関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）
関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）
福田の数学〜明治大学2021年全学部統一入試Ⅲ第１問〜関数の増減と面積
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#大学入試解答速報#数学#明治大学#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$関数$f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2})$の定義域は$-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$f(x)$は$x=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$のとき、
最大値$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$をとる。曲線$y=f(x)$、
直線$y=2x$およびy軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$となる。
$\boxed{\ \ ケ\ \ }$の解答群
$⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi ①\frac{\sqrt3}{36}\pi ②\frac{\sqrt3}{72}\pi ③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi$
$⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi$
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${\Large\boxed{1}}$関数$f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{2-3x^2})$の定義域は$-\frac{\sqrt{\boxed{\ \ ア\ \ }}}{\boxed{\ \ イ\ \ }} \leqq x \leqq \frac{\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }}}{\boxed{\ \ エ\ \ }}$であり、
$f(x)$は$x=\frac{\sqrt{\boxed{\ \ オ\ \ }}}{\boxed{\ \ カ\ \ }}$のとき、
最大値$\frac{\sqrt{\boxed{\ \ キ\ \ }}}{\boxed{\ \ ク\ \ }}$をとる。曲線$y=f(x)$、
直線$y=2x$およびy軸で囲まれた図形の面積は$\boxed{\ \ ケ\ \ }$となる。
$\boxed{\ \ ケ\ \ }$の解答群
$⓪\frac{\sqrt3}{18}\pi ①\frac{\sqrt3}{36}\pi ②\frac{\sqrt3}{72}\pi ③\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ④\frac{1}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi$
$⑤\frac{5}{24}+\frac{\sqrt3}{36}\pi ⑥\frac{1}{3}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑦\frac{1}{6}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑧\frac{1}{8}+\frac{\sqrt3}{18}\pi ⑨\frac{7}{24}+\frac{\sqrt3}{18}\pi$
福田の数学〜青山学院大学2021年理工学部第５問〜絶対値の付いた関数と面積の最大最小
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#青山学院大学
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{5}}$tを$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする。関数
$f(x)=|\sin x-\sin t| (0 \leqq x \leqq \pi)$
について、以下の問いに答えよ。
(1)$t=\frac{\pi}{6}$のとき$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$のグラフを描け。
(2)$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$のグラフとx軸、y軸および直線$x=\pi$
で囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。
(3)tが$\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くときのSの最大値と最小値を求めよ。
2021青山学院大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{5}}$tを$0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする。関数
$f(x)=|\sin x-\sin t| (0 \leqq x \leqq \pi)$
について、以下の問いに答えよ。
(1)$t=\frac{\pi}{6}$のとき$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$のグラフを描け。
(2)$y=f(x) (0 \leqq x \leqq \pi)$のグラフとx軸、y軸および直線$x=\pi$
で囲まれた図形の面積をSとする。Sをtを用いて表せ。
(3)tが$\leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くときのSの最大値と最小値を求めよ。
2021青山学院大学理工学部過去問
福田の数学〜上智大学2021年TEAP利用理系第４問〜楕円と弦の中点の軌跡
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#図形と方程式#軌跡と領域#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{4}}$Oを原点とする座標平面において、楕円$D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 上に異なる2点$P_1,P_2$
がある。$P_1$における接線$l_1$と$P_2$における接線$l_2$の交点を$Q(a,\ b)$とし、線分$P_1P_2$の
中点をRとする。
(1)$P_1$の座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき、$l_1$の方程式は$x_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0$
と表される。
(2)直線$P_1P_2$の方程式は、a,bを用いて$ax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0$と表される。
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって$\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }$が成り立つ。
(4)$l_1$と$l_2$のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、$l_1$と$l_2$の傾きは
tの方程式$(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0$ の解である。
(5)$l_1$と$l_2$が直交しながら$P_1,P_2$が動くとする。
$(\textrm{i})Q$の軌跡の方程式を求めよ。 $(\textrm{ii})R$のy座標の最大値を求めよ。
$(\textrm{iii})R$の軌跡の概形を描け。
2021上智大学理系過去問
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${\Large\boxed{4}}$Oを原点とする座標平面において、楕円$D:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$ 上に異なる2点$P_1,P_2$
がある。$P_1$における接線$l_1$と$P_2$における接線$l_2$の交点を$Q(a,\ b)$とし、線分$P_1P_2$の
中点をRとする。
(1)$P_1$の座標を$(x_1,\ y_1)$とするとき、$l_1$の方程式は$x_1x+\boxed{\ \ チ\ \ }\ y_1y+\boxed{\ \ ツ\ \ }=0$
と表される。
(2)直線$P_1P_2$の方程式は、a,bを用いて$ax+\boxed{\ \ テ\ \ }\ by+\boxed{\ \ ト\ \ }=0$と表される。
(3)3点O,R,Qは一直線上にあって$\overrightarrow{ OR }=\frac{\boxed{\ \ ナ\ \ }}{a^2+\boxed{\ \ ニ\ \ }\ b^2}\overrightarrow{ OQ }$が成り立つ。
(4)$l_1$と$l_2$のどちらもy軸と平行ではないとする。このとき、$l_1$と$l_2$の傾きは
tの方程式$(a^2+\boxed{\ \ ヌ\ \ })t^2+\boxed{\ \ ネ\ \ }abt+(b^2+\boxed{\ \ ノ\ \ })=0$ の解である。
(5)$l_1$と$l_2$が直交しながら$P_1,P_2$が動くとする。
$(\textrm{i})Q$の軌跡の方程式を求めよ。 $(\textrm{ii})R$のy座標の最大値を求めよ。
$(\textrm{iii})R$の軌跡の概形を描け。
2021上智大学理系過去問
福田のわかった数学〜高校３年生理系070〜接線(2)媒介変数表示の接線
単元：
#平面上の曲線#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#媒介変数表示と極座標#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$接線(2) 媒介変数表示の接線
$\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.$
で表される曲線の$\theta=\frac{3\pi}{2}$のときの点Pにおける接線を求めよ。
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数学$\textrm{III}$接線(2) 媒介変数表示の接線
$\left\{
\begin{array}{1}
x=\theta-\sin\theta\\
y=1-\cos\theta
\end{array}
\right.$
で表される曲線の$\theta=\frac{3\pi}{2}$のときの点Pにおける接線を求めよ。
【数Ⅲ】微分法：伝説の静岡大学のグラフの問題を紹介！！どんなグラフになるか予想しよう！（概要欄にネタバレあり）
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#静岡大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x),g(x)$を $f(x)=x^4-x^2+6(\vert x\vert\leqq 1),\dfrac{12}{\vert x\vert +1}(\vert x\vert\gt 1)$,$g(x)=\dfrac{1}{2}\cos2\pi x+\dfrac{7}{2}(\vert x\vert\leqq 2)$ で定義する。このとき次の問いに答えよ。
$f(x),g(x)$の増減を調べ、2曲線$C_1：y=f(x),C_2：y=g(x)$のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ。
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関数$f(x),g(x)$を $f(x)=x^4-x^2+6(\vert x\vert\leqq 1),\dfrac{12}{\vert x\vert +1}(\vert x\vert\gt 1)$,$g(x)=\dfrac{1}{2}\cos2\pi x+\dfrac{7}{2}(\vert x\vert\leqq 2)$ で定義する。このとき次の問いに答えよ。
$f(x),g(x)$の増減を調べ、2曲線$C_1：y=f(x),C_2：y=g(x)$のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系068〜微分(13)関数方程式
単元：
#微分とその応用#微分法#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
数学$\textrm{III}$ 微分(13) 関数方程式
$x \gt 0$ で定義された微分可能な関数$f(x)$において、$f(xy)=f(x)+f(y)$
が正の数$x,\ y$に対して常に成り立ち、$f'(1)=1$とする。
(1)$f(1)$ を求めよ。
(2)$f'(x)=\frac{1}{x}$ を示せ。
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数学$\textrm{III}$ 微分(13) 関数方程式
$x \gt 0$ で定義された微分可能な関数$f(x)$において、$f(xy)=f(x)+f(y)$
が正の数$x,\ y$に対して常に成り立ち、$f'(1)=1$とする。
(1)$f(1)$ を求めよ。
(2)$f'(x)=\frac{1}{x}$ を示せ。
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第２問(1)〜条件を満たす関数と命題の否定
単元：
#数Ⅰ#大学入試過去問(数学)#数と式#集合と命題（集合・命題と条件・背理法）#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#上智大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{2}}$(1)実数全体で定義され、実数の値をとる関数$f(x)$に対する次の条件$p$を考える。
$p:「K以上の全ての実数xに対してf(x) \geqq 1」$が成り立つような実数Kが存在する。
$(\textrm{i})$次に挙げた関数$(\textrm{a})～(\textrm{d})$のそれぞれについて、pを満たすならばo、pを
満たさないならばxをマークせよ。
$(\textrm{a})f(x)=xe^{-x} (\textrm{b})f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} (\textrm{c})f(x)=x+\sin x (\textrm{d})f(x)=x\sin x$
$(\textrm{ii})$次の条件がpの否定になるように、$\boxed{\ \ あ\ \ }～\boxed{\ \ え\ \ }$のそれぞれの選択肢から、
あてはまるものを選べ。
・$「\boxed{\ \ あ\ \ }\ \boxed{\ \ い\ \ }$実数に対して$\boxed{\ \ う\ \ }」が\boxed{\ \ え\ \ }$
$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})K$以上の $(\textrm{b})K$未満の
$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢:$(\textrm{a})$すべての $(\textrm{b})$ある
$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})f(x) \geqq 1 (\textrm{b})f(x) \lt 1$
$\boxed{\ \ え\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})$どんな実数Kについても成り立つ $\\(\textrm{b})$成り立つような実数Kが存在する
$(\textrm{iii})$関数$f(x)$に対して、$g(x)=2f(x)$で関数$g(x)$を定める。次に挙げた命題$(\textrm{A})～(\textrm{D})$
のそれぞれについて、正しければoを、正しくなければxを、マークせよ。
$(\textrm{A})f(x)$が$p$を満たすならば、$g(x)$も$p$を満たす。
$(\textrm{B})g(x)$が$p$を満たすならば、$f(x)$もpを満たす。
$(\textrm{C})f(x)$が$p$を満たさないならば、$g(x)$もpを満たさない。
$(\textrm{D})f(x)$がpを満たさないならば、$g(x)$も$p$を満たす。
2021上智大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{2}}$(1)実数全体で定義され、実数の値をとる関数$f(x)$に対する次の条件$p$を考える。
$p:「K以上の全ての実数xに対してf(x) \geqq 1」$が成り立つような実数Kが存在する。
$(\textrm{i})$次に挙げた関数$(\textrm{a})～(\textrm{d})$のそれぞれについて、pを満たすならばo、pを
満たさないならばxをマークせよ。
$(\textrm{a})f(x)=xe^{-x} (\textrm{b})f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1} (\textrm{c})f(x)=x+\sin x (\textrm{d})f(x)=x\sin x$
$(\textrm{ii})$次の条件がpの否定になるように、$\boxed{\ \ あ\ \ }～\boxed{\ \ え\ \ }$のそれぞれの選択肢から、
あてはまるものを選べ。
・$「\boxed{\ \ あ\ \ }\ \boxed{\ \ い\ \ }$実数に対して$\boxed{\ \ う\ \ }」が\boxed{\ \ え\ \ }$
$\boxed{\ \ あ\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})K$以上の $(\textrm{b})K$未満の
$\boxed{\ \ い\ \ }$の選択肢:$(\textrm{a})$すべての $(\textrm{b})$ある
$\boxed{\ \ う\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})f(x) \geqq 1 (\textrm{b})f(x) \lt 1$
$\boxed{\ \ え\ \ }$の選択肢$:(\textrm{a})$どんな実数Kについても成り立つ $\\(\textrm{b})$成り立つような実数Kが存在する
$(\textrm{iii})$関数$f(x)$に対して、$g(x)=2f(x)$で関数$g(x)$を定める。次に挙げた命題$(\textrm{A})～(\textrm{D})$
のそれぞれについて、正しければoを、正しくなければxを、マークせよ。
$(\textrm{A})f(x)$が$p$を満たすならば、$g(x)$も$p$を満たす。
$(\textrm{B})g(x)$が$p$を満たすならば、$f(x)$もpを満たす。
$(\textrm{C})f(x)$が$p$を満たさないならば、$g(x)$もpを満たさない。
$(\textrm{D})f(x)$がpを満たさないならば、$g(x)$も$p$を満たす。
2021上智大学理工学部過去問
福田の数学〜上智大学2021年理工学部第１問〜双曲線の方程式と回転体の体積
単元：
#大学入試過去問(数学)#平面上の曲線#微分とその応用#2次曲線#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#媒介変数表示と極座標#上智大学#数学(高校生)#数C#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
${\Large\boxed{1}}$ 媒介変数表示
$x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1$
で表される図形Cを考える。
(1)Cは頂点$(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })$、焦点$(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })$、
漸近線$y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }$をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線$x=4$は、2点$(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})$
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
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${\Large\boxed{1}}$ 媒介変数表示
$x=\frac{2}{\cos\theta}, y=3\tan\theta+1$
で表される図形Cを考える。
(1)Cは頂点$(±\boxed{\ \ ア\ \ },\ \boxed{\ \ イ\ \ })$、焦点$(±\sqrt{\boxed{\ \ ウ\ \ }},\ \boxed{\ \ エ\ \ })$、
漸近線$y=±\frac{\boxed{\ \ オ\ \ }}{\boxed{\ \ カ\ \ }}x+\boxed{\ \ キ\ \ }$をもつ双曲線である。
(2)双曲線Cと直線$x=4$は、2点$(4,\ \boxed{\ \ ク\ \ }±\boxed{\ \ ケ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ コ\ \ }})$
で交わる。\\
(3)双曲線Cと直線x=4で囲まれる部分をy軸の周りに1回転\\
させてできる立体の体積は\ \boxed{\ \ サ\ \ }\sqrt{\boxed{\ \ シ\ \ }}\ \pi である。
\end{eqnarray}
2021上智大学理工学部過去問
【数Ⅲ】微分法：対数微分、この計算式をどうしますか？
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
理数個別チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)=(1+a^x)^{\frac{1}{x}}$は,$0＜a＜1$の時単調である
[上級問題精講数学Ⅲ、416(1)]
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$f(x)=(1+a^x)^{\frac{1}{x}}$は,$0＜a＜1$の時単調である
[上級問題精講数学Ⅲ、416(1)]
福田の数学〜中央大学2021年理工学部第４問〜定積分と不等式、極限
単元：
#大学入試過去問(数学)#関数と極限#微分とその応用#積分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#学校別大学入試過去問解説(数学)#中央大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い
答えよ.
(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.
(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.
(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.
(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.
2021中央大理工学部過去問
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$\boxed{4}$自然数$n$に対し,$f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}(x\gt 0)$とおく.
また,正の実数$a_n$は$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_n(x)dx=1$満たすものとする.次の問い
答えよ.
(1)関数$f_n(x)$の不定積分を求めよ.
(2)$a_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$を求めよ.また,正の実数$b_n$が$\displaystyle \int_{1}^{b_n}f_{n+1}(x)dx=-1$を満たすとき,$b_n$の値と極限$\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n$を求めよ.
(3)2以上の自然数$k$に対して$\displaystyle \int_{k-1}^{k}f_n(x)dx \gt \dfrac{1}{k}$を示し,これを利用して$a_n\lt 4$を証明せよ.
(4)$\displaystyle \int_{1}^{a_n}f_{n+1}(x)dx\lt 1$を示し,これを利用して$a_n\lt a_{n+1}＄を証明せよ.
2021中央大理工学部過去問
数学「大学入試良問集」【18−10 定数分離と微分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#名城大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \frac{e^x}{x-1}$について、次の問いに答えよ。
（1）曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。
（2）定数$k$に対して、方程式$e^x=k(x-1)$の異なる実数解の個数を求めよ。
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関数$f(x)=\displaystyle \frac{e^x}{x-1}$について、次の問いに答えよ。
（1）曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ。
（2）定数$k$に対して、方程式$e^x=k(x-1)$の異なる実数解の個数を求めよ。
福田のわかった数学〜高校３年生理系045〜極限(45)関数の連続性(2)
単元：
#関数と極限#微分とその応用#関数の極限#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(2)\\
f(x)=[x^2](x+1)\\
はx=0で連続かまた、x=1で連続か、調べよ。
\end{eqnarray}
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\begin{eqnarray}
数学\textrm{III} 関数の連続性(2)\\
f(x)=[x^2](x+1)\\
はx=0で連続かまた、x=1で連続か、調べよ。
\end{eqnarray}
数学「大学入試良問集」【18−7 球に外接する直円錐の最小体積】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#東京学芸大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
半径$a$の球に外接する直円錐について、次の各問いに答えよ。
（1）直円錐の底面の半径を$x$とするとき、その高さを$x$を用いて表せ。
（2）このような直円錐の体積の最小値を求めよ。
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半径$a$の球に外接する直円錐について、次の各問いに答えよ。
（1）直円錐の底面の半径を$x$とするとき、その高さを$x$を用いて表せ。
（2）このような直円錐の体積の最小値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【18−6 平均値の定理と不等式の証明】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#姫路工業大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
以下の各問いに答えよ。
（1）
関数$f(x)=x\ log\ x$を微分せよ。
（2）
次の等式を満たす$c$が$x \lt c \lt x+1$の範囲に存在することを示せ。
$(x+1)log(x+1)-x\ log\ x=1+log\ c$
（3）
$x \gt 0$のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし$e$は自然対数の底である。
$\left[ 1+\dfrac{ 1 }{ x } \right]^x \lt e$
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以下の各問いに答えよ。
（1）
関数$f(x)=x\ log\ x$を微分せよ。
（2）
次の等式を満たす$c$が$x \lt c \lt x+1$の範囲に存在することを示せ。
$(x+1)log(x+1)-x\ log\ x=1+log\ c$
（3）
$x \gt 0$のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
ただし$e$は自然対数の底である。
$\left[ 1+\dfrac{ 1 }{ x } \right]^x \lt e$
数学「大学入試良問集」【18−5 極大値をもつ条件】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#福島県立医科大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \frac{a-\cos\ x}{a+\sin\ x}$が、$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$の範囲で極大値をもつように、定数$a$の値の範囲を求めよ。
また、その極大値が2となるときの$a$の値を求めよ。
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関数$f(x)=\displaystyle \frac{a-\cos\ x}{a+\sin\ x}$が、$0 \lt x \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$の範囲で極大値をもつように、定数$a$の値の範囲を求めよ。
また、その極大値が2となるときの$a$の値を求めよ。
数学「大学入試良問集」【18−4 微分と不等式の証明】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#福島大学#数Ⅲ
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{1}{\theta}(\sin\theta+\tan\theta) \gt 2$
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$0 \lt \theta \lt \displaystyle \frac{\pi}{2}$のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。
$\displaystyle \frac{1}{\theta}(\sin\theta+\tan\theta) \gt 2$
数学「大学入試良問集」【18−2 斜めの漸近線とグラフ】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#大阪工業大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
$f(x)=\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}$とするとき、次の各問いに答えよ。
（1）
$f'(x)$および$f''(x)$を求めよ。
（2）
関数$y=f(x)$の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。
（3）
この曲線の漸近線の方程式を求めよ。
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$f(x)=\displaystyle \frac{x^3}{x^2-1}$とするとき、次の各問いに答えよ。
（1）
$f'(x)$および$f''(x)$を求めよ。
（2）
関数$y=f(x)$の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、そのグラフをかけ。
（3）
この曲線の漸近線の方程式を求めよ。
数学「大学入試良問集」【18−1三角関数の微分】を宇宙一わかりやすく
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ#日本女子大学
指導講師：
ハクシ高校【数学科】良問演習チャンネル
問題文全文(内容文)：
関数$f(x)=\displaystyle \frac{\sin\ x}{3+\cos\ x}$の最大値を最小値を求めよ。
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関数$f(x)=\displaystyle \frac{\sin\ x}{3+\cos\ x}$の最大値を最小値を求めよ。
福田の数学〜慶應義塾大学2021年医学部第４問〜カテナリーと円の相接
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#慶應義塾大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 曲線y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} (x \gt 0)をCで表す。Q(X,Y)を中心とする半径rの円が曲線C\\
と、点P(t,\frac{e^t+e^{-t}}{2})\ (ただしt \gt 0)において共通の接線をもち、さらにX \lt tであるとする。\\
このときXおよびYをtの式で表すと\\
X=\boxed{\ \ (あ)\ \ }, Y=\boxed{\ \ (い)\ \ }\\
となる。tの関数X(t),Y(t)をX(t)=\boxed{\ \ (あ)\ \ },Y(t)=\boxed{\ \ (い)\ \ }により定義する。全て\\
のt \gt 0に対してX(t) \gt 0となるための条件は、rが不等式\boxed{\ \ (う)\ \ }を満たすことで\\
ある。\boxed{\ \ (う)\ \ }が成り立たないとき、関数Y(t)はt=\boxed{\ \ (え)\ \ }において最小値\boxed{\ \ (お)\ \ }\\
をとる。また\boxed{\ \ (う)\ \ }が成り立つとき、YをXの関数と考えて、(\frac{dY}{dX})^2+1をYの式で\\
表すと(\frac{dY}{dX})^2+1=\boxed{\ \ (か)\ \ } となる。\\
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{4}} 曲線y=\frac{e^x+e^{-x}}{2} (x \gt 0)をCで表す。Q(X,Y)を中心とする半径rの円が曲線C\\
と、点P(t,\frac{e^t+e^{-t}}{2})\ (ただしt \gt 0)において共通の接線をもち、さらにX \lt tであるとする。\\
このときXおよびYをtの式で表すと\\
X=\boxed{\ \ (あ)\ \ }, Y=\boxed{\ \ (い)\ \ }\\
となる。tの関数X(t),Y(t)をX(t)=\boxed{\ \ (あ)\ \ },Y(t)=\boxed{\ \ (い)\ \ }により定義する。全て\\
のt \gt 0に対してX(t) \gt 0となるための条件は、rが不等式\boxed{\ \ (う)\ \ }を満たすことで\\
ある。\boxed{\ \ (う)\ \ }が成り立たないとき、関数Y(t)はt=\boxed{\ \ (え)\ \ }において最小値\boxed{\ \ (お)\ \ }\\
をとる。また\boxed{\ \ (う)\ \ }が成り立つとき、YをXの関数と考えて、(\frac{dY}{dX})^2+1をYの式で\\
表すと(\frac{dY}{dX})^2+1=\boxed{\ \ (か)\ \ } となる。\\
\end{eqnarray}
2021慶應義塾大学医学部過去問
福田の数学〜早稲田大学2021年商学部第１問(2)〜整式と不等式
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#早稲田大学#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
福田次郎
問題文全文(内容文)：
\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)nを正の整数とする。f(x)はxのn+1次式で表される関数で、xが0以上\\
n以下の整数のときf(x)=0であり、f(n+1)=n+1である。このとき、\\
\\
\sum_{k=0}^n\frac{(1-\sqrt2)^k}{f'(k)} \gt 2^{2021}\\
\\
を満たす最小のnは\boxed{\ \ イ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学商学部過去問
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\begin{eqnarray}
{\Large\boxed{1}} (2)nを正の整数とする。f(x)はxのn+1次式で表される関数で、xが0以上\\
n以下の整数のときf(x)=0であり、f(n+1)=n+1である。このとき、\\
\\
\sum_{k=0}^n\frac{(1-\sqrt2)^k}{f'(k)} \gt 2^{2021}\\
\\
を満たす最小のnは\boxed{\ \ イ\ \ }である。
\end{eqnarray}
2021早稲田大学商学部過去問
指数不等式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
これを解け.
$\left(\dfrac{5}{3}\right)^{\frac{x^2+x-3}{x+1}}\leqq \dfrac{2}{3}・\left(\dfrac{5}{2}\right)^{x-\left(\frac{3}{x+1}\right)}$
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これを解け.
$\left(\dfrac{5}{3}\right)^{\frac{x^2+x-3}{x+1}}\leqq \dfrac{2}{3}・\left(\dfrac{5}{2}\right)^{x-\left(\frac{3}{x+1}\right)}$
ただの不等式
単元：
#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
これを解け.
$30x^2-2・3^{x+1}+19x・3^x \gt 5x^2・3^{x+1}$
$+38x-12$
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これを解け.
$30x^2-2・3^{x+1}+19x・3^x \gt 5x^2・3^{x+1}$
$+38x-12$
立教大 関数の最小値
単元：
#微分とその応用#色々な関数の導関数#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#数学(高校生)
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$x\gt 0$とする.
$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$の最小値を求めよ.
2021立教大過去問
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$x\gt 0$とする.
$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$の最小値を求めよ.
2021立教大過去問
徳島大（医）放物線の法線
単元：
#大学入試過去問(数学)#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#徳島大学#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$C:y=x^2$上の$P(t,t^2)(t\gt 0)$における法線と$C$との交点を$Q(\neq P)$とする.
$PQ$の最小値を求めよ.
2020徳島大(医)過去問
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$C:y=x^2$上の$P(t,t^2)(t\gt 0)$における法線と$C$との交点を$Q(\neq P)$とする.
$PQ$の最小値を求めよ.
2020徳島大(医)過去問
岐阜薬科大 対数の不等式 良問
単元：
#数Ⅱ#大学入試過去問(数学)#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#学校別大学入試過去問解説(数学)#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
鈴木貫太郎
問題文全文(内容文)：
$\log_x y-\log_y x^{\frac{1}{2}}\lt -\dfrac{1}{2}$を満たす点$(x,y)$の領域を図示せよ.
岐阜薬科大過去問
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$\log_x y-\log_y x^{\frac{1}{2}}\lt -\dfrac{1}{2}$を満たす点$(x,y)$の領域を図示せよ.
岐阜薬科大過去問
16大阪府教員採用試験（数学：高校1番 積分）
単元：
#数Ⅰ#数Ⅱ#数と式#実数と平方根（循環小数・有理数・無理数・絶対値・平方根計算・2重根号）#指数関数と対数関数#対数関数#微分とその応用#積分とその応用#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
1⃣ $f(x)=\int_1^e |logt-logx|dt (1 \leqq x \leqq e)$
(1)f(x)を求めよ。
(2)f(x)の最大値、最小値を求めよ。
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1⃣ $f(x)=\int_1^e |logt-logx|dt (1 \leqq x \leqq e)$
(1)f(x)を求めよ。
(2)f(x)の最大値、最小値を求めよ。
17神奈川県教員採用試験（数学：12番 積分微分）
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
$\boxed{12}$
$f(x)=\int_1^e |logt-x| dt$(0<x<1)が最小値をとるときのxの値を求めよ
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$\boxed{12}$
$f(x)=\int_1^e |logt-x| dt$(0<x<1)が最小値をとるときのxの値を求めよ
【数Ⅲ-160】定積分で表された関数③(極値編)
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#数学(高校生)#数Ⅲ
指導講師：
とある男が授業をしてみた
問題文全文(内容文)：
数Ⅲ(定積分で表された関数③・極値編)
Q.次の関数の極値を求めよ。
①$f(x)=\int_0^xt\cos t \ dt(0 \lt x \lt \pi)$
➁$f(x)=\int_0^x (1-t^2)e^tdt$
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数Ⅲ(定積分で表された関数③・極値編)
Q.次の関数の極値を求めよ。
①$f(x)=\int_0^xt\cos t \ dt(0 \lt x \lt \pi)$
➁$f(x)=\int_0^x (1-t^2)e^tdt$
16奈良県教員採用試験（数学：高校5番 y軸回転体）
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#微分法#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#面積・体積・長さ・速度#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
5⃣ $l:y=x \sqrt{1-x^2}$ $(0 \leqq x \leqq 1)$
(1)極値、グラフ
(2)l、x軸で囲まれた図形をy軸を中心にした回転体の体積V
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5⃣ $l:y=x \sqrt{1-x^2}$ $(0 \leqq x \leqq 1)$
(1)極値、グラフ
(2)l、x軸で囲まれた図形をy軸を中心にした回転体の体積V
16東京都教員採用試験（数学：3番 微積）
単元：
#微分とその応用#積分とその応用#接線と法線・平均値の定理#関数の変化（グラフ・最大最小・方程式・不等式）#定積分#その他#数学(高校生)#数Ⅲ#教員採用試験
指導講師：
ますただ
問題文全文(内容文)：
3⃣$C_1 : y=ax^2,C_2:y=logx$
$C_1$と$C_2$は共通に接線lをもつ
(1)定数aの値
(2)接線lの方程式
(3)$C_1$,l,y軸で囲まれた面積S
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3⃣$C_1 : y=ax^2,C_2:y=logx$
$C_1$と$C_2$は共通に接線lをもつ
(1)定数aの値
(2)接線lの方程式
(3)$C_1$,l,y軸で囲まれた面積S