理系第２問〜回転体の体積と関数の増減と最大
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#微分法と積分法#微分とその応用#積分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#面積、体積#数学(高校生)#名古屋大学#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。
2023名古屋大学理系過去問
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$\Large\boxed{2}$ 0＜b＜a とする。xy平面において、原点を中心とする半径rの円Cと点(a, 0)を中心とする半径bの円Dが2点で交わっている。
(1)半径rの満たすべき条件を求めよ。
(2)CとDの交点のうちy座標が正のものをPとする。Pのx座標h(r)を求めよ。
(3)点Q(r, 0)と点R(a-b, 0)をとる。Dの内部にあるCの弧PQ、線分QR、および線分RPで囲まれる図形をAとする。xyz空間においてAをx軸の周りに1回転して得られる立体の体積V(r)を求めよ。ただし答えにh(r)を用いてもよい。
(4)(3)の最大値を与えるrを求めよ。また、そのrをr(a)とおいたとき、
$\displaystyle\lim_{a \to \infty}(r(a)-a)$を求めよ。
2023名古屋大学理系過去問
【数Ⅲ】微分法：整式の次数に着目して解く問題
単元：
#微分とその応用#微分法#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)$は0でない整式で次を満たすとする。
・$xf''(x) + (1 - x)f'(x) + 3f(x) = 0$
・$f(0) = 1$
（１）$f(x)$の次数を求めよ
（２）$f(x)$を求めよ
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$f(x)$は0でない整式で次を満たすとする。
・$xf''(x) + (1 - x)f'(x) + 3f(x) = 0$
・$f(0) = 1$
（１）$f(x)$の次数を求めよ
（２）$f(x)$を求めよ
福田の数学〜東北大学2023年文系第３問〜軸の動く最大最小
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#２次関数#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#東北大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\Large\boxed{3}$ aを実数とし、2次関数f(x)=$x^2$+2$ax$-3 を考える。実数xがa≦x≦a+3 の範囲を動くときのf(x)の最大値および最小値を、それぞれM(a), m(a)とする。
以下の問いに答えよ。
(1)M(a)をaを用いて表せ。
(2)m(a)をaを用いて表せ。
(3)aがすべての実数を動くとき、m(a)の最小値を求めよ。
2023東北大学文系過去問
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$\Large\boxed{3}$ aを実数とし、2次関数f(x)=$x^2$+2$ax$-3 を考える。実数xがa≦x≦a+3 の範囲を動くときのf(x)の最大値および最小値を、それぞれM(a), m(a)とする。
以下の問いに答えよ。
(1)M(a)をaを用いて表せ。
(2)m(a)をaを用いて表せ。
(3)aがすべての実数を動くとき、m(a)の最小値を求めよ。
2023東北大学文系過去問